函数单调性和奇偶性综合

函数单调性和奇偶性综合
➢ 教学重点、难点：函数奇偶性、单调性的综合应用．
➢ 教学过程：
一、复习提问
1．奇偶函数的定义及奇偶函数的图象特征．
2． 练习：已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，给出下列命题：
（1）()0f x =；
（2）若 ()f x 在 [0, )∞+上有最小值 -1，则()f x 在)(0,∞-上有最大值1；
（3）若 ()f x 在 [1, )∞+上为增函数，则()f x 在](1,-∞-上为减函数．
其中正确的序号是： ① ②
二、新课讲解
例1．已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数，证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数．
证明：设120x x <<，则120x x ->->∵()f x 在(0,)+∞上是增函数．
∴12()()f x f x ->-,又()f x 在R 上是奇函数．
∴12()()f x f x ->-,即12()()f x f x <
所以，()y f x =在(,0)-∞上也是增函数．
说明：函数的奇偶性和单调性的综合：奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致；偶函数则在在对称于原点的两个区间上的单调性相反！
例2．()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2
()231f x x x =-++，求()f x 的解析式． 解：设0x <，由于()f x 是奇函数，故()()f x f x =--，
又0x ->，由已知有22()2()3()1231f x x x x x -=--+-+=--+ 从而解析式为222310()0
02310x x x f x x x x x ⎧-++>⎪==⎨⎪+-<⎩
． 例3．（1）定义在(1,1)-上的奇函数()f x 为减函数，且2
(1)(1)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围；
(2) 定义在[2,2]-上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 为减函数，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围．
解：(1)∵2(1)(1)0f a f a -+-<∴2(1)(1)f a f a -<--
∵奇函数()f x ∴2(1)(1)f a f a -<- 又∵()f x 在(1,1)-上为减函数， ∴2211111111a a a a ⎧->-⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩
解得01a <<．
(2)因为函数()g x 在[2,2]-上是偶函数，
则(1)()g m g m -<有，可得(|1|)(||)g m g m -<
又当0x ≥时，()g x 为减函数，得到|1|2||2|1|||m m m m -≤⎧⎪≤⎨⎪->⎩解之得112m -≤<． 例4：（1）已知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且12()()f x f x x +=，试判断()f x 的奇偶性；
（2）函数()f x 定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的奇偶性．
解：（1）∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且12()()f x f x x += ①
令①式中x 为1x 得：112()()f f x x x
+= ②
解①②得221()3x f x x
-=， ∵定义域为{|0}x x ≠关于原点对称 又∵222()121()3()3x x f x x x
----==--()f x =- ∴221()3x f x x
-=是奇函数． （2）∵定义域关于原点对称，
又∵令0x y ==的(0)(0)(0)f f f =+则(0)0f =，
再令y x =-得(0)()()f f x f x =+-，
∴()()f x f x -=-
所以，原函数为奇函数．
三、课堂练习
已知偶函数()f x 定义域R ，且在[0,)+∞上是减函数，比较3()4f -和2(1)f a a -+的大小。

（答案：当12a =时，相等；当12a ≠时，3()4f ->2(1)f a a -+）．
四、本课小结
函数奇偶性、单调性综合应用的问题．
五、作业补充
1．偶函数()f x 在[]0,π上单调递增，则(3),()2f f f π--
从小到大排列的顺序是 ．
2．已知()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，求()f x 的解析式．。