第四章三铰拱
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结构力学第4章 三铰拱
0 N D右 QD右 sin D H cos D 12 0.555 10.5 0.832 15.4kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
§4-3 三铰拱的合理轴线
一、合理拱轴线的概念 在给定荷载作用下使拱内各截面处弯矩与剪力 都等于零,只有轴力时的拱轴线。 只适合于三铰平拱受 二、合理拱轴线的确定 竖向荷载作用
由上述的内力计算公式发现：
① 三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有关。 ② 由于推力的存在，拱的弯矩比简支代梁的弯矩要小 ③ 三铰拱在竖向荷载作用下存在轴向受压。
注意： 1）该组公式仅适合平拱, 且承受竖向荷载；
2） 拱轴切线倾角k在拱的左半跨取正，右半跨取负；
三、内力图 （1）画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。
拱的合理轴线。设填土的容重为γ ，拱所受的竖向分布荷载为q = qC+γy。
解：将式 y M /H 对x微分两次，得
0
qC
x
d 2 y 1 d 2M0 dx 2 H dx 2
qC+γy A
C
f
q(x)为沿水平线单位长度的荷载值，则 l/2 l/2 d 2 y q(x) d 2M0 2 q(x) 2 dx dx H y 将q=qC+γy代入上式，得： 常数A和B可由边界条件确定： q qC d2y γ x 0, y 0 : A C y γ 2 dx H H dy 该微分方程的解可用双曲函数表示： q γ γ y Ach x Bsh x C H H γ
VAl P b1 P2b2 0 1
P b1 P2b2 VA 1 l Pi bi 0 VA l
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
§4-3 三铰拱的合理轴线
一、合理拱轴线的概念 在给定荷载作用下使拱内各截面处弯矩与剪力 都等于零,只有轴力时的拱轴线。 只适合于三铰平拱受 二、合理拱轴线的确定 竖向荷载作用
由上述的内力计算公式发现：
① 三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有关。 ② 由于推力的存在，拱的弯矩比简支代梁的弯矩要小 ③ 三铰拱在竖向荷载作用下存在轴向受压。
注意： 1）该组公式仅适合平拱, 且承受竖向荷载；
2） 拱轴切线倾角k在拱的左半跨取正，右半跨取负；
三、内力图 （1）画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。
拱的合理轴线。设填土的容重为γ ，拱所受的竖向分布荷载为q = qC+γy。
解：将式 y M /H 对x微分两次，得
0
qC
x
d 2 y 1 d 2M0 dx 2 H dx 2
qC+γy A
C
f
q(x)为沿水平线单位长度的荷载值，则 l/2 l/2 d 2 y q(x) d 2M0 2 q(x) 2 dx dx H y 将q=qC+γy代入上式，得： 常数A和B可由边界条件确定： q qC d2y γ x 0, y 0 : A C y γ 2 dx H H dy 该微分方程的解可用双曲函数表示： q γ γ y Ach x Bsh x C H H γ
VAl P b1 P2b2 0 1
P b1 P2b2 VA 1 l Pi bi 0 VA l
三铰拱的内力计算
A B
XA YA
O
4m
4m
XB
XA
A YA
YB
将拱从K位置截开，取AK。 ΣmK=0； M K YA 2 X A 2 3 0, MK=－1.464kN.m(外侧受拉)
C
两铰A、B间距 l 称为拱跨；
l/2
l/2
计算图示三铰拱Ｋ截面的内力。 P
K C
C
f
XC
y
A
B
f
A
XA YA
x l/2 l/4
XB
XA
YC YA l/2
l/4 YB
求三铰拱的内力必须先求支座反力。
l 1 取整体，求竖向反力： ΣmB=0； YA l P 0, YA P 4 4
P
A K B
XA YA
x l
l/4
ＭK=YA· x
YB
比较可知，三铰拱横截面的弯矩要比同跨度简支梁对应截面 的弯矩小。梁与拱的承载能力主要取决于弯矩，同跨度、同截面 的三铰拱要比简支梁承载能力大。
合理选择拱的轴线可使横截面的弯矩为零。使拱各截面的弯 矩皆为零的轴线称为合理拱轴线，如均布荷载下三铰拱的合理拱 轴线为抛物线。 【例4—1】求图示半圆形三铰拱K截面的弯矩。 P=4kN C
由
ΣX=0； NKcosα+QKsin α+XA=0
ΣY=0； NKsinα－QKcosα+YA=0
求K截面的轴力NK和剪力QK。
P
K
C
MK
K
α NK QK
Hale Waihona Puke f yA By XB XA
A
XA YA
x
x
l/2 l/4 l/4 YB
XA YA
O
4m
4m
XB
XA
A YA
YB
将拱从K位置截开，取AK。 ΣmK=0； M K YA 2 X A 2 3 0, MK=－1.464kN.m(外侧受拉)
C
两铰A、B间距 l 称为拱跨；
l/2
l/2
计算图示三铰拱Ｋ截面的内力。 P
K C
C
f
XC
y
A
B
f
A
XA YA
x l/2 l/4
XB
XA
YC YA l/2
l/4 YB
求三铰拱的内力必须先求支座反力。
l 1 取整体，求竖向反力： ΣmB=0； YA l P 0, YA P 4 4
P
A K B
XA YA
x l
l/4
ＭK=YA· x
YB
比较可知，三铰拱横截面的弯矩要比同跨度简支梁对应截面 的弯矩小。梁与拱的承载能力主要取决于弯矩，同跨度、同截面 的三铰拱要比简支梁承载能力大。
合理选择拱的轴线可使横截面的弯矩为零。使拱各截面的弯 矩皆为零的轴线称为合理拱轴线，如均布荷载下三铰拱的合理拱 轴线为抛物线。 【例4—1】求图示半圆形三铰拱K截面的弯矩。 P=4kN C
由
ΣX=0； NKcosα+QKsin α+XA=0
ΣY=0； NKsinα－QKcosα+YA=0
求K截面的轴力NK和剪力QK。
P
K
C
MK
K
α NK QK
Hale Waihona Puke f yA By XB XA
A
XA YA
x
x
l/2 l/4 l/4 YB
建筑力学 第四章 三铰拱
第四章 三铰拱
§4-1 概述 一、实例——拱桥 拱桥是承受轴向压力为主的拱圈或拱肋作为主要 承重构件的桥梁,拱结构由拱圈(拱肋)及其支座组成。
赵州桥，建于隋大业(公元605-618)年间
第四章 三铰拱
世界上最古老的铸铁拱桥（1781年，英国科尔布鲁克 代尔桥)
第四章 三铰拱
万县长江大桥：主跨420米，桥面宽24米，世界上跨度 最大的混凝土拱桥
第四章 三铰拱
[例4-1]三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。
解: (1) 反力计算
4 4 1 8 12 0 VA VA 16 7kN
1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
C D 4f y (x) 2 x (l x ) l 8m 4m 4m 4kN 4kN 4m
静定拱
三铰拱
两铰拱
超静定拱
无铰拱
第四章 三铰拱
四、拱的有关概念
顶铰 拱轴线 平拱 拱趾铰 拱趾铰 拱轴线
拱（矢）高
跨度
斜拱
拉杆拱
第四章 三铰拱
§4-2 三铰拱的支座反力和内力 一、支反力 1、竖向反力 A M A 0, VBl M ABP 0 H A
M ABP VB l l 同跨度同荷载简支梁(代 梁）的支座反力：
0 0 0 VA ,VB , MC , M 0 ,V 0 分别表示相应简支代梁的支反力和 对应截面的内力。在计算时，应代 入相应的正、负号。
1 cos , 2 1 ( y ')
sin y 'cos
(4 7)
sin 其中， cos 为正值， 的正负取决于 y ' 的符号。
第4章-三铰拱和悬索结构的受力分析
得
l2
y x x2
FVA=70kN 4m
4m 4m l=16m
4m FVB=50kN
q=10kN/m A
FP=40kN B
2) 求φ
16
tany 1x
DCE 16m
8
代入各x值，即可查得相应的φ值。
F
0 VA
F
0 VB
为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面
，求出各截面的y、 φ等值，列于表中。
(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的 截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为 正、压力为负）。
小结
(4) 内力与拱轴线形式(y,j)有关。
(5) 关于φ值的正负号：左半跨φ取正号；右半跨φ取负 号，即式(4-2)中，cos(- φ) = cos φ ，sin(- φ) = -sin φ 。
用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如 表4-1所示。
(4)作内力图
C D
15
A
20
15
5
E
20
5
B
M图(kN·m)
78
67
60.6
60
60.6
76 58.1
91.9
D
C
E
78 77.8
A
B
FN图(kN)
C 4.9 17.9
4 7.1
A
E
D 4.9
10 17.9
4
B
7
FQ图(kN)
二、三铰拱的合理拱轴线
1 、合理拱轴线
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线，称为 合理拱轴线。 2 、合理拱轴的数解法
三铰拱
M
O
0 FN ( FN d FN ) 0
可得 d FN 0 合理拱轴线方程为
FN q
FN =常数
d 2 qd 0
沿s-s 写出投影方程为
2 FN sin sin d 2
圆弧线
因 d 极小
d 2
返 章
M
0
FH
合理拱轴线方程
例4-2 试求图a所示对称三铰拱在图示荷载作用下的合理拱轴 线。
解：相应简支梁（图b）的弯矩方程为
M
0
1 2
qx ( l x )
0
三铰拱的推力为
FH
0
MC f
4f l
2
ql
2
8f
合理拱轴线方程为
y
M
FH
x (l x )
北京建筑工程学院
三铰拱合理拱轴线形状的确定
三铰拱
14kN m
A
50kN
B
C
75.5kN 58.5kN
175.5 201
M图(kNm)
与三铰拱相应弯矩相比，要大 很多。
北京建筑工程学院
结构力学教研室
三铰拱
计算图（a）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力
分解如图（b）。
由平衡条件可得 （a
F AV F
0 AV
, F BV F
0
FS F AV F1
0 0
轴力以压力为正
北京建筑工程学院
结构力学教研室
三铰拱
三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关，而 且与拱轴线的形状有关。 由于水平推力的存在，拱的弯矩比相应简支梁的弯矩要 小。 三铰拱在竖向荷载作用下轴向受压。
结构力学第四章三铰拱
l/2
l/2
三铰拱在沿水平均 匀分布的竖向荷载 作用下，其合理拱 轴线为一抛物线。
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql/2 l ql/2 13
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
例4-3 求在填土重量下三铰拱的合理拱轴线。q=q0+γy
d 2 y M 0dx)M 0 1 (2 y ( x2) (q0 2 g y) q(x) HH dx dx
8
Q YA P ,
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
解: (1)求反力
1kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN
4m B
4 4 812 V A (2)作相应简支梁的N V A0 7k 16 A 6kN M°图和12 8 4 4 Q°图 0 8m VB VB 5k N 16 7kN 1kN/m (3)截面几何参数 0 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M C 58 4 4 H 6k N 4f x(16 x) 4 y ( x) f 2 x(l x) l 16 7 ＋ dy 4 f 8 x tg 2 (l 2 x) dx l 8 Q°图（kN）1
在填土重量作用下，三铰拱 的合理拱轴线是一悬链线。
14
西华大学土木工程学院 王周胜讲授
求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。 n q
t
d / 2
N+dN
r ∵拱处于无弯矩状态，∴各截面上只有轴力。
d
N
由 t 0， N cos
d d N dN cos 0, 得 dN 0 2 2 由于d很小， 即拱截面上的轴力N为常数。 d d d d 由 n 0， N sin N dN sin qds 0, 取 sin , 2 2 2 2 得 Nd qds 0 并略去高阶微量，
三铰拱
(sin = 0.447, cos = 0.894)
0 FQK 左 = FQK 左 cos FH sin = 12.5 × 0.894 10 × 0.447
= 11.18 4.47 = 6.71kN FNK 左 = FQK 左 sin + FH cos = 12.5 × 0.447 + 10 × 0.894 + 0 + = +5.59 + 8.94 = 14.53kN (压) +
0 M c0 = [ F AV ×
Mc0
l l 1 a1 有水平荷载 b1 FH = [ F AV × F1 ( a1 )] 请问:有水平荷载 请问 有水平荷载, f 2 2 0 0 b或 a2 FAV 或铰 不在顶部 2 FBV 或铰C不在顶部 不在顶部,或 l l
不是平拱,右边的 不是平拱 右边的 0 FBV=FBV0 FAV=FAV 结论还是正确的 FAH=FBH = FH 吗?
A
K
C
三铰拱在竖向荷载作用 a1 下轴向受压. 下轴向受压. b1
FAV0 a2 b2 FBV0
B
F =F cosF sin S H
0 S
0 F =F Ssin +F cos N H
其中 左半拱 >0,右半拱 <0.
将本例题数据代入得:
l l M = F × FP1 × = 12.5 × 8 15 × 4 = 40kN .m 2 4 0 M C 40 FHA = = = 10kN (→) FHB = 10kN (←) f 4
2
F1 (
2
a1 )]
FH = MC0 / f
二,三铰拱的数解法 ----内力计算 内力计算 y F FS M K 1 K F2 F1 C FN 三铰拱的内力不但与荷 y f 载及三个铰的位置有关, B 载及三个铰的位置有关,而 FBH FAH x A F1 M 0 K FAV 且与拱轴线的形状有关. 且与拱轴线的形状有关. x FAH l/2 l/2 0 FS0 由于推力的存在, FBV FAV 由于推力的存在,拱的 FAV l 弯矩比相应简支梁的弯矩要 0 M K = M K FH y F2 F1 小.
04三铰拱
解：相应简支梁（图b）的弯矩方程为 相应简支梁（ ）
M0 =
三铰拱的推力为
1 qx(l − x) 2
0 M C ql 2 FH = = f 8f
合理拱轴线方程为
M0 4f y= = 2 x(l − x) FH l
求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。
q
r
在均匀水压力作用下，三铰拱的合理拱轴线是圆弧线。
2、内力的计算 、
相应简支梁K截面的弯矩为 相应简支梁 截面的弯矩为M 0 截面的弯矩为 相应简支梁K截面的剪力为 相应简支梁 截面的剪力为FS0 截面的剪力为
M = M0 − FH y
FS = F cosϕ − FH sin ϕ
0 S
FN = FS0 sin ϕ + FH cosϕ
x y
压力为正
Hale Waihona Puke ∑Fx= 0 FAH = FBH = FH
取左半拱为隔离体
可 得 相应简支梁
FAV l1 − F1 (l1 − a1 ) ∑ M C = 0 FH = f 三铰拱的反力只与 0 荷载及三个铰的位 FAV = FAV 置有关， 置有关，与拱轴线 0 FBV = FBV 形状无关；推力FH 形状无关；推力 0 成反比。 与拱高 f 成反比。 MC FH = f
拱顶 拱轴线 拱趾 拱高
f
起拱线
拱趾
跨度
l
f / l → 高跨比（或矢跨比）
平拱： 平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算 、
由拱的整体平衡
∑ M B = 0 FAV ∑M
A
∑ Fb =
M0 =
三铰拱的推力为
1 qx(l − x) 2
0 M C ql 2 FH = = f 8f
合理拱轴线方程为
M0 4f y= = 2 x(l − x) FH l
求均匀水压力作用下的三铰拱的合理拱轴线。
q
r
在均匀水压力作用下，三铰拱的合理拱轴线是圆弧线。
2、内力的计算 、
相应简支梁K截面的弯矩为 相应简支梁 截面的弯矩为M 0 截面的弯矩为 相应简支梁K截面的剪力为 相应简支梁 截面的剪力为FS0 截面的剪力为
M = M0 − FH y
FS = F cosϕ − FH sin ϕ
0 S
FN = FS0 sin ϕ + FH cosϕ
x y
压力为正
Hale Waihona Puke ∑Fx= 0 FAH = FBH = FH
取左半拱为隔离体
可 得 相应简支梁
FAV l1 − F1 (l1 − a1 ) ∑ M C = 0 FH = f 三铰拱的反力只与 0 荷载及三个铰的位 FAV = FAV 置有关， 置有关，与拱轴线 0 FBV = FBV 形状无关；推力FH 形状无关；推力 0 成反比。 与拱高 f 成反比。 MC FH = f
拱顶 拱轴线 拱趾 拱高
f
起拱线
拱趾
跨度
l
f / l → 高跨比（或矢跨比）
平拱： 平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算 、
由拱的整体平衡
∑ M B = 0 FAV ∑M
A
∑ Fb =
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y
P1 K
P2
φK
MK [FAV xK P1( xK a1 )] FH yK
M
0 K
FA0V xK
P1(xK
a1 )
FAH A FAV
yK f
x xK
P1
MK
K
FNK
B FBV
FBH MK M0K FH yK （3-3）
3、剪力计算—使隔离体顺时针转动为正 FSK FAV cosφK P1cosφK FHsinφK
1 l
(P1a1
P2a2 )
FAH A
xK
yK f
B
请问:有水平x荷载,
或铰FAV Cl1不在顶l2部,F或BV
是斜拱三铰,右拱计l边算的简图结论 还是正确的吗?
FBH
FAV FA0y
FBV
FB0y
（3-1）
FX 0: FAH FBH FH
MC FAVl1 P1(l1 a1)水 F平H推f 力 0FH
x
44 122
312
3
3m
FBV
FBV
26389 12
9kN
FH
M
C
f
11 6 2 6 3 4
7.5kN
M2
M
2
FH
y2
113
231.5 7.53
1.5kN m
tg 2
dy dx
4f x3 l
1
2x l
x3
44 12
1
2123
0.667
FS 2
FS
2
cos2
FH
sin 2
FSK
(FAV P1 )cosφK FHsinφK
FAx A左为正，右为负
FS0K FA0V P1 FAy P1
FAy
FAH0 = 0 A
P1 KC
P2
FSK FS0KcosφK FH sinφK （3-4） B 4、轴力计算—使截面受压为正
三x铰K 拱的内力与荷 载F及AV0 三个铰的位置有关，FBV0 与拱轴P线1 形M状K0 有关；
第4章
三、拱的种类：
三铰拱
两铰拱
无铰拱
带拉杆的三铰拱
四、拱各部分的名称：
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
折线型拱
第4章
五、拱与曲梁的区别
P
C
FAx A
FBx B
FAy
FBy
拱结构
P
FAx=0
A
B
FAy
FB
曲梁结构
3.2 三铰拱的内力计算
一、拱的内力计算原理仍然是截面法。
1
只与三个铰的
FAH0 = 0 A
P1 KC
P2
B
FH f [FAV l1 P1(l1 位a1)置] 有关，而 与拱轴的形状
xK
FAV0
相应简支梁
M
0 C
FAV l1
P1 (l1
a无1) 关，与拱的
FBV0
FH
M
0 C
f
高跨比有关。
（3-2）
第4章
a1
b1
2、弯矩计算—内侧纤维受拉为正φ
a2
b2
PP P2 1 lCF P3
FH A FAV
EC
D
f
拉杆 l/2
l
F
1 l/2
P1
P2
P3
A
C
DE
F
FA0V
l/2
l/2
l
1 FCV FCH
P3
C
F
B
FNAB
1
FBV
l/2
解： （1）计算支座反力
FH 0
B
FAV FA0V
FBV
FBV FB0V
（2）计算拉杆轴力 作1-1截面，研究其右半部
B
MC 0:
FNK FAV sinφK P1sinφK FHcosφK
(FAV P1 )sinφK FHcosφK FS0K FA0V P1 FAy P1
FAV0
FSK0
FNK FS0KsinφK FH cosφK （3-5）
q=2kN .m
P=8kN
例 1、三铰拱及其所受荷载如
y
34
式，而后令其等于零即可确定合理拱轴。
第4章
2、例题2
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
0.600 0.354 0.003 0.472 1.000
3.331 1.060 0.600
M图 (kN.m)
0.000 1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375 0.000
6m
6m
P=8kN
5 6 7 8 B
x
y2
y
1 0
A
2
2
34ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
绘制内力图
q=2kN .m
二、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。
三、实际计算时常将拱与相应简支梁对比，通过公式完成 计算。这些公式为绘制拱的影响线提供了方便。
第4章
四、三铰拱计算公式的建立
1、支座反力计算
a1
b1
a2
b2
y
P1
φK
K
P2
C
MB 0 MA 0
FAV
1 l (P1b1
P2b2 )
FBV
第4章 （a） （b）
计算图（a）斜拱的支反力 时为避免解联立方程，可将反力 分解如图（b）。
由平衡条件可得
FAV FA0V ,
FBV FB0V ,
FR
M
0 C
h
FH
FR
cos
M
0 C
f
FAV FA0V FH tan
FBV FB0V FH tan
第4章
补充题1：试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用 下的支座反力和内力。
FNAB
FBV
l 2
P3
lcF
f
M
0 C
f
FB0V （3）计算各截面内力 依截面法或拱的计算公式，可求得
任意截面的内力。
第4章
三、三铰拱的合理拱轴线
1、合理拱轴的概念： （1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，
而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。 （2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达
5
图所示拱的轴线为抛物线方程
2 1
2
y2
0
6 7 8
f=4m
y
4f l2
xl x
计算反力并绘
x
制内力图。
A
7.5kN
x2=3m 6m
FAV 11kN
B
3m
FH
7.5kN
（1）计算支座反力
6m
FBV 9kN
FAV
FAV
2 69 83 12
11kN
（2）内力计算 以截面2为例
y2
4f l2
xl
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
北京建筑工程学院专业基础部
第4章
3.4 静定拱的组成及受力特征 一、定义： 通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水 平反力的结构。 竖向荷载作用下会产生水平反力的结构可称为拱式结构 或推力结构。
二、特点： （1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。 （2）用料省、自重轻、跨度大。 （3）可用抗压性能强的砖石材料。 （4）构造复杂，施工费用高。
11 23 0.832
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
2 3341,sin 2 0.555,cos 2 0.832
FN
2
FS
2
sin 2
FH
c os 2
11
2 3 0.555
7.5 0.832 9.015kN
FS 图 (kN)
FN 图 (kN)
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 1.421 6.796 3.325 11.235 11.665 11.700