数值分析-针对不连续函数的插值逼近
数学中的函数逼近与插值方法
数学中的函数逼近与插值方法函数逼近和插值方法是数学中重要的概念与技术。
在数学与应用领域，我们经常会遇到需要近似计算或者重建一个函数的情况。
函数逼近和插值方法提供了一种有效的手段，能够用一个简单的函数或者曲线来近似代替原函数，并在一定程度上保留原函数的性质与结构。
1. 函数逼近在函数逼近中，我们需要给出一个近似函数，使其能够在原函数的一定范围内进行准确的近似。
这一方法常用于数据分析和拟合，以及在一些数学问题中的近似求解。
常见的函数逼近方法包括最小二乘逼近、Chebyshev逼近和插值型逼近等。
最小二乘逼近是一种通过使残差平方和最小化来确定近似函数的方法。
它的基本思想是将原函数表示为一个线性组合，通过求解线性方程组的最优解来确定系数。
Chebyshev逼近使用Chebyshev多项式来逼近函数。
这种方法的优点是能够在给定的逼近度下，取得最均匀的最小误差。
插值型逼近则是通过在一些数据点上确定一个插值多项式，然后用该多项式来逼近原函数。
这种方法的优点是能够在给定的数据点上实现完全的逼近。
2. 插值方法插值方法是一种通过给定的数据点来确定一个连续函数的方法。
在插值中，我们希望找到一个函数，使其通过给定的数据点，并且能够在这些点之间进行连续的插值。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
线性插值是一种简单的插值方法，它假设插值函数在两个给定数据点之间是线性的。
通过连接两个邻近点，我们可以得到一个线性函数来近似整个区间上的函数。
拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来插值的方法。
它的基本思想是通过在每个数据点上构造一个插值多项式，然后将这些多项式进行线性组合来得到插值函数。
样条插值是一种在给定数据点上通过拟合一系列分段低次多项式来插值的方法。
这样可以在各个小区间上获得更好的逼近效果。
总结起来，函数逼近与插值方法是数学中重要且常用的技术。
它们在数学建模、数据分析以及计算数值方法中都起到了关键的作用。
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值数学中的函数逼近与插值是一门重要的数学分支，通过近似求解函数与数据之间的关系，可以快速计算和预测未知的数值。
本文将介绍函数逼近与插值的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的价值和意义。
一、函数逼近函数逼近是指通过一系列已知的数据点来建立一个近似的函数模型，以便于计算和预测未知的数值。
在实际应用中，我们经常需要使用函数逼近来处理大量的数据，从而节省计算和存储资源。
1.1 最小二乘法最小二乘法是函数逼近的常用方法，它通过最小化实际观测数据与模型预测值之间的误差平方和，来确定函数逼近的参数。
最小二乘法可以应用于线性和非线性函数逼近，是一种广泛使用的数学工具。
1.2 插值法插值法是函数逼近的一种常见技术，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值法可以根据数据点的特点选择不同的插值多项式，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法在图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
二、函数插值函数插值是指通过已知的数据点来构建一个连续的函数模型，以便于在任意位置计算函数值。
函数插值在数学、计算机科学和工程领域具有重要的应用价值。
2.1 插值多项式插值多项式是函数插值的一种常用方法，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值多项式可以使用拉格朗日插值、牛顿插值等方法进行构造，这些方法在实际应用中具有较好的效果。
2.2 样条插值样条插值是一种更加精确和平滑的插值方法，它通过已知的数据点构建一系列分段连续的多项式函数，以逼近未知的函数模型。
样条插值可以解决插值多项式在几点处不光滑的问题，常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值等。
三、函数逼近与插值在实际应用中的意义函数逼近与插值在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，对于大数据处理、数值计算和机器学习等领域具有重要的作用和意义。
3.1 数据拟合与预测函数逼近与插值可以通过已知的数据点建立一个模型，从而对未知的数据进行拟合和预测。
逼近方法和插值方法的比较
逼近方法和插值方法的比较逼近方法和插值方法是数值分析中常用的两种数据处理技术，它们可以用于解决各种数学问题，例如函数逼近、信号处理、图像处理等。
虽然这两种方法都可以用于拟合数据，但是它们的原理与应用有很大的不同。
在本文中，我们将对逼近方法和插值方法进行比较，并分析它们的优缺点和应用场景。
一、逼近方法逼近方法是一种利用数学模型对实际数据进行拟合的方法。
与插值方法不同，逼近方法不要求通过数据点来直接计算出函数值，而是要求在整个拟合域内，最小化实际数据与拟合函数之间的误差。
因此，在逼近方法中，拟合函数不需要通过所有数据点，只需要通过一部分数据点，从而能够更好地逼近真实的函数。
逼近方法中常用的模型包括多项式模型、三角函数模型、指数模型、小波模型等。
逼近方法相较于插值方法的优点在于，它对数据中的噪声具有一定的容忍度。
由于在逼近过程中，并不要求通过所有数据点，因此可以为一些离群点和噪声点留下一定的空间。
而插值方法则要求通过所有数据点，一旦数据出现噪声点或者离群点，就会对插值结果产生极大的影响。
逼近方法缺点在于，由于逼近过程是基于模型的，因此需要先选定一种适合于实际数据的模型，否则拟合结果可能无法正确表达数据的真实本质。
逼近方法适用于数据比较平滑的情况，例如时间序列数据、声音处理等。
通过选取合适的模型，逼近方法可以更好地保留数据的特征，同时对于部分离群点的情况，也可以提供一定程度的容忍度。
二、插值方法插值方法是一种通过已知数据点，在数据点之间进行插值计算出未知数据点的数值的方法。
插值方法要求通过每个数据点，计算出它们之间的函数值，从而构建出全局的函数。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法、三次样条插值法等。
插值方法的优点在于，它可以精确地通过所有数据来计算未知数据值。
但是，插值方法的缺点在于，它对于数据的噪声敏感，并且过度拟合的可能性会很大。
当数据点过多时，插值方法会使插值函数波动较大，从而无法反映数据的真实本质。
函数逼近与插值
函数逼近与插值函数逼近和插值是数学的两个重要分支，在工程、科学和金融等领域都有广泛的应用。
本文将从数学角度介绍这两个概念，并讨论它们的优缺点和应用领域。
函数逼近函数逼近是指用一个已知的函数来近似另一个函数的过程。
通常情况下，我们会选择一组基函数，将待逼近函数表示为基函数的线性组合形式，然后通过确定基函数的系数，使得逼近函数与原函数的误差最小。
常用的基函数包括多项式、三角函数、指数函数等，其中最为广泛应用的是多项式基函数。
多项式函数的优点在于易于计算和控制，同时由于其具有良好的局部逼近性，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
以多项式逼近为例，设待逼近函数为$f(x)$，逼近函数为$p(x)$，则有：$$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$其中，$a_0,a_1,a_2,...,a_n$为待求系数。
我们可以通过最小二乘法来确定这些系数，即$$\min\limits_{a_0,a_1,...,a_n}\sum\limits_{i=1}^n(f(x_i)-p(x_i))^2$$这个问题可以通过求解线性方程组的方式得到解析解，也可以通过牛顿迭代等数值优化算法得到近似解。
在实际应用中，我们通常会选择适当的基函数来进行逼近，例如在图像处理中，一般采用的是小波基函数，而在金融工程中，常用的则是Gaussian基函数。
不同的基函数对逼近结果的精确度和复杂度有着不同的影响，因此需要根据具体的需求来选择适当的基函数。
函数插值函数插值是指通过已知的样本点来求出一条经过这些点的曲线的过程。
具体来说，就是找到一个函数$p(x)$，使得$p(x_i)=f(x_i)$，其中$x_i$为已知的样本点。
该函数$p(x)$称为插值函数。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。
其中，拉格朗日插值最为简单直观，其基本思想是假设插值函数为一个多项式，并通过已知的样本点来确定该多项式的系数。
例如，在二次插值中，设插值函数为$p(x)=ax^2+bx+c$，则有$p(x_1)=f(x_1),p(x_2)=f(x_2),p(x_3)=f(x_3)$。
数值分析插值法
数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。
插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。
插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。
假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。
b.构造插值多项式L(x)。
c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。
2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。
差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。
最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。
牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。
b.计算差商表的其他列，直至最后一列。
c.根据差商表构造插值多项式N(x)。
数值分析 张铁版 第6章 插值与逼近
(k 0,1, , n)
(6.5)
(6.6)
于是，所求n次插值多项式 Ln ( x) Ln ( x)称为n次LagrangBiblioteka 插值多项式. y l ( x)
k 0 k k
当n=1和n=2时，即为线性插值和抛物插值.
引入记号 n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) (6.7) n 1 ( xk ) 则 lk ( x) ,k 0,1, , n 注意：基函数只与节 ( x xk )n 1 ( xk ) 点有关，而与具体的 n n 1 ( x) 被插值函数无关 于是 Ln ( x) yk
定理6.1 给定n 1个互异节点x0 , x1 , xn上的函数值y0 , y1 , yn , 则满足插值条件(6.2)的n次插值多项式Pn ( x)是存在且唯一的.
证：将插值条件P( xi ) yi， 0,1,, n) 分别代入 插值多项式(6.3) (i
a0 a1 x0 a2 x0 2 an x0 n y0 1 x0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 1 x1 a a x a x 2 a x n y 1 xn 2 n n n n 0 1 n
k 0 n
0, i k lk ( xi ) 1, i k
i, k 0,1, , n
(6.4)
由于x0 , , xk 1 , xk 1 , , xn是lk ( x)的零点 所以可设 lk ( x) Ak ( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn )
( x xk )( x xk 1 ) 所以 lk 1 ( x) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
数值分析第五章插值法
数值分析第五章插值法插值法是数值分析中常用的一种数值逼近方法，它的目的是通过已知数据点之间的插值多项式来逼近未知数据点的函数值。
插值法可以在信号处理、图像处理、计算机图形学等领域中广泛应用。
在插值法中，最常用的方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是一种利用拉格朗日插值多项式来逼近函数的方法。
对于n个已知数据点(xi, yi)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = ∑(yi * li(x))其中，li(x)表示拉格朗日基函数，定义为：li(x) = ∏[(x - xj)/(xi - xj)] (j≠i)可以证明，在给定的n个数据点上，拉格朗日插值多项式L(x)满足：L(xi) = yi牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来逼近函数。
对于n个已知数据点(xi, yi)，差商可以定义为：f[xi] = yif[xi, xi+1] = (f[xi+1] - f[xi]) / (xi+1 - xi)f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)通过差商的递归定义，可以得到牛顿插值多项式N(x)的表达式，其中：N(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...与拉格朗日插值法类似，牛顿插值多项式N(x)也满足：N(xi) = yi这两种插值方法都有自己的优点和缺点。
拉格朗日插值法简单易懂，计算量小，但当数据点较多时，多项式的次数会很高，容易出现龙格现象。
而牛顿插值法可以通过求差商一次次递推得到插值多项式，计算效率较高，且具备局部逼近性，不易出现龙格现象。
除了拉格朗日插值法和牛顿插值法，还有其他插值方法，如分段线性插值、样条插值等。
分段线性插值是利用线性多项式逼近函数，将数据点之间的区间分为若干段，每段内使用一条线性多项式进行插值。
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问题二 稳定性分析
问题三 算法分析
可见，随着插值点个数n的增 加，插值函数对原函数的误差 逐渐减小收敛至0，算法是稳 定且收敛的。
其他插值方法
————切比雪夫节点与lagrange插值结合
切比雪夫结点插值
在此我们选用切比雪夫插值节点 依然选用同样的Lagrange插值公式
切比雪夫结点插值
n＝3插值
其他插值方法
——Berrut重心权值插值
Berrut重心权值插值
插值公式：
Berrut重心权值插值结果
n＝10插值
n=20插值
Berrut重心权值插值结果
可见，重心权值插值方法可 以有效避免龙格现象，且随 着n的增加，插值函数对原 函数的拟合度越来越好。但 由于Berrut插值函数在插值 点附近函数值不存在，所以 函数不连续，随着n的增加， 插值函数出现了较多的不连 续点。
函数插值与逼近的研究
综合利用Lagrange插值、样条插值、重心权值插值逼近不连续函数
问题一
利用分段插值做出原函数图像如下：
可知x＝5为函数不连续点
问题一 Lagrange插值
在这里，我们先选取拉格朗日插值
xi = (i − 1)h + a, yi = f (xi), i = 1, ...,N, h =(b − a)/(N − 1)
误差分析
切比雪夫节点插值
n＝5插值
n=7插值
切比雪夫节点插值
n＝9插值
n=11插值
切比雪夫节点插值 结果分析
n=5、7、11时插值函数误差
由插值结果可知，切比雪夫节点插值有效避免了插值函数在插 值区间端点附近的龙格现象。除在函数不连续点x=5处误差较大 外，算法在其他各点均逐渐收敛。但由于是n次多项式插值，在 x>5处函数波动较大，不能对函数进行很好的逼近。
误差分析
问题二 插值结果
n＝5插值
误差分析
问题二 插值结果
n＝10插值
误差分析
Байду номын сангаас
问题二 收敛性分析
逐步将插值点加细，利用matlab分析得到的不同的插值多项式 与原函数的误差如下：
可见：随着n的增加，在插值区间端点附近误差增大，当n→∞ 时，pn(x)不收敛于f(x)
问题二 稳定性分析
可见，随n的增加，Pn(1)(x)的值超出1很多，尤其在我们插值的 区域的两端附近，舍入误差有显著的上升 他的一个表现就是，在图上，我们可以观察到在插值区间的两 端，有着误差明显增大的情况出现，也就是我们所说的龙格现 象 因此，我们认为，此插值方法不具有数值稳定性
问题二 插值结果
n＝3插值
Pn(x)一阶导数的图像如下：
问题二 稳定性分析
由上图的结果可知，在x趋于10的附近，导函数的值远远大于1， 函数会将x的舍入误差很大倍数的放大 同时我们也可以观察到，插值函数相比较原函数，x趋于0（左 端）的误差没有x趋于10（右端）明显，龙格现象主要在右端产 生，这同时也印证了我们在第一问分析稳定性时候的结论，过 大的舍入误差导致了龙格现象的产生
最大误差与插值点数量的关系(1024量级）
可见：随着n的增加，在插值区间端点附近误差增大，当n→∞ 时，pn(x)不收敛于f(x)
问题一 稳定性分析
问题一 稳定性分析
Pn(x)一阶导数的图像如下：
n＝3
n＝5
问题一 稳定性分析
Pn(x)一阶导数的图像如下：
n＝10
n＝15
问题一 稳定性分析
问题三 插值结果
n＝3插值
n=4插值
问题三 插值结果
n＝6插值
n=10插值
问题三 插值结果
n＝20插值
n=30插值
问题三 结果分析
可见，随着n的增加，插值函 数对原函数的拟合度越来越好。 在0<x<5的部分，由于原函数 即为二次函数，分段二次多项 式插值对原函数拟合度较高。 在x>5的部分，分段插值有效 避免了其他插值方法带来的龙 格现象，拟合较好。 n=4插值
n=40时插值结果
谢谢！
问题一 Lagrange插值
n＝3插值
误差分析
问题一 Lagrange插值
n＝5插值
n=10插值
问题一 Lagrange插值
n＝15插值
n=15误差
问题一 收敛性分析
逐步将插值点加细，利用matlab分析得到的不同的Lagrange 插值多项式与原函数的误差如下：
平均误差与插值点数量的关系(1023量级)