中考数学考点跟踪训练47-方程与函数相结合型综合问题
考点跟踪训练47 方程与函数相结合型综合问题一、选择题1．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2－1与x 轴的交点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B解析 令y ＝0，得x 2－1＝0，x ＝1或－1，抛物线交x 轴于点(1,0)，(－1,0)． 2．(2011·兰州)如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b 2－4ac >0；(2)c >1；(3)2a －b <0；(4)a ＋b ＋c <0.你认为其中错误．．的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个答案 D解析 由抛物线与x 轴交于两点，可知关于x 的二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，则b 2－4ac >0；又抛物线的对标轴直线x ＝－b2a>－1，而a <0，所以b >2a,2a －b <0；当x ＝1时，函数值y ＝a ＋b ＋c <0，信息(1)，(3)，(4)正确；抛物线与y 轴交于点(0，c )，在点(0,1)下方，c <1，信息(2)错误．3．(2011·潍坊)已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两个实数根x 1、x 2满足x 1＋x 2＝4和x 1·x 2＝3，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象有可能是( )答案 C解析 由x 1＋x 2＝4和x 1x 2＝3，可解得两根为1、3，抛物线与x 轴交点为(1,0)，(3,0)，选C.4．(2011·呼和浩特)已知一元二次方程x 2＋bx －3＝0的一根为－3，在二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象上有三点⎝⎛⎭⎫－45，y 1、⎝⎛⎭⎫－54，y 2、⎝⎛⎭⎫16，y 3，y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ． y 1<y 2<y 3 B ．y 2<y 1<y 3C ． y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 3<y 2 答案 A解析 当方程的一根为x ＝－3时，(－3)2－3b －3＝0，b ＝2，所以y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，∴对称轴x ＝－1，∴x ＝－54与x ＝－34时y 值相同，∵在x ＝－1右侧，y 随x 增大而增大，∴y 1<y 2<y 3，选A.5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0的根的情况是( )A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根 答案 D解析 画直线y ＝－2，与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于两点，且在第四象限，故方程ax 2＋bx ＋c ＝－2，有两个不等的正数根．二、填空题 6．(2008·义乌)李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出这个函数的一个特征．甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象也经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y 随x 增大而增大．在你学过的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式____________________．答案 形如y ＝kx ＋b (k >0，b >0)或y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b >0)7．要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x 轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，测得A 点的坐标为(0,3)，B 点的坐标为(6,5)，则从A 、B 两点到奶站距离之和的最小值是__________．答案 10解析 如图，画点A 关于x 轴的对称点A 1，其坐标为(0，－3)，根据两点之间线段最短，可知AC 、BC 距离之和的最小值为线段A 1B ，画BD ⊥y 轴于D ，在Rt △A 1BD 中，A 1D ＝3＋5＝8，BD ＝6，所以A 1B ＝62＋82＝10.8．(2010·绥化)已知关于x 的分式方程a ＋2x ＋1＝1的解是非正数，则a 的取值范围是____________．答案 a ≤－1且a ≠－2解析 去分母，a ＋2＝x ＋1，∵x ≠－1，a ≠－2，x ＝a ＋1≤0，∴a ≤－1且a ≠－2.9．(2008·西宁)如图所示的是函数y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 的图象，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝mx ＋n 的解关于原点对称的点的坐标是___________．答案 (－3，－4)解析 两直线y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 交于点(3,4)，所以关于原点对标的点的坐标为(－3，－4)．10．如图，点D 的纵坐标等于______________；点A 的横坐标是方程______________的解；大于点B 的横坐标是不等式______________的解集；点C 的坐标是方程组______________的解；小于点C 的横坐标是不等式______________的解集．答案 b ；k 1x ＋b 1＝0；kx ＋b ＜0；⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋b 1，y ＝kx ＋b ；kx ＋b ＞k 1x ＋b 1三、解答题11．如果一个二次函数的图象经过点A (6,10)，与x 轴交于B 、C 两点，点B 、C 的横坐标为x 1、x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5.求这个二次函数的解析式．解 ∵这个二次函数的图象与x 轴交于B (x 1,0)、C (x 2,0)两点， ∴这个二次函数的解析式是y ＝a (x －x 1)(x －x 2)， 即y ＝a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]． ∵x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5， ∴y ＝a (x 2－6x ＋5)．∵这个二次函数的图象经过点A (6,10)， ∴a ×(62－6×6＋5)＝10， 解之，得a ＝2，∴所求二次函数的解析式为：y ＝2x 2－12x ＋10.12．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角尺ABC 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C 的坐标为(－1,0)，点B 在抛物线y ＝ax 2＋ax －2上．(1)点A 的坐标为________，点B 的坐标为________； (2)抛物线的关系式为________________；(3)设(2)中抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积； (4)将三角尺ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°，到达△AB ′C ′的位置．请判断点B ′、C ′是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．解 (1)A (0,2)，B (－3,1)． (2)y ＝12x 2＋12x －2.(3)如图①，可求得抛物线的顶点D ⎝⎛⎭⎫－12，－178.设直线BD 的关系式为y ＝kx ＋b ，将点B 、D 的坐标代入，求得k ＝－54，b ＝－114，∴BD 的关系式为y ＝－54x －114.设直线BD 和x 轴交点为E ， 则点E ⎝⎛⎭⎫－115，0，CE ＝65.∴△DBC 的面积为12×65×⎝⎛⎭⎫1＋178＝158. (4)如图②，过点B ′作B ′M ⊥y 轴于点M ，过点B 作BN ⊥y 轴于点N ，过点C ′作C ′P ⊥y轴于点P .在Rt △AB ′M 与Rt △BAN 中，∵AB ＝AB ′，∠AB ′M ＝∠BAN ＝90°－∠B ′AM ， ∴Rt △AB ′M ≌Rt △BAN .∴B ′M ＝AN ＝1，AM ＝BN ＝3，∴B ′(1，－1)．同理：△AC ′P ≌△CAO ，C ′P ＝OA ＝2，AP ＝OC ＝1， ∴C ′(2,1)．将点B ′、C ′的坐标代入y ＝12x 2＋12x －2，可知点B ′、C ′在抛物线上(事实上，点P与点N 重合)．13．已知抛物线y ＝(9－m 2)x 2－2(m －3)x ＋3m 的顶点D 在双曲线y ＝－5x上，直线y ＝kx＋c 过点D 和点C (a ，b )，且y 随x 的增大而减小，a 、b 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－3＝0，2a 2－5ab ＋2b 2＝0.求直线y ＝kx ＋c 的解析式．解 ∵y ＝(9－m 2)x 2－2(m －3)x ＋3m ，∴抛物线的顶点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＋3，3m 2＋10m －3m ＋3.∵点D 在双曲线y ＝－5x 上，∴⎝⎛⎭⎫－1m ＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 2＋10m －3m ＋3＝－5，整理得：m 2＋10m ＋24＝0， 解之，得m 1＝－4，m 2＝－6，∴D 点的坐标为D 1(1，－5)或D 2⎝⎛⎭⎫13，－15. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2－3＝0，2a 2－5ab ＋2b 2＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，b 1＝－1，，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴C 点的坐标为C 1(－2，－1)或C 2(2,1)．∵直线y ＝kx ＋c 经过D 、C 两点，且y 随x 的增大而减小， ∴点C 2(2,1)不合题意，舍去．∴直线x 1y ＝kx ＋c 经过点D 1(1，－5)和点C 1(－2，－1)或点D 2⎝⎛⎭⎫13，－15和C 1(－2，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋c ＝－5，－2k ＋c ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋c ＝－15，－2k ＋c ＝－1，解之，得⎩⎨⎧k ＝－43，c ＝－113，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－6，c ＝－13. ∴这条直线的解析式为y ＝－43x －113或y ＝－6x －13.。
初一数学下册综合算式专项练习题函数与方程的联系
初一数学下册综合算式专项练习题函数与方程的联系初一数学下册综合算式专项练习题：函数与方程的联系在初一数学下册中，综合算式是一个重要的学习内容，其中涉及到函数与方程的联系。
函数与方程是数学中的两个概念，它们之间有着密切的联系。
本文将通过一些综合算式专项练习题的解答，来深入探讨函数与方程的联系。
练习题一：已知函数f(f)=ff^2+ff+f，若函数的图象与直线f=f+1相交于点(2,3)，试求f、f、f的值。
解答：由于函数的图象与直线相交于点(2,3)，代入得方程3=2+1，解得方程f(2)=f(2)^2+f(2)+f=3，即4f+2f+f=3。
练习题二：求方程f^2−5f+4=0的根。
解答：将方程化为函数f(f)=f^2−5f+4=0，记为根函数f(f)。
则根函数的解为f(f)=0的f值，即f(f)=0的f值。
我们可以通过求解方程f(f)=0来求得根函数的解。
练习题三：已知函数f(f)=ff^3+ff^2+ff+f，若函数的图象与直线f=0相交于点(1,0)和点(−1,0)，求f、f、f、f的值。
解答：由于函数的图象与直线相交于点(1,0)和点(−1,0)，代入得方程0=f(1)^3+f(1)^2+f(1)+f=f+f+f+f=0，以及0=f(−1)^3+f(−1)^2+f(−1)+f=−f+f−f+f=0。
解这个方程组，可以得到f=0，f=0，f=0，f=0。
通过以上练习题的解答可以看出，函数与方程之间的联系十分紧密。
在练习题一中，通过函数与直线的交点来确定函数的参数；在练习题二中，我们将方程转化为函数来求解其根；在练习题三中，函数与直线的交点可以帮助我们求解函数的参数。
综合来说，函数与方程的联系体现在函数是方程的一种特殊形式，而方程是函数的解集。
函数通过方程来表示，在求解方程时，我们可以将它转化为函数的表达式，通过函数的性质来求解。
反过来，方程的解也是函数的零点，可以通过函数的图象与交点来求得。
中考数学(要点 自测 题型 易错)复习课件：第49课 方程、函数与几何相结合型综合问题
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代数几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、 方程与不等式、函数、几何中的三角形、四边形、圆等图形 的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内 容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题， 如探究条件、探究结论、探究存在性等．经常考查的题目类 型主要有坐标系中的几何问题(简称坐标几何问题)，以及图 形运动过程中求函数解析式问题等．
【例 2】 (2012·连云港) 如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点， 点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上， 四边形 OCEF 为矩形，且 OF＝2，EF＝3. (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD 的面积； (3)将△AOC 绕点 C 逆时针旋转 90°， 点 A 对应点为点 G，问点 G 是否在 该抛物线上？请说明理由．
解答下列问题：如图②，抛物线顶点坐标为点 C(1，4)，交 x 轴于点 A(3，0)，交 y 轴于点 B. (1)求抛物线和直线 AB 的解析式； (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接 PA、
PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求△CAB 的铅垂高 CD 及 S△CAB； 9
(3)是否存在一点 P，使 S△PAB＝8S△CAB？若存在，求出 P 点的坐 标；若不存在，请说明理由．
2≤x<3
2)．
故选 B.
【例 1】 阅读材料：如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与 水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽(a)”，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长 度叫△ABC 的“铅垂高(h)”．我们可得出一种计算三角形 1 面积的新方法：S△ABC＝2ah，即三角形面积等于水平宽与铅 垂高乘积的一半．
初三数学下册综合算式专项练习题函数方程的解法
初三数学下册综合算式专项练习题函数方程的解法函数方程的解法是数学中的重要基础知识点，对于初三学生来说，掌握这一内容是非常重要的。
在下面的文章中，我将为大家介绍一些初三数学下册综合算式专项练习题函数方程的解法。
一、一元一次方程一元一次方程是函数方程的一种简单形式。
它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。
解一元一次方程的基本步骤如下：1. 去括号：如果方程中有括号，需要先去括号。
2. 移项：将含有未知数x的项移到方程的一边，把常数项移到方程的另一边。
3. 合并同类项：对方程两边的同类项进行合并。
4. 系数化为1：将未知数的系数化为1，即将等号两边的未知数的系数化为1。
5. 求解方程：通过分析方程的形式，得到未知数x的值。
例如，解方程2x + 3 = 7：首先，去括号得到2x + 3 = 7。
然后，移项得到2x = 7 - 3，即2x = 4。
接着，合并同类项得到2x = 4。
然后，系数化为1得到x = 4 / 2，即x = 2。
所以，方程2x + 3 = 7的解为x = 2。
二、一元二次方程一元二次方程是函数方程中较为复杂的一种形式。
它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。
解一元二次方程的基本步骤如下：1. 判别式：计算判别式Δ = b^2 - 4ac。
2. 讨论解的情况：根据判别式的大小，讨论方程有一组实数解、无实数解还是有两组实数解。
3. 求解方程：根据方程的形式，通过求根公式或配方法，求出方程的解。
例如，解方程x^2 - 2x - 3 = 0：首先，计算判别式Δ = (-2)^2 - 4(1)(-3)，得到Δ = 4 + 12，即Δ = 16。
然后，根据Δ的大小，讨论解的情况。
由于Δ大于0，所以方程有两组实数解。
接着，求解方程。
根据求根公式x = (-b ± √Δ) / (2a)，得到x = (2 ±√16) / (2)，即x = (2 ± 4) / 2。
初中中考复习之方程、不等式和函数的综合(精编含答案)
中考复习之方程、不等式和函数的综合一、选择题：1.下列函数中，当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而增大的有【 】 ①y=x ②y=－2x ＋1 ③1y=x- ④2y=3x A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个2.已知关于x 的方程22(x 1)(x b)2++-=有唯一实数解，且反比例函数1by x+=的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 A. 3y x =-B. 1y x =C. 2y x =D. 2y x=- 3.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D4.二次函数2()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过【 】 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限 5. 已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1y=2x上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=﹣abx 2+（a+b ）x 【 】A ．有最大值，最大值为92-B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为92-二、解答题1.一辆警车在高速公路的A 处加满油，以每小时60千米的速度匀速行驶．已知警车一次加满油后，油箱内的余油量y （升）与行驶时间x （小时）的函数关系的图象如图所示的直线l 上的一部分． （1）求直线l 的函数关系式；（2）如果警车要回到A 处，且要求警车中的余油量不能少于10升，那么警车可2.“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：（1）在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？3.在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B 村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙工程队每天修公路多少米？（2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式．（3）若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？4.温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。
中考数学总复习 考点跟踪训练57 方程、函数与几何相结合型综合问题(无答案)(2021学年)
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考点跟踪训练57 方程、函数与几何相结合型综合问题Ａ组基础过关练一、选择题1．(2013苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4)，顶点A在x轴的正半轴上,反比例函数y=错误!(x>0）的图象经过顶点B,则k的值为( )Ａ. 12 B．20Ｃ。
24 D. 32２. (2012福州)如图,过点C(1，２)分别作x轴、y轴的平行线,交直线y=-x＋6于A、B两点,若反比例函数y=＼f（ｋ,x）(x>0)的图像与△AＢＣ有公共点,则k的取值范围是（)A。
2≤k≤９B。
2≤k≤８C. 2≤k≤5D. 5≤k≤83．（2０14铜仁）如图所示,在矩形ＡBCD中，Ｆ是DＣ上一点,AE平分∠BＡF交BC于点E，且DＥ⊥AF，垂足为点M，BＥ＝3,AE＝2６，则ＭＦ的长是( )A。
错误!B。
错误!C．1 D。
错误!４。
(２0１4丽水)如图，AB=４，射线BＭ和ＡB互相垂直,点Ｄ是AB上的一个动点,点E在射线BM上，BE＝＼f(1，2)DB,作EF⊥ＤE并截取EF=DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设ＢE＝x,BC＝ｙ,则ｙ关于x的函数解析式是( )A。
y＝-＼f(1２x,ｘ－4) B. y＝-＼f（2ｘ,x-1)Ｃ．y=-错误! D. y＝－错误!二、填空题５. (２01４黔东南）在如图所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1，0），B(2，０）是x轴上的两点,则PＡ+PＢ的最小值为＿＿__＿_＿_.6. (2014孝感)如图,Rt△ＡOＢ的一条直角边OB在x轴上,双曲线ｙ=错误!经过斜边OA的中点Ｃ，与另一直角边交于点D.若S△OＣD＝9，则S△ＯBD的值为____＿_＿_．７。
中考数学 专题 方程、函数与几何相结合型综合问题题型专讲专练课件(12、13真题为例)
3.
【例 3】（2013·宁波）如图，在平面直角坐标系中， O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标 为（4，0），点C的坐标为（－4，0），点P在射线 AB上运动，连接CP与y轴交于点D，连接BD.过P，D， B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q 于点F，连接EF，BF.
（1）求直线AB的函数解析式；
解 (1)当 k＝－2 时，A(1，－2)， ∵点 A 在反比例函数图象上， m ∴设反比例函数的解析式为：y＝ ， x m 将 A(1，－2)代入得，－2＝ ，解得 m＝－2， 1 2 ∴反比例函数的解析式为：y＝－ . x
(2)要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大， 则 k＜0， 1 2 5 2 ∵二次函数 y＝k(x ＋x－1)＝k(x＋ ) － k， 2 4 1 对称轴为直线 x＝－ ， 2 2 要使二次函数 y＝k(x ＋x－1)满足上述条件， 在 k＜0 的情况下，x 必须在对称轴的左边， 1 即 x＜－ 时，才能使得 y 随着 x 的增大而增大． 2 1 ∴综上所述，k＜0 且 x<－ . 2
对应训练
（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O，B重 合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右 侧），连接OD，BD. ①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标； ②求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.
（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求 OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于 点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA， PO.是否存在这样的点P，使以P，O，A为顶点的三角 形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标； 若不存在，请说明理由.
九年级数学下册综合算式专项练习题方程与函数的综合运用
九年级数学下册综合算式专项练习题方程与函数的综合运用九年级数学下册综合算式专项练习题——方程与函数的综合运用一、简介方程与函数是九年级数学中的重要内容，是数学学习中的核心概念之一。
本文将针对九年级数学下册综合算式专项练习题进行分析和解答，旨在帮助同学们加深对方程与函数的理解和应用能力。
二、方程的应用1.问题一：苹果的单价问题描述：苹果市场价的1/4小于32元，求苹果的单价。
解答过程：设苹果的单价为x元，则根据题目中的条件可以建立方程：1/4x < 32解这个方程可得x < 32 × 4 = 128，因此苹果的单价小于128元。
2.问题二：年龄之和问题描述：某人今年的年龄是去年的2/3，求今年和去年的年龄之和。
解答过程：设去年的年龄为x岁，今年的年龄为2/3x岁，根据题目中的条件可以建立方程：x + 2/3x = x(1 + 2/3) = 5/3x因此，今年和去年年龄之和为5/3x岁。
三、函数的应用1.问题一：线性函数问题描述：某商店促销活动中，商品售价与销量之间的关系可以用线性函数y = 50 - 2x表示，其中x为商品销量（单位：件），y为商品售价（单位：元）。
求当销量为30件时商品售价为多少。
解答过程：代入x = 30到函数中，可得y = 50 - 2 × 30 = 50 - 60 = -10因此，当销量为30件时，商品售价为10元。
2.问题二：二次函数问题描述：投掷一个石子，其高度（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系可以用二次函数y = -5t^2 + 10t + 20表示。
求石子达到的最高高度和达到最高高度的时间点。
解答过程：由二次函数的顶点公式可知，最高点的坐标为(t, y) = (-b/2a, f(-b/2a))，其中a = -5，b = 10。
代入到公式中，可得：t = -10 / (2 × -5) = 1（秒）y = -5 × 1^2 + 10 × 1 + 20 = 25（米）因此，石子达到的最高高度为25米，达到最高高度的时间点为1秒。
中考数学一轮复习考点跟踪训练47方程与函数相结合型综合问题试题
考点跟踪训练47 方程与函数相结合型综合问题一、选择题(每一小题6分，一共30分)1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是( ) A．3 B．2C．1 D．02．(2021·)如下图的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a错误．．的有( )A．2个 B．3个C．4个 D．1个3．(2021·)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个实数根x1、x2满足x1＋x2＝4和 x1·x2＝3，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象有可能是( )4．(2021·)如图为反比例函数y ＝1x在第一象限的图象，点A 为此图象上的一动点，过( )A ．4B ．3C ．2D ．15．(2021·)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1，0)．设 t ＝a ＋b ＋1，那么t 值的变化范围是( )A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜1二、填空题(每一小题6分，一共30分)6.(2021·)如图，直线y ＝kx ＋b 经过A(3，1)和B(6，0)两点，那么不等式组0＜kx ＋b ＜13x 的解集为________．7．关于x 的分式方程 a ＋2x ＋1＝1的解是非正数，那么a 的取值范围是________．8．(2021·)新定义：[a ，b]为一次函数y ＝ax ＋b(a≠0，a 、b 为实数)的“关联数〞．假设“关联数〞[1，m －2]的一次函数是正比例函数，那么关于x 的方程1x －1＋1m＝1的解为 ______________．9．(2021·黔东南)设函数y ＝x －3与y ＝2x 的图象的两个交点的横坐标为a 、b ，那么1a ＋1b＝ ________．10．(2021·)如图，第一象限内的图象是反比例函数y ＝1x图象的一个分支，第二象 限内的图象是反比例函数y ＝－2x图象的一个分支，在x 轴的上方有一条平行于x 轴的 直线l 与它们分别交于点A 、B ，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D.假设四边 形ABCD 的周长为8且AB ＜AC ，那么点A 的坐标为________．三、解答题(每一小题20分，一共40分)11．假如一个二次函数的图象经过点A(6，10)，与x 轴交于B 、C 两点，点B 、C 的横坐标 为x 1、x 2，且x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝5.求这个二次函数的解析式．12．(2021·)关于x 的一元二次方程(x －m)2＋6x ＝4m －3有实数根．(1)求m 的取值范围；(2)设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1·x2－x21－x22的最大值．四、附加题(一共20分)13．(2021·)(1)一元二次方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)的两根为x1、x2.求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q；(2)抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于A、B两点，且过点(－1，－1)，设线段AB的长为d，当p为何值时，d2获得最小值，并求出最小值．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
中考数学总复习考点跟踪训练57方程函数与几何相结合型综合问题试题
考点跟踪训练57 方程、函数与几何相结合型综合问题A 组 根底过关练一、选择题1. (2021)如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4)，顶点A 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象经过顶点B ，那么k 的值是( )A. 12B. 20C. 24D. 322. (2021)如图，过点C(1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、B 两点，假设反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图像与△ABC 有公一共点，那么k 的取值范围是( )A. 2≤k ≤9B. 2≤k ≤8C. 2≤k ≤5D. 5≤k ≤83. (2021)如下图，在矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，AE 平分∠BAF 交BC 于点E ，且DE⊥AF，垂足为点M ，BE ＝3，AE ＝26，那么MF 的长是( )A. 15B. 1510C. 1D.15154. (2021)如图，AB ＝4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE ＝12DB ，作EF⊥DE 并截取EF ＝DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C.设BE ＝x ，BC＝y ，那么y 关于x 的函数解析式是( )A. y ＝－12x x －4B. y ＝－2xx －1C. y ＝－3x x －1D. y ＝－8xx －4二、填空题5. (2021黔东南)在如下图的平面直角坐标系中，点P 是直线y ＝x 上的动点，A(1，0)，B(2，0)是x 轴上的两点，那么PA ＋PB 的最小值为________．6. (2021)如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝kx经过斜边OA 的中点C ，△OCD＝9，那么S △OBD 的值是________．7. (2021)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16cm ，AD 为BC 边上的高．动点P从点A 出发，沿A→D 方向以2cm /s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间是为t 秒(0＜t ＜8)，那么t ＝________秒时，S 1＝2S 2.8. (2021)如图，边长为n 的正方形OABC 的边OA 、OC 在坐标轴上，点A 1、A 2…A n －1为OA 的n 等分点，点B 1、B 2…B n －1为CB 的n 等分点，连接A 1B 1、A 2B 2…A n －1B n －1，分别交曲线y ＝n －2x (x ＞0)于点C 1、C 2…C n －1.假设C 15B 15＝16C 15A 15，那么n 的值是________．(n 为正整数)B 组 才能提升练1. (2021)如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k ＞0，x ＞0)交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝kx (k ＞0，x ＞0)交于点B ，假设OA ＝3BC ，那么k 的值是( )A. 3B. 6C. 94D. 922. (2021)如图，在以点O 为原点的平面直角坐标系中，一次函数y ＝－12x ＋1的图象与x轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，且OC ＝12AB ，反比例函数y ＝kx 的图象经过点C ，那么所有可能的k 值为________．3. (2021)如图，将透明三角形纸片PAB 的直角顶点P 落在第四象限，顶点A 、B 分别落在反比例函数y ＝kx 图象的两支上，且PB⊥x 于点C ，PA ⊥y 于点D ，AB 分别与x 轴、y 轴相交于点E 、F.B(1，3)． (1)k ＝________； (2)试说明AE ＝BF ；(3)当四边形ABCD 的面积为214时，求点P 的坐标．4. (2021)如图，△ABC 中，AB ＝BC ，AC ＝8，tan A ＝k ，P 为AC 边上一动点，设PC ＝x ，作PE∥AB 交BC 于E ，PF ∥BC 交AB 于F. (1)证明：△PCE 是等腰三角形；(2)EM 、FN 、BH 分别是△PEC、△AFP、△ABC 的高，用含x 和k 的代数式表示EM 、FN ，并探究EM 、FN 、BH 之间的数量关系；(3)当k＝4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式；x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2013年中考数学一轮复习 第47课 方程与函数相结合型综合问题
知能迁移 1 (2012·北京通州二模) 已知关于 x 的方程 mx － (3m－1)x＋2m－2＝0. (1)求证：无论 m 取任何实数时，方程恒有实数根； 2 (2)若关于 x 的二次函数 y＝mx －(3m－1)x＋2m－2 的图象 经过坐标原点(0，0)，求抛物线的解析式； (3)在直角坐标系 xoy 中，画出(2)中的函数图象，结合图 象回答问题：当直线 y＝x＋b 与(2)中的函数图象只有 两个交点时，求 b 的取值范围．
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一个联系
函数与方程虽是两个不同的数学概念，但它们之间相 互联系、相互渗透，一个函数若有表达式，那么这个表达 式就可以看成是一个方程，它的两端可以分别看成函数， 因此，许多有关方程的问题可用函数的方法解决；反之， 许多有关函数的问题也可以用方程的方法解决．
两个思想
方程思想、函数思想的实质是提取问题的数学特征， 用联系和变化的观点研究数学对象，抽象其数量特征，以 建立函数关系．很明显，只有在对问题的观察、分析、判 断等一系列的思维过程中，具备深刻、独特的思维品质， 才能构造出函数模型，化归为方程的问题，实现函数与方
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解 (1)分两种情况讨论： ①当 m＝0 时，方程为 x－2＝0， ∴x＝2，方程有实数根； ②当 m≠0 时，一元二次方程的根的判别式为： 2 2 2 △ ＝[－(3m－1)] －4m(2m－2)＝9m －6m＋1－8m ＋8m 2 2 ＝m ＋2m＋1＝(m＋1) ≥0， 不论 m 为何实数，△≥0 成立， ∴方程恒有实数根． 综合①、②可知，m 取任何实数， 2 方程 mx －(3m－1)x＋2m－2＝0 恒有实数根．
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当点 P 为(－1，3)时，根据题意， 3＝－k1－1， k1＝－4， 得 k2 解得 k2＝－3， 3＝－1， 3 ∴y＝－4x－1，y＝－ . x 当点 P 为(1，1)时，根据题意， 1＝k1－1， k1＝2， 得 k2 解得 k2＝1， 1＝ 1 ， 1 ∴y＝2x－1，y＝ . x ∴一次函数的解析式为 y＝－4x－1 或 y＝2x－1， 3 1 对应的反比例函数的解析式为 y＝－ 或 y＝ . x x