重庆市九校联盟2019届高三数学12月联考试题文201901110319

（1）证明：PQ∥平面 ABCD； （2）若 CD⊥BE，EF＝EC＝1， CD 2 FF
2 BC ，求五面体 ABCDFE 的体积． 3
20． 已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F， 过 F 且与 x 轴垂直的直线交该抛物线于 A， B 两点， |AB|＝4． （1）求抛物线的方程； （2）过点 F 的直线 l 交抛物线于 P，Q 两点，若△OPQ 的面积为 4，求直线 l 的斜率（其中 O 为坐标原点）．
2．若复数 z 满足(2+i)z＝3-i，则 z 的虚部为 A．1 B．-1 C．i D．-i
3．函数 f ( x )
log 2 ( x 2 1) 的图象大致是 x
4．已知平面向量 a，b 满足|a|＝2，|b|＝1，且(4a-b)·(a+3b)＝2，则向量 a，b 的夹角 θ 为 A．
2π 3
1 ． 150
设 y 为观众评分的中位数， 由前三组的概率和为 0.40，前四组的概率和为 0.70，知 82＜y＜88， 所以 0.4+(y-82)×0.05＝0.5，则 y＝84． （2）以样本的频率作为概率，评分在“88 分及以上”确定为“足球迷” ，现从“足球迷”中 按分层抽样抽取 5 人，则从评分在区间[88，94)的“足球迷”中抽取 3 人，记为 A，B，C，从 评分在区间[94，100]的“足球迷”中抽取 2 人，记为 a，b． 从 5 人中选取 2 人作进一步的访谈的所有事件为 AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab， 共 10 个基本事件， 这两人中至少有 1 人的评分在区间[94，100]的基本事件有 Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab， 共 7 个基本事件， 则选取的 2 人中至少有 1 人的评分在区间[94，100]上的概率 P 19．（1）证明：因为底面 ABCD 为矩形，所以 AD∥BC．
21．解：（1）因为 f ( x ) e x
x2 2x 2x x ，所以 f ( x ) e x 2 1 (e x 1) 2 ， 2 m m m
所以当 x∈(-∞，0)时，ex-1＜0， 当 x∈(0，+∞)时，ex-1＞0，
2x 0 ，f′(x)＜0； m2
-1-
A．4π+6 B．6π+6 C．4π+3 D．6π+3 8．为了得到 y＝-2cos 2x 的图象，只需把函数 y 3 sin 2 x cos 2 x 的图象 A．向左平移 C．向左平移
π π 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 3 3 π π 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 6 6
2x 0 ，f′(x)＞0． m2
所以 f(x)的单调递减区间是(-∞，0)，单调递增区间是(0，+∞)． （2）由（1）知，f(x)在[-m，0]上单调递减，在[0，m]上单调递增， 故 f(x)在 x＝0 处取得最小值，且 f(0)＝1． 所以对于任意的 x1，x2∈[-m，m]，|f(x1)-f(x2)|≤e-1 的充要条件为
-4-
21．设函数 f ( x ) e x
x2 x． m2
（1）求 f(x)的单调区间； （2）若对于任意 x1，x2∈[-m，m](m＞0)，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求 m 的取值范围． （二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
A．100 B．130 C．150 D．180 11．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若(sin B+sin C)2-sin2(B+C)＝3sin Bsin
C，且 a＝2，则△ABC 的面积的最大值是
-2-
A．
3 2
B． 3
C． 2 3
D．4
x 3 12 x 50 ， 对于任意 x1， x2∈[m-2， m]， 都有|f(x1)-f(x2)| 16m
1 2 y 3 x 3, 6．设 x，y 满足约束条件 y 2 x 1, 则 z＝4x+y 的最小值为 1 y x 4, 2
A．-3 C．-14 B．-5 D．-16
7．某几何体的三视图如图所示（其中俯视图中的曲线是圆弧），则该几何体的表面积为
7 ． 10
-6-
AD 平面ADF BC ∥平面ADF ， BC 平面ADF AD ∥ BC
BC 平面BCPQ BC ∥ PQ ， 平面BCPQ 平面ADF PQ BC ∥平面ADF
PQ 平面ABCD PQ ∥平面ABCD ． BC 平面ABCD PQ ∥ BC
4 ，y1y2＝-4， k
1 4( k 2 1) | y y | ． 1 2 k2 k2
-7-
所以 | PQ | 1
又点 O 到直线 l 的距离 d
| k 0 | k 1
2

|k | k2 1
，
1 2 k2 1 1 3 所以 S△OPQ | PQ | d ． 4 ，解得 k 2 ，即 k 2 |k | 3 3
重庆市九校联盟 2019 届高三数学 12 月联考试题 文
第Ⅰ卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合 A＝{x|3-2x＜-1}，B＝{x|x(2x-5)≤0}，则 A∪B＝
2 A． [ , 2) 5
C．[0，+∞)
5 B． (2, ] 2 5 D． [ , ) 2
-5-
高三数学考试参考答案（文科） 1．C 13．-1 2．B 14． 3．C 4．A 15．
5 2
5．D
6．C
7．A
8．D
9．B
10．D
11．B
12．B
7 25
16． 2 5 6 ①
17．（1）解：因为 an+1＝2Sn+3，
an＝2Sn-1+3． ②
①-②得 an+1-an＝2an，即 an+1＝3an(n≥2)， 所以{an}为从第 2 项开始的等比数列，且公比 q＝3， 又 a1＝3，所以 a2＝9，所以数列{an}的通项公式 an＝3n(n≥2)． 当 n＝1 时，a1＝3 满足上式，所以数列{an}的通项公式为 an＝3n． （2）证明：由（1）知 bn＝log3an＝log33n＝n， 所以
▲ ．16．点 P 在椭圆 1：x2 y2 1 上，C1 的右焦点为 F，点 Q 在圆 C2：x2+y2+6x-8y+21＝0 上， 4 3
则|PQ|-|PF|的最小值为
▲
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，每个试题 考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题 17．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝3，an+1＝2Sn+3(n∈N*)． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设 bn＝log3an，若数列 {
12． 设 0＜m≤2， 已知函数 f ( x ) ≤1，则实数 m 的取值范围为
5 A． [ , 2] 3 1 C． [ ,1] 3
4 B． [ , 2] 3 2 D． [ ,1] 3
第Ⅱ卷
二、填空题：把答案填在答题卡中的横线上．
x 2, x 0 3 13．已知函数 f ( x ) ，则 f ( f ( )) 2 log 2 x, x 0
（2）解：由 CD⊥BE，CD⊥CB，易证 CD⊥CE， 由 BC⊥CD，BC⊥FD，易证 BC⊥平面 CDFE，所以 CB⊥CE， 即 CD，CE，CB 两两垂直．
1 连接 FB，FC，则 CD＝2，BC＝3， VF ABCD (2 3) 1 2 ， 3 1 1 1 VF BCE ( 3 1) 1 ， 3 2 2 VABCDEF VF ABCD VF BCE 2 1 5 ． 2 2
x 5cos , 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （α 为参数）．M 是曲线 C1 上的动 y 5 5sin
点，将线段 OM 绕 O 点顺时针旋转 90°得到线段 ON，设点 N 的轨迹为曲线 C2．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C1，C2 的极坐标方程； （2）在（1）的条件下，若射线
1 1 1 1 ， bn bn1 n( n 1) n n 1
1 1 1 1 1 所以 Tn (1 ) ( ) … ( ) 2 2 3 n n 1 1 1 1 得证． n 1
18．解：（1）因为(a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6＝1， 所以 a
▲
．
7 2 14．已知 sin cos ， 2sin cos ，则 cos 2α＝ 5 5
▲
．
15．如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，已知四边形 ABCD 是直角梯形，∠BAD＝90°，AB∥
CD，AB＝AD＝AA1＝1，CD＝2，E 为 BB1 的中点，则直线 AD 与直线 CE 所成角的正切值为
B．
π 3
C．
π 2
D．
π 6 1 ，则 xf(x)≥0 的解集为 2
5．已知函数 f(x)为 R 上的奇函数，当 x＜0 时， f ( x ) 2 x A．[-1，0)∪[1，+∞) C．[-1，0]∪[1，+∞) B．(-∞，-1]∪[1，+∞) D．(-∞，-1]∪{0}∪[1，+∞)