2017届高考数学一轮复习 选考部分 第十四篇 不等式选讲 第1节 绝对值不等式及其解法应用能力提升 文
2017年直击新课标高考数学(文科)14.第十四章选考内容(2)不等式选讲
第十四章选考内容不等式选讲一、2017年考试大纲(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式nx x n +>+11）（ （x 〉—1,x ≠0，n 为大于1的正整数)，了解当n 为大于1的实数时贝努利不等式也成立。
(7）会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式，柯西不等式求一些特定函数的极值。
（8）了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法,放缩法。
二、真题汇编1。
【2016课标Ⅰ理24】已知函数f （x ）=｜x+1｜﹣｜2x ﹣3|． (Ⅰ）在图中画出y=f(x ）的图象；（Ⅱ）求不等式|f （x)|＞1的解集．2. 【2016课标Ⅱ理24】已知函数|21||21|)(++-=x x x f ，M 为不等式f （x ）＜2的解集．（Ⅰ)求M ； （Ⅱ）证明：当a ，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab ｜．3。
【2016课标Ⅲ理24】已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+a ．（Ⅰ）当a=2时,求不等式f （x ）≤6的解集;（Ⅱ)设函数g （x ）=|2x ﹣1|，当x∈R 时，f （x)+g(x)≥3，求a 的取值范围．4。
【2015课标Ⅰ理24】 已知函数f(x ）=|x+1|﹣2|x ﹣a|，a ＞0．(Ⅰ)当a=1时,求不等式f（x）＞1的解集;（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．5. 【2015课标Ⅱ理24】设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；(2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d｜的充要条件．6。
【2014课标I理24】若a＞0，b＞0,且+=．(Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6?并说明理由．7.【2014课标Ⅱ理24】设函数f(x)=|x+|+｜x﹣a｜（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；(Ⅱ）若f（3）＜5,求a的取值范围．8.【2013课标Ⅰ理24】已知函数f（x）=｜2x﹣1|+｜2x+a｜，g（x）=x+3．(Ⅰ)当a=﹣2时，求不等式f(x)＜g（x)的解集;（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．9．【2013课标Ⅱ理24】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1,证明：(Ⅰ）（Ⅱ）．10。
高考理科数学一轮总复习选修-绝对值不等式
第1讲绝对值不等式一、知识梳理1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．法二：利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想．法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．常用结论1．两个等价关系(1)|x|<a⇔－a<x<a(a>0)．(2)|x|>a⇔x<－a或x>a(a>0)．2．掌握一组主要关系|a ＋b |与|a |－|b |，|a －b |与|a |－|b |，|a |＋|b |之间的关系： (1)|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当a >－b >0时，等号成立．(2)|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时，左边等号成立，当且仅当ab ≤0时，右边等号成立．二、教材衍化1．不等式3≤|5－2x |<9的解集为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，所以不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)． 答案：(－2，1]∪[4，7)2．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是________．解析：①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2，所以－4<2，不等式恒成立，所以x ≤1；②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2，所以x <4，所以1<x <4； ③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为{x |x <4}． 答案：{x |x <4}一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)含参数的绝对值不等式讨论不清； (2)存在性问题不能转化为最值问题求解．1．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________．解析：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.答案：22．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．解析：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)含绝对值不等式的解法(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|·(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．绝对值不等式常见的3种解法(1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[提醒]用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论．1．设函数f(x)＝|x＋4|.(1)若y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，求a的值；(2)求不等式f(x)>1－12x的解集．解：(1)因为f(x)＝|x＋4|，所以y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)＝|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|≥|2x＋a＋4－(2x－a＋4)|＝|2a|，又y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4.所以|2a|＝4，所以a＝±2.(2)f(x)＝|x＋4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋4，x>－4，0，x＝－4，－4－x，x<－4，所以不等式f(x)>1－12x等价于⎩⎪⎨⎪⎧x＋4>1－12x（x>－4），0>1－12x（x＝－4），－4－x>1－12x（x<－4），解得x>－2或x<－10，故不等式f(x)>1－12x的解集为{x|x>－2或x<－10}．2．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.(1)求不等式f(x)≤2的解集；(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．解：(1)由f(x)≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，2－2x≤2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x<4，0≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x≥4，2x－8≤2，解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集为{x|0≤x≤5}．(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x≤1，0，1<x<4，2x－8，x≥4，作出函数f (x )的图象，如图所示，易知直线y ＝kx －2过定点C (0，－2)， 当此直线经过点B (4，0)时，k ＝12；当此直线与直线AD 平行时，k ＝－2. 故由图可知，k ∈(－∞，－2)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.绝对值不等式性质的应用(师生共研)设不等式|x －2|<a (a ∈N +)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 【解】 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32，又因为a ∈N +，所以a ＝1.(2)因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3. 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0即－1≤x ≤2时取到等号， 所以f (x )的最小值为3.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，经常用于证明含绝对值的不等式．1．若对于实数x ，y 有|1－x |≤2，|y ＋1|≤1，求|2x ＋3y ＋1|的最大值． 解：因为|2x ＋3y ＋1|＝|2(x －1)＋3(y ＋1)|≤2|x －1|＋3|y ＋1|≤7， 所以|2x ＋3y ＋1|的最大值为7.2．设函数f (x )＝x 2－x －15，且|x －a |<1. (1)解不等式|f (x )|>5；(2)求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 解：(1)因为|x 2－x －15|>5，所以x 2－x －15<－5或x 2－x －15>5， 即x 2－x －10<0或x 2－x －20>0， 解得1－412<x <1＋412或x <－4或x >5，所以不等式|f (x )|>5的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－4或x >5或1－412<x <1＋412. (2)证明：因为|x －a |<1，所以|f (x )－f (a )|＝|(x 2－x －15)－(a 2－a －15)| ＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|<1·|x ＋a －1| ＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a －1|≤1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)， 即|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．恒成立与存在性问题(师生共研)(2020·玉溪模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|. (1)解不等式f (x )≤x ＋3；(2)若g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|，对任意的x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，3x ≤x ＋3，得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32.(2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32.设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}， 则A ＝{y |y ≥32}，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|， 所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎡⎦⎤14，74. 故实数m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合是常用的思维方法．(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x －a |－|x －b |型的最值问题，利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．1．(2020·陕西彬州质监)已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋2|. (1)求函数f (x )的值域；(2)若存在x ∈[－2，1]，使f (x )≥x 2＋a 成立，求a 的取值范围． 解：(1)依题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，x ≥3，－2x ＋1，－2<x <3，5，x ≤－2.当－2<x <3时，－5<－2x ＋1<5， 所以f (x )的值域为[－5，5]． (2)因为－2≤x ≤1，所以f (x )≥x 2＋a 可化为－2x ＋1≥x 2＋a ， 得存在x ∈[－2，1]，使得a ≤－x 2－2x ＋1成立． 令g (x )＝－x 2－2x ＋1＝－(x ＋1)2＋2， 则当x ∈[－2，1]时，g (x )max ＝2， 所以a 的取值范围为(－∞，2]．2．已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x －a |(a ∈R )． (1)若f (1)<11，求a 的取值范围；(2)若对任意的a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立，求x 的取值范围．解：(1)f (1)＝|1－a |＋|2－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，a ≤1，1，1<a <2，2a －3，a ≥2，当a ≤1时，3－2a <11，解得a >－4， 所以－4＜a ≤1；当1<a <2时，1<11恒成立； 当a ≥2时，2a －3＜11， 解得a <7，所以2≤a <7.综上，a 的取值范围是(－4，7)．(2)因为任意的a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立， 又f (x )＝|x －a |＋|2x －a |≥|x －a －(2x －a )|＝|x |， 所以|x |≥x 2－x －3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥x 2－x －3，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥x 2－x －3，x <0，解得0≤x ≤3或－3≤x ＜0， 所以x 的取值范围为[－3，3]．[基础题组练]1．(2020·商洛模拟)已知不等式|2x ＋3|＋|2x －1|<a 的解集为M . (1)若a ＝6，求集合M ；(2)若M ≠∅，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝6时，原不等式为|2x ＋3|＋|2x －1|<6， 当x ≤－32时，原不等式化为－2x －3＋1－2x <6，解得x >－2，所以－2<x ≤－32；当－32<x <12时，原不等式化为2x ＋3＋1－2x <6，解得4<6，所以－32<x <12；当x ≥12时，原不等式化为2x ＋3＋2x －1<6，解得x <1，所以12≤x <1.综上所述，集合M ＝{x |－2<x <1}．(2)因为M ≠∅，所以不等式|2x ＋3|＋|2x －1|<a 恒有解． 令f (x )＝|2x ＋3|＋|2x －1|，则f (x )＝2⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －12≥4， 所以a >4，即实数a 的取值范围是(4，＋∞)． 2．(2020·贵州质量测评)已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|.(1)若对任意的x ∈R ，f (x )≥5a －a 2恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝6围成的封闭图形的面积． 解：(1)f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|≥|(x ＋3)－(x －1)|＝4， 所以f (x )min ＝4.对任意的x ∈R ，f (x )≥5a －a 2恒成立，所以f (x )min ≥5a －a 2， 所以4≥5a －a 2⇒a 2－5a ＋4≥0，解得a ≤1或a ≥4， 所以实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞)． (2)f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≥1，4，－3<x <1，－2x －2，x ≤－3，当f (x )＝6时，x ＝－4或x ＝2.画出图象可得(图略)，围成的封闭图形为等腰梯形，且一条底边长为6，一条底边长为4，高为2，所以封闭图形的面积S ＝12×(6＋4)×2＝10.3．(2020·四川绵阳一诊)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －m |(m ∈R )． (1)当m ＝1时，解不等式f (x )≥2；(2)若关于x 的不等式f (x )≥|x －3|的解集包含[3，4]，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当x ≤－12时，f (x )＝－2x －1＋(x －1)＝－x －2，由f (x )≥2得x ≤－4，综合得x ≤－4； 当－12<x <1时，f (x )＝(2x ＋1)＋(x －1)＝3x ，由f (x )≥2得x ≥23，综合得23≤x <1；当x ≥1时，f (x )＝(2x ＋1)－(x －1)＝x ＋2， 由f (x )≥2得x ≥0，综合得x ≥1.所以当m ＝1时，f (x )≥2的解集是{x |x ≤－4或x ≥23}．(2)因为f (x )＝|2x ＋1|－|x －m |≥|x －3|的解集包含[3，4]， 所以当x ∈[3，4]时，|2x ＋1|－|x －m |≥|x －3|恒成立．x ∈[3，4]时，原式可变为2x ＋1－|x －m |≥x －3，即|x －m |≤x ＋4， 所以－x －4≤x －m ≤x ＋4，则－4≤m ≤2x ＋4在[3，4]上恒成立，显然当x ＝3时，2x ＋4取得最小值10， 则m 的取值范围是[－4，10]．4．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |. (1)解不等式f (x )>9；(2)对任意的x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥12，2－x ，－1<x <12，－3x ，x ≤－1.f (x )>9等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x >9或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x >9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x >9.综上，原不等式的解集为{x |x >3或x <－3}． (2)因为|x －a |＋|x ＋a |≥2|a |. 由(1)知f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫12＝32，所以2|a |≤32，即|a |≤34，所以－34≤a ≤34，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34，34. [综合题组练]1．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a . (1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不合题意； 当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意． 综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1，0)．2．设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值．解：(1)因为f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5，所以当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2，所以x >2； 当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5，解得x <0，所以－2<x <0； 当x ≤－2时，原不等式化为(3－2x )－(x ＋2)>5，解得x <－43，所以x ≤－2. 综上，不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)因为f (x )＝|2x －3|，所以g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )＝|2x ＋2m －3|＋|2x －2m －3|≥|(2x ＋2m －3)－(2x －2m －3)|＝|4m |.所以依题意有4|m |＝4，解得m ＝±1.3．设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|.(1)解不等式f (x )>4；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x )成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，所以f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x ＋2>4⇔x <－2或0<x ≤1或x >1. 综上，不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x )成立⇔a ＋1>f (x )min ， 由(1)得，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1时，f (x )＝x ＋4，f (x )min ＝52，所以a ＋1>52，所以a >32， 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 4．已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )<4的解集为{x |x 1<x <x 2}，求x 1＋x 2的值；(2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|<4.当x >2时，原不等式可化为2x <5，所以2<x <52； 当x <－1时，原不等式可化为－2x <3，所以－32<x <－1； 当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3<4，所以－1≤x ≤2.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <52， 即x 1＝－32，x 2＝52. 所以x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k .当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，所以k ≥0.当x ≤－2或x ≥0时，因为|x ＋1|≥1，所以不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立．当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ，可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2， 所以k ≤3.当－1<x <0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x， 所以k ＜3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3.。
2017届新课标高考总复习·数学课件：选修4-5 第1节 绝对值不等式
解决含参数的绝对值不等式问题，常将参数分类讨论，将原 问题转化为分段函数问题进行解决．
第二十七页，编辑于星期六：点 五十七分。
已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. (1)当 a＝－2 时，求不等式 f(x)<g(x)的解集； (2)设 a>－1，且当 x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求 a 的取值范 围．
第三十一页，编辑于星期六：点 五十七分。
2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≥c(或≤c)(c ＞0)型不等式的解法
(1) 可 通 过 零 点 分 区 间 法 或 利 用 绝 对 值 的 几 何 意 义 进 行 求 解．零点分区间法的一般步骤：
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等 式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
第七页，编辑于星期六：点 五十七分。
2．若关于 x 的不等式|x－a|<1 的解集为(1,3)，则实数 a 的值 为________．
解析：由|x－a|＜1，则－1＜x－a＜1， ∴a－1<x＜a＋1，∴a＝2. 答案：2
第八页，编辑于星期六：点 五十七分。
3．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，则实数 k 的取值范 围为____________．
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)>1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的 取值范围．
第十二页，编辑于星期六：点 五十七分。
[听前试做] (1)当 a＝1 时， f(x)>1 化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解； 当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0， 解得23<x<1； 当 x≥1 时，不等式化为－x＋2>0，解得 1≤x<2. 所以 f(x)>1 的解集为23，2.
大高考2017版高考数学一轮总复习第14章不等式选讲课件理
(4)一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，„，an，b1，b2，b3，„，bn 是实数，则(a2 1＋
2 2 2 2 a2 (b2 2＋„＋an)· 1＋b2＋„＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn) ，并
且仅当 bi＝0(i＝1， 2， „， n)或存在一个数 k， 使得 ai＝kbi(i ＝1，2，„，n)时，等号成立.
第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用 的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝 对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a± b|≥||a|－|b||；③利用 零点分区间法.
【例3】 (2016· 贵州4月模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集； (2)若关于x的不等式f(x)＜|a－1|的解集非空，求实数a的取值
命题的条件 ( 或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 ) 矛
盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种 方法叫作反证法. ②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小， 简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法.
► 一组重要关系： |a ＋ b| 与|a| －|b| ， |a － b| 与|a| －|b| ，|a| ＋ |b| 之
范围.
解
(1)不等式 f(x)≤6，即|2x＋1|＋|2x－3|≤6.
1 x＜－ ， 2 可化为① 或 －2x－1＋（3－2x）≤6 1 3 3 － ≤x≤ ， x＞ ， 2 2 ② 2 或③ 2x＋1＋（3－2x）≤6 2x＋1＋（2x－3）≤6. 1 解①得－1≤x＜－ ， 2
1 3 3 解②得－2≤x≤2，解③得2＜x≤2. 综上，－1≤x≤2， 即原不等式的解集为{x|－1≤x≤2}. (2)∵f(x) ＝ |2x ＋ 1| ＋ |2x － 3|≥|(2x ＋ 1) － (2x － 3)| ＝ 4.( 当且 1 3 仅当－2≤x≤2时，等号成立). ∴f(x)的最小值为 4. ∴由题意知|a－1|＞4，解得 a＜－3 或 a＞5. 故实数 a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞).
高考数学大一轮总复习 不等式选讲 第一节 绝对值不等式课件 文 北师大版选修45
5 ． 已 知 关 于 x 的 不 等 式 |x － 1|＋ |x|≤k 无 解 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 __(_－__∞_，__1_)__。
解析 ∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1， ∴当k<1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k<1。
B．{x|21≤x<53}
C．{x|x<35}
D．{x|x>35}
解析 |2x－1|<2－3x⇔3x－2<2x－1<2－3x⇔32xx－－21<<22x－－31x， ⇔
x<1， 3 x<5
⇔x<53。
答案 C
3．(2014·广东卷)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为_{_x_|x_≥_2_或__x_≤_－__3_}__。 解析 原不等式可化为以下三个不等式组：
__{_x∈__R__|x_≠__0_}__
__R___
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔____－__c_≤_a_x_＋__b_≤_c_____；
②|ax＋b|≥c⇔___a_x＋__b_≥__c或__a_x_＋__b_≤_－__c____。
考点二 绝对值三角不等式的应用
【例2】 (1)“|x－a|<m，且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，
m∈R)的( )
A．充分不必要条件Biblioteka B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
高考数学一轮复习 不等式选讲-1基本不等式与绝对值不等式课件 理 新人教A版
(4)利用基本不等式求最值 对两个正实数x、y ①如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y 时，它们 S2 的积P取得最大值 大 4；
＝y y时，它 ②如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝ 小 2 们的和S取得最小值 2 P P．
2. 绝对值三角不等式
a||＋ ＋||b b||，当且仅 定理1.如果a，b是实数，则|a＋b|≤ |a
请注意！ 1．利用不等式的性质考查函数的单调性、比较实数的大小、 求函数的最值是考查的重点． 2．利用绝对值的定义及绝对值的几何意义解含有绝对值的不 等式或证明不等式是考查的重点也是难点．
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 1．基本不等式 (1)定理1 如果a，b∈R，时
基本不等式与绝对值不等式
考纲下载 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意 义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax ＋ b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 3.会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利 用基本不等式求一些特定函数的最值．
当a，b同号时 同号时，等号成立． 定理2.如果a，b是实数，那么||a|－|b||≤|a＋b|，当且 仅当a，b异号时，等号成立． 异号时
3．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
不等式 |x|<a |x|>a a>0 a＝0 Ø x x∈ ∈R R且 且x x≠ ≠0 0 a<0 Ø Ø x ∈ R x ∈ R
当a＝b 时，等号成立． (2)算术平均与几何平均
a＋ ＋b b 如果a，b都是正数，我们就称 2 为a，b的算术平 2
高考数学一轮复习 选考部分 第十四篇 不等式选讲 第1节 绝对值不等式及其解法应用能力提升 文 北师大版
第十四篇不等式选讲(选修4-5)第1节绝对值不等式及其解法知识点、方法题号解绝对值不等式1,3,4与绝对值不等式有关的证明2,3与绝对值不等式有关的恒成立问题2,4 1.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1时,且当x∈[-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=错误!未找到引用源。
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈[-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)时,f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈[-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)都成立.故-错误!未找到引用源。
≥a-2,即a≤错误!未找到引用源。
.从而a的取值范围是(-1,错误!未找到引用源。
].2.(2016贵阳一测)(1)已知a和b是任意非零实数.证明:错误!未找到引用源。
≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-错误!未找到引用源。
恒成立,求实数k的取值范围.(1)证明:|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,所以错误!未找到引用源。
≥4.(2)解:记h(x)=|2x+1|-|x+1|=错误!未找到引用源。
若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-错误!未找到引用源。
恒成立,则函数h(x)的图像在直线y=k(x-1)-错误!未找到引用源。
的上方,因为y=k(x-1)-错误!未找到引用源。
经过定点(1,-错误!未找到引用源。
高考数学一轮复习 不等式选讲 第1讲 绝对值不等式课件 文 选修45
绝对值不等式的常见题型及求解策略
2．含有两个绝对值的不等式的解法 (1)用“零点分段法”解|x－a|＋|x－b|≥c 或|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的一般步骤为： ①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区 间； ③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集． (2)利用|x－a1|±|x－a2|的几何意义 利用数形结合法，把绝对值转化为数轴上的动点 x 到两个定点 a1，a2 的距离之和(差)． [提醒] 在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上 解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集．
(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围．
解 (2)由题设可得，
f(x)＝x3－ x＋1－ 1－22a，a，x－ <－1≤1 x≤a －x＋1＋2a，x>a.
所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A2a－3 1，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)， △ABC 的面积为23(a＋1)2.
选修4－5 不等式选讲
第1讲 绝对值不等式
考纲展示
三年高考总结
1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几 从近三年高考情况来看，不等式的性质、绝对值不
何意义，能利用绝对值三角不等式证明一 等式的解法为考查的重点，题型以填空题和解答题
些简单的绝对值不等式．
为主，其中以解含有两个绝对值不等式的题型为主，
4．在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1 的解集为____[_0_,4_]_．
解析 由||x－2|－1|≤1 得－1≤|x－2|－1≤1， 即 0≤|x－2|≤2，所以－2≤x－2≤2， 从而得 0≤x≤4.
【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 不等式选讲 第一节 绝对值不等式课件 理 选修4-5
【参考答案】(1)当 a=1 时,f (x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得 <x<1;
3 2
当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2. 所以 f (x)>1 的解集为 ������| < ������ < 2 .
������ 1
(1)证明:f (x)≥2; (2)若 f (3)<5,求 a 的取值范围. 【解析】(1)由 a>0,有 f (x)= x+ 所以 f (x)≥2. (2)f (3)= 3+ +|3-a|,
������ 1 1 ������
+ |������ − ������ | ≥ ������ + − (������ − ������ ) = +a ≥2,
-5≤m≤-3 或 3≤m≤5. 5. (2015· 怀化二模) 若不等式|x+3|+|x-7|≥a 2-3a 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是 . 5.[-2,5] 【解析】∵|x+3|+|x-7|≥|(x+3)+(7-x)|=10,又∵|x+3|+|x-7|≥a2-3a 的解集为 R,∴a2-3a≤10,解得 -2≤a ≤5,∴实数 a 的取值范围是[-2,5].
������ ������ 4 4
设 g (x)=x- , ������ ∈ (0,4], ������(������ ) = ������ + ,x∈(0,4],
������ ������
高考数学一轮总复习不等式选讲1绝对值不等式课件理
∴① x<－12， －2x－1＋3－2x≤6
或② －12≤x≤32， 2x＋1＋3－2x≤6
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由 f(x)的表达式及图象，当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或
x＝3；当 f(x)＝－1 时，可得 x＝13或 x＝5，故 f(x)>1 的解集
为{x|1<x<3}；f(x)<－1 的解集为xx<13
或x>5.所以|f(x)|>1
的解集为xx<13
2．[2017·南宁模拟]若存在实数 x 使|x－a|＋|x－1|≤3 成 立，则实数 a 的取值范围是_[_－__2_,4_]__．
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使 |x－a|＋|x－1|≤3 有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3， ∴－2≤a≤4.
或③ x>32， 2x＋1＋2x－3≤6，
解①得－1≤x<－12，解②得－12≤x≤32，解③得32<x≤2，
即不等式的解集为[－1,2]．
(2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4， 即 f(x)的最小值等于 4， ∴|a－1|>4，解此不等式得 a<－3 或 a>5. 故实数 a 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
【变式训练 2】 [2017·唐山模拟]设不等式－2<|x－1| －|x＋2|<0 的解集为 M，a，b∈M.
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第十四篇不等式选讲(选修4-5)
第1节绝对值不等式及其解法
1.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>-1时,且当x∈[-,)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
解:(1)当a=-2时,
不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
则y=
其图像如图所示.
从图像可知,
当且仅当x∈(0,2)时,y<0.
所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
(2)当x∈[-,)时,
f(x)=1+a.
不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.
所以x≥a-2对x∈[-,)都成立.
故-≥a-2,
即a≤.
从而a的取值范围是(-1,].
2.(2016贵阳一测)(1)已知a和b是任意非零实数.证明:
≥4;
(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,求实数k的取值范围.
(1)证明:|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,
所以≥4.
(2)解:记h(x)=|2x+1|-|x+1|
=
若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,
则函数h(x)的图像在直线y=k(x-1)-的上方,
因为y=k(x-1)-经过定点(1,-),
当x=-时,
y=h(x)取得最小值-,
显然,当y=k(x-1)-经过定点P(1,-)与M(-,-)时,
k PM==,
即k>;
当y=k(x-1)-经过定点P(1,-)与直线y=x平行时,k得到最大值1, 所以k∈(,1] .
3.(2016保定一模)设函数f(x)=|x-a|+1,a∈R.
(1)当a=4时,解不等式f(x)<1+|2x+1|;
(2)若f(x)≤2的解集为[0,2],+=a(m>0,n>0),求证:m+2n≥3+2.
(1)解:当a=4时,
不等式f(x)<1+|2x+1|即为|x-4|<|2x+1|.
①当x≥4时,原不等式化为x-4<2x+1,
得x>-5,故x≥4;
②当-≤x<4时,原不等式化为4-x<2x+1,
得x>1,故1<x<4;
③当x<-时,原不等式化为4-x<-2x-1,
得x<-5,故x<-5.
综合①、②、③知,原不等式的解集为
(-∞,-5)∪(1,+∞).
(2)证明:由f(x)≤2得|x-a|≤1,
从而-1+a≤x≤1+a,
因为f(x)≤2的解集为{x|0≤x≤2},
所以得a=1,
所以+=a=1.
又m>0,n>0,
所以m+2n=(m+2n)·(+)
=3+(+)≥3+2,
当且仅当m=1+,n=1+时,取等号,
故m+2n≥3+2,得证.
4.(2016大同调研)已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|.
(1)当a=1时,求f(x)≤3的解集;
(2)当x∈[,2]时,f(x)≤3恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,由f(x)≤3,
可得|2x-1|+|x-2|≤3,
所以①
或②
或③
解①得 0≤x<;
解②得≤x<2;解③得x=2.
综上可得,0≤x≤2,
即不等式f(x)≤3的解集为[0,2].
(2)因为当x∈[,2]时,f(x)≤3恒成立,
即|x-2a|≤3-|2x-1|=4-2x,
故2x-4≤2a-x≤4-2x,
即 3x-4≤2a≤4-x.
再根据 3x-4的最大值为6-4=2, 4-x 的最小值为4-2=2,
所以2a=2,所以a=1,
即a的取值范围为{1}.。