高考数学一轮复习 不等式选讲 2 证明不等式的基本方法(理)选修4-5
高三理科数学第一轮复习选修4-5§2：几个重要不等式的证明及其应用
选修4-5：不等式选讲 §2：几个重要不等式的证明及其应用
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【金牌精品】高考数学(理)一轮复习：选修4-5-2证明不等式的基本方法
课后课时作业1.[2015·重庆高考]若函数f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|的最小值为5，则实数a ＝________.答案 －6或4解析 当a ≤－1时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1(x ≤a )x －2a －1(a<x ≤－1)3x －2a ＋1(x>－1)，∴f(x)min ＝－a －1，∴－a －1＝5，∴a ＝－6. 当a>－1时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1(x ≤－1)－x ＋2a ＋1(－1<x ≤a )3x －2a ＋1(x>a )，∴f(x)min ＝a ＋1，∴a ＋1＝5，∴a ＝4. 综上，a ＝－6或a ＝4.2．不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x>14解析 |2x ＋1|－2|x －1|>0⇔|2x ＋1|>2|x －1|⇔(2x ＋1)2>4(x －1)2⇔12x>3⇔x>14，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x>14.3．[2016·南昌月考]若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝4，则3a ＋4b ＋5c 的最大值为________．答案 10 2解析 由柯西不等式得(3a ＋4b ＋5c)2≤(a 2＋b 2＋c 2)(9＋16＋25)＝200，所以－102≤3a ＋4b ＋5c ≤102，所以3a ＋4b ＋5c 的最大值为10 2.4．[2015·黄陵一模]设关于x 的不等式|x|＋|x －1|<a(a ∈R )．若a ＝2，则不等式的解集为________；若不等式的解集为∅，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－12，32 (－∞，1]解析 a ＝2时，不等式|x |＋|x －1|<2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0－x ＋1－x <2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1x ＋1－x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋x －1<2，解得－12<x ≤0或0<x <1或1≤x <32，即－12<x <32，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.因为|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，所以若不等式|x |＋|x －1|<a 的解集为∅，则a 的取值范围是(－∞，1]．5．[2015·江苏高考]解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 解原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－32－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－323x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－5或x ≥－13. 6．设不等式|2x －1|<1的解集为M . (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小． 解 (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1， 解得0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b .7．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <aa －x ＋3x ≤0，即⎩⎨⎧x ≥ax ≤a 4或⎩⎨⎧x <a x ≤－a2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－a 2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.8．[2013·福建高考]设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 解 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0， 即－1≤x ≤2时取到等号． 所以f (x )的最小值为3.9．[2015·课标全国卷Ⅱ]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ， 则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 10．[2016·大连模拟]已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m )． (1)当m ＝5时，求函数f (x )的定义域；(2)若关于x 的不等式f (x )≥1的解集是R ，求m 的取值范围． 解 (1)由题意知，|x ＋1|＋|x －2|－5>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ＋1＋x －2>5或⎩⎨⎧－1<x <2x ＋1－x ＋2>5或⎩⎨⎧x ≤－1－x －1－x ＋2>5，解得x <－2或x >3.∴函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． (2)由对数函数的性质知，f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m )≥1＝log 22， ∴不等式f (x )≥1等价于|x ＋1|＋|x －2|≥2＋m .∵当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，而不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ，∴m ＋2≤3，故m 的取值范围是(－∞，1]． 11．[2016·大同月考]设函数f (x )＝|2x －7|＋1. (1)求不等式f (x )≤|x －1|的解集；(2)若存在x 使不等式f (x )≤ax 成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意得|2x －7|＋1≤|x －1|. 当x <1时，－(2x －7)＋1≤－(x －1)，解得x ≥7，∴x 不存在．当1≤x ≤72时，－(2x －7)＋1≤x －1，解得x ≥3， ∴3≤x ≤72.当x >72时，(2x －7)＋1≤x －1，解得x ≤5， ∴72<x ≤5.综上，不等式的解集为[3,5]． (2)|2x －7|＋1≤ax .当x ≥72时，(a －2)x ＋6≥0能成立， 若a －2≥0，则a ≥2满足．若a －2<0，则(a －2)×72＋6≥0，解得27≤a <2. ∴a ≥27.当x <72时，(a ＋2)x －8≥0能成立， 若a ＋2<0，则a <－2满足． 若a ＋2＝0，则a ＝－2不满足． 若a ＋2>0，则(a ＋2)×72－8>0，解得a >27. ∴a >27或a <－2. 综上，a ≥27或a <－2.12．[2015·大庆二模]已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋1)≥0的解集为[0,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ，x ，y ，z ∈R ，且x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ，求证：ax ＋by ＋cz ≤1.解 (1)由f (x ＋1)≥0得|x |＋|x －1|≤m . ∵|x |＋|x －1|≥1恒成立，∴若m <1，不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为∅，不合题意． 若m ≥1，①当x <0时，得x ≥1－m 2，所以1－m2≤x <0； ②当0≤x ≤1时，得x ＋1－x ≤m ，即m ≥1恒成立； ③当x >1时，得x ≤m ＋12，所以1<x ≤m ＋12.综上可知，不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－m 2，m ＋12.由题意知，原不等式的解集为[0,1]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m2＝0m ＋12＝1，解得m ＝1.(2)证明：∵x 2＋a 2≥2ax ，y 2＋b 2≥2by ，z 2＋c 2≥2cz ， 三式相加，得x 2＋y 2＋z 2＋a 2＋b 2＋c 2≥2ax ＋2by ＋2cz . 由题设及(1)，知x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ＝1， ∴2≥2(ax ＋by ＋cz )，即ax ＋by ＋cz ≤1，得证．。
人教a版高考数学(理)一轮课件：选修4-5不等式选讲
考纲解读
通过近几年的高考题可以看出, 本 部分内容的考查主要是在绝对值 不等式的几何意义和解绝对值不 等式两个方面,考查难度一般,试题 题型较为单一 .对于绝对值不等式 的证明一般会结合函数、导数等 内容考查,难度较大,属中高档题.
1.绝对值三角不等式 (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 其中不等式|a+b|≤|a|+|b|又称为三角不等式. (2)在|a+b|≤|a|+|b|中用向量 a,b 分别替换实数 a,b,则|a+b|<|a|+|b|的几 何意义是三角形的两边之和大于第三边(a,b 不共线). (3)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.
(������ + 1)2 ≥ (x + 2)2 , ⇔ ������ + 2 ≠ 0, (������ + 1 + ������ + 2)(������ + 1-������-2) ≥ 0, 即 ������ ≠ -2, 解得 x≤- 且 x≠-2.
3 2
3 .设 a=2- 5,b= 5-2,c=5-2 5,则 a ,b ,c 之间的大小关系是 【答案】 c>b>a 【解析】分别由 a<0,b>0,c>0,再由 b 2-c2<0 得 b<c 判断.
5 .设 m 等于|a| ,|b| 和 1 中最大的一个,当|x|>m 时,求证: +
3 .|ax+b| ≤c,|ax+b| ≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax+b| ≤c(c>0)型不等式的解法是:先化为不等式-c≤ax+b ≤c,再利用 不等式的性质求出原不等式的解集. (2)|ax+b| ≥c(c>0)的解法是:先化为 ax+b ≥c 或 ax+b ≤-c,再进一步利用不 等式的性质求出原不等式的解集.
高考数学一轮总复习 2不等式证明的基本方法(选修4-5)
听 课 记 录 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝ (a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0. 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即 2a3－b3≥2ab2－a2b.
.
【规律方法】 (1)一般地，当所证不等式的两边均为整式(多 项式)时，可考虑用作差比较法．
由平均不等式可得a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc. 所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3. 所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
.
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
.
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就 不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与定理、公理相违背等等，但推导出的矛盾必须 是明显的．
.
高频考点
考点一
比较法证明不等式
【例 1】 已知 a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
答案
1 3
.
4．若 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1，则 a＋ b＋ c的 最大值为________．
解析 ( a＋ b＋ c)2＝(1× a＋1× b＋1× c)2≤(12＋12 ＋12)(a＋b＋c)＝3.
当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立． ∴( a＋ b＋ c)2≤3，故 a＋ b＋ c的最大值为 3.
新高考数学一轮总复习课件选修4-5第二节证明不等式的基本方法
【解析】(1)①当 x≥3 时，|x－3|＜x＋1 等价于 x－3＜x＋1，不等式恒成立， 所以 x≥3； 当 x＜3 时，|x－3|＜x＋1 等价于 3－x＜x＋1，即 x＞1，所以 1＜x＜3， 综上可知，不等式 f(x)＜x＋1 的解集为 M＝{x|x＞1}．
②因为(a2＋1)(b2＋1)－(2a2＋2b2) ＝(ab)2＋a2＋b2＋1－2a2－2b2 ＝(ab)2－a2－b2＋1＝(a2－1)(b2－1)， 又因为 a，b∈M，所以 a＞1，b＞1， 因此 a2＞1，b2＞1，a2－1＞0，b2－1＞0， 所以(a2－1)(b2－1)＞0， 所以原不等式(a2＋1)(b2＋1)＞2a2＋2b2 成立．
(2)作商比较法的应用范围 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．
【变式训练】 当 p，q 都是正数且 p＋q＝1 时，试比较(px＋qy)2 与 px2＋qy2 的大小．
【解析】(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p2x2＋q2y2＋2pqxy－(px2＋qy2) ＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p. 所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2. 因为p，q为正数，所以－pq(x－y)2≤0，所以(px＋qy)2≤px2＋qy2.当且仅当 x＝y时，等号成立．
第二节 证明不等式的基本方法
梳理自测 通必备知识
1．基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥_2_a_b_，当且仅当_a_＝__b_时，等号成立．
定理2：如果a，b＞0，那么 a b ab ，当且仅当a__＝_b__时，等号成立，即两
2
个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．
高考数学一轮复习 4-5.2证明不等式的基本方法精品课件 新人教版
不等式a2 b2 ≥a b2 成立.
mn
类型二 用综合法证明不等式 解题准备:利用综合法证明不等式时,应注意对已证不等式的使用,常用的不 等式有: (1)a2≥0; (2)|a|≥0; (3)a2+b2≥2ab;它的变形形式有 a2+b2≥2|ab|;a2+b2≥-2ab;(a+b)2≥4ab;
a
1 a
2
b
1 b
2
≥
25 2
.
[反思感悟] 综合法一般是分析法的逆过程,表述简单,条理清晰,所以在解决 具体问题时,常把分析法和综合法结合起来使用.
类型三 用分析法证明不等式 解题准备:用分析法证“若A则B”形式的命题的模式是:为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有……. 只需证明命题B2为真,从而有……. …… 只需证明命题A为真,而已知A为真,故B必真.
解 析 : x y bx ay . x a y b (x a )( y b)
由 1 1 0,得 b a 0,又 x y 0, ab
所 以 bx ay,所 以 bx ay 0, (x a )( y b)
所以 x y . xa yb
答案: x y xa yb
类型一 用比较法证明不等式 解题准备:比较法证明不等式最常用的是差值比较法,其基本步骤是:①作差; ②变形;③判断差的符号;④下结论.其中“变形”是证明的关键,一般通过因式分解或 配方将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式,当差是二次三项式时,有 时亦可用判别式来判断符号.
类型四 用放缩法证明不等式 解题准备:放缩法证明不等式时,常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性. 缩小分母､扩大分子,分式值增大;缩小分子､扩大分母,分式值减小;全量不少于部分; 每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放 缩不够或放缩过头,同时放缩有时需便于求和.
高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲课件文新人教版
不等式选讲
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.绝对值三角不等式
(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤
时,等号成立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤
(a-b)(b-c)≥0
时,等号成立.
5
|a|+|b|
,当且仅当_______
-22考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
对点训练2设函数f(x)=|x+1|-m|x-2|.
(1)若m=1,求函数f(x)的值域;
(2)若m=-1,求不等式f(x)>3x的解集.
解:(1)当m=1时,f(x)=|x+1|-|x-2|.
∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3,即函数f(x)的值域为[-3,3].
(3)柯西不等式的向量情势:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且
仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
-6知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.不等式证明的方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,即
|| + |-1| = 1,
|| + |-1| = 1.
2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明课件理新人教A版选修4_5
“放”和“缩”的常用技巧
在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．
常见的放缩变换有：
(1)变换分式的分子和分母，如k12<k（k1－1），k12>k（k1＋1），1k
<
2 k＋
k－1，
1k>
2 k＋
k＋1.上面不等式中
k∈N*，k>1；
(2)利用函数的单调性； (3)真分数性质“若 0<a<b，m>0，则ab<ab＋ ＋mm”． [提醒] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一 个度．
2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由 n＝k 时不等式成立推证 n＝k＋1 时不等式成立，此步的证明要具有 目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以 便确定解题方向．
(2)证明：要证1a－b－abcc>1，只需证|1－abc|>|ab－c|， 只需证 1＋a2b2c2>a2b2＋c2，只需证 1－a2b2>c2(1－a2b2)， 只需证(1－a2b2)(1－c2)>0， 由 a，b，c∈A，得－1<ab<1，c2<1，所以(1－a2b2)(1－c2)>0 恒 成立． 综上，1a－b－abcc>1.
所以 a2＋2ab＋b2＝1.
因为 a>0，b>0，
所以a12＋b12＝（a＋a2b）2＋（a＋b2b）2＝1＋2ab＋ba22＋1＋2ba＋ab22＝
2 ＋ 2ab＋2ba ＋ ba22＋ab22 ≥ 2 ＋ 2
2ab·2ba ＋ 2
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充分条件
已知条件 一个明显成立
_______(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得
出的要事证实的命题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一
种执果索因的思考和证明方法.
【特别提醒】 1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问 题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.
2.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性, 常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…” 等分析到一个明显成立的结论,再说明所要证明的数学 问题成立.
1 2
= 1 [(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)] 2
= 1 [(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0.
所2 以a2+b2≥ab+a+b-1.
2.已知a,b均为正数,且a+b=1,证明:(ax+by)2≤ax2+by2. 【证明】(ax+by)2-(ax2+by2) =a(a-1)x2+b(b-1)y2+2abxy, 因为a+b=1,所以,a-1=-b,b-1=-a, 故(ax+by)2-(ax2+by2)=a(a-1)x2+b(b-1)y2+2abxy =-ab(x2+y2-2xy)=-ab(x-y)2≤0,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因为a+b=c+d，a,b,c,d均为正数,所以ab>cd.
由(1)得
abcd.
(ii)若
当a>b>0时b ，a1,ab0,(a)a2b1； 当b>a>0时，b 2 b
所0以a1,ab0,(a)a 2b1. b2 b
ab
aabb ab 2 .
【规律方法】比较法证明不等式的方法与步骤 1.作差比较法 (1)作差比较法证明不等式的一般步骤: ①作差:将不等式左右两边的式子看作一个整体作差; ②变形:将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因 式分解变形为若干个因式的积,或配方变形为一个或几 个平方和等;
当且仅当a=b时等号成立. 所以(ax+by)2≤ax2+by2.
考向二 综合法证明不等式
【典例2】(2015·全国卷Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,
且a+b=c+d.证明：
(1)若ab>cd,则
(2)
a是b| a-bc|<|d c.-d|的充要条件.
abcd
【解题导引】(1)由a+b=c+d及ab>cd,可证(明a b)2
定理
性质等,经过一系列的_____、_____而得出命题成立,
推理 论证 这种证明方法叫做综合法.综合法又叫_________或由
因导果法.
顺推证法
3.分析法
证明命题时,从___________出发,逐步寻求使它成立的 要证的结论
_________,直至所需条件为_________或_____________
,开方即得
( c d)2
abcd.
(2)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与
充分性来证明.
【规范解答】(1)因为 (ab)2ab2ab,
(cd)2cd2cd. 由题设a+b=c+d,ab>cd得
因此
(ab)2(cd)2.
(2)(i)若a|a-b b |<|cc -dd |，. 则(a-b)2<(c-d)2，
考向一 比较法证明不等式
【典例1】(1)已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:
a 2 b 2 ≥1.
(a 2)1当ba,1b∈(0,+∞)时,求证:aabb≥(ab) .
ab 2
【解题导引】 (1)利用作差比较法证明,注意条件a+b=2的应用. (2)利用作商比较法证明.
【规范解答】(1) a2 b2 1 a 1 b1
③判断:判断商与1的大小关系,就是判断商大于1或小 于1或等于1; ④结论. (2)作商比较法的应用范围: 当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一 般使用作商比较法.
易错提醒:作商比较时易忽视分母的符号而得出错误的 结论.
【变式训练】已知a>0,b>0,求证： a b a b. ba
第二节 证明不等式的基本方法
【知识梳理】 1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法 和作商比较法两种.
名称
理论 依据
作差比较法
a>b⇔_a_-_b_>_0_ a<b⇔_a_-_b_<_0_ a=b⇔______
a-b=0
作商比较法
b>0, a >1⇒a>b
b<0,
b a
>1⇒a<b
③判号:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两 边差的正负号; ④结论:肯定不等式成立的结论. (2)作差比较法的应用范围: 当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般 使用作差比较法.
2.作商比较法 (1)作商比较法证明不等式的一般步骤: ①作商:将不等式左右两边的式子作商; ②变形:将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变, 分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式 为容易和1比较大小的形式;
a2 b1 b2 a 1a 1b1
a1(b1)
a2bab2 a2 b2 abab1
因 为a+b=a2，1所b以1
.
a2 b2
b
因为a，b都是正实a数1，所b以11ab≤a1b1.
所以
≥0,即
a2 b2 1 a 1 b1
≥1.
(a b)2 1，
4
a2 b2
a 1 b1
(当2a) =aabbab时ab2b，(a a) aa 22bb bb21a；(ab)a2b,
b
适用 适用于_具__有__多__项__式__ 类型 特征的不等式的证明
主要适用于积、商、幂、 对数、根式形式的不等 式证明
证明 作差→变形→判断符 作商→变形→判断与1的
步骤 号→得出结论
大小关系→得出结论
2.综合法
一般地,从_________出发,利用_____、公理、_____、
已知条件
定义
【证明】 a b ( a b) ba
又 (a ) >3 0( , b )3 a b (a b )a b (a b )( a b a b )2 ,
所以a b
ab0,(ab)20,
故 a b( a b)0. ba
a b a b. ba
【加固训练】 1.求证:a2+b2≥ab+a+b-1. 【证明】因为(a2+b2)-(ab+a+b-1) =a2+b2-ab-a-b+1 = (2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)