西南大学《实变函数论》网上作业及参考答案

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实变函数论答案范文

实变函数论答案范文1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，且f'(x)>0，证明f(x)在区间[a,b]上严格单调递增。

答案：根据导数定义可知，f'(x)>0意味着对任意的x1<x2，有f(x2)-f(x1)>0。

由此可得f(x)在[a,b]上严格单调递增。

2.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，求证存在c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。

答案：根据拉格朗日中值定理，存在c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。

3. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内有n阶导数，证明存在ξ∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = (b - a)f'(\(\xi\))/n。

答案：根据柯西中值定理，存在ξ∈(a, b)，使得f'(ξ) = [f(b)- f(a)] / (b - a)。

再次应用柯西中值定理，存在η∈(a, b)，使得f''(η) = [f'(ξ) - f'(a)] / (ξ - a)。

再继续应用n次柯西中值定理，最后得到存在ξ∈(a, b)，使得f(b) - f(a) = [f'(\(\xi\))/n!](b - a)^n。

4.设函数f(x)在区间[a,b]上有n阶导数，且f(a)=f'(a)=…=f(n-1)(a)=0，证明存在ξ∈(a,b)，使得f(b)=f^(n)(ξ)(b-a)^n/n。

答案：根据拉格朗日中值定理，对于j∈[1, n-1]，存在xj∈(a, b)，使得f(j)(xj) = f(j-1)(ξ)。

现在我们来考虑f(b) = f(n)(ξ)，显然存在ξ∈(a, b)使得f(n-1)(x) = 0，带入拉格朗日中值定理的公式即可证明。

5.设函数f(x)在区间[a,b]上连续且非零，证明对任意的ε>0，存在ξ∈(a,b)，使得，f(ξ)，>ε。

第三版实变函数论课后答案

i 1
( Ei (
m j 1
Fj )c ) ( Ek (
m j 1
Fj ) c ) ，（i k ）
aij ci d j ， 1 i n,1 j m
则易知
iE
(
m i 1
El )c ) ，（ j k）
i 1
n
2．证明当 f ( x) 既是 E1 上又是 E2 上的非负可测函数时， f ( x) 也是 E1 E2 上的非负可测函数证明：显然 f ( x) 0 于 E1 ，且 f ( x) 0 于 E2 表明 f ( x) 0 于 E1 E2 又
由 P64Th5
m( E ) lim mAk ，而 mE ，则 m( E )
k
故 0 ， k0 使 0 m( E ) mAk0 ，

2
，而 Ak0 E 故 m( E \ Ak0 )

2
a R1
由 E0 ， Ak0 可测，闭集 F1 Ak0 ， m( Ak0 \ F1 )

，闭集 F0 E0 使
E1 E2 x | f ( x) a E1 x | f ( x) a E2 x | f ( x) a

证毕.

8
m( E \ Ak0 ) m( Ak0 \ F1 )

8

2

8

4

2

E
上几乎处处有限， mE 0 . 由 f ( x) 可测于 E 上知，
E0 E x | f ( x) 0 E x | f ( x) 0 是可测集（P103Th2,P64Th4 可测集

实变函数参考答案.docx

依然是旧版书的题号19.证明：若E为有界集，根据第15题则存在E中的闭集F使得mF〉O,于是F为有界闭集。

假设Vx w 氏〉0,s"i（EnO（x,氏））=0 ,就有F U U0（X,Q），根据Borel 有XE F限覆盖定理知存在P，使得Fc（j0（x;,^ ）,从而Z=1p P加F =加（尸门［^0（兀，心丿）<工加（£门0（兀，/心））=0，矛盾，故假设不成立，即需证结z=l i=\论成立。

co oo若E为无界集，设B k =O（,0,k）,k=l,2,...,则E = E^R n =En（|J5J = °k=\ k=l由于协E〉0,于是必然存在k,使得m（EC\B k）>Q,而Eg为有界集，由上即知3x e E A , s.t.\/3 > 0, m（（E A B,） A 0（x, ^）） > 0 ,故而对E 而言，相应结论亦成立。

注：此题当然可以不使用Borel有限覆盖定理而得到证明，但作为替代，我们需要求助于习题一的24题（旧版书），此时关于E是否有界的讨论就可以省掉。

在此，我们看到习题一的24题（旧版书）的好处，它能将不可数覆盖转化为至多可数覆盖，从而可以运用（外）测度的相关运算性质。

另外，课本上“提示：利用闭集套定理”，那样做也是可以的，但是感觉繁琐了些，就不在此写出了。

附：对《实变函数参考答案（3）》的补充（一）上次的7.题有个位置有点问题：应该将||处的九4改为m{B - A）“7证明：若mA =+00 ,则m(A U B) + m(A A B) = mA + mB两端皆是+ 8,等式自然成立。

若mA < +8 ,则加(4 U 5) = mA + m(B - A),mB = m(A Cl B) + m(B - A),于是m{A U B) + m{A Pl B) = mA + m(B -A) + mB - m(B - A) = mA + mB ,等式亦成立。

【西南●最新版】[0195]《实变函数论》网上作业及课程考试复习资料(有答案)

[0195]《实变函数论》第一次作业[单选题]1.开集减去闭集是（）A:A.开集B:B.闭集C:C.既不是开集也不是闭集参考答案：A[单选题]2.闭集减去开集是（）A:开集B:闭集C:既不是开集也不是闭集参考答案：B[单选题]3.可数多个开集的交是（）A:开集B:闭集C:可测集参考答案：C[单选题]4.可数多个闭集的并是（）A:开集B:闭集C:可测集参考答案：C[单选题]6.可数集与有限集的并是（）A:有界集B:可数集C:闭集参考答案：B[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。

参考答案：正确[单选题]8.可数多个有限集的并一定是（）A:可数集B:有限集C:以上都不对参考答案：C[单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集B:闭集C:可数集参考答案：C[单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是A:开集B:闭集C:有界集参考答案：A[单选题]10.波雷尔集是（）A:开集B:闭集C:可测集参考答案：C[判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。

参考答案：正确[单选题]1.开集减去闭集是（）。

A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集参考答案：A[单选题]5.可数多个开集的并是（）A:开集B:闭集C:可数集参考答案：A[判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。

参考答案：错误[判断题]6.闭集一定是可测集合。

参考答案：正确[判断题]10.开集一定是可测集合。

参考答案：正确[判断题]4.连续函数一定是可测函数。

参考答案：错误[判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。

参考答案：正确[判断题]2.有界集合的测度一定是实数。

参考答案：正确[判断题]1.可数集合是零测集参考答案：正确[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。

参考答案：错误[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。

参考答案：错误第三次作业[单选题]5.设f(x)为[0，2]上如下定义的函数：当x是[0，2]的有理数时，f(x)=sinx,当x是[0，2]的无理数时，f(x)=x,那么f(x)在[0，2]上的勒贝格积分是（）A:2B:1-cos2C:0参考答案：A[单选题]4.设f(x)是可积函数，g(x)是不可积函数，则f(x)+|g(x)|是（）A:可积函数B:不可积函数C:有界函数参考答案：B[单选题]3.有界可测集上的勒贝格可积函数一定是（）A:可测函数B:连续函数C:简单函数参考答案：A[单选题]2.函数列依测度收敛是函数列几乎处处收敛的（）A:必要条件B:充分条件C:无关条件参考答案：C[单选题]1.设f(x)是定义在[a,b]上的可测函数，则f(x)是（）A:连续函数B:简单函数C:一列简单函数的极限参考答案：C[判断题]10.定义在区间上的单调函数是可积函数。

实变函数试题库参考答案 (2)

《实变函数》试题题库参考答案一、选择题1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、C8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空题1、n 2 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、{x:对于任意的I ∈α,有αA x ∈}；8、{x:存在I ∈α,使得αA x ∈}；9、ααA C s I∈⋃；10、ααA C s I ∈⋂；11、n kn k A ∞=∞=⋃⋂1；12、n kn k A ∞=∞=⋂⋃1；13、211)(∑=nk k x ；14、|})()({|sup ],[t y t x b a x -∈；15、2112})({∑∞=-k k k y x ；16、21222211})(){(y x y x -+-；17、21233222211})()(){(y x y x y x -+-+-；18、21244233222211})()()(){(y x y x y x y x ++-+-+-；19、}1:),{(22≤+=y x y x E ；20、}1:),,{(222≤++z y x z y x ；21、}1:),{(22=+y x y x ； 22、}1:),{(22≤+y x y x ；23、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 24、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 25、2；26、0；27、1；28、)},({inf ,y x d By A x ∈∈；29、)},({sup ,y x d Ay A x ∈∈；30、1；31、∑∞=1||infi i I ；32、n n mS ∞→lim ；33、)(a f E >可测；34、0>∀σ有 ∞=<1i i I E ；35、C B D A ⊂⊂⊂；36、||x ；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、)(*||E I m I --；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、 ∞=1i i G （i G 开）；45、推广；46、测度；47、)(*)(**CE T m E T m T m +=；48、 ∞=1n n F ，（n F 闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、n n mS ∞→lim ；52、零测集； 53、可测函数；54、依测度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判断题 1、( √ )理由: 集合具有无序性 2、( × )理由: 举一反例, 比如: 取A={1}, B={2} 3、（ √ ）理由: 空集Φ是任意集合的子集. 4、（ × ）理由:符号⊂表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( × )理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ6、( × )理由: Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是07、( √ )理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点8、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、( √ )理由: 有内点的定义可得.10、( √ )理由: 有内点的定义可得.11、( × )理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.12、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E13、（×）理由: 因有若]1,0[]1,0)([-可测⊂E，E不可测，而EE14、（√）理由: 因)eaggf=>=≠E>f()(E()()gg(agaff>E==≠E>((())()f))g)(g((a两可测集的并可测。

实变函数参考答案

习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。

四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。

2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。

同理可证第2个集合等式。

3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。

当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。

当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。

4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。

《实变函数》习题库参考答案

《实变函数》习题库参考答案《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ?),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。

满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-?--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ?知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由+∞<="" 4、(="" b="" m="" ma="" p="" √="" 。

从而移项可得结论。

="" 知，+∞<-+∞理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数，从而再其和集上也是可测函数。

5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。

6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。

[法二]:可建立一个映射==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合,1,,31,21,1,0n 到集合 ,1,,31,21,1n 的一一映射。

7、( √ )理由:由B A ?知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(，故mA mA A B mmB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。

9、( √ )理由:由于E E ?Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。

实变函数论课后答案1

实变函数论课后答案第五章1第无章第一节习题1.试就[0,1]上的D i r i c h le 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1]()D x dx ⎰和[0,1]()R x dx ⎰解:回忆11()0\x Q D x x R Q∈⎧=⎨∈⎩即()()Q D x x χ= (Q 为1R 上全体有理数之集合)回忆: ()E x χ可测E ⇔为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_()()()EEf x dx f x dx f x =⇔⎰⎰为E 上的可测函数显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积由P134Th4(2)知[0,1][0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10ccQ Q Q QQQ Q x dx x dx x dx dx dx χχχ⋂⋂⋂⋂=+=+⎰⎰⎰⎰⎰1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =⋅⋂+⋅⋂=⋅+⋅= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R11,()0[0,1]n nx m n m R x x x Q⎧=⎪⎪==⎨⎪∈-⎪⎩和无大于的公因子1在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0.R x a e =于[0,1]上,故()R x 可测(P104定理3),且[0,1]()R x dx ⎰[0,1]()()QQR x dx R x dx -=+⎰⎰而0()10QQR x dx dx mQ ≤≤==⎰⎰(Q 可数,故*0m Q =)故[0,1][0,1][0,1]()()00QQR x dx R x dx dx --===⎰⎰⎰2.证明定理1(iii)中的第一式证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()EEEf x dx f x dxg x dx --≥+⎰⎰⎰下面证明之: 0ε∀>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1()()2D Es f f x dx ε->-⎰,2()()2D Es g g x dx ε->-⎰此处1()D s f ,2()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时12(()())()DD D D D f x g x dx sf g s f s g s f s g -+≥+≥+≥+⎰()()()()22EEEEf x dxg x dx f x dx g x dx εεε----≥-+-=+-⎰⎰⎰⎰(用到下确界的性质和P125引理1)由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()EEf xg x dx f x dx g x dx ---+≥+⎰⎰⎰3.补作定理5中()Ef x dx =+∞⎰的情形的详细证明证明:令{}|||||m E E x x m =≤,当()Ef x dx =+∞⎰时,()lim ()mm EE f x dx f x dx →∞+∞==⎰⎰0M ∀>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,2()lim [()]mmk k E E M f x dx f x dx →∞<=⎰⎰则存在k 使[()][lim ()]lim[()]mmmk n k n k n n E E E M f x dx f x dx f x dx →∞→∞<==⎰⎰⎰lim [()]lim()lim ()mmn k n n n n n E E Ef x dx f x dx f x dx →∞→∞→∞=≤≤⎰⎰⎰(利用[()]mn k E f x dx ⎰有限时的结论,Th5中已详证)由M 的任意性知lim ()()n n EEf x dx f x dx →∞=+∞=⎰⎰ 证毕.4.证明:若()f x 是E 上的非负函数, ()0Ef x dx =⎰,则()0.f x a e =证明:令[|()1],1,2,n E x n f x n n =<≤+= ,1[|()1]m F x f x m=<≤ 则11[|()0]()()n n n n E x f x E F +∞+∞==>=⋃f可测，故,,[|()0]n m E F E x f x >（1,2,;1,2,n m == ）都是可测集，由P135Th4(2)和()0Ef x dx =⎰，()f x 非负知[;()0]0()()()0nnn EE x f x E E f x dx f x dx f x dx n dx nmE >=≥≥≥=≥⎰⎰⎰⎰故0,(1,2,)n mE n == ；同理0,(1,2,)m mF m == 故11[|()0]0n m n m mE x f x mE mF +∞+∞==>≤+=∑∑故从()f x 非负，[|()0][|()0]E x f x E E x f x ==->，知()0.f x a e=于E .证毕.5．证明：当mE <+∞时，E 上的非负函数的积分()Ef x dx <+∞⎰的充要条件是02[|()2]k k k mE x f x +∞=≥<+∞∑证明：令[|()2],0,1k k E Ex f x k =≥= ，1[|2()2]n n n E E x f x +=≤<，0,1,2,k =[|()1],n i j n E x f x E E E +∞=≥=⋂=∅ 当i j ≠，f 非负，故从mE <+∞知[|()1]0()E x f x f x dx <≤<+∞⎰，而[|0()1][|()1]()()()EE x f x E x f x f x dx f x dx f x dx ≤<≥=<⎰⎰⎰[|()1]()()EE x f x f x dx f x dx ≥<+∞⇔<+∞⎰⎰注意由单调收敛定理和()0f x ≥可测知lim [|()1]lim()()()()()lim ()()n n ni i n i i ni n n i n E E E x f x EE E E f x dx f x dx f x dx x f x dx x f x dxχχ+∞→∞==→∞==→∞≥====⎰⎰⎰⎰⎰00lim ()()lim()lim ()()LeviThn niiii ii n n n n E i i E E E E x f x dx f x dx f x dx f x dxχ==+∞→∞→∞→∞======∑∑⎰⎰⎰⎰ 110022222222[|()2]i i n nnn n n n n i n n n n E dx mE mE mF E x f x +∞+∞+∞+∞+∞++=====≤==≤=≥∑∑∑∑∑⎰所以，若02[|()2]k k k mE x f x +∞=≥<+∞∑，则有[;()1]()E x f x f x dx ≥<+∞⎰则()Ef x dx <+∞⎰，故充分性成立.为证必要性，注意,k i k i i k i kF E mF mE +∞+∞====∑ ，令1{0nkk n k nϕ≥=<若若，则0002[|()2]2222nnnn nn nn nkkkkkn n n k nn k nn k mE x f x mF mE mE mEϕϕ+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞========≥====∑∑∑∑∑∑∑∑100000002122221k knnnnkk k k kk n k n k n k mE mE mE mE ϕ++∞+∞+∞+∞+∞+∞=======-====-∑∑∑∑∑∑∑11(21)222()k k kk k k k k k k k k k mE mE mE mE m E +∞+∞+∞+∞+∞++======-=-=-∑∑∑∑ 0022[[;()1]]2()kk k k k E mE m E x f x f x dx +∞+∞===-≥≤∑∑⎰[|()1]2()2()2()kk E x f x EE f x dx f x dx f x dx +∞=≥==≤<+∞⎰⎰⎰（,[|()1]mE mE x f x <+∞≥<+∞）证毕.注意以上用到正项二重级数的二重求和的可交换性，这可看成是Fubini 定理的应用，也可看成是Lebsgue 基本定理的应用，或Levi 定理的应用.0000nmnm m n n m aa +∞+∞+∞+∞=====∑∑∑∑0000lim lim ()lim ()kkknmnm nm nmk k k m n m n n n aa a d m ad m μμ+∞+∞+∞+∞+∞→∞→∞→∞=========∑∑∑∑∑∑⎰⎰00000lim ()()knm nm nm k n n n m a d m a d m a μμ+∞+∞+∞+∞+∞→∞=======∑∑∑∑⎰⎰μ是1R 上的一个测度（离散的）,[[]]1,()#[]m N m A A N μμ∀∈==⋂，N为自然数集，nm a 看成(){nxn a x Na x x N∈=∉当当，也可这样设1111,nm nm n m m n a a a b +∞+∞+∞+∞======∑∑∑∑，则,k p N ∀∈111111pppkknmnm nm n m m n m n aa ab +∞=======≤≤∑∑∑∑∑∑，令p →∞，11knm n m a b +∞==≤∑∑，令00,nm n m k a a b +∞+∞==→∞=≤∑∑，同理，b a ≤，则a b =，0000nm nm n m m n a a +∞+∞+∞+∞=====∑∑∑∑,[1,),1(){0i n a i i i nx x n ϕ-≤≤=≥为简单函数，()lim ()n n f x x ϕ→∞=，则()f x 可测6.如果(),()f x g x 都是E 上的非负可测函数，并且对于任意常数a 都有 [|()][|()]mE x f x a mE x g x a ≥=≥ 则()()EEf x dxg x dx =⎰⎰证明：若存在0b >使[|()]E x f x b ≥=+∞，则()()EEf x dx gx dx ==+∞⎰⎰结论成立.故b a ∀>，1,a b R ∈，[|()]E x f x b ≥<+∞，则[|()][|()][|()]E x f x a E x f x b E x a f x b ≥-≥=≤<[|()][|()][|()]mE x a f x b mE x f x a mE x f x b ≤<=≥-≥[;()][;()][;()]mE x g x a mE x g x b mE x a g x b =≥-≥=≤<m N ∀∈，及0,1,2,,21m k =- ，令,1[|()]22m k m m k k E E x f x +=≤<及 ,2[|()]m m m E E x f x m =≥则2,0mm m k k E E == ，,m k E 互不相交同样 ,,21[|()],[|()]22m m km m m m k k E E x g x E E x g x m +=≤<=≥， 2,0mm m k k E E == ，,m kE 互不相交令 ~,,2200()(),()()22mmm k m km m m E m m m E k k k k x x x x ψχψχ====∑∑，则()m x ψ， ()mx ψ都是非负简单函数，且 (),()m m x x ψψ 均为单调不减关于m ，()()m x f x ψ→， ()()mx g x ψ→ 注意到,,11()[|()][|()]()2222m k m k m m m m k k k k m E mE x f x mE x g x m E ++=≤<=≤<= 故 22,,00()()()()22mmm m m m k m k m m m k k E Ek k x dx m E m E x dx ψψ=====∑∑⎰⎰ 故由Levi 定理知 ()lim ()lim ()()m m n n EEEEf x dx x dx x dxg x dx ψψ→∞→∞===⎰⎰⎰⎰ 7．设mE <+∞，()f x 是E 上的有界非负可测函数，0()f x M ≤<，()()()010,1,2,nn n n k g g g M n =<<<== 使 {}()(1)max |1,2,,0()n n i i n n y y i k l n --==→→∞ ，()()()()1[|()],,1,2,,;1,2,3,n n n n n i i i i i n E E x y f x y E i k n ξ-=≤<∈== 证明： ()1()lim ()nk n n i i n i Ef x dx f mE ξ→∞==∑⎰证明：显然，由f 可测于E 知，()n i E 是可测集（1,n i k n N ∀≤≤∈）且()1nk n i i E E == ，又在()n i E 上()()1()n n i i y f x y -≤<表明()()()()1inf ()sup ()n n ii n n i i x E x E y f x f x y -∈∈≤≤≤ 记()()1sup ()nnn ik n D ix E i S f x mE ∈==∑ （大和数），()()1inf ()nn ni k n D i x E i s f x mE ∈==∑ （小和数）则从()f x 有界可测知()f x 在E 上可积（P129Th2），故()()()n n D D E EEs f x dx f x dx f x dx S ---∞<≤==≤<+∞⎰⎰⎰，又从()n n i i E ξ∈知()()()11()sup ()nnn n n ik k nn n D iii D x E i i s f mEf x mE S ξ∈==-∞<≤≤=<+∞∑∑()1()()nn n n nk n n D D i i D D i Es S f x dx f mE S s ξ=-≤-≤-∑⎰，则()(1111|()()|nnnn n k k kn n n nnn niiD D i i i n in i i i Ef x dx f mES s y ymE l mE l mE ξ→∞-===-≤-≤-≤=→∑∑∑⎰（从0n l →知）故()1()lim ()nk n n i i n i Ef x dx f mE ξ→∞==∑⎰ 8．设mE <+∞，()f x 是E 上的非负可测函数，()Ef x dx <+∞⎰，[;()]n e E x f x n =≥，证明：lim 0n n n me →∞⋅=证明：由本节习题5知()Ef x dx <+∞⎰，mE <+∞则02[|()2]k k k mE x f x +∞=≥<+∞∑ ，故lim 2[|()2]0k k n mE x f x →∞≥= (1)反证设l i m n n n m e →∞⋅>，则00,,k k N n ε∃>∀∈∃使0kk n n me ε⋅≥，,k k N i N ∀∈∃∈使122k k i i k n +≤<，所以2i k k n e e ⊂,显然从k n →∞知2k i →+∞10222220()kki i kkki i k n n me me me k ε+≤⋅≤=⋅→→∞得矛盾所以lim0n n n me →∞⋅= 9．设()f x 是E 上的非负可测函数，()Ef x dx <+∞⎰，对任意的0r >，令[|||||]()()E x x r F r f x dx <=⎰证明：()F r 是(0,)+∞上的连续函数证明：[|||||](0,)E x x r E B r <=⋂显然为可测集；又()f x 在E 上非负可测，故0r ∀>，f 在[|||||]r E E x x r < 上也可测，且0()()rE Ef x dx f x dx ≤≤<+∞⎰⎰，故()F r 是(0,)+∞上有定义的函数1）先设0()f x M ≤≤<+∞于E 上，此时00,0r r ∀>∀>有0000[|||||]0()()()E x r x r r F r r F r f x d ≤<+≤+-=⎰0000[;||||][(0,)\(0,)]MmE x r x r r Mm B r r B r ≤≤<+≤+0000(((0,))\(0,))(()()]0n n n n M m B r r mB r M w r r w r =+=+-→ （当0r →）这里(0,)n n mB r w r =最好是用(0,)(0,)()1nn B r mB r R dx w r ==⎰来看.（下一节！）也可这样看00((0,))(0,)0m B r r mB r +-→，0R r ∀>>{}12(0,)(,,,);n R n i B R I x x x x R R x R ⊂==∈-<< ，而12(,,,);(0,)n r n i nr r Ix x x x R x B r n n ⎧⎫==∈-<<⊂⎨⎬⎩⎭ ，故(0,)\(0,)\R r nB R B r I I⊂((0,)\(0,))(\)()()(2)(2)22()n n n n n n R r R r nnr rm B R B r m I I m I m I R R n n≤=-=-=-得不出结果！则000()()0F r r F r ≤+-→ 当0r <时0000|()()|()()(()()]0n n n n F r r F r F r F r r M w r w r r +-=-+≤-+→则()F r 是连续的对一般可测函数()f x ，令(),()(),()m f x f x Mf x m f x M ≤⎧=⎨>⎩ min((),)f x m =，则0N f ≤可测于E ，且()()N f x f x →于E ，N f 单调不减，故由Levi 定理知lim ()m m EEf dx f x dx →∞=<+∞⎰⎰0,()N εε∀>∃，使0()()[()()]6N N EEEf x dx f x dx f x f x dx ε≤-=-<⎰⎰⎰对上述固定的()N N ε=，[|||||]()()N N E x x r F r f x dx <=⎰是连续于(0,)+∞上的则00(,,())(0,),r N r εεδδ∈+∞∃=0(,)0r εδ=>，当0||r r δ-<时0|()()|3N N F r F r ε-<则当0||r r δ-<时1230000|()()||()()||()()||()()|N N N N N N NF r F r F r F r F r F r F r F r I I I -≤-+-+-=++ 1[|||||][|||||][|||||]|()()||()()||(()())|N N N N E x x r E x x r E x x r I F r F r f x dx f x dx f x f x dx <<<-=-=-⎰⎰⎰[|||||]|(()())||(()())|3N N E x x r Ef x f x dx f x f x dx ε<≤-≤-<⎰⎰20|()()|3N N N I F r F r ε-< ，0300[|||||]|()()||(()())|(()())3N N N N E x x r EI F r F r f x f x dx f x f x dx ε<-=-≤-<⎰⎰则0|()()|F r F r ε-≤从而()F x 在(0,)+∞上连续得证.10．证明：若非负可测函数()f x 在E 上的积分()Ef x dx <+∞⎰，则对任意c ，0()Ec f x dx ≤≤<+∞⎰都有E 的可测集1E ，使1()E f x dx c =⎰证明：由第9题知，在本题条件下[|||||]()()E x x r F r f x dx <=⎰是(0,)+∞上的连续函数若0c =，则任取一单点0x E ∈，{}10E x =，则{}{}000()()0x f x dx f x m x ==⎰，即1()0E f x dx =⎰若()Ec f x dx =⎰，则取1E E =，则1()E f x dx c =⎰若0()Ec f x dx <<⎰注意到0r ∀>，{}(0,),||||B r x r r ∂== （(0,)B r 的边界）满足11(0,)((0,)\(0,))m B r B r B r m+∞=∂=+11((0,))(((0,)\(0,)))m m B r m B r B r m+∞=∂=+11lim ((0,)\(0,))lim (())0n n n n n m B r B r w r r mm→∞→∞=+=+-= 若[|||||]m E E x x m =≤，0[|||||]m E E x x m =<，则0(\)((0,))0m m m E E m B m ≤∂=而()f x 非负可测，故011lim ()lim ()lim()()m m mm m EE EF m f x dx f x dx f x dx →∞→∞→∞===⎰⎰⎰则m 充分大时，()F m c >另一方面，0lim ()0r F r +→=（当0f M <<有界时，010()()()((0,))0m r E F r f x dx Mm E Mm B r ≤=≤≤→⎰）一般，0ε∀>，()N ε∃，使||3N E Ef dx f dx εε-<⎰⎰，min(,)N f f N =，又()()0N F r ε→，当0r +→时，((),)N δδεε∃=当0r δ<<时，()|()|3N F r εε<当0r δ<<时()()()()20()|()()||()||||()|333N N N N EF r F r F r F r f f dx F r εεεεεεε≤≤-+≤-+<+=⎰ 故0lim ()0r F r +→= 由连续函数的中介值定理知，存在00r >使000[|||||]()()E x x r c F r f x dx <==⎰，令10[|||||]E E x x r =<，则1E E ⊂，1E f dx c =⎰，证毕.11．设mE <+∞，12,,,m E E E 是E 的m 个可测子集，正整数k m ≤，证明：若E 中每一点至少属于k 个i E ，则有i ，使i kmE mE m≥ 证明：反证，设(1,2,,)i i m ∀= 有i kmE mE m<，则由于x E ∀∈，x 至少属于k 个i E ，故1()imE i x k χ=≥∑ （x E ∀∈），而i E E ⊂，故11()()im mi E i i E Em E E x dx k dx kmE χ==⋂=≥=∑∑⎰⎰111()m m mi i i i i kkmE m E E mE mE kmE m===≤⋂=<=∑∑∑得矛盾所以i ∃使i kmE mE m≥.（徐森林书P242）12. 设mE <+∞，()0f x >且在E 上可测，证明：对任意0δ>，都有0d >，使只要1E E ⊂，1mE δ≥，便有1E f dx d ≥⎰证明：反证，设000,,,k k k E E mE δδ∃>∀∃⊂≥，但1kE f dx k<⎰令11[|()]1n F E x f x n n=≤<+ 1,2,n = ；[|()1]F E x f x =≥则n F ，F 都是可测集，且从()0f x >知1[|()0]n n E E x f x F F +∞==>=⋃1n n mE mF mF +∞=+∞>=+∑ （n F ，F 互不相交）所以0n ∃使00011()2n n n n n n mE mF mF mF δ+∞==+-+=<∑∑1()2n n n mE m F F δ=-⋃<，01(\)2n n n m E F F δ=⋃<0111(())((\))(())2n n n k k n k n k n n n n mE m E F F m E E F F m E F F δδ===≤=⋂⋃+⋂⋃<⋂⋃+故01(())2n k n n m E F F δ=⋂⋃≥在01n k n n E F F =⋂⋃ 上，01()1f x n ≥+ 所以111000()()1111()()(())1112n n kk n k n n n n k n n E E F F E F F f x dx f x dx dx m E F F k n n n δ===⋂⋃⋂⋃>≥≥=⋂⋃≥+++⎰⎰⎰k →+∞，得0010012n δ≥>+得矛盾，故结论不成立 0mE =时，1E E ∀⊂，1()0E f x dx =⎰，结论不会成立13．设mE <+∞，()f x 是E 上的有界非负可测函数，证明有[0,]mE 上的非负单调不增函数()g y 使对任意常数a 都有[|()][|0m Exfx am E y y m E g ya≥=≤≤≥，进而证明[0,]()()EmE f x dx g y dy =⎰⎰证明：1s R ∀∈，令()[|()|]f s mx f x s μ=>且{}*()inf 0|()f f t s s t μ=>≤，显然*()f t 是[0,)+∞上的非负单调不增函数，因为12t t ∀>，{}{}20|()0|()ff s s t s s t μμ>≤⊂>≤，从而**21()()f t f t ≥注意{}|()()f f s s ημημ⊂≤，从而*(())ff s s μ≤ （1）又由Levi 定理知()f s μ是右连续的121,,n n n n s s s s s s s s +∀→>≥≥≥≥≥ ，则{}{}1||()|||()|n n x f x s x f x s +>⊂>11[||()|][||()|]lim ()lim [||()|]lim ()lim ()n n f n n x f x s x f x s n n n n R R s m x f x s y dy y dy μχχ>>→∞→∞→∞→∞=>==⎰⎰1[||()|]()[||()|]()x f x s f R y dy m x f x s s χμ>==>=⎰,0,()n f n t s s tμ∀∃>≤，*()n s f t →，故从()f s μ右连续知*(())lim ()f f n n f t s t μμ→∞=≤ 即*(())f f t tμ≤（2）令**()[|()]f s m t f t s μ=>，则从*f 非增，知{}**()sup 0|()f s t f t s μ=>>（3）事实上*0()f t s μ∀≤<，则***,(),(),()f t t t s f t s f t s μ'''∃<<>>，则{}***[0,][0,()]0;()[0,()]f f t s t f t s s μμ⊂⊂>>⊂，故{}**0|()[0,()]f t f t s s μ>>=故{}**sup 0|()()f t f t s s μ>>=从（1）*(())f f s s μ≤知*()()f f s s μμ≥，从（3）若*()f t s μ>，则：*()f t s≤由（2）*()(())f f s f t t μμ≤≤ （注意f μ单调不增！）由*()f t s μ>之任意性知*()()f f s s μμ≤，所以*()()f f s s μμ=即*[|()][|()][|()]mE x f x s m x f x s m t f t s >=>=>1a R∀∈ 111[|()][[|()]]lim [[|()]]n n mE x f x a m E x f x a m E x f x a n n+∞→∞=≥=>-=>-***111lim [;()][[;()]][,()]n n m t f t a m t f t a m t f t a n n +∞→∞==>-=>-=≥ 注意：t mE >时*()0f t ≡，故当0a >时*[|()][0,]t f t a mE ≥⊂*[|()][|0,()]m x f x a m t t mE f t a ≥=≤≤≥当0a ≤时，[|()]m x f x a mE ≥=*[|0,()][|0]m x t mE f t a m t t mE mE ≤≤≥=≤≤=.所以有*[|()][|0,()]m x f x a m t t mE f t a ≥=≤≤≥. 令*()()g t f t =即证明了本题的第一部分.记[0,],mE I mI mE ==则且[|()][|()]mE x f x a mI y g y a ≥=≥[|()][|()][|()][|()]m x f x a mE m x f x a mI mI y g y a mI y g y a <=-≥=-≥=<故b a ∀<，有[|()][|()][|()][|()]mE x f x a mE x f x b mE x b f x a mI y b g y a <-<=≤<=≤<14.设(),1,2,3,n f x n = 都是E 的非负可测函数，1()()n n f x f x +≥ ，（,1,2,3,x E n ∈= ），()l i m ()nn fxf x →∞= 并且有0n 使0()n Ef x dx <+∞⎰，举例说明，当()n Ef x dx ⎰恒为+∞时，上述结论不成立.证明：()lim ()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰证明：令00()()(),()n n n s x f x f x n n =-≥ ，则()n s x 非负可测，且1()()n n s x s x +≥，0lim ()()()n n n s x f x f x →∞=-，对()n s x 用Levi 定理得lim ()lim ()n n n n E Es x dx s x dx →∞→∞=⎰⎰ ，即00()lim ()(()())()()n n n n n EEEEEfx dx f x dx f x f x dx f x dx f x dx →∞-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰，00(),lim ()()n n n EEEf x dx f x dx f x dx →∞≤<+∞=⎰⎰⎰成立.反例：令n E R ⊂可测，mE =+∞，1()n f x n=于E 上，则11()()()n n f x f x f x +≥≥≥≥于E 上，lim ()0()n n f x f x →∞==于E 上，且1()n Ef x dx mE n==+∞⎰， ()0lim ()n n EEf x dx f x dx →∞=≠=+∞⎰⎰15.设()f x 是可测集E 上的非负可测函数，如果对任意m N ∀∈，都有[()]()mEEf x dx f x dx =<+∞⎰⎰ 则()f x 几乎处处等于一可测集合的示性函数.证明：令0[|()0]E E x f x ==，1[|()1]E E x f x ==，[|()1]E E x f x ∞=>，[|0()1]E E x f x =<<，则 01E E E E E ∞=⋃⋃⋃ 由于()f x 非负可测，故[()]m f x （m N ∀∈）也非负可测，故由Fatou 引理知lim[()]lim[()]lim [()]()m m m m m m E E EEmE f x dx f x dx f x dx f x dx ∞∞→∞→∞→∞∞⋅=≤≤=<+∞⎰⎰⎰⎰故0mE ∞=，从而有11[()][()]()()m m E E EEf x dx f x dx f x dx f x dx +=+⎰⎰⎰⎰而在1E 上()1f x =，故 11()[()]()()m E E EEf x dx f x dx f x dx f x dx +=+⎰⎰⎰⎰由0f ≥，且()Ef x dx <+∞⎰知1()E f x dx <+∞⎰，故 [()]()m E Ef x dx f x dx =⎰⎰，即 (()[()])0m Ef x f x dx -=⎰，而()[()]0m f x f x ->于 E上（m ∀），由此可知 0mE=（本节第4题）（Lemma ：若0g >可测于可测集E 上，()0Eg x dx =⎰，则0mE =证明：令11[|()],[|()1]1k F E x g x F E x g x k k ∞=≤<=≥+，则 1k k E F F +∞∞=⎛⎫=⋃ ⎪⎝⎭，k N∀∈1()()0,01k k k F EmF g x dx g x dx mF k ≤≤==+⎰⎰ 0()()0,0F EmF g x dx g x dx mF∞∞∞≤≤≤==⎰⎰则10k k mE mF mF +∞∞==+=∑）由此可知，111()0.cE f x a e E ⎧=⎨⎩，于上，于上所以对几乎处处x E ∈有1111()()0E x E f x x x E χ∈⎧==⎨∉⎩，，16．证明：如果()f x 是E 上的可测函数，则对于任意常数0a >都有 1[||()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ [|()]exp ()a EmE x f x a e f x dx -≥≤⎰ 证明： [||()|]|()||()|[||()|]EE x f x a f x dx f x dx amE x f x a ≥≥≥≥⎰⎰则 1[||()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 又若x E ∈，则()()f x a f x a e e ≥⇔≥，故[|()][|exp ()]a E x f x a E x f x e ≥=≥，从而由前一部分结果知[|()][|exp ()][||exp ()|]a a mE x f x a mE x f x e mE x f x e ≥=≥=≥ |exp ()|exp ()a a EEe f x dx e f x dx --≤=⎰⎰17．证明；如果()f x 是1R 上的非负可测函数，则对任意实数,,,,,0a b c t a b c <>，都有[,][,]1()()a b ca t cb t f cx t dx f x dx c +++=⎰⎰证明：1）若()()E f x x χ=，（E 为1R 上任一可测集），则结论成立，这里1()0E x Ex x E χ∈⎧=⎨∉⎩，，此时[,][,]111()([,])ca t cb t ca t cb t f x dx dx m E ca t cb t c c c++++==⋂++⎰⎰ 而[,][,][,][|]()()([,][|])E a b a b a b x cx t E f cx t dx cx t dx dx m a b x cx t E χ⋂+∈+=+==⋂+∈⎰⎰⎰([,][])E tm a b c-=⋂[][]1,,c E t E t m a b m c a b c c c c ⎡⎤⎡⎤⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫⎛⎫==⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦[][][][]11,,m ca cb E t m ca cb E t t c c ⎡⎤⎡⎤=-=-+⎣⎦⎣⎦ []()[],11,ca t cb t m ca t cb t E f x dx c c ++⎡⎤=++=⎣⎦⎰ 2）由内积的线性性质，当()f x 为简单函数时，结论也成立。

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1：[单选题]1.开集减去闭集是（）
A:A.开集
B:B.闭集
C:C.既不是开集也不是闭集
参考答案：A
2：[单选题]2.闭集减去开集是（）
A:开集
B:闭集
C:既不是开集也不是闭集
参考答案：B
3：[单选题]
A:开集
B:闭集
C:可测集
参考答案：C
4：[单选题]6.可数集与有限集的并是（）
A:有界集
B:可数集
C:闭集
参考答案：B
5：[判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。

参考答案：正确
6：[单选题]1.开集减去闭集是（）。

A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集
参考答案：A
7：[单选题]5.可数多个开集的并是（）
A:开集
B:闭集
C:可数集
参考答案：A
8：[判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。

参考答案：错误
9：[判断题]6.闭集一定是可测集合。

参考答案：正确
10：[判断题]10.开集一定是可测集合。

参考答案：正确
11：[判断题]4.连续函数一定是可测函数。

参考答案：错误
12：[判断题]
参考答案：正确
13：[判断题]2.有界集合的测度一定是实数。

参考答案：正确
14：[判断题]1.可数集合是零测集
参考答案：正确
15：[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。

参考答案：错误
16：[判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。

参考答案：错误
1：[单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0
B:2
C:4
参考答案：C
2：[单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0
B:2
C:4
参考答案：A
3：[单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（）
A:0
B:1
C:2
参考答案：A
4：[单选题]1.[0,1] 中的全体无理数构成的集合的测度是（）
A:0
B:1
C:2
参考答案：B
5：[单选题]5.若E是R的子集，x是一个实数，如果x的任何邻域内均有E中异于x的点，则x是E的（）
A:内点
B:界点
C:聚点
参考答案：C
6：[判断题]10.简单函数一定是可测函数。

参考答案：正确
7：[判断题]
参考答案：错误
8：[判断题]8.可测函数一定是有界函数。

参考答案：错误
9：[判断题]7.任何函数与其立方有相同的可测性。

参考答案：正确
10：[判断题]6.依测度收敛的函数列一定是几乎处处收敛。

参考答案：错误
11：[判断题]5.任何函数与其平方有相同的可测性。

参考答案：错误
12：[判断题]4.几乎处处收敛的函数列一定是依测度收敛。

参考答案：正确
13：[判断题]2.几乎处处相等的函数具有相同的可测性。

参考答案：正确
14：[判断题]1.任何连续函数均为可测函数
参考答案：错误
15：[判断题]3.定义在零测集上的任何函数均可测。

参考答案：正确
1：[单选题]5.设f(x)为[0，2]上如下定义的函数：当x是[0，2]的有理数时，f(x)=sinx,当x 是[0，2]的无理数时，f(x)=x,那么f(x)在[0，2]上的勒贝格积分是（）
A:2
B:1-cos2
C:0
参考答案：A
2：[单选题]4.设f(x)是可积函数，g(x)是不可积函数，则f(x)+|g(x)|是（）
A:可积函数
B:不可积函数
C:有界函数
参考答案：B
3：[单选题]3.有界可测集上的勒贝格可积函数一定是（）
A:可测函数
B:连续函数
C:简单函数
参考答案：A
4：[单选题]2.函数列依测度收敛是函数列几乎处处收敛的（）
A:必要条件
B:充分条件
C:无关条件
参考答案：C
5：[单选题]1.设f(x)是定义在[a,b]上的可测函数，则f(x)是（）
A:连续函数
B:简单函数
C:一列简单函数的极限
参考答案：C
6：[判断题]10.定义在区间上的单调函数是可积函数。

参考答案：正确
7：[判断题]9.定义在有界可测集合上的连续函数是可积函数。

参考答案：正确
8：[判断题]8.定义在同一个可测集合上的两个可积函数的和函数仍是可积函数。

参考答案：正确
9：[判断题]7.定义在有界可测集合上的简单函数是可积函数。

参考答案：正确
10：[判断题]6.可测函数列的极限函数仍是可测函数。

参考答案：正确
11：[判断题]5.可积函数列的极限函数仍是可积函数。

参考答案：错误
12：[判断题]4.任何函数与其绝对值函数有相同的可积性。

参考答案：正确
13：[判断题]3.几乎处处相等的函数有相同的可积性与积分值。

参考答案：正确
14：[判断题]2.可积函数是几乎处处有限的函数。

参考答案：正确
15：[判断题]1.可积函数是有界函数。

参考答案：错误。