浙江财经大学微积分(下册)总复习36页PPT
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微积分课件-复习必备
经济应用
总结词
微积分在经济领域也有着广泛的应用，包括金融、生产 和市场分析等领域。
详细描述
金融学中，微积分用于研究资产价格、投资组合和风险 管理等，例如期权定价、资本资产定价模型和风险中性 定价等。生产领域中，微积分用于研究生产成本、生产 效率和生产优化等，例如生产函数、成本函数和利润函 数等。市场分析中，微积分用于研究市场需求、市场结 构和市场预测等，例如需求函数、供给函数和弹性分析 等。
极限概念
01
02
03
极限定义
极限是描述函数在某一点 的变化趋势的数学工具， 定义为“lim x→x0 f(x) = L”。
单侧极限
函数在某一点的左侧或右 侧的变化趋势，分别称为 左极限和右极限。
极限的性质
包括唯一性、有界性、局 部保号性等，这些性质在 研究函数的单调性、极值 等特性时非常重要。
导数概念
合运算问题。
洛必达法则
洛必达法则是求极限的重要方 法之一，通过求导数来简化极
限的计算。
极限题型
01
02
03
04
极限定义
极限是微积分中的基本概念， 通过理解极限的定义和性质，
可以解决各种极限题型。
无穷小与无穷大
掌握无穷小与无穷大的概念和 性质，有助于解决极限问题中 的无穷比值和无穷增量问题。
极限的四则运算
不定积分与定积分的性质
不定积分的线性性质
$int (u + v) dx = int u dx + int v dx$
定积分的线性性质
$int (u + v) dx = int u dx + int v dx$
积分的区间可加性
比较定理
浙江财经大学微积分下期末试卷2
x=2
(1,1)
y=
2
1 x
O
x
= ∫1
2
1 2 x ⋅ ( − ) dx = ∫ ( x 3 − 1) dx 1 y 1
2
4 2
x2
x
11 x = ( − x) = . 4 4
1
6
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
2.某厂生产两种型号 的产品, 已知生产A产品 x 单位, B产品 y 单位时 的总成本函数为 C ( x , y ) = 70 x + 30 y + 100, pA pB , y = 30 − , 两种产品 的需要函数分别为 x = 50 − 5 3 (其中 p A , q B 分别为两种产品 的价格). 若限制总产量 为20, 试求两种产品 的产量各 为多少时总利 润最大 . 解: L ( x , y ) = R ( x , y ) − C ( x , y )
设 3x − 1 = t
解:
∫
2 3 1 3
e
3 x −1
t2 + 1 则x = 3
2 1 t 2 ∫ 0 e ⋅ 3 t dt =ห้องสมุดไป่ตู้3 ∫ 0 t e dt
1 t
2 2 1 2 1 t 2 t t 1 t 1 = ∫ t d e = ( t e − ∫ e dt ) = (e − e ) = . 3 0 0 3 0 3 0 3
B． y ′ = e 2 x − y D ． xy ′ = y + x 2 − y 2
∫0 dx ∫0
1
1− x 2
1 − x 2 − y 2 dy = ______
浙江财经大学-微积分-下册总复习省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
e
ln
x
sin x
x
e
ln
x dx
C
1 x
sin
xdx
C
1 cos x C .
x
七、综合应用题
• 1. 求在直角坐标系下平面图形旳面积。
b
d
A [上边界 下边界]dx A [右边界 左边界]dy
a
c
绕 x 轴旋转一周
2. 旋转体旳体积
绕 y 轴旋转一周
Vx
b [外边界2 -内边界2 ]dx
三、求积分（6分*3=18分）
1、第一换元法：凑微分（处理复合函数求
积分）
凑内层函数旳导数
已知 f ( x)dx F ( x) C ,
f[(x)]'(x)dx f[(x)]d(x) F[(x] C
复合函数 凑内层函数旳导数
1) (2x 1)5 dx 1 (2x 1)5(2x 1)'dx 2
11 x2 ) f ( x)
x2
sin tdt
(4) lim x0
0
x4
;(0) 0
1 2
b
(5) f '(2x)dx
1 ( f ( 2b ) f ( 2a )) 2
Th2：由方程F(x,y,z)=0拟定旳函数z=f(x,y)称作隐函数，
其导函数为：z
' x
Fx' / Fz'
,
z
' y
Fy' / Fz'
(1)求由方程 e y 2x y 所拟定旳隐函数y=f(x)旳导函数。
(2)求由方程 sin z xyz 所拟定旳隐函数z=f(x,y)旳偏导数。
五、重积分旳计算
《微积分总复习》PPT课件
20 求f (x)在分界点的极限值或判断它不存在;
30
极限 lim x x0
f
( x)存在时,比较极限值与函数值f
(x0 ).
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间断点分类总结
第一类间断点：x0 是 f x 的间断点,且在点x0 处f x 的
左 、 右 极 限 都 存 在.
第二类间断点：不是第一类的其它间断点.
14
dy f (x)dx.
复合函数的微分法则、微分形式不变性. 求微分方法：
(1)利用微分的定义 dy f '(x)dx,先求f (x),再乘以dx.
(2)利用微分形式的不变性
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隐函数的微分
例 y tan(x y) 求dy.
解法I 第一步，两边求微分， dy sec2 (x y)(dx dy) 第二步，解出dy，
x0 x
反 三 角 函 数 的0 型 极 限 0
定理 设x x 时，, , , 为无穷小量，
0
1
1
1, 1,
若极限
lim
1
存在，则有
lim
lim
1
.
xx0 1
xx0
xx0 1
lim (1 1 ) x e.
x
x
可以求 1 型极限
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连续
连续的实质是
lim
xx0
则
b
a f (x)dx F(b) F(a).
b f (x)dx
a
f
(x)dx
b a
F(x)
b a
F(b)
F(a).
1、直接积分法：就是直接利用已有的数学结论、积分基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ本公式与积分的性质来计算积分的方法
大学微积分总复习课件.ppt
函数 f (x)在 x0 处连续 函数 f (x)在 x0 处既左连续又右连续.
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
闭区间上连续函数的性质
定理1(最值和有界性定理) 在闭区间上 连续的函数一定有最大值和最小值.
故该函数在闭区间内一定是有界函数.
y log a x a y x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
4. 三角函数 正弦函数y sin x (注意：x用弧度表示)
y sin x
o
余弦函数 y cos x
o
y cos x
正切函数 y tan x
余切函数 y cot x
正割函数 y sec x
1
20 lim (1 f (x)) f (x) e. 某过程
定义: 设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果 lim 0，就说 是比 高阶的无穷小,
记作 o()；
(２) 如果lim ，就说 是比 低阶的无穷小．
(3) 如果 lim C 0,就说 与 是同阶的无穷小;
2
n
(1 x) 1 ~ x
注 1. 上述10个等价无穷小（包括反、 对、幂、指、三）必须熟练掌握
2.将x换成f ( x) 0都成立
函数连续点的等价定义
f ( x)在x0连续
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
lim [
微积分下册总复习PPT课件
柱体的体积. 一般情形,
f ( x, y)d xOy平面上方的曲顶柱体体积
D
减xOy平面下方的曲顶柱体体积.
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3. 物理意义
若平面薄片占有平面内有界闭区域D, 它的面
密度为连续函数( x, y), 则它的质量M为:
M ( x, y)d .
D
4、二重积分的性质
(重积分与定积分有类似的性质)
x x0
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0)
z Ax By o( ) ( 0),
dz
(x)2 (y)2
dz
P0
z x
P0
x
z y
P0
y
f x ( x0 , y0 )dx
f y ( x0 , y0 )dy
总复习
1
第七章 多元函数微分学
1、多元函数的定义、极限及连续性
确定极限不存在 的方法 (1)找两种不同趋近方式,使 lim f ( x, y)存在,
x x0 y y0
但两者不相等,此时即可断言极限不存在。
（2）找一条特殊的路径，使 P( x, y)沿此路径趋向
于 P0 ( x0 ,
y0
)
时
(
x
0
若为0，则可微，否则不可微。
5
3、复合函数求导法
z f (u,v), u ( x, y)及v ( x, y)
则复合函数 z f [( x, y), ( x, y)]
zx zu ux zv vx z
u
x
zy zu uy zv vy
,
y
lim
文科-经管类-微积分--微积分(下)总复习--PPT
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x
结束
铃
求旋转体体积
d
V c A( y)dy
曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴
y
d
..
V d g 2 ( y)dy c
y
x=g(y)
A( y) . g 2 ( y)
c
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x
结束
.
铃
由平面图形 0 a x b, 0 y f (x)
微积分 (下) 总复习
•基本初等函数的导数公式小结
(1) (C)0
(2) (xm)m xm1
(3) (sin x)cos x (4) (cos x)sin x (5) (tan x)sec2x
(11)
(log a
x)
1 x ln
a
(12) (ln x) 1 x
(13) (arcsin x) 1 1 x2
9） 中 值 定 理
若f ( x) C[a, b], 则 存 在 [a, b],
使 得
b
f ( x)dx
f ( )( b a).
a
(四)变上限定积分
设f ( x) R[a, b], F ( x)
x
f ( x)dx
a
x [a, b], F ( x)称为变上限定积分。
2）若f ( x) C[a, b],则F ( x)
a2 x2
(四)计算方法
1.利 用 基 本 公 式
2. 凑微分法
g(( x)) '( x)dx g(( x))d( x)= g(u)du
3. 第二换元法
令x (t )
浙江财经大学慕课微积分2
浙江财经大学慕课微积分2
《微积分》课程是高等院校经济、金融、管理等各专业必修的一门公共数学基础课，由微积分）和微积分下两门课组成，本学期开课的是第5期《微积分》。
本课程强调数学理论与各专业的有机结合，它是学习现代经济、管理理论的前提和基础，也是财经类院校学生学习专业课程的重要工具。
本课程系统地介绍了微积分的基本概念、基本理论和基本方法。
课程主要内容有：函数、极限与连续、导数与微分、中值定理与导数的应用、不定积分、定积分、无穷级数、多元函数微积分学、微分方程、差分方程等。
微积分Calculus是以函数为研究对象，运用极限的思想进行微分和积分计算的一门数学学科。
微积分的内容丰富多彩，它呈现出概念严谨、理论系统、逻辑性强、表达形式抽象的特点。
我们不仅要对微积分的定义、定理、结论等进行严谨的讲解、推理、研究，还会通过多种教学手段，引导学生关注数学概念的背景，从而理解抽象的数学概念，进而掌握概念的内涵和外延。
课程讲解力求由浅入深，突出重点和难点，从核心概念理解和应用出发，直至抽象的理论完整理解。
通过本课程的学习，目的是使学生深刻领会数学的思想和方法，能综合运用所学的数学知识提高分析问题和解决实际问题的能力，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，提升学生的数学修养和综合素质，为学生今后从事各项经济工作和研究、培养新时期应用型复合人才奠定坚实的基础。