高一平面向量复习专题
高一平面向量的知识点归纳总结
高一平面向量的知识点归纳总结平面向量是高中数学中一个重要的概念，也是数学建模中常用的工具。
在高一阶段，学生首次接触平面向量，并需要掌握其相关的计算方法和性质。
本文将对高一平面向量的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、平面向量的定义与表示方法平面向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示，用一个点与另一个点之间的坐标差表示。
一般用字母加箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
二、平面向量的运算1. 平面向量的相加减：向量的相加是指将一个向量的终点与另一个向量的起点相连，并以此线段为新向量的长度和方向。
向量的相减可以转换为向量的相加：A - B = A + (-B)。
2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的长度与一个实数相乘，得到一个新的向量，其方向与原向量相同（若实数为正）或相反（若实数为负）。
3. 向量的数量积：向量的数量积等于向量的长度乘积与两向量夹角的余弦值的乘积。
数量积具有交换律和分配律。
三、平面向量的基本性质1. 平移性质：可以将一个向量平移至另一个点，其大小和方向不变。
2. 平面向量的共线性：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是共线的；如果两个向量的方向互相垂直，那么它们是互相垂直的；如果两个向量不共线且不垂直，那么它们是不共线也不垂直的。
3. 向量共点性质：三个向量共点的充分必要条件是其中一个向量等于另外两个向量的和。
四、平面向量的几何应用平面向量在几何中具有广泛的应用。
其中，平面向量的模表示向量的长度，平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角，平面向量的端点坐标可以确定向量在平面直角坐标系中的位置。
通过对平面向量的几何运算，可以解决平面上的定位、距离和角度等问题。
五、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用其横坐标和纵坐标来表示。
具体地说，如果向量的起点在原点O(0, 0)，终点在A(x₁, y₁)，那么这个向量可以用[x₁, y₁]来表示。
(word完整版)高一数学数学必修4平面向量复习题
1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（D )2A.1B.2C. 2A. 2B. 2 2C. 1D.12r r rr r r r r r uu r r r 2解析Q a,b,c 是单位向量a c ?bc ago (a b)gs crr r _ r r r1 |ab|gc| 1 <2cos ab,c 1.2.2.已知向量a 2,1 ,ab 10,|ab| 5J2，则 |b|(C )A. .5B. .10C.5D. 25r r 宀 r 宀 r r r 宀“ r2 2 2 2解析 Q50 |a b| |a | 2a gD |b| 5 20 | b ||b| 5 故选 C.3.平面向量a 与b 的夹角为600, a (2,0) , b 1则a 2b ( B )A.、3B. 2 3C. 4D.2解析 由已知 |a|= 2,|a + 2b|2= a 2 + 4a b + 4b 2= 4+ 4X2X1 Xcos60° + 4= 12A a 2b2^3LUIUuiuuuu uiPC) = 2AP PM=2 AP PM cosO 2 -5.已知a 3,2 , b1,0，向量a b 与a2b 垂直，则实数的值为()1 A.—1 B.-1 C.—D.17766uuruur uuu UUJ uujruuu6.设 D 、E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、CA 、AB 上的点，且DC2BD,CE2EA, AF 2FB,UJLT 则ADUUU uuu uuu BE CF 与 BC(A)A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A )4444A.B.c.D.9339uu 由APUuu UJ uuuu 解析 2PM 知，p 为 ABC 的重心,根据向量的加法 ,PB P C2PM则 uur 4.在 ABC 中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学PALunn uur uuu uuu2PM ，则 PA (PB PC)等于uuruuu uiuuu uuu AP (PB1•设a 、b 、c 是单位向量，且 a -b = o ,贝U a c ? b c 的最小值为（ D )27.已知a , b 是平面内两个互相垂直的单位向量，右向量 c 满足（ac) (b c)0,则 c 的最大值是(C )3 4uuu uuu uuur8.已知O 是厶ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC 0，那么（ A ）则—的取值范围是mA .、3B . 2.3C .6 D . 2、616.在平行四边形 ABCD 中， uuu AE 1 uuu unr-AB, AF1 UULT一AD , CE 与BF 相交于G 点.的最小值为（B ) A. uuir unr AO ODunr uuir B. AO 2ODuuir uuirC. AO 3ODuur unr D. 2AO OD 9•设a5 ^2（4,3） , a 在b 上的投影为 ，b 在x 轴上的投影为2,且 | b |< 14，则 b 为(B ) (2,4)2,C .D . (2,) 10.设a, b 是非零向量，若函数f(x)(xa b) (a xb ）的图象是一条直线, 则必有（ A ）11.设两个向量a （ 2,a//2cos C . |a|)和b|b|D . |a| |b|mm,—2 sin ，其中，m, 为实数.若a 2b ,A . [-6, 1]B. [4,]C. (-6, 1] D . [-1 , 6]12.已知向量a(1, n),（1, n ），若2a b 与b 垂直，则|a（C13•如图，已知正六边形 RP 2P 3P 4P 5P 6 ,F 列向量的数量积中最大的是（A. RP2 ,R F 3B. P 1P 2, P 1P4C. P 1P 2 , P 1 P 5D.P 1P 2 ,P 1P614.已知向量a 尢,|e |= 1，对任意t € R , 恒有|a - t e | 冷一e |,贝y ( B )A. a 丄 eB. e 丄(a - e )C.a 丄(a - e )D.(a + e )丄(a - e )15.已知向量 unr unr n uurOA , OB 的夹角为一，|OA| 4 ,3luu r|OB| 1，若点 M 在直线 OB 上，贝U |&A OM |uuu r uur r uuur AB a, AD b,则AG342 r 1 r 2 rA. a bB. a7 7 7 17.设向量a与b的夹角为A」10 B. 3b 73.10 10C.(2,1),C.1 r r 4 rb D. a7 72b (4,5)，则cosD.18.已知向量a , b的夹角为3，且|a||b| 1 ,19.20.21.22.23.24.中,25.7等于D 则向量a与向量a 2b的夹角等于（5A .6已知向量A. [0, .2]已知单位向量A . 2.3在厶ABC 已知向量已知向量中,arOib-r-|b|其中b均为非零向量, 则| p |的取值范围是(B )B.[0,1]C.(0,2]D.[0,2]a,b的夹角为一，那么a2bAR 2RB,CP 2PR,若AP mAB nAC,贝U mC.a和b的夹角为120 ,B. 7|a| 2，且(2aOAA. [0,4]b) a，则|b |(0,2),OB (2,0),BCB .[冷C 2 cos ,2 sinC. [4,3T]）,贝UOA与OC夹角的取值范围是（上海）直角坐标系xOy中，i, j分别是与x, y轴正方向同向的单位向量. 在直角三角形ABC若AB 2i A. 1 j, AC 3i k j，则k的可能值个数是（B. 2若四边形ABCD满足AB CDc.「uuu0 , (AB3uiur uuirAD) ACD. 4则该四边形一定是BA.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形ir r ir 26.已知向量m,n的夹角为一，且|m |6uuir D为BC边的中点，贝U | AD |（乜,订| 2 ,在△ABC中,uuuABir r uuur ir r2m 2n，AC 2m 6n，112427. A . 2 uuu|OA|已知A.3 B . uuu,|OB| .3 ,OA?O B =0 , AOCD . 8uuur 30o ,设OC uuu uuu mOA nOB (m, nR),则D. 28.如图， 其中45°直角三角板的斜边与 所对的直角边重合.若 x , y 等于B x 3, y 1B. 345°直角三角板和 30°直角三角板拼在一起， 直角三角板的 30°角 uuur y DA , uu u DB 30° uuu r DC 则A. C. x 2, y . 3 二、填空题 1. 若向量 a , b 满足 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 答案 .7 设向量 答案 1 3,y 3 3,y 1 3 1,b 2且a 与b 的夹角为—, 3 a (1,2), (2,3)，若向量 a b 与向量c (4, 7)共线，则已知向量a 与b 的夹角为120°，且a b 4，那么 b (2a b)的值为答案 0 已知平面向量a (2,4) , b ( 1,2).答案 8,2b 的夹角为120 ,答案设向量 答案若向量 答案若向量 答案uuuAB60若 c a (a 则5a bb)b , 则|C|uu ur 2, ACuuu uur3, AB AC | J 19,则r r aba 与b 的夹角为60 , 1，则 a? a bCABa,b 满足2,(a b) a ，则向量a 与b 的夹角等于uuu UULT LUU LUT UJU9. O 为平面上定点，A, B, C 是平面上不共线的三若 (OB OC ) •OB OC 2OA)=0,贝U ABC 的形状是 __________________________ .等腰三角形答案 -2510.不共线的向量m^ , m 2的模都为2,若a3m i2m 2 , b 2mi 3m 2 ,则两向量a b 与a b 的夹角为 _________________ 90 ° 11 •定义一种运算 S a b ，在框图所表达的算法中揭示了这种运算“”的含义•那么，按照运算 “”的含义，计算 tan 15o tan300 tan300 tan 15o _________ 1 ___r r12、 已知向量 a (cos15o ,sin150), b ( sin 150, cos1S),贝y a b 的值为 ________ . 答案113、 已知 Rt △ ABC 的斜边BC=5 ,则 AB BC BC CA CA AB 的值等于y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中,uur r AB ir uuur r rj , AC 2i mj ,则实数 m=答案 —2或0三、解答题rr r r r r1、已知ia 4,|b| 3,(2a — 3b) (2a b) 61 ,r rr r(1 )求 a b 的值；求a 与b 的夹(3)求b 的值;r r r r 心解：(1)由(2a —3b) (2a b) 61 得4a r r 「2「2又由 k 4,|b| 3得 a 16, 9代入上式得64 4a b 2761 a br rr3b14.在直角坐标系xOy 中,i[j 分别是与x 轴,艸(13|fr!=4・得卜2・｛妨=』_虛讪一&r5 52’uuuruur uur(2, 4)，在向量OC 上是否存在点P ，使得PA PB ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
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x =P2(X2, V2),则<y = X] +Xx 2 1 +九 y 】+入y?设 P (x,y), P )(xi, yi), 高一数学复习——平面向量班级 _______ 姓名 ___________一、 复习要点1・向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的 结果是向量，两个向量数量积的结果是数屋。
每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符 号、坐标语言。
主要内容列表如下：匝要定理、公式(1)向疑共线定理：如果有一个实数几使b = Xa(a 6),那么忌与方是共线向量；反之，如果bHaQi 6)是共线向量，那么有且只有一个实数2,使为=加。
―> ―>(2)平面向量基本定理；如果ei ，e2是同一平而内的两个不共线向量，那么对于该平面内—> —► —► —► 任一向量a,有且只有一对数数入1,入2,满足a 二入iei +入2。
2。
-> ——―> —* —•两个向量平行:设 a = (xi, yi), b=(x2, y2),则 a 〃bo 方=2a <=> xiy 2-x 2yi=0 两个向量垂直：设 a =(x b yi), b 二(X2, y?),贝9 a 丄 b o a ・b = O oxiXz+yy 二0—> —> —> 1 —> 2 —>线段定比分点公式：设P,P = XPP 9/则OP 二—— 0£+ —— OR 1 + 2 1 + 2 (3) (4)二、例题讲解1> 平面向量a = (3, ,-4), = (2, x), c = (2, y),已知a //b , d 丄c,求 &、c 及A与c 夹角。
2、已知向量m = (cossin )^11 n =( V2 - sin 0,cos0), 兀,一_ 2(1)求| m + n I的最大值;(2)若|示+剂=出⑪，求sin2^的值.TT 3TT3、己知A、B、C 三点的他标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosa,sin a), ),2 2(1)^|AC|=|BC|,求角Q的值；“、卄r;. 2sin2 6Z + sin2(7(2)若AC BC = -l ,求---------------- 的值。
高一数学必修4知识点梳理：平面向量
2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ． 设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212． 若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如：AB 几何表示法 AB ,a；坐标表示法),(y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模长度,记作|AB |即向量的大小,记作｜a｜向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a＝0⇔｜a｜＝ 由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．注意与0的区别 ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b行任意的平移即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a=大小相等,方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==,则a+b =AB BC +=AC1a a a=+=+00；2向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量2 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时,用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=,但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： i )(a --=a； ii a +a -=a -+a =0 ； iii 若a 、b是互为相反向量,则a =b -,b =a -,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差,记作：)(b a b a-+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量a 、b有共同起点 4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下：Ⅰa a⋅=λλ；Ⅱ当0>λ时,λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时,λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时,0=a λ,方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ,使得b =a λ 6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=,其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:1向量的加法与减法是互逆运算2相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件3向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线即重合,而向量平行则包括共线重合的情况4向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+,由于a 与数对x,y 是一一对应的,因此把x,y 叫做向量a 的坐标,记作a =x,y,其中x 叫作a 在x 轴上的坐标,y 叫做在y 轴上的坐标1相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量2向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若()()1122,,,a x y b x y ==,则()1212,a b x x y y ±=±± (2)若()()2211,,,y x B y x A ,则()2121,AB x x y y =-- (3)若a =x,y,则λa =λx, λy(4)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1221//0a b x y x y ⇔-= (5)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥,则02121=⋅+⋅y y x x3,数与向量的乘积,向量的数量内积及其各运算的坐标表示和性质12(a b x x +=+AB BC AC +=12(a b x x -=-)(b a b a-+=- AB BA =-OB OA AB -=a a)()(λμμλ=12a b x x •=+三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积或内积 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：1结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； 2消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅3a b ⋅=0不能得到a =0或b =0 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==,则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ,作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ001800≤≤θ叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=222221212121y x y x y y x x +⋅++当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,θ=00,当且仅当a 与b 反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直,记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：1共线向量就是在同一条直线上的向量.2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点. 3与已知向量共线的单位向量是唯一的. 4四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =. 5若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形. 6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量. 7若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线. 8若ma mb =,则a b =. 9若ma na =,则m n =.10若a 与b 不共线,则a 与b 都不是零向量. 11若||||a b a b ⋅=⋅,则//a b . 12若||||a b a b +=-,则a b ⊥. 题型2.向量的加减运算1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += .2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= .3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD为与的和向量,且,AC a BD b ==,则AB = ,AD = .5.已知点C 在线段AB 上,且35AC AB =,则AC = BC ,AB = BC . 题型3.向量的数乘运算1.计算：13()2()a b a b +-+= 22(253)3(232)a b c a b c +---+-=2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-,则132a b -= .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b ,如下图,请做出向量132a b +和322a b -.a b题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC ∆中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC ，表示AD . 2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB =,(2,3)A ,则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ =--,(3,7)P ,则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a =-,(5,2)b =,求a b +,a b -,32a b -.5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等,求,x y 的值.6.已知(2,3)AB =,(,)BC m n =,(1,4)CD =-,则DA = .7.已知O 是坐标原点,(2,1),(4,8)A B --,且30AB BC +=,求OC 的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e --和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和2.已知(3,4)a =,能与a 构成基底的是A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55--D.4(1,)3--题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐标.2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求1a b ⋅,2()a a b ⋅+,31()2a b b -⋅,4(2)(3)a b a b -⋅+.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-,求1||,||a b ,2a b ⋅,3(2)a a b ⋅+, 4(2)(3)a b a b -⋅+.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b ==,12a b ⋅=,求a 与b 的夹角.2.已知(3,1),(23,2)a b ==-,求a 与b 的夹角.3.已知(1,0)A ,(0,1)B ,(2,5)C ,求cos BAC ∠. 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求1||a b +,2|23|a b -.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-,求1||,||a b ,5||a b +,61||2a b -.3.已知||1||2a b ==，,|32|3a b -=,求|3|a b +.题型12.求单位向量 与a 平行的单位向量：||a e a =± 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 .2.与1(1,)2m =-平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a =,(3,)b m =-,当m 为何值时,1//a b 2a b ⊥2.已知(1,2)a =,(3,2)b =-,1k 为何值时,向量ka b +与3a b -垂直 2k 为何值时,向量ka b +与3a b -平行3.已知a 是非零向量,a b a c ⋅=⋅,且b c ≠,求证：()a b c ⊥-.题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A -,(2,2)B ,(3,4)C ,求证：,,A B C 三点共线.2.设2(5),28,3()2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求证：A B D 、、三点共线. 3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A -,(8,1)B -,若点(21,2)C a a -+在直线AB 上,求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ,(3,4)A ,(1,2)B -,(1,1)C ,是否存在常数t ,使OA tOB OC +=成立题型15.判断多边形的形状1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ,(4,3)B ,(2,4)C ,(0,2)D ,证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A -,(6,3)B -,(0,5)C ,求证：ABC ∆是直角三角形.4.在平面直角坐标系内,(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a =,(2,1)b =,当k 为何值时,向量ka b -与3a b +平行2.已知(3,5)a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐标.3.已知a b 与同向,(1,2)b =,则10a b ⋅=,求a 的坐标.3.已知(1,2)a =,(3,1)b =,(5,4)c =,则c = a + b .4.已知(5,10)a =,(3,4)b =--,(5,0)c =,请将用向量,a b 表示向量c .5.已知(,3)a m =,(2,1)b =-,1若a 与b 的夹角为钝角,求m 的范围； 2若a 与b 的夹角为锐角,求m 的范围.6.已知(6,2)a =,(3,)b m =-,当m 为何值时,1a 与b 的夹角为钝角 2a 与b 的夹角为锐角7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A -,(3,4)B ,(2,1)D ,且//AB DC ,2AB CD =,求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ,(1,3)B -,(3,4)C ,求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30角,求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ,(0,0)B ,(,0)C c ,1若0AB AC ⋅=,求c 的值；2若5c =,求sin A 的值.备用1.已知||3,||4,||5a b a b ==+=,求||a b -和向量,a b 的夹角.2.已知x a b =+,2y a b =+,且||||1a b ==,a b ⊥,求,x y 的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b ==--,则(32)(25)a b a b +⋅-= .4.已知两向量(3,4),(2,1)a b ==-,求当a xb a b +-与垂直时的x 的值.5.已知两向量(1,3),(2,)a b λ==,a b 与的夹角θ为锐角,求λ的范围. 变式：若(,2),(3,5)a b λ==-,a b 与的夹角θ为钝角,求λ的取值范围. 选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=--,则c = A.1322a b -- B.1322a b -+ C.3122a b - D.3122a b -+ 2.排除法例：已知M 是ABC ∆的重心,则下列向量与AB 共线的是A.AM MB BC ++B.3AM AC +C.AB BC AC ++D.AM BM CM ++。
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2、数量积的几何意义：
B
b
a b a b cos
a
a b b a cos
A
O
| b | cos
a b b a
数量积a b等于a的长度a 与b在a的方向上的投影数量 b cos的乘积 .
3、数量积的物理意义：F
F cos
S
如果一个物体在力 F的作用下产生位移 s, 那么力F所做的功W 可用公式计算:
其实质就是向量的伸长或缩短！
坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
= (λ x , λ y)
平面向量 复习 非零向量平行（共线）的充要条件 向量表示： a∥b
a=λb （λБайду номын сангаасR且b≠0）
坐标表示： 设a = ( x1, y1 ) , b = ( x2, y2 )，则
例2
思考: 此题还有没有其它解法?
平面向量小 复习
n为何值时, 向量a=（n，1）与b=(4,n) 共线且方向相同?
答案：
n= 2 ?
思考: 何时 n=±2
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例3 分析 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。
要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
2
2
平面向量小 复习
已知向量a=（5，m）的长度是13，求m.
答案： m = ± 12
平面向量复习
1.向量的加法运算 三角形法则 AB+BC= AC
A
C
平行四边形法则
B
C
OA+OB= OC
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∴ λ= 5 ，μ=-12 2
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三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量b 与非零向量 a 共线充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）重要措施。
2、平面向量基本定理
假如 e1, e2 是同一个平面内两个不共线向量，
（2）函数 y cos(x ) 2图象通过怎样
平移，可以得到函数 y 3cos x图象？
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六、正弦定理及其变形公式
a b c 2R sin A sin B sin C
S ABC
1 bc sin 2
A
1 ca sin 2
B
1 2
ab sin C
a 2R sin A,b 2R sin B, c 2R sin C
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
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五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
（3）（a b） a b
2、平面向量数量积运算律
思索：你能将此 运算律用坐标表 达出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
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例1 判断如下命题及其逆命题真假：
1、若| a|= | b| ，则 a 与 b是共线向量； 2、若 a∥b ，则 a在 b方向上投影是 ；a 3、若 | a || b | 1 ，则 a b 1 ； 4、若a 0，则 0且a 0
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念①向量：既有大小又有方向的量。
几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。
向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，规定0平行于任何向量。
（与0的区别） ③单位向量｜a｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b⑤相等向量记为b a=。
大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量叫做a 与b的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=特殊情况：(1)BBabba +AABC C)2()3(向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”。
②向量减法： 同一个图中画出a b a b +-、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ。
二．【典例解析】题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向 (2)ba ==则 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则c a =；(7)若b a //，c b //，则c a// (8) b a =的充要条件是||||b a =且b a //；(9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ==,A练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律 例2 化简)()(BD AC CD AB ---=练习1.下列命题中正确的是 A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2.化简AC -BD +CD -AB 得 A ．AB B ．DA C ． D ．03．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0题型三: 结合图型考查向量加、减法例3在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34例4重心、垂心、外心性质练习: 1．如图，在ΔABC 中，D 、E 为边AB 的两个三等分点，CA →=3a ，CB → =2b ，求CD → ，CE → ． 2已知a b a b+-=求证a b ⊥3若O 为ABC ∆的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状为（ ）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.钝角三角形4．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB → 5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →－3OB →＋2OC →＝0，则|AB →||BC →|等于________．6．已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则( )A ．点P 在△ABC 外部B ．点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上ABDE7．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23 题型四: 三点共线问题例 4 设21,e e 是不共线的向量,已知向量2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=,若A,B,D 三点共线,求k 的值例5已知A 、B 、C 、P 为平面内四点， A 、B 、C 三点在一条直线上 PC → =mPA → +nPB →，求证： m+n=1．练习：1．已知：2121212 ,B),(3e e e +=-=+=，则下列关系一定成立的是（ ）A 、A ，B ，C 三点共线 B 、A ，B ，D 三点共线 C 、C ，A ，D 三点共线 D 、B ，C ，D 三点共线2．(原创题)设a ，b 是两个不共线的向量，若AB →＝2a ＋k b ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于________．第2讲 平面向量的基本定理与坐标表示 一．【要点精讲】1．平面向量的基本定理如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的_单位向量_ i 、j 作为基底a ，有且只有一对实数x 、y ，BC AOM D使得a xi yj =+…………○1，把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示与a 相等的向量的坐标也为,(y x 特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=特别提醒：设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示3．平面向量的坐标运算（1）若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++，a b -= 1212(,)x x y y --（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB = （3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ4．向量平行的充要条件的坐标表示：设a=(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b ≠aa ∥b (b≠)的充要条件是12210x y x y -=二．【典例解析】题型一. 利用一组基底表示平面内的任一向量[例1] 在△OAB 中，21,41==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .练习:1．若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( ) A ．1e 与—2e B ．31e 与22e C ．1e ＋2e 与1e —2e D ．1e 与21e 2．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.题型二: 向量加、减、数乘的坐标运算 例 3 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且3=,2=,求点M 、N 的坐标及向量的坐标.练习:1. (2008年高考辽宁卷)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12) C ．(3,2) D ．(1,3)2．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =MN , 求P 点的坐标；3．若M(3, -2) N(-5, -1)，点P 在MN 的延长线上，且 12MP MN =,求P 点的坐标；4.(2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线5．在三角形ABC 中，已知A (2,3)，B (8，－4)，点G (2，－1)在中线AD 上，且AG →＝2GD →， 则点C 的坐标是( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a 、4b －2c 、2(a －c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)7．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( ) A ．2 B ．1 C.45 D.53 题型三: 平行、共线问题例4已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b ，若a ∥b ，则锐角θ等于（ ）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒例5．（2009北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-， 如果//c d 那么( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向练习：1．若向量a=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x2．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及AB t OA OP +=，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。
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高一平面向量复习专题
、选择题
uu un r r
2.设a D ，b 0分别是与a,b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（
）
（3）若不平行的两个非零向量
a,b ，满足|a| |b|，则（a b ） （a b ） 0
_ — r r — -
（4 ）若a 与b 平行，则adp |a| |b|其中真命题的个数是（
）
o
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
4 .下列命题中正确的是（
）
A .若 a b = 0 ,贝V a = 0 或 b = 0
B .若 a b = 0 ,贝 U a // b
C .若a // b ，则a 在b 上的投影为|a|
D .若a 丄b ，贝
U
a b = (a b)2
r
r
r r
5 .已知平面向量a
(3,1) ,b (x, 3)，且
a b ，则
x (
)
A .
3 B .
1
C . 1
D . 3
6.已知向量a （cos ,sin ),向量b ( 3,
1)则 12a b|的最大值，最小值分别是（
)
A . 4 2,0
B . 4,4.2
C . 16,0
D . 4,0
7 .下列命题中正确的是(
)
uu uun UJU A . OA OB AB r mu r
C . 0 AB 0
3 .已知卜列命题中：
r r
(1 )若 k R ，且 kb 0 ,则k r r
r (2 )若 a b
0，则 a r r r
0或b 0
r
o uuu uur
B . AB BA 0
uuu uuu uuu uu
u D . AB BC CD AD
uuur 1 .化简AC uuu uuu uur BD CD AB 得(
r --
D
Be
c
函
B
出
UU UD A . a 0 b ° un ur
a 。
b ° 1
uu ur C . |a °| |P D I 2 uu ur
D
. I a 。
b 。
| 2
UUIT
8.设点A(2,0) , B(4,2),若点P 在直线AB 上，且AB uur
A P ,则点P 的坐标为(
)
A . (3,1)
B . (1, 1)
C . (3,1)或(1, 1)
D .无数多个
9.右 平面向量b 与向量a
(1, 2)的夹角是180o ，且|b| 3 5，则b (
A . ( 3,6)
B . (3, 6)
C . (6, 3)
D . ( 6,3)
10 .向量a
(2,3) , b ( 1,2)，若 ma b 与 a 2b 平行，则 m 等于(
A .
2 B . 2
D .
1
r r r r r
r (a 2b) a , (b 2a)
b
，则a 与b 的夹角是( A .—
B
6
r
3 .
12 .设 a (c,sin
2
2
5
C .——
D .——
3 6
1 r 〃
(cos ,—)，且all b ，则锐角
为( )
3
13 .若三点 A(2,3), B(3,a),C(4,b)共线，则有(
)
A . a 3,b 5
B . a b 1 0
C . 2a b 3
D . a 2b 0
14 .设 0
2 ，已知两个向量OR
cos , sin , OP 2
2 sin ,2 cos
则向量RP 2长度的最大值是( )
A. 2
B. 3
C. 3 2 D2 3 15 .下列命题正确的是(
)
A .单位向量都相等
B .若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量(
)
、
-
- -
r r
C . | a b | | a b |，则 a b 0
D .若a 。
与b 。
是单位向量，则a 。
b 。
1
r
| r r
16 .已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为
600，那么a 3b (
)
7 B . 10 C . 13 D . 4
11 •若a,b 是非零向量且满足
r b
3 ,
、填空题
I .若 OA = (2,8) , OB = ( 7,2)，则-AB =
3 r r r
_
r r -
2. 平面向量a,b 中，若a (4, 3), b
=1，且a b 5，则向量b = _________
3. 若間3,|b| 2，且a 与b 的夹角为60°，则* b | ______
4. 把平面上一切单位向量归结到共同的始点，
那么这些向量的终点所构成的图形是 __________
5 .已知a (2,1)与b (1,2)，要使|a tb|最小，则实数t 的值为 ___________________ 6. 若| a | 1,|b| 2,c a b ，且c a ，则向量a 与b 的夹角为 _____________________
7. 已知向量a (1,2) , b ( 2,3) , c (4,1)，若用a 和b 表示c ,则c = ___________________
r r r - 0 r r r r
8. 若a 1, b 2 , a 与b 的夹角为60 ,若(3a 5b) (ma b)，则m 的值为 _______________________
|ULU 9. 若菱形ABCD 的边长为2，贝U AB
10 .若a = (2,3) , b = ( 4,7)，则a 在b 上的投影为 ____________ II .已知向量 a (cos ,sin )，向量b
1)，则12a b|的最大值是 ____________
12 .若 A(1,2),B(2,3),C( 2,5)，试判断则△ ABC 的形状 ____________
r r
一
13 .若a (2, 2)，则与a 垂直的单位向量的坐标为 _______________
14 .若向量 |；| 1,|b| 2,|； b| 2,则 |； b| ____________
17 .已知向量a , b 满足a 1,b 4,且a b 2 ,则a 与b 的夹角为()
18 .若平面向量 b 与向量a
(2,1)平行，且 |b| 25，则 b () A . (4,2)
B . ( 4,
2) C . (6, 3) D . (4,2)或(4, 2)
UJU UUUTi CB CD
-- r r r r -*
15 .平面向量a, b中，已知a (4, 3), b 1,且a b 5，则向量b _________________
三、解答题
uuu r
如图，平行四边形 ABCD 中，E,F 分别是BC,DC 的中点，G 为交点，若AB = a ,
一..r r r ,一： uuu uuu AD = b ，试以a , b 为基底表示 DE 、BF 、CG .
a (1,2),
b (2,1)夹角相等的单位向量
c 的坐标.
设非零向量 a,b, c, d ，满足d (a c)b (a b)c ,求证：a d 7 .已知 a (cos ,sin ), b (cos ,sin )，其中 0
r
r
已知向量a 与b 的夹角为60°, |b | 4, (a 2b) (a 3b) 72 ,求向量a 的模。
已知点B(2, 1)，且原点O 分AB 的比为 3，又b (1,3), 求b 在AB 上的投影。
已知a (1,2), b (3,2),当k 为何值时,
(1) ka 3b 垂直?
(2) ka
3 b 平行？平行时它们是同向还是反向?
求与向量
(i)求证：a b与a b互相垂直；
r r
⑵若ka b与a kb的长度相等，求的值(k为非零的常数).
r
8 .已知a,b,c是三个向量，试判断下列各命题的真假.
r r rr r r r r
(1 )若a b a c 且a 0，则b c
r r r (2)向量a在b的方向上的投影是一模等于|a cos (是a与b的夹角)，方向与a在b 相同或相反的一个向量.
r r- r 1 73 一一
9 •平面向量a (、3, 1),b (―,)，若存在不同时为0的实数k和t，满足条件：
2 2
r r 2 r r r r r r
x a (t23)b , y ka tb，且x y，试求函数关系式k f(t)。
10 .如图，在直角厶ABC中，已知BC a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问
PQ与BC的夹角取何值时BP CQ的值最大？并求出这个最大值。