第三章 刚体平衡
刚体平衡
F A
=
B F A F2
F1
=
A
B
F1
8
1-力的基本知识
• 静力学基本原理
3. 三力平衡交汇原理
刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用 线必共面且汇交于一点
F1 A1 A A3 A2 F2
F1
=
F3
A A3
F2
F3
9
1-力的基本知识
• 受力分析和受力 图
▫ 在受力分析时，当约束被人为地解除时，即人为地 撤去约束时，必须在接触点上用一个相应的约束反 力来代替 ▫ 在物体的受力分析中，通常把被研究的物体的约束 全部解除后单独画出，称为脱离体。把全部主动力 和约束反力用力的图示表示在分离体上，这样得到 的图形，称为受力图
XA MA
YA
练习4
校核 ∑MC=6XA-6YA+2P+3Q-m+6q×3 代入数字得 ∑MC=0 说明计算无误
二、例1
例2
练习5：求图示刚架的支座反力.
q0=2kN/m
• 【例5】绘制受力图
P
A
C C
RC
C C
P
B A
RC
B
RB
P
XA
A
YA
RA
P
C
RC
P
A
YA
C
RA A
B
RB
XA
B
RB
16 B C
F1
F2
q A
D B C
F1 q
F2
A XA
D
XD YD
mA
YA
mD
17
18
2-平面汇ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力系和平面力偶系
刚体的平衡与转动定律的应用
刚体的平衡与转动定律的应用在物理学中，刚体是指其形状和大小在外力作用下不发生变化的物体。
刚体的平衡和转动定律是刚体力学中的重要概念，它们被广泛应用于各种实际工程问题的分析和解决。
一、刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受到外力作用时，保持静止或以一定的速度进行匀速直线运动的状态。
刚体的平衡有两种类型：平稳平衡和不平衡。
1. 平稳平衡当刚体处于平稳平衡状态时，它的重心和支持点重合，不会发生任何转动。
这意味着刚体所受到的合力和合力矩都为零。
根据平衡条件，我们可以得出：∑F = 0 （合力为零）∑M = 0 （合力矩为零）其中，∑F表示合力矢量的矢量和，∑M表示合力矩矢量的矢量和。
平稳平衡的一个典型例子是悬挂在弹簧上的质点。
当质点受到向下的重力和向上的弹簧力之和为零时，质点处于平稳平衡状态。
2. 不平衡当刚体处于不平衡状态时，它的重心和支持点不重合，会发生转动。
此时，刚体所受的合力和合力矩都不为零。
根据不平衡条件，我们可以得出：∑F ≠ 0 （合力不为零）∑M ≠ 0 （合力矩不为零）不平衡的一个典型例子是一个倾斜的物体，当物体所受到的重力分量不平衡时，物体将发生转动。
二、转动定律的应用转动定律是描述刚体转动的物理定律，通过转动定律，我们可以对刚体的转动进行详细的分析。
1. 动量定理动量定理是刚体转动定律的基础，它描述了刚体转动的动力学关系。
根据动量定理，刚体所受的合外力矩等于刚体动量的变化率。
即：∑M = dL/dt其中，∑M表示合外力矩的矢量和，L表示刚体的角动量，t表示时间。
通过动量定理，我们可以计算刚体受到的合力矩以及刚体角动量的变化情况。
2. 角动量守恒定律角动量守恒定律是转动定律中十分重要的一个定律。
它描述了刚体在没有外力矩作用下的转动规律。
根据角动量守恒定律，如果刚体在某一时刻的合外力矩为零，则刚体的角动量将保持不变。
即：∑M = 0 时，L = 常数通过角动量守恒定律，我们可以解决一些与刚体转动相关的问题，如旋转飞盘的角速度变化、自行车的倾斜和转弯等。
刚体的平衡
x1
x2
mx1
m( x1 2m
l
/
2)
x1
l 4
x2
l 4
x1
x2
x3
m( x1
x2 )
m( x1 2m
x2
l
/
2)
x1
x2
l 6
LL
x3
l 6
xn
l 2n
L 10
l 10 1
2 n1 xn 2 n1 n
H 9h 9 l 4
10 1
LБайду номын сангаас n1 n
l
1
2
x1
3
x2
4
x3
……
L
10 1/ n n1 1.258
10
H 9/4
例7.4 有一半径为R的圆柱A，静止 在水平地面上，并与竖直墙面相接 触。现有另一质量与A相同，半径 为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A， 将B放在A的上面，并使之与墙面 相接触，如图所示，然后放手。己 知圆柱A与地面的静摩擦系数为 0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为 0.30。若放手后，两圆柱体能保持 图示的平衡，问圆柱B与墙面间的 静摩擦系数和圆柱B的半径的值各 应满足什么条件？
1.刚体平衡条件
1）物体受力的矢量和为零：
r
Fi 0
i
2）对矩心的合力矩为零
r
Mi
rri
r Fi
0
i
i
重要推论：
刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个力的 合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相 交于一点。
2.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳 定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定 平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为 随遇平衡。
《刚体的平衡》 讲义
《刚体的平衡》讲义一、引言在我们的日常生活和工程实践中，刚体的平衡是一个经常遇到且至关重要的概念。
无论是简单的物体放置还是复杂的机械结构设计，理解刚体的平衡原理都能帮助我们有效地解决许多实际问题。
二、刚体的概念首先，让我们来明确一下什么是刚体。
刚体是指在任何外力作用下，其形状和大小都不发生改变的物体。
这是一个理想化的模型，在现实中，绝对的刚体并不存在，但在很多情况下，我们可以将物体近似地看作刚体，以便进行分析和计算。
例如，一块坚硬的金属板在一般的力的作用下，其形状和尺寸的变化非常微小，我们就可以把它当作刚体来处理。
三、刚体平衡的条件刚体平衡需要同时满足两个条件：1、合力为零这意味着作用在刚体上所有力的矢量和必须等于零。
如果存在不为零的合力，刚体就会在这个合力的方向上产生加速度，从而失去平衡。
例如，一个放在水平桌面上的物体，受到竖直向下的重力和竖直向上的桌面支持力，如果这两个力大小相等、方向相反，合力就为零，物体保持平衡。
2、合力矩为零力矩是力使物体绕某一点转动的效应。
如果作用在刚体上的所有力对某一点的力矩之和为零，刚体就不会发生转动，从而保持平衡。
比如，一个跷跷板两端坐着体重不同的两个人，如果他们距离跷跷板支点的距离乘以各自的体重所得的乘积相等，那么跷跷板就不会转动，处于平衡状态。
四、常见的刚体平衡类型1、共点力平衡当作用在刚体上的力都作用在同一点时，我们称之为共点力平衡。
这种情况下，只需要保证这些力的合力为零即可。
例如，用绳子悬挂一个重物，重物受到重力和绳子的拉力，这两个力都作用在重物的重心上，当拉力大小等于重力大小且方向相反时，重物处于平衡状态。
2、一般力系平衡当作用在刚体上的力不共点时，我们就需要考虑合力和合力矩的情况。
这种情况相对复杂，需要仔细分析每个力的大小、方向和作用点，以确定刚体是否平衡。
比如，一个水平放置的均匀木板，受到多个不同方向和作用点的力，如果要使木板保持平衡，就需要满足合力为零和合力矩为零的条件。
《刚体的平衡》 讲义
《刚体的平衡》讲义在我们的日常生活和工程实践中，刚体的平衡是一个非常重要的概念。
无论是简单的物体放置，还是复杂的机械结构设计，都离不开对刚体平衡的理解和应用。
那么，什么是刚体的平衡呢？简单来说，当一个刚体在力的作用下保持静止或者做匀速直线运动的状态，我们就说这个刚体处于平衡状态。
要使一个刚体达到平衡，需要满足两个条件：力的平衡和力矩的平衡。
先来说力的平衡。
这意味着作用在刚体上的所有外力的合力必须为零。
想象一下，一个放在水平桌面上静止的木块，它受到竖直向下的重力和桌面给它竖直向上的支持力。
因为重力和支持力大小相等、方向相反，且作用在同一条直线上，所以合力为零，木块就能保持静止，处于平衡状态。
再看力矩的平衡。
力矩可以理解为使物体绕着某个点转动的趋势。
如果一个刚体要平衡，对于任意一点，所有外力产生的力矩之和也必须为零。
比如说，一个跷跷板两端坐着不同体重的人，如果要保持跷跷板平衡，不仅两个人的重力之和要与地面的支持力平衡，而且他们各自产生的力矩也要相互抵消。
为了更好地理解力和力矩的平衡，我们来具体分析一些例子。
假设在一个建筑工地上，有一个起重机吊起一个重物。
起重机的起重臂就可以看作是一个刚体。
重物的重力通过吊钩作用在起重臂上，起重臂自身也有重力，此外还有起重臂与机身连接处的约束力。
要使起重臂保持平衡，这些力在水平和竖直方向上的合力都必须为零。
同时，对于起重臂与机身的连接点，这些力产生的力矩之和也得是零。
又比如，在一个简单的杠杆装置中，有一个支点，在支点的两侧分别施加不同大小的力。
根据杠杆原理，力乘以力臂等于力矩。
要使杠杆平衡，两侧的力矩必须相等。
在实际问题中，求解刚体的平衡常常需要我们建立合适的坐标系，将力分解到各个坐标轴上，然后分别求解力的平衡方程。
对于力矩的计算，要正确确定力臂的长度和力的方向。
理解刚体的平衡不仅对于解决实际问题很重要，在物理学的学习中也是基础。
它为我们进一步学习力学的其他知识，如动力学、材料力学等，打下了坚实的基础。
雅可比原理刚体平衡的条件及力矩的计算
雅可比原理刚体平衡的条件及力矩的计算雅可比原理是力学中的一个基本原理，用于判断刚体的平衡条件，并通过计算力矩来分析力的作用效果。
下面将详细介绍雅可比原理刚体平衡的条件及力矩的计算方法。
1. 刚体平衡的条件刚体平衡的条件是指在不受任何外力和力矩作用时，刚体仍然保持静止或匀速直线运动。
根据雅可比原理，刚体平衡的条件有两个：合力为零和合力矩为零。
1.1 合力为零合力为零意味着刚体受到的所有力的合力等于零。
合力的计算方法是将所有作用在刚体上的力矢量相加，求得合力的结果。
如果合力为零，则说明刚体在平衡状态下不会产生任何加速度。
1.2 合力矩为零合力矩为零意味着刚体受到的所有力矩的合计等于零。
力矩是力对于某一点的旋转效果，它由力的大小和距离因素决定。
2. 力矩的计算方法力矩的计算方法是通过力的大小和力臂（即力作用点到旋转轴的距离）的乘积来表示。
力矩的计算公式为：M = F × d其中，M表示力矩，F表示作用力的大小，d表示力臂的长度。
2.1 正负号规定在力矩的计算中，有一个重要的规则是正负号的规定。
一般而言，沿着旋转轴的逆时针方向为正，沿着顺时针方向为负。
2.2 多个力矩的合力矩计算如果刚体上有多个力作用，那么计算合力矩时，需要将每个力矩的大小和方向相加。
这需要注意正负号的规定，以确保正确计算出合力矩。
3. 雅可比原理在刚体平衡分析中的应用雅可比原理在刚体平衡分析中有着广泛的应用。
通过使用雅可比原理，可以判断刚体是否平衡，并且可以计算出保持刚体平衡所需的力矩。
3.1 平衡问题的求解步骤解决平衡问题通常需要以下几个步骤：（1）绘制力的示意图，标记各个作用力的大小和方向。
（2）计算每个力的力矩，确保正负号的正确计算。
（3）计算所有力矩的合力矩，并判断合力矩是否为零。
如果合力矩为零，则刚体达到平衡状态。
（4）根据合力矩的计算结果，调整力的大小或方向，直至合力矩为零。
3.2 力矩平衡实例举例来说，假设有一根杆，其中有两个力作用于杆上，一个力向上，另一个力向下。
刚体的平衡条件
刚体的平衡条件刚体是指物体内部各点之间相对位置保持不变的物体。
在物理学中，平衡是指物体处于静止状态或匀速直线运动状态，没有受到任何净外力或净外力矩的作用。
刚体的平衡条件是判断刚体是否处于平衡状态的基本依据。
一、1. 力的平衡条件当一个刚体处于力的平衡状态时，即刚体上所有力的合力等于零。
根据牛顿第二定律，力的合力等于物体质量乘以加速度，而刚体处于平衡状态时，加速度为零，则合力也必须为零。
2. 转矩的平衡条件除了要求刚体上所有力的合力为零外，还要求刚体上所有力对一个点的转矩（力矩）的合为零，即刚体在绕该点转动时，总的转动效果为零。
转矩是由作用在刚体上的力产生的，在计算转矩时，需要考虑力的大小和施力点到转动中心的距离，转矩的方向可以通过右手定则来确定。
二、刚体平衡条件的应用1. 平衡力分析在实际问题中，可以通过平衡力分析来判断刚体是否处于平衡状态。
平衡力分析是指将所有作用在刚体上的力进行分解和合成，然后判断分解后的力的合力是否为零。
如果合力为零，则刚体处于力的平衡状态。
2. 平衡力矩分析除了分析力的平衡外，还需要分析刚体受力点产生的转矩是否平衡。
对于一个绕平衡点旋转的刚体，可以通过平衡力矩分析来判断刚体是否处于平衡状态。
平衡力矩分析是指将所有作用在刚体上的力分别计算其对平衡点的转矩，然后判断所有转矩的和是否为零。
如果转矩的和为零，则刚体处于平衡状态。
三、刚体平衡条件的应用实例1. 杠杆平衡杠杆是一种应用刚体平衡条件的典型例子。
在杠杆中，一个物体可以通过在不同位置施加力来达到平衡状态。
根据刚体平衡条件，可以根据物体的质量、距离和施力的大小来计算平衡条件。
2. 悬挂物体平衡悬挂物体平衡是指将物体悬挂于绳子或悬挂物上，使其处于平衡状态。
在此过程中，要求物体的重力和拉力达到平衡。
根据刚体平衡条件，可以通过调整悬挂物体的位置或增加绳子的张力来实现平衡。
3. 斜面平衡斜面平衡是指物体静止或匀速滑动于斜面上时的平衡状态。
《刚体的平衡》课件
刚体的平衡条件
01
力的合成条件
如果一个刚体在力的作用下保 持静止或匀速运动，那么这些 力可以通过力的合成相互抵消
，即合力为零。
02
力矩的平衡条件
如果一个刚体在力矩的作用下 保持静止或匀速转动，那么这 些力矩可以通过力矩的平衡相
互抵消，即合力矩为零。
03
刚体的平衡条件
根据牛顿第一定律，一个刚体 在力的作用下保持静止或匀速 运动，必须满足两个条件，即 合力为零和合力矩为零。这两 个条件也被称为刚体的平衡条
在分析刚体的平衡问题时，需要计算所有 作用在刚体上的力和力矩，并判断它们是 否满足力矩平衡条件。
力的平衡原理
定义
应用
力的平衡原理是指在刚体上作用的所 有外力在任意轴上的投影代数和为零 ，则刚体平衡。
在分析刚体的平衡问题时，需要计算 所有作用在刚体上的外力在任意轴上 的投影，并判断它们是否满足力的平 衡条件。
《刚体的平衡》ppt课件
目录
• 刚体的平衡概述 • 刚体的平衡形态 • 刚体的平衡原理 • 刚体的平衡应用 • 刚体的平衡问题解决
01
刚体的平衡概述
平衡的定义
01
平衡的定义
02
平衡的分类
平衡是指刚体在力的作用下，通过力的合成或力矩的平衡，使刚体的 状态保持不变或匀速运动。
根据刚体的运动状态，平衡可以分为静态平衡和动态平衡。静态平衡 是指刚体在力的作用下保持静止状态；动态平衡是指刚体在力的作用 下保持匀速运动状态。
复杂问题
如桥梁、高层建筑等大型 结构的平衡问题。
实际应用
如工程设计、机械制造等 领域中的刚体平衡问题。
THANKS
土木工程
在土木工程领域，刚体的平衡在建筑物的地基设计、斜坡稳定性分析等方面具有广泛应用。了解刚体的平衡有助于预 防建筑物因不均匀沉降或滑坡而造成的损坏。
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5
第一节 静力学基本概念及原理
推论2： 三力平衡汇交定理 刚体在三个力作用下处于平衡状态，其中两个力的作用线 汇交于一点，则第三个力的作用线必通过该点，三力组成一平 面汇交力系。
6
第一节 静力学基本概念及原理
4. 作用与反作用定律 两物体间相互作用的一对力，总是大小相等，方向相反，
沿同一直线，并分别作用在这两个物体上。
物体在平面汇交力系作用下平衡的必要和充分条件是合力 等于零，即：
n
FR Fi 0 或： 力多边形自行封闭 i 1 20
第二节 平面汇交力系和平面力偶系
2. 解析法（以力在坐标轴上的投影为基础）
1）力在平面坐标轴上的投影
y
F Fx Fy Fxi Fy j
b2
B
Fy
Fy
F
D FB
梁AB受三个力作用而平衡，如果作出力F、FB作用 线的交点D，则A处反力FA的作用线必过D点。
13
第一节 静力学基本概念及原理
例3-4 多跨梁ABC由ADB、BC两 个简单梁组合而成，受集中力F 和均布荷载q，试画整体及梁ADB、 BC段的受力图。
解：
F
q
FAx A
B FBx
D
FAy
FD
FBy
Fx F cos Fy F cos
a2
A
Fx
o
a1 Fx b1
注意：力在坐标轴上的投影Fx ，Fy
为代数量； Fx （Fy）的指向与 x x （y）轴正向一致时为正，反之为
负
21
第二节 平面汇交力系和平面力偶系
2）力的解析表达式
若投影已知（Fx，Fy已知），可 y 求得 F 的模F及方向余弦
如图 （g）（h） （i）
19
第二节 平面汇交力系和平面力偶系
平面汇交力系： 平面力系中各力的作用线相交于同一点
一、平面汇交力系的合成与平衡
1. 几何法（力多边形法）
平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力等于已知力 系各力的矢量和，其作用线通过力系的汇交点
n
FR F1 F2 Fn Fi i 1
CD杆的受力图能否画为如 若这样画，则AB梁受力图
图(d)所示？
为如图(e)所示
12
第一节 静力学基本概念及原理
例3-3 简支梁AB两端分别固定 在铰支座与滚轴支座上。在C
A
F
C
B
处作用一集中力F，梁的自重
不计。试画出此梁的受力图。
解：取梁AB为研究对象
FAx A
F
C
B
FA A
F
C
B
FAy
FB
F Fx2 Fy2
b2
二力构件 二力杆
3
第一节 静力学基本概念及原理
2. 平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力，可以合成为作用于该点的一个 合力，它的大小和方向由这两个力的矢量为邻边所构成的平行四边 形的对角线来表示。
同一点两个 力的合力是
矢量和
FR F1 F2
F1
FR
A
F2
F1
F2 FR
A
也可用力三角形法则求得合力矢 此公理表明了最简单力系的简化规律，是复杂力系简化的基础
第三章 刚体平衡
静力学： 平衡：
研究物体在力作用下的平衡规律的科学
物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态， 它是机械运动的特殊情形
力系：
作用于物体上的若干力
平衡力系： 作用于物体并使其保持平衡的力系
静力学研究的主要内容：
1.力系的简化
物体上较复杂的力系
与其作用效果相同的简单力系（等效力系）
2.力系的平衡条件
物体处于平衡状态时，作用于物体上的力系应满足的条件
1
第一节 静力学基本概念及原理
一、力的概念
力：
力是物体间的相互机械作用， 能使物体的运动状态和形状发生改变
外效应 内效应
力的三要素： 大小，方向，作用点
力是矢量 F 或 F
矢量的大小（模）： F
2
第一节 静力学基本概念及原理
二、静力学公理
1. 二力平衡公理 作用在刚体上的两个力，使刚体平衡的必要和充分条件是， 两个力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上（等值、反向、 共线）。
5. 解除约束原理 当任何的约束解除时，可用相应的约束反力代替。
7
第一节 静力学基本概念及原理
6. 刚化原理 当变形体在已知力系作用下处于平衡时，若将此变形体
转化为刚体（刚化），则其平衡状态不变
变形体（受拉力平衡）刚化来自刚体（仍平衡）已知处于平衡状态的变形体，可应用刚体静力学平衡条件
刚体平衡所满足的条件，可全部应用于变形体 反之并不成立
刚体（受压平衡）
变形体（不能平衡）
8
第一节 静力学基本概念及原理
三、物体的受力分析与受力图
受力分析： 明确构件受哪些力作用，其中哪些力已知，哪些力未知 受力图： 分离研究对象，解除约束，单独画出研究对象的图形，并 画出作用在它上面的主动力和约束反力
受力图是分离体图
9
第一节 静力学基本概念及原理
例3-1 已知球重为W，各接触面均光滑， 试画出球的受力图。
梁ADB段的受力图
q
F’Bx B
C
F’By
FC
梁BC段的受力图
14
第一节 静力学基本概念及原理
F
q
FAx A FAy
D
B
FD
C
FC
整体受力图
15
第一节 静力学基本概念及原理
例3-5 不计三铰拱桥的自重与 摩擦，画出左、右拱AB，CB 的受力图与结构整体受力图。 解： 右拱CB为二力构件，其受力图 如图（b）所示
4
第一节 静力学基本概念及原理
3. 加减平衡力系公理
在作用于刚体上的任意一个力系中，加上或者去掉任何 一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。
推论1： 力的可传性
作用于刚体上的力可沿其作用线移动，而不改变该力对 刚体的效应。
力在刚体上的作用点被它的作用线代替
力的三要素：
大小，作用线，指向
滑移矢量
16
第一节 静力学基本概念及原理
取左拱AC，其受力图如图 （c）所示
系统整体受力图如图 （d）所示
17
第一节 静力学基本概念及原理
考虑到左拱AC三个力作用下 平衡，也可按三力平衡汇交定 理画出左拱AC的受力图，如 图（e）所示
此时整体受力图如图（f） 所示
18
第一节 静力学基本概念及原理
讨论：若左、右两拱都考虑自重， 如何画出各受力图？
解： 取球为研究对象
画出球的简图
画主动力
W
画约束反力
FRA
FRB
10
第一节 静力学基本概念及原理
例3-2 水平匀质梁AB重为P1，电动机重为P2，不计杆CD的自 重，试画出杆CD和梁AB的受力图。 解： CD杆为二力杆，其受力图
如图(b)所示 则AB梁受力图如图(c)所示
11
第一节 静力学基本概念及原理