HK沪科版 八级数学 下册第二学期 课堂补习辅导练习题作业 第十七章 一元二次方程 17.5 一元二次方程的应用1
八年级数学下册第17章一元二次方程集训课堂测素质一元二次方程及其解法作业课件新版沪科版
2 用公式法解方程x2＋3x＝1时，需先求出a，b，c的值， 则a，b，c依次为( B ) A．1，3，1 B．1，3，－1 C．1，－3，1 D．－1，3，1
3 【2023·合肥寿春中学期末】如果关于x的一元二次方 程ax2＋bx＋1＝0的一个解是x＝－1，则代数式a－b 的值为( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2
【点拨】 将x＝－1代入一元二次方程 ，可得a－b＋1＝0，由
此可得答案．
【答案】 A
4 【2023·西安交大附中模拟】一元二次方程 x2－8x－2＝0，配方后可变形为( ) A．(x－4)2＝18 B．(x－4)2＝14
C．(x－8)2＝64
D．(x－4)2＝1
【点拨】 方程移项得x2－8x＝2，配方得x2－8x＋16＝2＋16，
的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数 和常数项． 解：一般形式为x2＋4x－3＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，－3.
17 (16分) 用适当的方法解下列方程： (1) x(x－7)＝8(7－x)；
解：x(x－7)＋8(x－7)＝0， (x－7)(x＋8)＝0， ∴x1＝7，x2＝－8.
故等腰三角形的腰长为6，底边长为3. 所以周长为6＋6＋3＝15.
【答案】 B
9 若实数k，b是一元二次方程(x＋3)(x－1)＝0的两个根， 且k＜b，则一次函数y＝kx＋b的图象不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拨】 解方程得x1＝1，x2＝－3.∵k＜b，∴k＝－3，b＝1. y＝－3x＋1的图象不经过第三象限．
(2)4x－x2＋2＝0； 解：移项，得 x2－4x＝2. 配方，得 x2－4x＋(－2)2＝2＋(－2)2. 整理，得(x－2)2＝6. 开平方，得 x－2＝ 6或 x－2＝－ 6. ∴x1＝2＋ 6，x2＝2－ 6.
沪科版数学八年级下册第十七章《一元二次方程》17.1.1课堂练习(有答案)
的另一个实根.
【 导学号:４６５２２０１４】
解:将 ｘ ＝ － １ 代入方程 ｘ２ ＋ ｘ ＋ ｍ２ － ２ｍ ＝ ０ 中ꎬ
得( － １)２ ＋ ( － １) ＋ ｍ２ － ２ｍ ＝ ０ꎬ
整理得 ｍ２ － ２ｍ ＝ ０ꎬ即 ｍ( ｍ － ２) ＝ ０ꎬ∴ ｍ ＝ ０ 或 ｍ ＝ ２.
此时ꎬ原方程化为 ｘ２ ＋ ｘ ＝ ０ꎬ即 ｘ( ｘ ＋ １) ＝ ０ꎬ∴ ｘ１ ＝ ０ꎬｘ２ ＝ － １ꎬ即
������ Ⅱ 整合方法 提升练 ☞(点拨见 １６０ 页)
课后导练
利用一元二次方程及相关定义求字母的值
利用一元二次方程解的定义求字母的值
１３. 已知关于 ｘ 的方程( ｍ２ － １) ｘ２ － ( ｍ ＋ １) ｘ ＋ ｍ ＝ ０. (１)ｍ 为何值时ꎬ此方程为一元一次方程?
１５. （中考·永州）已知关于 ｘ 的一元二次方程 ｘ２ ＋ ｘ ＋ ｍ２ － ２ｍ ＝ ０ 有一个实根为 － １ꎬ求 ｍ 的值及方程
增加ꎬ据有关部门统计ꎬ２０１４ 年约为 ２０ 万人次ꎬ２０１６
年约为 ２８������ ８ 万人次ꎬ设观赏人数年均增长率为 ｘꎬ则
下列方程中正确的是( Ｃ )
Ａ. ２０(１ ＋ ２ｘ) ＝ ２８������ ８
Ｂ. ２８������ ８(１ ＋ ｘ)２ ＝ ２０
Ｃ. ２０(１ ＋ ｘ)２ ＝ ２８������ ８
程ꎬ则有( Ｂ )
Ａ. ｍ ＝ １ Ｂ. ｍ ＝ － １ Ｃ. ｍ ＝ ± １ Ｄ. ｍ≠ ± １
一元二次方程的一般形式
４. 把方程 ｘ(ｘ ＋ ２) ＝ ５(ｘ － ２)化成一般形式ꎬ则 ａꎬｂꎬｃ 的
值分别是( Ａ )
Ａ. １ꎬ － ３ꎬ１０
Ｂ. １ꎬ７ꎬ － １０
(2021年整理)沪科版八年级数学下册《第17章一元二次方程》练习题含答案
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一元二次方程练习题1 一元二次方程x2－6x－5＝0配方后可变形为( )A．（x－3)2＝14 B．（x－3）2＝4C．（x＋3）2＝14 D．（x＋3）2＝42一元二次方程x2＋2x＋1＝0的根的情况是( ）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根3下列一元二次方程没有实数根的是( )A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝04. 若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实根,则k的值为( )A．k＝－4 B．k＝4C．k≥－4 D．k≥45 若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝( ）A．－4 B．3 C．－错误!D.错误!6 已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（)A．4，－2 B．－4，－2C．4，2 D．－4，27 有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（)A.错误!x(x－1)＝45 B。
错误!x（x＋1）＝45C．x(x－1)＝45 D．x(x＋1）＝458 若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋错误!ax－a2＝0的一个根,则a的值为( ）A．－1或4 B．－1或－4C．1或－4 D．1或49若x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个根，则x12－x1＋x2的值为（)A．－1 B．0 C．2 D．310 已知M＝错误!a－1,N＝a2－错误!a(a为任意实数)，则M，N的大小关系为( )A．M＜N B．M＝NC．M＞N D．不能确定11 若x0是方程ax2＋2x＋c＝0(a≠0）的一个根，设M＝1－ac，N＝(ax0＋1)2，则M与N 的大小关系正确的为（）A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．不确定12 方程x2－3＝0的根是________．13若方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值为________．14 某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x,根据题意可列方程为________________．15 已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝________．16] 若一个三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，则该三角形的周长为________．17 若关于x的一元二次方程x2＋6x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝________．18 若关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是________．19．如果关于x的一元二次方程kx2－3x－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________．20］某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是________．21设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________．22解方程：x2－2x＝4。
沪科版八年级下册数学第17章 一元二次方程含答案
沪科版八年级下册数学第17章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（）A.18元B.36元C.64元D.80元2、关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个实数根，则实数k的取值范围是（）A.k≤1B.k＞1C.k=1D.k≥13、已知一元二次方程(x+1)(2x－1)=0的解是（）A.-1B.0.5C.-1或-2D.-1或0.54、关于一元二次方程x2﹣2x+1﹣a＝0无实根，则a的取值范围是（）A.a＜0B.a＞0C.a＜D.a＞5、已知方程x2﹣4x+2＝0的两根是x1， x2，则代数式的值是（）A.2011B.2012C.2013D.20146、将一元二次方程化为一般形式，正确的是（）A. B. C. D.7、方程2x（x+6）=5（x+6）的解为（）A.x=﹣6B.x=C.x1=﹣6，x2= D.x1=6，x2=﹣8、用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0，下列配方结果正确的是（）A.（x﹣6）2＝41B.（x﹣3）2＝14C.（x+3）2＝14D.（x﹣3）2＝49、一元二次方程x2﹣3x=﹣2的解是（）A.x1=1，x2=2 B.x1=﹣1，x2=2 C.x1=﹣1，x2=﹣2 D.方程无实数解10、下列各式的变形中，正确的是( )A.(－x－y)(－x＋y)＝x 2－y 2B. －x＝C.x 2－4x＋3＝(x－2) 2＋1D.x÷(x 2＋x)＝＋111、使得关于x的一元二次方程x2+3x+k=0无实数根的最小整数k的值为（）A.4B.5C.6D.712、一元二次方程4x2－45＝31x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A.4、－45、31B.4、31、－45C.4、－31、－45D.4、－45、－3113、方程3x2－x+ =0的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（）A.3B.－C.D.－914、把方程x2﹣4x﹣6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为（）A.（x﹣4）2=6B.（x﹣2）2=4C.（x﹣2）2=0D.（x﹣2）2=1015、关于x的一元二次方程（a≠0），下列命题：①若a、c异号，则方程必有两个不相等的实数根；②若，则方程有一个根为-2；③若方程的两根互为相反数，则；④若，则方程有两个不相等的实数根.其中真命题为（）A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④二、填空题(共10题，共计30分)16、设α、β是方程x2-x-2018=0的两根，则α3+2019β-2018的值为________．17、若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．18、设x1， x2是方程5x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则的值为________．19、若关于x的一元二次方程为ax2+bx+c=0的两根之和为3，则关于x的方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的两根之和为________．20、已知，方程的两根，那么的值是________.21、某玩具商店出售一种“小猪佩奇”玩具，平均每天可销售50个，每个盈利36元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，若每个玩具降价1元，平均每天可多售出5个，商店要想平均每天销售这种玩具盈利2400元，则每个玩具应降价多少元？设每个玩具应降价x元，可列方程为________．22、如果(x-4)2=9，那么________。
HK沪科版 八级数学 下册第二学期 同步课堂补习辅导练习题作业 第十七章 一元二次方程 17.2.1 配方法1
6、解关于 x 的方程（x+m） =n．
2
◆课下作业
●拓展提高
1.方程 ( x a) 2 b （b＞0）的根是（ A、 a b B、 (a b )
2
） C、 a b D、 a b ） D． ( x 2) 9
2
2.用配方法解方程 x 2 x 5 0 时，原方程应变形为（ A． ( x 1) 6
2
C、±3
2、下列方程中，一定有实数解的是（ A、 x 1 0
2
B、 (2 x 1)2 0
1 2
3、若 x2 4 x p ( x q)2 ，那么 p、q 的值分别是（ A、p=4，q=2
2
B、p=4，q=-2
C、p=-4，q=2
4、若 8 x 16 0 ，则 x 的值是_________． 5、解一元二次方程是 2( x 3)2 72 ．
HK 沪科版 八级数学 下册第二学期 同步课堂补习辅导练习题作业 第十七章 一元二次方程
17.2
一元二次方程的解法
1.配方法
◆随堂检测
1、方程 3 x +9=0 的根为（ A、3 B、-3
2
） D、无实数根 ） C、 (2 x 1)2 3 0 ） D、p=-4，q=-2 D、 ( x a ) a
2
2
2
2
2
(2)9(x-1) -4=0．
2
8.如果 x -4x+y +6y+ z 2 +13=0，求 ( xy ) z 的值．
2 2
9.已知：x +4x+y -6y+13=0，求
2
沪科版八年级数学初二下册第十七章 一元二次方程练习题(附解析)
2020年沪科版八年级下册数学第十七章一元二次方程练习题（附解析）考试时间：100分钟；注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释 一、单选题(注释)1、某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．289（1﹣x ）2="256"B ．256（1﹣x ）2="289"C ．289（1﹣2x ）2=256D ．256（1﹣2x ）2=2892、一元二次方程x 2﹣5=0的解是（ ） A ．x=5 B ．x=﹣5C ．x 1=5，x 2=﹣5D ．x 1=，x 2=3、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A ．3（x+1）2=2（x+1） B ．C ．ax 2+bx+c=0D ．x 2+2x=x 2﹣14、已知关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则a 的值是 A ．4 B ．﹣4C ．1D ．﹣15、一元二次方程的根是A ．﹣1B ．2C ．1和2D ．﹣1和26、已知关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围为 （ ）A．B．C．且D．且7、下列一元二次方程中无实数解的方程是A．x2+2x+1=0 B．x2+1=0C．x2=2x﹣1 D．x2﹣4x﹣5=08、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠19、在一幅长90cm，宽40cm的风景画的四周的外边镶宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，使风景画的面积是整个挂图面积的58％，设金色纸边的宽度为xcm，则可列方程为( )A．(90+x)(40+x)×58％=90x40 B．(90+x)(40+2x)×58％=90x40C．(90+2x)(40+x)×58％=90x40 D．(90+2x)(40+2x)×58％=90x4010、将方程化成的形式是( )A．B．C．D．11、方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于A．3 B．2 C．1 D．12、以和为根的一元二次方程是A．x2-10x-1=0B．x2+10x-1=0 C．x2+10x+1=0 D．x2-10x+1=013、若2x2+1与4x2-2x-5互为相反数，则x为A．-1或B．1或C．1或D．1或14、二次三项式x2-4x+7的值A．可以等于0 B．大于3C．不小于3 D．既可以为正，也可以为负15、用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为A．B．C．D．16、用配方法解下列方程时，配方有错误的是2-7x-4=0化为A．x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B．2x2-4x-2=0化为C．x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D．3x17、若方程中，满足和，则方程的根是（）A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无法确定18、已知、是实数，若，则下列说法正确的是（）A．一定是0 B．一定是0 C．或D．且19、关于的一元二次方程有实数根，则（）A．＜0 B．＞0 C．≥0D．≤020、关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（）A．B．C．D．分卷II二、填空题(注释)21、关于x的方程(m-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.22、关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0，则m的值为__________.23、已知一元二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2，则t=_______，另一个根是______24、已知的值是10，则代数式的值是。
沪科版八年级数学下册第十七章 一元二次方程练习(包含答案)
第十七章 一元二次方程一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．x 2+2y ＝1B ．x 3﹣2x ＝3C ．x 2+21x ＝5D ．x 2＝02．1x =是关于x 的一元二次方程220x ax b ++=的解，则24a b +=（ ）A ．2-B ．3-C ．1-D ．6-3．方程3x 2－4x －1－0的二次项系数和一次项系数分别为（ －A ．3和4B ．3和－4C ．3和－1D ．3和14．一元二次方程x 2－6x －5=0配方可变形为（ ）A ．－x －3－2=14B ．－x －3－2=4C ．－x +3－2=14D ．－x +3－2=4 5．一元二次方程 x 2＝ x 的根是( )A ．1x ＝0，2x ＝1B ．1x ＝0，2x ＝－1C ．1x ＝2x ＝0D ．1x ＝2x ＝1 6．关于x 的方程2310kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．94k ≤- B ．94k ≤-且0k ≠ C ．94k ≥- D ．94k ≥-且0k ≠ 7．已知m ，n 是方程2210x x --=的两根，且()()227143510m m a n n m -+-+=，则a 的值是（ ）A ．5-B ．5C ．9-D ．98．近年来，我国石油对外依存度快速攀升，2017年和2019年石油对外依存度分别为64.2%和70.8%,设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为,x 则下列关于x 的方程正确的是（ ）A ．()264.2%170. 8%x +=B ．()64.2%1270.8%x +=C ．()()2164.2%1170.8%x ++=+D ．()()164.2%12170.8%x ++=+ 9．如图，有一块圆形的花圃，中间有一块正方形水池．测量出除水池外圆内可种植的面积恰好272m ，从水池边到圆周，每边相距3m ．设正方形的边长是xm ，则列出的方程是（）A ．22(3)72x x +-=B ．23722xπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．223722xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ．223722x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭10．若关于x 的方程kx 2-（k +1）x +1=0的根是整数，则满足条件的整数k 的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．若m 是方程22320x x --=的一个根，则2462015m m -+的值为____________ 12．方程()1202x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的解为_______．13．一元二次方程222210x kx k k ++-+=的两个根为12x x ，，且22124x x +=，则k =____－14．如图，已知AB －BC ，AB =12cm ，BC =8cm ．一动点N 从C 点出发沿CB 方向以1c m/s 的速度向B 点运动，同时另一动点M 由点A 沿AB 方向以2c m/s 的速度也向B 点运动，其中一点到达B 点时另一点也随之停止，当△MNB 的面积为24cm 2时运动的时间t 为______秒．三、解答题15．已知关于x 的一元二次方程2(31)21mx m x m --+=。
沪科版八年级下册数学第17章 一元二次方程含答案
沪科版八年级下册数学第17章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知等腰三角形的两边是一元二次方程的两根，则此三角形的周长是（）A.12B.9C.9或12D.152、下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.3、用配方法将方程x2+6x－11=0变形为（）A.（x-3）2=20B.（x+3）2=20C.（x+3）2=2D.（x-3）2=24、已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（）A. B. C.1 D.5、下列方程中不一定是一元二次方程的是（）.A. B. C.D.6、制造一种产品，原来每件成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本率为（）A.10%B.9%C.9.5%D.8.5%7、某药品经过两次降价，每瓶零售价由1000元降为640元，已知两次降价的百分率都为x，则x满足的方程是（）A.1000（1+x）2=640B.1000（1﹣x）2=640C.1000（1﹣x%）2=640 D.1000x 2=6408、关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是（）A.1B.-1C.1或-1D.29、关于x的一元二次方程：有两个实数根x1、x2，则=（）A. B. C.4 D.﹣410、设一元二次方程(x－1)(x－2)＝0的两根分别为α、β，且a<β，则a，β分别是（）A.α=1，β=2B.α=2，β=1C.α=﹣1，β=﹣2D.α=﹣2，β=﹣111、一元二次方程的根是A.﹣1B.2C.1和2D.﹣1和212、如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=﹣3，x2=2，那么p、q的值分别是（）A.1，﹣6B.﹣1，﹣6C.﹣1，6D.1，613、关于x的方程（为常数）的实数根的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.1个或2个14、有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（）A.1+x+x（1+x）=100B.x（1+x）=100C.1+x+x 2=100D.x2=10015、已知是一元二次方程较大的根，则下列对值估计正确的是( )A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.17、已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，则k的值是________．18、把方程（x﹣1）（x﹣2）=4化成一般形式是________.19、已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．20、若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是________.21、一元二次方程x（x+3）=0的解是________．22、已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围为________23、某旅行社有张床位，每床每晚收费元，床位可全部租出，在每床的收费提高幅度不超过元的情况下，若每床的收费提高元，则减少张床位租出，若收费再提高元，则再减少张床位租出，以每次提高元的这种方式变化下去，为了获得元的收入，每床的收费每晚应提高________元24、将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为________．25、若关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的一个实数根是1，则m的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：27、小明同学说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法：若一元二次方程a 的系数a、c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．他的发现符合题意吗？请你先举实例验证一下是否符合题意，若你认为他的发现是一般规律，请加以证明．28、已知函数（1）m= 时，函数图像与x轴只有一个交点；（2）m为何值时，函数图像与x轴没有交点；（3）若函数图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为4，求m的值.29、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.30、学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数销售价格不超过30件单价40元超过30件每多买1件，购买的所有物品单价降低0.5元，但单价不得低于30元参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、C3、B4、C5、B6、A7、B9、D10、A11、D12、A13、D14、A15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。
八年级数学沪科版下册17.2 一元二次方程的解法练习题
一元二次方程的解法一、直接开平方法解一元二次方程用直接开平方法解一元二次方程的基本步骤是：①将方程转化成(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数；②当n≥0时，两边开平方便可求出它的根；当n＜0时，方程无实数根．注意直接开平方法实际是求一个数平方根的运算．特别注意方程两边开平方时，一边取“±”号，以防漏解．二、用直接开平方法解两边都是含有未知数的代数式的平方的一元二次方程当一元二次方程两边都是含有未知数的代数式的平方的形式时，也可用直接开平方法．例如，关于x的方程(ax＋b)2＝(cx＋d)2，直接开平方，得ax＋b＝±(cx＋d)，然后可化为两个一元一次方程进行求解．三、配方法解一元二次方程用配方法解一元二次方程的一般步骤①把一元二次方程化为一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．②方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；把常数项移到方程的右边．③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程写成(x±m)2＝n的形式．④若n≥0，即可用直接开平方法进行求解；若n＜0，方程无实数根．例如，求方程x2＋6x－16＝0的解，可按以下流程进行．四、公式法解一元二次方程(1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定a，b，c的值．②计算b2－4ac的值，从而确定原方程是否有实数根．③若b2－4ac≥0，则把a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式，求出x1，x2；若b2－4ac ＜0，则方程没有实数根．注意当b2－4ac＝0时，应把方程的根写成x1＝x2＝－b2a，从而说明一元二次方程有两个相等的实数根，而不是一个根．五、一元二次方程的求根公式及推导(1)求根公式的定义一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝－b ±b 2－4ac2a.这个式子称为一元二次方程的求根公式．(2)求根公式的推导一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的过程．具体推导过程如下：由于a ≠0，在方程两边同除以a ，得x 2＋b a x ＋ca＝0.移项，得x 2＋b a x ＝－ca.方程两边同加上(b 2a )2，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2.由于4a 2＞0，所以当b 2－4ac ≥0时，可得x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a .所以x ＝－b ±b 2－4ac2a.六、因式分解法1、定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．2、因式分解法的理论依据：若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.3、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．七、因式分解法的两种类型一元二次方程右边化为0后，左边在因式分解时，可分为两种类型：(1)有公因式可提：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． 例如，解方程x －3－x (x －3)＝0，可通过提公因式(x －3)，原方程变形为(x －3)(1－x )＝0.(2)能运用公式①平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )； ②完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.八、选择适当的方法解一元二次方程解法 适合类型 注意事项 直接开平方法(x ±m )2＝n n ≥0时，有解；n ＜0时，无解配方法 x 2＋px ＋q ＝0二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方公式法 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 先化为一般形式再用公式．b 2－4ac ≥0时，方程有解；b 2－4ac ＜0时，方程无解因式 分解法 方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积 方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式选择的原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，接着考虑配方法，最后考虑公式法．专项练习常考题1.已知m、n是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，且（2m2﹣6m+a）（3n2﹣9n﹣5）＝10，则a的值为（）A. 7B. ﹣7C. 3D. ﹣32..方程x(x+2)=0的解是( )A. x=0B. x=2C. x=0或x=2D. x=0或x=-23.用配方法解方程x2﹣8x+2＝0，则方程可变形为（）A. （x﹣4）2＝5B. （x+4）2＝21C. （x﹣4）2＝14D. （x﹣4）2＝84.将方程配方后，原方程变形为A. B. C. D.5.用配方法解一元二次方程，此方程可化为A. B. C. D.6.解方程．．7.解下列一元二次方程．8.用适当的方法解下列一元二次方程直接开平方法配方法因式分解法公式法9.选择适当的方法解下列方程：．易错题1.已知关于x的方程有一个根为，则另一个根为A. 5B.C. 2D.2.已知x为任意有理数，则多项式的值一定是A. 正数B. 负数C. 非正数D. 非负数3.若，，则M与N的大小关系为A. B. C. D.4.已知关于x的一元二次方程x2+mx-6=0的一个根是2，则方程的另一个根是________。
沪科版数学八年级下册第十七章《一元二次方程》17.5.4课堂练习(有答案)
Ａ.
９０ ｘ
－
９０ ｘ －１
＝
３
Ｂ.
９０ ｘ －１
－
９０ ｘ
＝
３
Ｃ.
９０ ｘ
－
９０ ｘ ＋１
＝
３
Ｄ.
９０ ｘ ＋１
－
９０ ｘ
＝
３
５. 某单位向一所希望小学赠送 １０８０ 件文具ꎬ现用 ＡꎬＢ
两种不同的包装箱进行包装ꎬ已知每个 Ｂ 型包装箱比
Ａ 型包装箱多装 １５ 件文具ꎬ单独使用 Ｂ 型包装箱比
单独使用 Ａ 型包装箱可少用 １２ 个ꎬ设 Ｂ 型包装箱每
牌饮料一箱有多少瓶?
解:设该品牌饮料一箱有 ｘ 瓶ꎬ依题意可列方程为
２６ ｘ
＝
２６ ｘ ＋３
＋
０.
６ꎬ整理得ꎬｘ２
＋ ３ｘ
－
１３０
＝
０ꎬ
解得 ｘ１ ＝ － １３ꎬｘ２ ＝ １０ꎬ经检验ꎬｘ１ ＝ － １３ꎬｘ２ ＝ １０ 都
是原方程的解ꎬ且 ｘ ＝ － １３ 不符合题意应舍去ꎬ
∴ ｘ ＝ １０ꎬ即该品牌饮料一箱有 １０ 瓶.
队需要 １０ 天完成ꎬ乙队需要 １５ 天完成.
������ Ⅱ 整合方法 提升练 ☞(点拨见 １６７ 页)
课后导练
利用分式方程解实际应用题
７. 某品牌瓶装饮料每箱价格 ２６ 元ꎬ某商店对该瓶装饮
料进行“买一送三” 促销活动ꎬ若整箱购买ꎬ则买一箱
送三瓶ꎬ这相当于每瓶比原价便宜了 ０. ６ 元ꎬ问该品
第 １７ 章 一元二次方程
∗第 ４ 课时 可化为一元二次方程的分式方程及其应用
解可化成一元二次方程的分式方程的应用与一元二次方程的应用主要区别是:要进行双检验. 一是检验方 程的解是否为分式方程的解ꎬ二是检验方程的解是否有实际意义.
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17.5 一元二次方程的应用
◆随堂检测
1、一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）
A ．（1+25%）（1+70%）a 元
B ．70%（1+25%）a 元
C ．（1+25%）（1-70%）a 元
D ．（1+25%+70%）a 元
2、某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A ．2002(1%)a +=148
B ．2002(1%)a -=148
C ．200(12%)a -=148
D ．2002(1%)a -=148
3、某商场的标价比成本高p %，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d %，则d 可用p 表示为（ ）
A ．100p p +
B ．p
C ．1001000p p -
D ．100100p p +
4、某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为m 千克，•第二年的产量为_______千克，第三年的产量为_______千克，三年总产量为_______千克．
5、某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月降价的百分率为x ,根据题意列出的方程是________________________．
6、某公司一月份营业额为10万元，第一季度总营业额为33.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
7、据报道，我国农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，某地区2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定该地区每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率.(
1.41)
◆课下作业
●拓展提高
1、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（ ）人.
A ．12
B ．10
C ．9
D ．8
2、县化肥厂第一季度增产a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产%x ，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）
A ．2)1(x a +
B ．2%)1(x a +
C ．2%)1(x +
D ．2%)(x a a +
3、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x ，则可列出方程为________________________．
4、甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，•最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．
5、上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利润为121万元，乙商场七月份利润为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的月平均上升率较大?
6、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?
7、某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．
（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表
示）（注：年获利率=
年利润
年初投入资金
×100%）
（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．。