浙江财经大学 微积分 下册总复习
浙江财经大学微积分下期末试卷2
x=2
(1,1)
y=
2
1 x
O
x
= ∫1
2
1 2 x ⋅ ( − ) dx = ∫ ( x 3 − 1) dx 1 y 1
2
4 2
x2
x
11 x = ( − x) = . 4 4
1
6
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
2.某厂生产两种型号 的产品, 已知生产A产品 x 单位, B产品 y 单位时 的总成本函数为 C ( x , y ) = 70 x + 30 y + 100, pA pB , y = 30 − , 两种产品 的需要函数分别为 x = 50 − 5 3 (其中 p A , q B 分别为两种产品 的价格). 若限制总产量 为20, 试求两种产品 的产量各 为多少时总利 润最大 . 解: L ( x , y ) = R ( x , y ) − C ( x , y )
设 3x − 1 = t
解:
∫
2 3 1 3
e
3 x −1
t2 + 1 则x = 3
2 1 t 2 ∫ 0 e ⋅ 3 t dt =ห้องสมุดไป่ตู้3 ∫ 0 t e dt
1 t
2 2 1 2 1 t 2 t t 1 t 1 = ∫ t d e = ( t e − ∫ e dt ) = (e − e ) = . 3 0 0 3 0 3 0 3
B． y ′ = e 2 x − y D ． xy ′ = y + x 2 − y 2
∫0 dx ∫0
1
1− x 2
1 − x 2 − y 2 dy = ______
浙江财经大学-微积分-下册总复习省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
e
ln
x
sin x
x
e
ln
x dx
C
1 x
sin
xdx
C
1 cos x C .
x
七、综合应用题
• 1. 求在直角坐标系下平面图形旳面积。
b
d
A [上边界 下边界]dx A [右边界 左边界]dy
a
c
绕 x 轴旋转一周
2. 旋转体旳体积
绕 y 轴旋转一周
Vx
b [外边界2 -内边界2 ]dx
三、求积分（6分*3=18分）
1、第一换元法：凑微分（处理复合函数求
积分）
凑内层函数旳导数
已知 f ( x)dx F ( x) C ,
f[(x)]'(x)dx f[(x)]d(x) F[(x] C
复合函数 凑内层函数旳导数
1) (2x 1)5 dx 1 (2x 1)5(2x 1)'dx 2
11 x2 ) f ( x)
x2
sin tdt
(4) lim x0
0
x4
;(0) 0
1 2
b
(5) f '(2x)dx
1 ( f ( 2b ) f ( 2a )) 2
Th2：由方程F(x,y,z)=0拟定旳函数z=f(x,y)称作隐函数，
其导函数为：z
' x
Fx' / Fz'
,
z
' y
Fy' / Fz'
(1)求由方程 e y 2x y 所拟定旳隐函数y=f(x)旳导函数。
(2)求由方程 sin z xyz 所拟定旳隐函数z=f(x,y)旳偏导数。
五、重积分旳计算
大学微积分期末复习重点
大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。
期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。
以下是大学微积分期末复习的重点内容。
一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。
熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握函数的四则运算和复合函数的求法。
2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。
掌握极限的四则运算法则和存在准则。
熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。
掌握无穷小的比较和运算。
二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。
掌握导数的物理意义和经济意义。
2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。
掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。
会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。
掌握微分的计算方法和应用。
三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。
2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。
求函数的极值和最值。
3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。
求函数的拐点。
4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。
四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。
掌握不定积分的基本性质。
2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。
掌握换元积分法和分部积分法。
五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。
掌握定积分的基本性质。
2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。
会用换元积分法和分部积分法计算定积分。
3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。
微积分下考试重点全总结
抓住微积分，它是高数的核心，理解好导数和积分的含义。
题记―――高等数学，是某些自考专业的重要课程。
但对于如何通过考试，如何学好这门课程，许多朋友都是百展莫愁，头痛不已。
而高数及格率又是所有科目中及格率最低的几门之一，成为许多考生能否顺利完成专业课程的主要障碍。
数学，是一门深奥而又有趣的课程。
如果增加对这门课程的自信心，不要畏惧它，你会很容易接受这门课，你也会发觉其实这门课程并不难，这对于学好数学是一个非常必要的条件。
培根说，“数学是科学的大门和钥匙。
”的确，数学是科学技术的基础。
高等数学与应用数学（包括线性代数、概率论与数理统计、复变函数、数学物理方程，等等）是各专业的重要基础理论课。
在会计专业里，比如财务成本管理，审计，评估，管理会计，……等等科目里都有高等数学的影子；在经济学领域里，更是如此。
无论微观经济还是宏观经济的经典理论里都有高等数学的烙印函数、极限与连续(一)基本概念1．函数：常量与变量，函数的定义2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念(二)基本要求·1·1. 理解函数的概念，了解分段函数。
能熟练地求函数的定义域和函数值。
2. 了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。
3. 熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。
4. 了解复合函数、初等函数的概念。
5. 会列简单应用问题的函数关系式。
6. 了解极限的概念，知道数极限的描述性定义，会求函数的左、右极限。
【免费下载】浙财微积分下期末试卷1
浙江财经学院课程期末考试试卷浙江财经学院 ～ 学年第二学期《微积分B 下》课程期末考试试卷（ B 卷）考核方式：闭卷考试日期： 年 月 日适用专业、班级：题 号一二三四五六七八九十总分得 分评卷人（共九大题）评卷人得分一、选择题（每小题2分共10分）1．＝（ ）。
⎰A ．B ．C ．D ．4π2ππ32π2．设收敛，则（ ）。
∑∞=12n n u A ．收敛B ．收敛∑∞=1n n u ∑∞=-1)1(n n n u C ．发散 D ．发散∑∞=-12)1(nnnu ∑∞=1n n u 3．下列积分中不是广义积分的是（ ）。
A ．B ．C ．D ．1222(1)-⎰dxx 1ln ⎰edxx x11-⎰ 0+∞-⎰x e dx4．设，其中具有连续的二阶偏导数，则（ ）。
)()(y x y x z -++=φϕφϕ,A ．B ． 0""=-yy xx z z 0""=+yy xx z z浙江财经学院课程期末考试试卷C ．D ．0"=xy z 0""=+xx xy z z 5．微分方程的通解是（）。
0)1()1(22=+++dx y dy x A ．B ．c y x =+arctan arctan cy x =+tan tan C ．D ．c y x =+ln ln cy c x c =+tan tan 评卷人得分二、填空题（每小题2分共20分）1．设，则______________________。
22 ()cos =⎰x xf x u du =)('x f 2．函数的定义域为)410ln()arcsin(222y x y x z --+-=_____________________。
3．＝______________________。
∑∞=+1)1(1n n n 4．＝_______________________________。
文科-经管类-微积分--微积分(下)总复习--PPT
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x
结束
铃
求旋转体体积
d
V c A( y)dy
曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴
y
d
..
V d g 2 ( y)dy c
y
x=g(y)
A( y) . g 2 ( y)
c
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x
结束
.
铃
由平面图形 0 a x b, 0 y f (x)
微积分 (下) 总复习
•基本初等函数的导数公式小结
(1) (C)0
(2) (xm)m xm1
(3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x
(11)
(log a
x)
1 x ln
a
(12) (ln x) 1 x
(13) (arcsin x) 1 1 x2
9） 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], 则 存 在 [a, b],
使 得
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
(四)变上限定积分
设f ( x) R[a, b], F ( x)
x
f ( x)dx
a
x [a, b], F ( x)称为变上限定积分。
2）若f ( x) C[a, b],则F ( x)
a2 x2
(四)计算方法
1.利 用 基 本 公 式
2. 凑微分法
g(( x)) '( x)dx g(( x))d( x)= g(u)du
3. 第二换元法
令x (t )
微积分大一下 大学总复习提纲题库PPT课件
无条件极值一般是计算题(需要对驻点的极值性 进行判断) 条件极值一般是应用题—方法是拉格朗日乘数 法(不需要对极值性进行判断)
9
4. 二重积分 交换积分次序,计算直角坐标系下二重积分,极坐 标系下二重积分.
第九章 微分方程 1. 基本概念 微分方程,微分方程的阶 2. 求解一阶微分方程 可变量分离型,齐次微分方程,一阶线性微分方程 3*. 求解二阶微分方程 二阶线性齐次和非齐次微分方程
1
(-1 x 1)
n0
1 x
(1)n xn 1 x
(1)n xn
1
(-1 x 1)
n0
1 x
4*.求函数的幂级数展开式
方法：直接展开法和间接展开法
类型：麦克劳林展式和泰勒展式
f ( x) f (n)(0) xn , x 收敛域.
n0 n!
f ( x)
n0
f
(n) ( x0 n!
考查 un 的敛散性 n1
比较或比较的极限形式
比值 un 与 un同敛散
n1
n1
比较或比较的极限形式
un 收敛 un绝对收敛
n1
n1
un 发散 un的敛散性重新判定
n1
n1
--一般莱布尼兹公式
绝对收敛或条件收敛或发散
5
3*.求幂级数的收敛半径,收敛域和和函数
1）定理
如果幂级数 an xn的所有系数an 0 ,
n0
设 lim an1 a n
n
(或
lim n
n
an
)
(1)则当
0 时, R
1 ;
(2)则当
0 时,R ;
微积分下册复习要点（共5篇）
微积分下册复习要点（共5篇）第一篇：微积分下册复习要点微积分下册复习要点第七章多元函数微分学1．了解分段函数在分界点连续的判别；2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。
4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。
5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。
6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。
必考。
第八章重积分1．二重积分交换积分次序；必考。
2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）在使用时特别注意“先二后一法”的运用。
必考。
4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。
第九章曲线曲面积分1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。
可以参考期中考试卷中最后三个题。
4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。
第10章级数1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。
2．幂级数的收敛域及和函数的计算。
（利用逐项求导和逐项积分）必考。
3．将函数展成幂级数。
（一般利用间接法）必考。
4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）第11章常微分方程1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。
2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。
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sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
ln x
七、综合应用题
• 1. 求在直角坐标系下平面图形的面积。
b
A
[ 上 边 界 下 边 界 ]dx
a
d
A
[ 右 边 界 左 边 界 ]dy
1 4
y
4
1 8
y ]
2 0
13 6
六、微分方程计算
求 （1） ： dy dx
y
g(y)dy f (x)dx
e sin x 的 通 解 和 满 足 x = 0, y = 0的 特 解 。 dy e
y
解：分离变量
sin xdx
y
两 边 同 时 积 分 e dy
e
1 e
1 2
( x ln x
2
1 1 e
x
2
2
)
1 e
1 4
3 1 4e
2
四、求偏导数或全微分 dz z x ( x , y )dx z y ( x , y )dy
' '
(1) z arctan
(3) z e
xy
y x
; 求 :dz
'
(2) z f ( xy ); 求 :z x , z y
ye
P(x)dx
P(x)dxdx C] [ Q(x)e
(3)求 方 程 y
解： P ( x ) 1 ,
x
1 x
y
sin x x
的通解。
,
Q( x)
sin x x
y e
x
1
dx
1 sin x x dx x e dx C
dy dx
ux
du dx
,
ux
du dx
cot udu
dx x
;
cot udu
dx x
;
ln | sin u | ln | x | ln C;
sin u cx
变量还原 sin
y x
cx
一阶线性非齐次微分方程 的通解为
y P(x)y Q(x).
'
基本积分表：
1) kdx 2) x dx
3)
4)
kx C
x
1
8)
( 1)
dx cos x
2
sec xdx tan
2
x C;
1
9)
1 x
dx ln | x | C
1
2
sin
dx
2
x
2 csc xdx cot x C ;
2 0 1 2 2 2 0
x
2
2
x
3
1
3
)
0
1 6
V x ( x ( x ) ) dx
x
3
(
3
x
5
1
5
)
0
2 15
o 1
yx
2
x
Vx [外边界 -内边界 ]dx
2 2 a
b
多元函数取极值的充分条件
• 定理(充分条件): 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻 域内连续、存在二阶连续偏导数,且
csc xdx ln | csc x cot x | C
三、求积分（6分*3=18分） 1、第一换元法：凑微分（解决复合函数求 积分） 凑内层函数的导数
已 知 f ( x ) dx F ( x ) C ,
f[ (x)] ( x ) dx f[ (x)]d ( x ) F [ (x ] C
(3)
a x
2
可令
2
(4)
x a
2
可令
x a sec t .
5
2)
1
1 1 x1
dx
2 2
解：令t
x 1; x 1 t ; dx d (1 t ) 2 tdt
2 2
x = 1时 , t = 0; x = 5 时 , t = 2
原式 =
0
2t 1 t
x,
y x 所围成的区域
解 积分区域下图所示
x
D
yd
2
3 2
1 0
xdx
x
x x
2
y dy
D
x [ y ] x 2 dx 3 7 1 2 2 4 6 4 ( x x ) dx 0 3 3 55
(2)
( x
D
2
y x ) d , 其中 D 是由直线 y 2 , y x
（3） B AC 0 不能确定,还需另作讨论。
2
练习
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，销售 价分别为 p1 和 p 2 ，销售量分别为 q 1 和 q 2 ，需求 函数分别为 q1 24 0 .2 p1 和 q 2 10 0 .05 p 2 总成本函数为 C 35 40 ( q1 q 2 )
'
复合函数 凑内层函数的导数 1 5 5 ' 1) (2 x 1) dx ( 2 x 1 ) ( 2 x 1 ) dx 2
1 2
( 2 x 1 ) d ( 2 x 1)
5
(2 x 1) 12
6
C
5 x 3 dx
1 5 1 5
1
5x 3
2
及 y 2 x 所围成的闭区域 . .
解 积分区域如下图所示
y
( x y x )d
2 2 D
D
0
2
dy y ( x y x ) dx
2 2 2
y
o
0
2
[
x
3
3
y x
2
x
2
x
3
2
3
] dy
y y 2
0
2
(
19 24
y
3 8
y ) dy
2
[
19 24
(2)求由方程 sin z
所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数。
五、重积分的计算
（1）X-型区域 D=｛(x,y)| a x b , 1 ( x ) y 2 ( x ). ｝
D
f ( x , y )d
dx
a
b
2( x)
1 ( x )
f ( x , y ) dy .
下册 总复习
考试题型： 一、选择题（2分*5=10分） 二、填空题（2分*10=20分） 三、求积分（6分*3=18分） 四、求偏导数（6分*4=24分） 五、求解微分方程（7分） 六、求二重积分（7分） 七、综合应用题（7分*2=14分） 1、定积分的应用（求面积，求体积） 2、最大利润（二元函数求极值）
dt =2
0
t 11 1 t
2
dt =2 (1
0
1 1 t
)dt
=2 (t-ln|1+t|) 0 =2(2-ln3)
2
2)
'
1 0
1 1 x
2
dx .
dx sec tdt ,
2
解：令 x tan t ,
x 0 t 0, x 1 t
4
,
' '
'
cos( x y ), 求 ： z x , z y
x ), 求 ： z x , z y
' '
(4) z f ( xy ,
y y " (5) z x ; 求 : z xy
（6）求由方程 导数。
sin z xyz 所确定的隐函数z=f(x,y)的偏
隐函数求导
Th1：由方程F(x,y)=0确定的函数y=f(x)称作隐函数，
2 2
L p1 0 . 4 p1 32 0 由 L p 2 0 . 1 p 2 12 0
" "
( 80 , 120 ).
"
A L p1 p1 0 . 4 ; B L p1 p2 0 ; C L p2 p2 0 . 1
f ( x 0 , y 0 ) 0， f ( x 0 , y 0 ) 0
' x
' y
" " " 记 f xx ( x 0 , y 0 ) A，f xy ( x 0 , y 0 ) B， f yy ( x 0 , y 0 ) C
则f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的条件如下： 2 （1） B AC 0 时具有极值, 当A<0时有极大值,当A>0时有极小值; （2） B 2 AC 0 时没有极值;
即
u x du dx
即 y xu,
f (u ),
dy dx
u x
du dx
,
du dx
f (u ) u x
.
可分离变量的方程
（2）求 ：
解：
dy dx
y x
tan
y
的通解。