浙江财经大学 微积分 下册总复习共35页
微积分(下册)总复习
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
(2) 方程组情形
隐函数的个数=方程的个数
隐函数的自变量个数=总自变量个数
方程的个数
* 5. 多元函数微分学的几何应用
(1) 空间曲线的切线与法平面(三种情形)
(2) 空间曲面的切平面与法线(三种情形)
* 6. 方向导数与梯度
方向导数 f lim f (P) f (P0 ) .
D
f (x, y)对x为偶函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
D
D1
其中 D1 D { x 0};
6、二重积分计算
(1) 直角坐标系
D {( x, y) a x b,1( x) y 2( x)}, 其中函数1( x)、2( x)在区间[a, b]上连续.
其中 I是各D 小f (闭x,区y)域d的直li径m0中i1的f最(大i ,值i ). i
2. 几何意义 当连续函数 z f ( x, y) 0时,
二重积分I表示以D为底, z =f (x, y)为曲顶, 侧面是
以D的边界为准线, 母线平行于z轴的柱面的曲顶
柱体的体积. 一般情形,
f ( x, y)d xOy平面上方的曲顶柱体体积
f ( x, y)d
D
b
dx
2( x) f ( x, y)dy
a
1( x )
先对y 后对x的二次积分
y
y 2(x)
D
y 1(x)
Oa
bx
D {( x, y) c y d ,1( y) x 2( y)},
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
浙江财经大学微积分下期末试卷2
x=2
(1,1)
y=
2
1 x
O
x
= ∫1
2
1 2 x ⋅ ( − ) dx = ∫ ( x 3 − 1) dx 1 y 1
2
4 2
x2
x
11 x = ( − x) = . 4 4
1
6
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
2.某厂生产两种型号 的产品, 已知生产A产品 x 单位, B产品 y 单位时 的总成本函数为 C ( x , y ) = 70 x + 30 y + 100, pA pB , y = 30 − , 两种产品 的需要函数分别为 x = 50 − 5 3 (其中 p A , q B 分别为两种产品 的价格). 若限制总产量 为20, 试求两种产品 的产量各 为多少时总利 润最大 . 解: L ( x , y ) = R ( x , y ) − C ( x , y )
设 3x − 1 = t
解:
∫
2 3 1 3
e
3 x −1
t2 + 1 则x = 3
2 1 t 2 ∫ 0 e ⋅ 3 t dt =ห้องสมุดไป่ตู้3 ∫ 0 t e dt
1 t
2 2 1 2 1 t 2 t t 1 t 1 = ∫ t d e = ( t e − ∫ e dt ) = (e − e ) = . 3 0 0 3 0 3 0 3
B． y ′ = e 2 x − y D ． xy ′ = y + x 2 − y 2
∫0 dx ∫0
1
1− x 2
1 − x 2 − y 2 dy = ______
微积分二期末复习题归纳
12
2. 已知生产某种产品必须投入两种要素，投入量分别为 x1和x2 ，生产函数为 Q = 2x13 x23 ，
其中 Q 为产出量。假设两种要素的价格分别为 4 和 1。试问当产出量 Q=12 时，两要素各投入多少可以使 总费用最小。（04）
12
解：总费用函数为 L
=
4 x1
+
x2
+
λ
(2
x13
x
3 2
，
∂2z ∂x∂y
=
f1′ex
+
y(ex )2
f1′1′ + (2x −
y)ex
f1′2′
−
2
xf
′′
22
4．设 w = f (x + y + z, x y z) , f 具有二阶连续导数，求 ∂w , ∂2 w .（05）续 F 偏导数, ∂x ∂x∂z
解：
∂w = ∂x
f1′⋅1 +
f2′⋅ y z
为偶函数（
Q
(1
+
e−x e−x
)
2
=
e−x (1 + e−x
⋅ e2x )2 ⋅e2x
= ex (1 + e x )2
）
∫∴
π 4 −π
4
sin
x
⋅
ex (1 + e x
)2
dx = 0 ，故原式=
2 2
∫2
2．
x
dx （03）（根式代换： u = x − 1 ）
1 x −1
1
∫ 3. 已知 y′(x) = arctan(x −1)2 , y(0) = 0,求 y(x)dx. （03）（先自己做吧~） 0
微积分(下)总复习
2）设想把区间[ a , b ] 分成 n 个小区间，取其中任一 小区间并记为[ x , x d x ] ，求出相应于这小区间的 部分量 U 的近似值．如果 U 能近似地表示为 [ a , b ] 上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与d x 的乘 积，就把 f ( x )d x 称为量U 的元素且记作d U ，即 d U f ( x )d x ； 3）以所求量U 的元素 f ( x )d x 为被积表达式，在区
2. 定积分计算 例2 求 2 1 sin 2 xdx .
0
解原 式
2 0
sin x co s x d x
4 0
(co s x sin x )d x
2
(sin x co s x )d x
4
2 2 2.
例3 求
ln 2
1 e
2 x
dx .
[ a , b ] 上的定积分等于 [ a , b ] 上的增量 .
5.定积分的计算法
（1）换元法
b a
f ( x )d x
f [ ( t )] ( t )d t
换元公式
（2）分部积分法
b a
u d v [ u v ]a
b
b
vd u
a
分部积分公式
6. 微元法理论依据
性质6
设 M 及 m 分 别 是 函 数 f ( x ) 在 区 间[a , b ]
上的最大值及最小值，
则
m (b a )
微积分下考试重点全总结
抓住微积分，它是高数的核心，理解好导数和积分的含义。
题记―――高等数学，是某些自考专业的重要课程。
但对于如何通过考试，如何学好这门课程，许多朋友都是百展莫愁，头痛不已。
而高数及格率又是所有科目中及格率最低的几门之一，成为许多考生能否顺利完成专业课程的主要障碍。
数学，是一门深奥而又有趣的课程。
如果增加对这门课程的自信心，不要畏惧它，你会很容易接受这门课，你也会发觉其实这门课程并不难，这对于学好数学是一个非常必要的条件。
培根说，“数学是科学的大门和钥匙。
”的确，数学是科学技术的基础。
高等数学与应用数学（包括线性代数、概率论与数理统计、复变函数、数学物理方程，等等）是各专业的重要基础理论课。
在会计专业里，比如财务成本管理，审计，评估，管理会计，……等等科目里都有高等数学的影子；在经济学领域里，更是如此。
无论微观经济还是宏观经济的经典理论里都有高等数学的烙印函数、极限与连续(一)基本概念1．函数：常量与变量，函数的定义2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念(二)基本要求·1·1. 理解函数的概念，了解分段函数。
能熟练地求函数的定义域和函数值。
2. 了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。
3. 熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。
4. 了解复合函数、初等函数的概念。
5. 会列简单应用问题的函数关系式。
6. 了解极限的概念，知道数极限的描述性定义，会求函数的左、右极限。
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浙江财经学院课程期末考试试卷浙江财经学院 ～ 学年第二学期《微积分B 下》课程期末考试试卷（ B 卷）考核方式：闭卷考试日期： 年 月 日适用专业、班级：题 号一二三四五六七八九十总分得 分评卷人（共九大题）评卷人得分一、选择题（每小题2分共10分）1．＝（ ）。
⎰A ．B ．C ．D ．4π2ππ32π2．设收敛，则（ ）。
∑∞=12n n u A ．收敛B ．收敛∑∞=1n n u ∑∞=-1)1(n n n u C ．发散 D ．发散∑∞=-12)1(nnnu ∑∞=1n n u 3．下列积分中不是广义积分的是（ ）。
A ．B ．C ．D ．1222(1)-⎰dxx 1ln ⎰edxx x11-⎰ 0+∞-⎰x e dx4．设，其中具有连续的二阶偏导数，则（ ）。
)()(y x y x z -++=φϕφϕ,A ．B ． 0""=-yy xx z z 0""=+yy xx z z浙江财经学院课程期末考试试卷C ．D ．0"=xy z 0""=+xx xy z z 5．微分方程的通解是（）。
0)1()1(22=+++dx y dy x A ．B ．c y x =+arctan arctan cy x =+tan tan C ．D ．c y x =+ln ln cy c x c =+tan tan 评卷人得分二、填空题（每小题2分共20分）1．设，则______________________。
22 ()cos =⎰x xf x u du =)('x f 2．函数的定义域为)410ln()arcsin(222y x y x z --+-=_____________________。
3．＝______________________。
∑∞=+1)1(1n n n 4．＝_______________________________。
微积分下册复习要点（共5篇）
微积分下册复习要点（共5篇）第一篇：微积分下册复习要点微积分下册复习要点第七章多元函数微分学1．了解分段函数在分界点连续的判别；2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。
4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。
5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。
6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。
必考。
第八章重积分1．二重积分交换积分次序；必考。
2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）在使用时特别注意“先二后一法”的运用。
必考。
4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。
第九章曲线曲面积分1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。
可以参考期中考试卷中最后三个题。
4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。
第10章级数1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。
2．幂级数的收敛域及和函数的计算。
（利用逐项求导和逐项积分）必考。
3．将函数展成幂级数。
（一般利用间接法）必考。
4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）第11章常微分方程1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。
2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。
经济数学微积分(下)期末复习题1
《微积分（下）》课程期末复习题（1）一、计算下列积分(每小题5分,共15分)1. 22arctan 1x xdx x ++⎰2.40⎰3. 1ln eexdx ⎰二、 求由曲线3 , 02()4 , 2x x f x x x ⎧≤≤=⎨->⎩和x 轴所围平面图形的面积，并求此图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积（9分）三、求下列函数的偏导数或全微分（18分）1. ()cos sin ,x z e y xy =+，求,z z x x∂∂∂∂2. 设()yx y x z 2354+-=,求zx∂∂及z y ∂∂.3. 若(),z z x y =由方程()2sin 2323x y z x y z +-=+- 确定，计算.z z x y∂∂+∂∂四、某厂生产两种型号的产品. 已知生产A 产品x 单位. B 产品y 单位时的总成本函数为()1003070,++=y x y x C . 两种产品的需求函数分别为330 . 550B A py p x -=-=（B A p p , 分别为两种产品的价格），若限制总产量为20 ， 试求 y x , 使总利润最大。
（9分）五、重积分（15）1.已知sin()xyf x dyyπ=⎰，计算0()f x dxπ⎰。
2.计算二重积分D xydxdy⎰⎰，其中D是由抛物线2y x=及直线2y x=+所围成的闭区域。
六、 选择题 (每小题2分,共10分)1. 设⎰=+=+)( cos )1(x f c x dx x f 则( )A .)1sin(-xB .)1sin(--xC .)1sin(+xD .)1sin(+-x2. 设平面区域D 由(),(),,y f x y g x x a x b ====围成，其中a b <，(),()f xg x 均连续且()()0f x g x ≤≤，则平面区域D 绕x 轴旋转所成旋转体体积为（ ）A .()2()()baf xg x dx π-⎰B .()22()()ba g x f x dx π-⎰C . ()22()()b af xg x dx π-⎰D . ()()baf xg x dx π-⎰3. 已知00(,)3f x y =，00(,)2x f x y '=，00(,)4y f x y '=，[]00ln (,)x f x y '=( )A .13 B . 23 C . 43D . 0 4. 设二元函数(,)z f x y =在()00,x y 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且00(,)2xxA f x y ''==00(,)0xyB f x y ''==00(,)2yyC f x y ''==，则点()00,x y （ ） A . 不是极大值点 B . 不是极小值点 C . 是极大值D . 是极小值5. 设{}22(,)14 D x y x y =≤+≤，则Ddxdy =⎰⎰（ ）A . πB . 2πC . 3πD . 4π七、填空题(每小题2分,共20分)1. 若2()f x dx x C =+⎰，则211()f dx x x =⎰______________2. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()ba d f x dx dx =⎰3. 设)(x f 的一个原函数是cos x ，则 ='⎰dx x f x )(4.11cos )x x dx -=⎰5. 1001lim (1sin 2)xu x u du x →+⎰=6. 函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域为7. 设(2)x z e f x y -=--，且当0y =时，2z x =，则zx∂∂=8. 已知21xx yyx dz e dx e dy y y=-, 则2z x y ∂=∂∂ . 9. 函数333z x y xy =+-的极值点是___________________.10. 设(,)(,)Df x y x f x y dxdy =+⎰⎰, 其中D 是由(0,0),(1,0),(1,1)A B C 围成的三角形闭区域，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=___________________.八、证明：11(1)(1)m n n m x x dx x x dx -=-⎰⎰（4分）。