有理数的乘法运用和例题解析
初一数学有理数的加减乘除以及乘方试题答案及解析
初一数学有理数的加减乘除以及乘方试题答案及解析1.科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名的裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是 .【答案】89.【解析】观察发现：从第三个数开始，后边的一个数总是前边两个数的和，则第11个数是34+55=89．试题解析：第11个数是34+55=89．【考点】规律型：数字的变化类．2.将正整数依次按下表规律排成4列，根据表中的排列规律，数2014应在( )A．第672行第1列B．第672行第4列C．第671行第1列D．第671行第4列【答案】B.【解析】每行有3列，奇数开始的从左边开始排列，偶数开始的从右边开始排列．每行的最后都是3的倍数．2014÷3=671……1，所以数2014应在第672行第4列.故选B.【考点】规律型：数字的变化类．3.已知在0摄氏度及一个标准大气压下1cm3空气的质量是0.001293克，数0.001293用科学计数法表示为__________ .【答案】.【解析】用科学记数法表示绝对值小于的数，只要将小数定向右移到第一个不为零的数后，若共移动位，则最后乘以即可，如本题中向右移了位，变为，在后乘以，最后.【考点】科学记数法.4.计算：= 。
【答案】．【解析】【考点】同底数幂的乘法．5.在一次水灾中，大约有个人无家可归，假如一顶帐篷占地100米，可以放置40个床位(一人一床位)，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？若某广场面积为5000米2。
要安置这些人，大约需要多少个这样的广场？（所有结果用科学计数法表示）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】根据帐篷的数量=总人数÷每一个帐篷所容纳的人数；所占面积=帐篷数×一顶帐篷所占的面积，计算即可．试题解析：根据题意得2.5×107÷40=625000=顶帐篷，625000×100=6.25×107米2，6.25×107÷5000=个.考点: 整式的除法．6.明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分．那么小明第四次测验的成绩是（）A．90分B．75分C．91分D．81分【答案】C【解析】小明第四次测验的成绩是故选C.7.下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】B【解析】A.，，故本选项错误；B.，，故本选项正确；C.，，故本选项错误；D.，，故本选项错误．故选B.8.若规定“!”是一种数学运算符号，且则的值为（）A．B．99!C．9 900D．2!【答案】C【解析】根据题意可得：100！=100×99×98×97×...×1，98！=98×97× (1)∴=100×99="9" 900，故选C．9.若规定，则的值为 .【答案】【解析】.10.李强靠勤工俭学的收入维持上大学费用，表中是李强某一周的收支情况表，记收入为正，支出为负（单位：元）：星期一二三四五六日（2）照这个情况估计，李强一个月（按30天计算）能有多少节余？（3）按以上的支出水平，李强一个月（按30天计算）至少有多少收入才能维持正常开支？【答案】（1）到这个周末，李强有14元节余.（2）照这个情况估计，李强一个月（按30天计算）能有60元节余.（3）按以上的支出水平，李强一个月（按30天计算）至少有360元收入才能维持正常开支.【解析】分析：（1）七天的收入总和减去支出总和即可；（2）首先计算出平均一天的节余，然后乘30即可；（3）计算出这7天支出的平均数，即可作为一个月中每天的支出，乘30即可求得．解：（1）由题意可得：（元）.（2）由题意得：14÷7×30=60（元）.（3）根据题意得：10+14+13+8+10+14+15=84，84÷7×30=360（元）．答：（1）到这个周末，李强有14元节余.（2）照这个情况估计，李强一个月（按30天计算）能有60元节余.（3）按以上的支出水平，李强一个月（按30天计算）至少有360元收入才能维持正常开支.11.有理数0.0050400的有效数字的个数是（）.A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解析】有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．解：有理数0.0050400的有效数字有5、0、4、0、0这5个，故选C.【考点】近似数和有效数字点评：本题是基础应用题，只需学生熟练掌握有效数字的定义，即可完成.12.计算：；【答案】－5【解析】先根据有理数的乘方法则计算，再根据有理数的乘法法则计算，最后算加减即可.解：原式.【考点】有理数的混合运算点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.13.观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81， 35=243，36=729…你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：3的个位数字是。
有理数的乘除知识讲解
有理数的乘除【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．要点二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)a b a bb÷=≠.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【典型例题】类型一、有理数的乘法运算1．计算：(1)(-5)×(-4) (2)113135⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ (3)5506⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【思路点拨】(1)、(2)、(3)均为两数相乘，直接运用乘法法则即可． 【答案与解析】解：(1)(-5)×(-4) (两负数相乘)＝+(5×4) (同号得正，并把绝对值相乘) ＝20(2)113135⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭（异号两数相乘）113135⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭（异号得负，并把绝对值相乘）10635⎛⎫=-⨯⎪⎝⎭（化带分数为假分数便可约分） 4=-(3)55006⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭(任何数同0相乘，都得0)【总结升华】第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号，如(-4)×(-0．25)可以写成-4×(-0.25)，但不能写成-4×-0.25．2． (1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭591936548=-⨯⨯⨯=-；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1=-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-=-个（1）相乘；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．3.运用简便方法计算： (1) 10.250.5345⎛⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭ ；（2）245112718839271717⎛⎫-+⨯-⨯+⨯⎪⎝⎭【答案与解析】根据题目特点，(1)可以先用乘法交换律把0.25-与4相乘，再运用乘法结合律将0.5与135-相乘．(2)．计算245273927⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭的值可运用分配律，计算111881717-⨯+⨯的值则可逆用分配律． 解：(1) 原式1611680.250.54(0.254)5255=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=； （2）245112718839271717⎛⎫-+⨯-⨯+⨯⎪⎝⎭245112727+2718839271717⎛⎫=⨯+-⨯⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 1118125(1+)831717=-++-⨯= 【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合． 举一反三：【变式1】计算：23578×(-)+(-8)×-24×(-)551215；【变式2】542(1)()( 2.5)(4)12253-⨯⨯-⨯-； 4(2)(0.125)()16(7)7-⨯-⨯⨯-类型二、有理数的除法运算4．计算：(1)(-32)÷(-8) （2）112(1)36÷-【答案与解析】 (1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)= 4 ……用法则二进行计算．(2)117776212363637⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-=÷-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……用法则一进行计算． 【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择．5．计算： 17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律． 【答案与解析】 解：17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭ 331(49)773⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331493773⎛⎫=-⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．举一反三： 【变式】计算：（1） 1.25(0.375)-÷- (2)111(3)(2)(1)335-÷-÷-类型三：有理数的乘除混合运算5.计算：9481(16)49-÷⨯÷- 【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.9444181(16)811499916⎛⎫-÷⨯÷-=-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭【总结升华】在有理数的乘除运算中，可将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，应按从左到右的顺序进行． 举一反三【变式1】计算：(1)14410(2)893-÷⨯÷- (2)341731755⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭类型四、有理数的加减乘除混合运算6. 计算（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）111351226412⎛⎫⎛⎫-÷-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案与解析】（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1135(12)26412⎛⎫=-+-+⨯- ⎪⎝⎭ 1135(12)(12)(12)(12)26412⎛⎫=-⨯-+⨯--⨯-+⨯- ⎪⎝⎭=6-2+9-5=8（2）法1：原式=16295181121()()121212121288-+-+⎛⎫⎛⎫-÷=-÷-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭法2：由（1）知：1135182641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以16295112128-+-+⎛⎫⎛⎫-÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决． 举一反三： 【变式】 (1)75318 1.456 3.9569618⎛⎫-+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭ (2)211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题7.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少?【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温． 【答案与解析】 解：80002762748211000-⨯=-=-(℃) 因此8000米的高空的气温大约是-21℃．【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．举一反三：【变式】某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负，•小组的出发地记为0，某天检修完毕时，行走记录（单位：千米）如下： +10，-2，+3，-1，+9，-3，-2，+11，+3，-4，+6．（1）问收工时，检修小组距出发地有多远？在东侧还是西侧？（2）若检修车每千米耗油2.8升，求从出发到收工共耗油多少升？类型六、含绝对值的化简8 已知a 、b 、c 为不等于零的有理数，你能求出||||||a b c a b c++的值吗? 【思路点拨】先分别确定a 、b 、c 的取值，再代入求值．【答案与解析】 解：分四种情况：(1)当a 、b 、c 三个数都为正数时，||||||1113a b c a b ca b c a b c++=++=++=； (2)当a 、b 、c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a 为负数，b 、c 为正数，||||||1111a b c a b ca b c a b c-++=++=-++=； (3)当a 、b 、c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a 为正数，b 、c 为负数，||||||1111a b c a b c a b c a b c--++=++=--=-； (4)当a 、b 、c 三个数都为负数时，||||||(1)(1)(1)3a b c a b ca b c a b c---++=++=-+-+-=-||||b c b c+的值为：3,3,1,1-- 【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论. 举一反三： 【变式】计算a bab+的取值.。
《有理数的乘法》典型例题及解析三
《有理数的乘法》典型例题及解析三例题1 计算：时，应首先（）A．把小数化为分数，或者把分数化为小数B．利用符号法则确定乘积的符号C．把带分数化为假分数D．考虑怎样使用乘法结合律或者交换律分析有理数乘法与小学所学乘法的区别在于符号，初学者进行有理数乘法运算最容易出现的错误也在于符号，发生错误的同学往往并不是没记住有理数乘法的运算法则，而在于重视符号的意识不强，所以初学者一定要把确定乘积的符号作为大事，放在首位，也就是说，完成有理数乘法运算要分两步走：先是确定乘积的符号，然后再计算乘积的绝对值．解选B．说明进行两个以上有理数相乘的运算，首先确定乘积的符号，这样做不但有减少运算错误使运算简化的作用，与此同时，也能起到培养良好的学习习惯的作用．就本题来讲，如果不先确定乘积的符号，可能在运算过程中就必须确定三次符号（头两个因数相乘，积的符号；与第三个因数相乘，积的符号；与第四个因数相乘，积的符号），这样就增加了运算步骤．例题2 计算：分析这类题目只不过比小学做过的题目多了一个符号问题，应该先确定乘积的符号，之后再考虑怎样运算更简便些．本题中，由于“81”是9（第一个因数的分母）的倍数，“72”是12的倍数，可以使用乘法交换律与结合律简化运算．解说明（l）如果运算基础较好，则完全可以不使用交换律与结合律，而把带分数化为假分数，把小数化为分数形式后进行约分．（2）上面约分过程中没有把分母中的100与某个分子约分，是为了把结果化为小数时方便，这是思维灵活性的表现．概括以上内容，就是“符号正负先定好，灵活准确做计算”．例题3 计算：2002×20032003－2003×20022002．分析所乘积位数较多，直接计算较麻烦，两组因数结构相同，应该利用这一特点．解 2002×20032003－2003×20022002＝2002×（2003×10001）－2003×（2002×10001）＝2002×2003×10001－2003×2002×10001＝0．说明冷静分析，尽量“绕”过繁琐的计算，这是计算中必须注意的．小括号的出现与“消失”，更是灵活性的体现．例4 计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．分析：按有理数乘法法则进行计算：第(6)题是两个相反数的积，注意与相反数的和进行比较．解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．说明：在进行有理数乘法运算时，除了要熟练掌握乘法法则之外，还应当注意以下两点：1．一个数乘以1等于它本身，一个数乘以－1等于它的相反数．2．两个相反数的和与积是完全不同的两个结果，不要混淆．例5 判断题(对的入“T”，错的入“F”)(1) 同号两数相乘，符号不变． ( )(2) 异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号． ( )(3) 两数相乘，如果积为正数，则这两个因数都为正数． ( )(4) 两数相乘，如果积为负数，则这两个因数异号． ( )(5) 两数相乘，如果积为0，则这两个数全为0．( )(6) 两个数相乘，积比每一个因数都大．( )(7) 如果＞0，且＋＜0，则＜0，＜0．( )(8) 如果＜0，则＞0，＜0．( )(9) 如果=0，则，中至少有一个为0．( )解：(1) F．同号两数相乘，符号为正．(2) F．异号两数相乘，符号为负，与绝对值的大小无关．(3) F．这两个因数也可以都为负数．(4) T．(5) F．两数相乘积为0，两数中可以有一个不为0．(6) F．不一定，例如异号两数相乘时，积就比正因数小．(7) T．(8) F．当ab＜0时，也可能是a＜0，b＞0．(9) T．说明：本题应用有理数乘法法则进行判断，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0．例6 填空题：(1) 五个数相乘，积为负，则其中正因数有____个．(2) 四个各不相等的整数，，，，它们的积=25，那么＋＋＋=____．分析：(1)五个数相乘积为负，说明五个数中，负因数的个数是1个，3个或5个．(2)因为25=1×5×5，又，，，是四个各不相等的整数，所以这四个数只能是±1和±5．解：(1) 五个数相乘积为负，说明五个数中，负因数的个数为奇数，即1个，3个或5个．∴正因数有4个，2个或0个．(2) ∵，，，是四个各不相等的整数，且=25=1×5×5，∴，，，只能是＋1，-1，＋5，-5这四个数．∴＋＋＋=0．说明：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．探究活动一澳门回归“澳门回归”四个汉字分别代表四个整数且满足(澳2+门2)·(回2+归2)=1999试求澳2+门2+回2+归2=？答案因为1999是质数，故它的两个因子“澳2+门2”与“回2+归2”中一个是1，另一个是1999，故澳2+门2+回2+归2=2000．二关于茶杯口翻转的探究活动问题: 桌上放7只茶杯，杯口全部朝上，每次翻转其中的4只，能否经过若干次翻转，把它们翻成杯口全部朝下？答案: “±1”将告诉你：不管你翻转多少次，总是无法使这7只杯口全部朝下．道理很简单，用“+1”表示杯口朝上，“-1”表示杯口朝下，问题就变成：“把7个+1每次改变其中4个的符号，若干次后能否都变成-1？”考虑这7个数的乘积，由于每次都改变4个数的符号，所以它们的乘积永远不变(为+1)．而7个杯口全部朝下时，7个数的乘积等于-1，这是不可能的．道理竟是如此简单，证明竟是如此巧妙，这要归功于“±1”语言．。
第二章 第7--11节 有理数的乘法
第二章 第7节 有理数的乘法（第1课时）教学目标1．使学生在了解有理数乘法的意义的基础上，掌握有理数乘法法则，并初步掌握有理数乘法法则的合理性； 2．培养学生观察、归纳、概括及运算能力．教学重点：会进行有理数乘法的运算．能运用乘法运算律简化运算。
难点：有理数乘法中的符号法则．知识点1. 有理数乘法法则：①两数相乘，同号得_____, 异号得______, 并把____________________.②任何数与0相乘，积仍为________。
知识点2. 有理数乘法的运算 步骤：① 定号 ②绝对值相乘 例1. 计算下列各题4)3)(1(⨯- )7()4)(2(-⨯- )37()73)(3(-⨯- )41()4)(4(-⨯- 221)5(⨯变式练习：421)8)(1(⨯- )45(32)2(-⨯ )143(107)3(-⨯ )21()321)(4(-⨯-知识点3.倒数的定义(1) 如果两个有理数的乘积为______，就称这两个有理数互为________,也称其中一个数是另一个的__________. (2) a 的倒数为__________（0≠a ）(3) 如果两个有理数的乘积为-1，就称这两个数互为负倒数。
例2.求下列各数的倒数。
3的倒数是 _________， 0.25的倒数 _________ ，3-的倒数_______，32-的倒数是_______知识点4.多个有理数的乘法运算 （1） 几个不是0的数相乘，负因数的个数是____________ 时，积是正数；负因数的个数是 ____________ 时，积是负数,把_______________相乘。
（2） 几个有理数相乘，有一个因数为0，积就是________. 例3. 计算（1）)15.0(5)4(-⨯⨯- )2()65()52)(2(-⨯-⨯- 340)726()1324)(3(⨯⨯-⨯-变式练习1. )107()825(54)1(-⨯-⨯ )158()21()73)(2(-⨯-⨯- )91()2.1(45)3(-⨯-⨯（4）5812()()121523-⨯⨯⨯- 2122)5()5(-⨯⨯-- )100(121)12.0)(6(-⨯⨯-)1431(7)7(+-⨯ 253)3.2(25.2)8(⨯-⨯ )511()5()2(3)9(-⨯-⨯-⨯-*变式练习2：（1）.如果ab ＞0,a+b ＞0,确定a 、b 的正负。
有理数乘除法及乘方经典例题和课后练习
一、有理数乘法1. 有理数乘法法则(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;(2)任何数同0相乘，都得0.例1: (1)(—3)X 9(2)(-12)X(-2)(3)3 591654(4) 56 4 1(5)(-2012)X(+ 8)X 0X(-5 40.5 )X( - 1999)2、倒数(1) 定义：乘积为1的两个有理数数互为倒数。
倒数不能独立存在。
1(2) 若a^0,则a的倒数是匚，0没有倒数；a若a、b互为倒数，则ab=1；倒数为本身的数是土 1.(一个数的倒数与原数的符号是一致的).例2：倒数是3的数是 ____ ; a+b (a+b M 0)的倒数是.例3: a与b互为相反数，x与y互为倒数，c的绝对值等于2，求a|b +xy- 1c.3、有理数乘法法则的推广(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定•当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正•再把绝对值相乘.(2)几个有理数相乘，有一个因数为0,积就为0.注意：进行有理数乘法运算时先定符号后定值； 第一个因数是负数时，可省略括 号.例如：判断下列算式积的符号并计算结果：(1)3 X (-5) X (-2) ;(2)3 X (-5) X (-2)X (-4)；(3) -3 X (-5) X (-2) X (-4) X (-3) X (-6) ; (4)(-2) X (-3) X 0X (-4);4、有理数的乘法运算律小学学习的乘法运算律(交换律、结合律、分配律)都适用于有理数乘法.计算 下列式子比较可以说明：(1) 5 X (-6) ,(-6) X 5;(2)[ 3X (-4) ]X (-5) ,3X[ (-4) X (-5) ];(3)5 X[ 3+(-7)], 5X 3+5X (-7)11 6 + 12 ) X (-24)⑶ 5 X (-11 )-(-6) X (-11 )-1 172二、有理数的除法有理数的除法法则：(1)除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，即 a 十例 4.(1)4 X (- 0.17) X( -25)⑵( 1361b=a x (b^ 0)b(2)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.(3)0除以任何一个不为0的数，都得0.注意：1.0不能做除数；2.做有理数的除法运算时，一般的，不能整除的情况下, 应用法则(1)，能整除时，应用法则(2); 3.有理数的除法是有理数的乘法的逆运算。
北师大版 七年级上册 数学 有理数的加减、乘除及乘方运算 讲解及练习(无答案)
有理数的加减、乘除及乘方运算有理数的加减混合运算一、基础知识知识点1 有理数加减法统一成加法的意义1. 有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式.如：(－11)－(+7)+(－4)－(－3)=(－11)+(－7)+(－4)+(3)2. 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式：如：(－11)+(－7)+(－4)+(+3)=－11－7－4+33. 和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“－11，－7，－4，+3的和”二是按运算意义读作“负11，减7，减4，加3”.例1 把下列各式写成省略加号的和的形式.(1)(－26)－(－7)+(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)+(－12)－(－5).分析：先统一成加法，再省略括号和加号.小结：在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化.知识点2 有理数的加减混合运算的加法和步骤1.运用减法法则将有理数的混合运算中的加减法变化为加法，写成省略加号，括号的代数和.2.利用加法的交换律、结合律简化运算，这里应注意的是：通常把同号(指同正、同负)的结合，整数与整数结合，同分母分数或容易通分的分数结合，互为相反数的结合，几个加数能凑整的结合在一起相加；对于特殊结构的计算题要灵活运用运算律.例2 计算：(－47111)－(－5)+(－4)－(+3)分析：加减混合运算应注意有条理按步骤进行，把同号的数相结合相加，这样可以使计算简便.二、典型题解析(一)基本概念题例1 把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法.(1)－2－(+3)－(－5)+(－4)；(2)(+8)－(－9)+(－12)+(+5).分析：先把加减法统一成加法；再省略括号和加号.小结：（1）和式中第一个加数若是正数，正号也可省略不写；（2）第一种读法中“的和”两字不要漏掉.(二)知识应用题例2 从－50起逐次加2，得到一连串数－48，－46，－41，－44，－40，…，问：(1)第50个整数是什么？(2)你能巧妙地运用规律计算这50个整数的和吗？小结：在求和时，找出互为相反数的数，再计算出其余的数的和，能用简便算法的尽量用简便算法.(三)学科综合题例3 小彬和小丽在一起玩游戏，游戏规则是：(1)每人每次抽取4张卡片，如果抽取到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字.(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果小的为胜者，小彬抽到了下面的4张卡片：红－13，白7，红－5，白4，小丽抽到了下面的4张卡片：白3.2，白－2.7，红－6，白－2问：获胜的是谁？(四)拓展创新题例4 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为190个埃及分数：你能从中挑出10个，加上正负号，使他们的和等于－1吗?分析：这是一道阅读理解题，要从90个埃及分数中挑出10个，使它们的和等于－1，不能被题目所举的例子束缚了思维，必须要运用有理数的加减混合运算.(三)培优练习1.下列化简正确的是( )A.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3－2B.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3－2C.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3+2D.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3+22.下列各式中与a－b－c的值不相等的是( )A.a－(b－c)B.a－(b+c)C.(a－b)+(－c)D.(－b)+(a－c)3.负数a减去它的相反数的差的绝对值是( )A.0B.2aC.－2aD.以上都可能4.使等式|－7+x|=|－7|+|x|成立的有理数x是( )A.任意一个正数B.任意一个非正数C.小于1的有理数D.任意一个有理数5.在数轴上，点x表示到原点的距离小于3的那些点，那么|x－3|+|x+3|等于( )A.6B.－2xC.－6 D2x6.填空题(1)小于5而大于－4的所有偶数之和是________；(2)－14的绝对值的相反数与5的相反数的差是________；(3)若|x－3|+|y－2|=0，则x+y=________，x－y=________.7计算①(－1.5)+1.4－(－3.6)－4.3+(－5.2) ②(－1)－1+(－2)－(－3)－(－1)③－12－[10+(－8)－3] ④(－4)－(－2)－{(－5)－[(－7)+(－3)－(－8)]}⑤|－0.1|－|－0.2|+|－0.4|－|－0.2|－|+0.1|+0.48、在数1，2，3，4，……，2003，2004前添加“+”或“－”，然后求代数和，使求得的结果为最小的非负数；9.定义新运算a*b=a+b-1,如3*(-2)=3+(-2)-1=0.请你计算(-1)*(-3)*2=_________.10．定义一种运算☆，其规则为a ☆b =b a 11+，根据这个规则，计算-2☆3的值 .11.已知有理数x 、y 满足|x －2y|=－2|x －4|，求4x 2－3y 的值.12.已知|a|=6，|b|=3，|c|=5，且c ＜0，a+c ＞0，求a+b+c 的值.有理数的乘除及乘方运算一、基础知识点1.有理数的乘法法则：2.有理数的除法法则：3.乘方：4.处理好符号仍然是有理数乘法、除法及乘方运算的关键。
2.11有理数的乘方例题与讲解
2.11 有理数的乘方1．有理数乘方的概念(1)乘方的意义：一般地，n 个相同的因数a 相乘：，记作a n ，即＝a n ，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作a 的n 次方(或a 的n 次幂)．(2)乘方的表示方法(3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面：①注意乘方的双重含义乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做幂．由此不难发现，乘方具有双重含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果．如25中，25可以看成一种运算，表示有5个2相乘，即25＝2×2×2×2×2，这时，25应读作2的五次方；另一方面，25又可看成5个2相乘的结果，即2×2×2×2×2＝25，这时25却读作2的5次幂；②注意乘方底数的书写格式乘方的书写一定要规范，不然会引起误会．当底数是负数或分数时，一定要记住添上括号，以体现底数是负数或分数的整体性．如(－3)×(－3)×(－3)×(－3)应记作(－3)4，不能记作－34.(－3)4与－34表示的意义和结果完全不同．前者表示4个－3相乘，结果为81；后者为4个3相乘的积的相反数，结果为－81.再如54×54×54×54×54×54应记作⎝⎛⎭⎫546，不能记作564； ③一个数可以看成这个数本身的一次方，如3就是31，a 就是a 1，只是指数1通常省略不写；④a n 与－a n 的区别：ⅰ.a n 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．ⅱ.－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数．如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作－3的3次方，表示3个－3相乘，(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.所以(－3)3与－33的结果虽然都是－27，但表示的含义并不同． ⑤注意乘方运算的转化．计算乘方运算的结果时，应将乘方运算转化为乘法运算来完成．如计算(－5)3时，应将它转化为计算(－5)×(－5)×(－5)的积；再如计算⎝⎛⎭⎫124时，应将它转化为计算12×12×12×12的积． 【例1】 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么？(1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)；(2)25×25×25×25； (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )．分析：以上三题都是相同因数相乘，可用乘方的形式表示，相同因数为底数，相同因数的个数为指数，指数写在右上角．解：(1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)＝(－8.3)5；(2)25×25×25×25＝⎝⎛⎭⎫254； (3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )＝a 2 011.警误区 书写乘方的注意事项 当底数是负数或分数时，写成乘方的形式时，底数一定要加上括号，如(1)，(2)两题．2．乘方运算的符号法则(1)有理数乘方的符号法则：①正数的任何次幂是正数；②负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；③0的任何次幂等于0；1的任何次幂等于1.(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化，关于乘方有如下几个性质：①0的任何正整数次幂都是0；互为相反数的偶次幂相等；互为相反数的奇次幂互为相反数．如0n ＝0(n 是正整数)；(－4)6＝46；(－4)3＝－43.②进行乘方运算时与其他运算一样，先要确定符号，再计算出绝对值，同时还应注意(－a )2n ＝a 2n ，(－a )2n ＋1＝－a 2n ＋1(n 是正整数)，由乘方的法则我们还知道：a 2n ≥0，即任何有理数的偶次幂是非负数．谈重点 决定乘方结果的符号的因素 有理数乘方结果的符号取决于：一底数的符号，二指数的奇偶．【例2】 利用有理数乘方运算的符号法则计算：(1)(－3)2；(2)1.53；(3)⎝⎛⎭⎫－434；(4)(－1)11； (5)(－1)2；(6)(－1)2n ；(7)(－1)2n －1.分析：根据有理数乘方的符号法则：(2)正数的任何次幂都是正数，(1)(3)(5)(6)是负数的偶次幂，结果为正；(4)(7)是负数的奇次幂，结果为负．解：(1)(－3)2＝3×3＝9；(2)1.53＝1.5×1.5×1.5＝3.375；(3)⎝⎛⎭⎫－434＝43×43×43×43＝25681； (4)(－1)11＝－1；(5)(－1)2＝1；(6)(－1)2n ＝1；(7)(－1)2n －1＝－1.3．有理数乘方的运算有理数乘方运算的思路：确定幂的符号；确定幂的绝对值．有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果． 因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来运算幂的绝对值，最后得出幂的结果．例如计算(－5)3，先确定幂的符号为“－”号，再计算53＝125，即(－5)3＝－125；再如，计算(－2)×32时，先算32＝9，再算(－2)×9＝－18.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘． 在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错．【例3－1】 计算：(1)－33；(2)(－2)2；(3)(－3×2)3；(4)－(－2)3.分析：运算时，先确定符号，再计算乘方．(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数－3×2＝－6，再计算(－6)3；(4)先计算(－2)3，其结果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数．解：(1)－33＝－(3×3×3)＝－27；(2)(－2)2＝4；(3)(－3×2)3＝(－6)3＝－216；(4)－(－2)3＝－(－8)＝8.警误区勿把底数乘指数在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误．如－33＝－(3×3)＝－9，这是由于没有理解乘方的意义导致的．【例3－2】计算(－0.25)10×412的值．分析：直接求(－0.25)10和412比较麻烦，但仔细观察可以发现(－0.25)10＝0.2510，表示10个0.25相乘，而412表示12个4相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律，比较容易求出结果．解：(－0.25)10×412＝(0.25)10×412＝[(0.25)10×410]×42＝(0.25×4)10×42＝1×16＝16.4.有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便．现代高科技技术离不开数学技术，数学也是一门神奇的艺术，它那神奇的力量常常让人感到意外和惊奇！比如，一层楼高约3米，一张纸的厚度只有0.1毫米，0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计，如果我们将纸对折、再对折，如此这样对折20次后，其厚度将比30层楼房还要高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用．数学是一门规律性很强的学科，只要掌握了它的规律，很多问题都可以迎刃而解了，乘方的规律也不例外．同学们要认真思考，仔细观察找到有理数乘方应用的规律．【例4】“兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店，今天开张，做拉面的张师傅站在门口进行广告宣传，当众拉起了拉面．他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩，吃面的人更是络绎不绝．张师傅先是用一根直径约13厘米的粗面条，把两头捏起来拉长，然后再把两头捏起来拉长，不断地这样，张师傅共拉了10次，在他手里出现了一根根直径约0.1毫米的细面条．算一算：张师傅拉10次共拉出了多少根细面条？若拉n次呢？(请把探索的结果填入下表中)分析：第一次拉出2＝2根，第二次拉出2＝4根，第三次拉出2＝8根，所以第n次拉出2n根．解：拉面的根数与拉面的次数n有关系，拉面的根数＝2n.面条根数248163264...2 (2)5．与乘方相关的探究题探究题是近几年中考中的亮点，渗透多个知识点，形式多样．解题时，一般遵循从特殊到一般的探究思路，先准确计算几个特例的结果，再通过对这些结果的分析、归纳得到一个较一般的结论，最后再应用这个结论解决问题．由于乘方是一种新运算，它是一种特殊的乘法，特殊在因数相同，是同学们新接触的运算，所以解决问题时要注意，当底数是分数或负数时，写成幂时底数要加括号．与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如3n 的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1，…依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2n 或⎝⎛⎭⎫12n 求解．【例5－1】 有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．(1)对折2次后，厚度为多少毫米？(2)对折20次后，厚度为多少毫米？ 分析：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系．根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1＝22×0.1毫米，对折3次后厚度变为8×0.1＝23×0.1毫米，对折4次是16×0.1＝24×0.1毫米，对折5次是32×0.1＝25×0.1毫米，……，从中探寻规律，解答问题．解：(1)0.1×22＝0.4(毫米)．(2)(220×0.1)毫米．【例5－2】 1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多少米长？分析：此题的关键是找出每次截完后，剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系．解：第7次后剩下的小棒有⎝⎛⎭⎫127×1＝1128(米)．。
有理数的乘法运用和例题解析
有理数的乘法运用和例题解析1. 体会有理数乘法的实际意义；2•掌握有理数乘法的运算法则和乘法法则；3•经历探索、归纳有理数乘法法则的过程，发展学生观察、归纳、猜测、验证等能力.1•有理数加法法则内容是什么?同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.异号两数相加，绝对值相等时，和为0;绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的 绝对值减去较小的绝对值. 一个数同0相加，仍得这个数.2. 计算：(1) 2+2+2= 6 ; (2) (-2 ) + (-2 ) + (-2 ) =- 63. 将上面两个算式写成乘法算式.2X 3=6，(-2 )X 3=-6【例1】计算(-4) X [—(-丄)]的结果是(2A.- 8 B . 8总结： 无论是两个有理数相乘，C . 2D . - 2对于含多重符号或绝对值符号的，要先算绝对值并化为最简，然后再确定积的符号.2. 乘积符号和因数符号之间的关系【例2】如果ab < 0,且a > b ,那么一定有(三、新知讲解 1. 有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负任何数同0相乘，都得2. 有理数乘法步骤两个有理数相乘，先确定积的 符号 ，再确定积的 四、典例探究，并把绝对值相乘.有理数乘法与有理数加法的运算步骤一样 .第一步： 确定符号即符号法则确定积的符号有理数乘法确定积的绝对值算术乘法绝对值 ____ .;第二步:积3.倒数乘积是1为倒数，即若a • b=1，贝U a 与b 互为倒数；反之，若 a 与b 互为倒数，则a • b=1.1.两个有理数的乘法运算确定绝对值的两个数互一、学习目标二、知识回顾还是多个不等于0的有理数相乘，都要先确定积的符号，再确定积的绝对值.练1. 练2.A. 5.2T —（-¥）X （ _¥）5 9计算3X | - 2|的结果是（）B . - 5C . 6D . - 6计算:A. a > 0, b > 0 B . a > 0, b < 0 C . a < 0, 总结：“同号得正，异号得负”是专指“两数相乘”而言的 无论是“ + ”还是“-”，积的符号一定为“ + ”； 为“-”；0与任何有理数相乘，结果都等于0.反之，两个数的乘积为负数，说明它们异号；积为正数说明它们同号；积为 练3.如果ab=0，那么一定有( ) A. a=b=0B. a=0C. a , b 至少有一个为 0 D . a , b 最多有一个为 0练 4.如果 a >b >0,则 b ( a -b ) __________ 0 (填写“>”，“<”，“=”)3.有理数乘法的实际应用五、课后小测b > 0 D . a< 0, bv 0.其中“同号得正”是指两数的符号只要相同，“异号得负”是指两数的符号相反， 其积的符号0说明至少有一个为 0.【例3】某校体育器材室共有 60个篮球.一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的1-，请你算一算，这 60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？4总结：此类问题一般比较简单，关键是要理清题意，然后根据题意列式并计算， 结论.练5.某同学和他的家人在一座有 5层高的大厦内购物休闲，当他们在大厦顶楼购物完后，开始坐电 梯下楼，若电梯向上运动为正，向下运行为负，并且知道每层楼高4.2m ，当他们的家人由顶层下降到2层时，准备在二层吃饭，请你说一下他们一家人高度的变化情况是怎样的？再结合实际意义得出4.倒数和负倒数【例4】(1)的倒数为-令-岭的倒数为(2)若两数之积是-1时，我们称这两数互为负倒数，那么是 _____ . 总结：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数•即：若 若两个数的乘积是-1,我们就称这两个数互为负倒数•即：若 需要注意的是：(1) 零没有倒数，也没有负倒数.a 、 (3) (4) (5) 练6. 练7.aM0时,a 的倒数为a，负倒数为求分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可 正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数. 倒数等于它本身的数是± 1. -1.5的倒数是 _______ . 一个数的相反数的负倒数是 点，则这个数等于13一、选择题1•计算-4X( - 2)的结果是(中勺负倒数是,0.25的负倒数b 互为倒数，则ab=1;a 、b 互为负倒数，则 ab=-1.A. 8 B . - 8 C . 6 D . - 2 2. 3. A. C. 4. A. C.4. A.6.(A.7. 0.3 x （ -13）.若有理数a 、b 满足ab ＞ 0, a , b 可能一正一负 B a , b 都是负数 D . 如果有3xy=0，那么一定有（ 且a+bv 0,则下列说法正确的是（ .a , b 都是正数 a , b 中可能有一个为0 ） x=y=0 B . y=0 x 、y 中至少有一个为 0 D . x 、y 中最多有一个为 两个互为相反数的有理数相乘，积为（ ）正数 B .负数 C .零 D 假设拧不紧的水龙头每秒滴下 2滴水，每滴水约0.05 ） 144 毫升 B . 1.44 X 10 3毫升 C . 0.14 X 104毫升 D . 14X 102毫升 国庆节期间，小欣到智慧迷宫去游玩，发现了一个秘密机关，机关的门口有一些写着整数的数字.负数或零毫升，那么经过4小时，滴下的水的体积是按钮，此时传来了一个机器人的声音： “按出两个数字，积等于-8”请问小欣有多少种按法？ （） A. 2 B . 3 C . 4 D . 6 & （2014?秀屿区模拟） 2014的负倒数是（ ） A. 1 B — 1 C .2014 D201420149 .-| - 3|的相反数的负倒数是（ )A. -丄B . 1C . - 3D . 33 3.-2014二、填空题10 .若有理数 11 .若 av bv 0, 1^x 11=13 13 ---------0X(- 3) = ________ . y 互为倒数，则(xy ) 201312.计算: a 、b 同时满足（1） 则ababv 0, 0, a - b（2） a （b+1）＞ 0,那么b 的范围是0.（用“＜或＞”填空）13 .计算： 14 .若 x ,三、解答题315 .已知a , b 互为相反数，c , d 互为负倒数，x 的绝对值等于它的相反数的 2倍，求x +abcdx+a -bcd 的值.例题详解:【例1】计算（-4）乂 [-（-丄）]的结果是（A. - 8 B . 8 C . 2 D . - 2 分析：先去括号，然后再进行有理数的乘法运算即可. 解答：解：原式=-4X 扌=-2 .故选D.点评：此题考查了有理数的乘法运算， 属于基础题，解答本题的关键是掌握有理数的乘法法则.【例2】如果abv 0,且a >b ,A. a >0, b >0 B . a >0, 分析：先由abv 0,判断出a 、 解答：解：••• abv 0, ••• a 、b 异号， 又••• a > b , •- a>0, bv 0, 故选B.点评：本题考查了有理数的乘法， 1 1 1的一，-和一，请你算一算，这 60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够,2 3 4还缺几个？分析：本题可以转化为： 点评：本题考查了倒数的概念及性质， 解题的关键是掌握倒数的定义： 若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.（2）若两数之积是-1时，我们称这两数互为负倒数，那么-耶负倒数是W_, 0.25的负倒数是 分析：根据负倒数的定义进行求解即可. -的负倒数是弓，0.25的负倒数是-4. 2- 4.3点评：考查了负倒数的定义：若两个数的乘积是- 1,我们就称这两个数互为负倒数.练习答案： 练1计算:那么一定有（）bv 0 C . av 0, b > 0 D . av 0, bv 0 b 异号，再由a >b ,得出a >0, bv 0. 【例3】某校体育器材室共有 60个篮球.解题的关键是明确两数相乘积小于零，则这两个数异号. 天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数求一个数的几分之几是多少的数学模型，所以用乘法来解答. 解答：60 X 1121= 60 X（右）=-5.5个篮球.【例4】（1） -些 的倒数为 分析：根据倒数的定义求解即可. 3. 2；答：不够借，还缺 厂玲的倒数为5解答：解：-2的倒数为-上3-恃违则-故答案为：-3；1—的倒数为--5 3.5 g ，解答：解: 故答案为:分析：利用有理数的乘法法则；两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，进行计 算即可. 解答：解：原式 X ] 0 ,5 9 323关键是熟练掌握计算法则，正确判断出积的符号. )D . - 6-2|，再按有理数乘法法则计算.故选C.点评：本题考查了有理数的乘法， 练3.如果ab=0,那么一定有(A. a=b=0 BC. a , b 至少有一个为 0 D分析：根据积为0的有理数乘法法则解答.解答：解：如果ab=0, 那么一定a=0,或b=0. 故选C.点评：有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同零 相乘，都得0.练 4.如果 a >b > 0,则 b (a - b ) 〉 0 (填写=”)分析：先求出a - b > 0,再根据同号得正解答.解答：解：••• a > b > 0,a -b > 0, ••• b (a - b )> 0.故答案为：〉.点评：本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解题的关键. 练5.某同学和他的家人在一座有5层高的大厦内购物休闲，当他们在大厦顶楼购物完后，开始坐电梯下楼，若电梯向上运动为正，向下运行为负，并且知道每层楼高 4.2m ，当他们的家人由顶层下降到 2层时，准备在二层吃饭，请你说一下他们一家人高度的变化情况是怎 样的？解：因为每层楼高4.2m ,他们一家人向下移动了 3层楼，所以高度变化为： 3X(-4.2)=-12.6m . 答：高度变化是-12.6m . 练6. - 1.5的倒数是-管.分析：先把小数化为假分数，然后根据倒数的定义求解. 解答：解：-1.5=-号 -空的倒数为-卫.2 3故答案为: 点评： 练2. A. 5分析： 此题主要考查了有理数的乘法, 计算3X | - 2|的结果是(B . - 5C .先根据绝对值的定义求出解: 3X | - 2|=3 X 2=6. 先算绝对值，再算乘法是解题的基本规律. ) .a=0.a , b 最多有一个为0故答案为-直点评: 本题考查了倒数的定义： a (aM0)的倒数为 a练7. 一个数的相反数的负倒数是丄，则这个数等于 19 19分析: 这个数实际上是挣负倒数的相反数，言勺负倒数为-19,再求-19的相反数即可. 解答: 解：这个数为-(-「E)=19. 故答案为19. 点评：熟练掌握倒数和相反数的概念.实数 a (aM0)的倒数是JL ,它的负倒数是-2,它 a a的相反数为-a . 课后小测答案： 1. (2014?台州)计算-4X(- 2)的结果是( A. 8 B . - 8 C . 6 D . - 2 解：-4X( - 2) =4X 2=8. 故选：A. 2. 0.3 X( 学). 解：0.3 X(- 1P )』X(-7 10若有理数a 、b 满足ab >0, B D3. A. a , b 可能一正一负 C. 解：若有理数a 、b 满足ab >0,则a , b 同号，排除A, D 选项; 且a+bv 0,则排除a , b 都是正数的可能，排除 B 选项； 则说法正确的是 a , b 都是负数，C 正确. 故选C. 4 .如果有3xy=0，那么一定有( A. x=y=0 B C. X 、y 中至少有一个为 解：根据有理数乘法法则： y 中至少有一个为 0. 故选C. 5.两个互为相反数的有理数相乘，积为( A.正数 B .负数 C .零 Da ,b 都是负数且a+bv 0，则下列说法正确的是( .a , b 都是正数 .a , b 中可能有一个为 0 ) .y=0 0 D . X 、 两数相乘积为 y 中最多有一个为0 0,两数中至少有一个数为 0,因而若3xy=0，则X ,) .负数或零解：•••正数的相反数为负数，负数的相反数为正数，根据异号两数相乘得负，.••积为负. 又的相反数是0,.••积为0. 故选D 6.假设拧不紧的水龙头每秒滴下 2滴水，每滴水约0.05毫升，那么经过4小时，滴下的水 的体积是( )3 4 2A. 144 毫升 B . 1.44 X10 毫升 C . 0.14 X10 毫升 D . 14X10 毫升解：4小时=1.44 X 10 4秒，滴下的水的体积=2X 1.44 X 10 4X 0.05=1.44 X 10 3毫升. 故选B. 7.国庆节期间，小欣到智慧迷宫去游玩，发现了一个秘密机关，机关的门口有一些写着整 数的数字按钮，此时传来了一个机器人的声音： 多少种按法？（ A. 2 B . 3 解：1X （— 8） 故选：C. & （2014?秀屿区模拟） A. B 2014“按出两个数字，积等于- 8”请问小欣有 ) C . 4 D . 6 =—8,(—1)X 8=— 8; 2X (-4) =— 8; (— 2 )X 4=—8,2014的负倒数是（ 12014.2014 D . — 2014 解：2014的负倒数是-一5, 2014故选：B. 9.— I — 3|的相反数的负倒数是（ i C . - 3 3解：-I - 3|的相反数是3,— | —3|的相反数的负倒数等于111-33'D 3 abv 0, (2) a (b+1) > 0,那么 b 的范围是 -1 < bv 0 故选A. 10 .若有理数a 、b 同时满足(1) 解：•/ abv 0, a ( b+1)> 0, ••• b 与b+1的符号不同， •/ b v b+1, ••• b v 0, b+1 > 0, 解得-1 v bv 0. 故答案为：-1 v b v0. 11.若 av bv 0，贝U ab > 0, 解：•/ av bv 0, •- ab > 0, a — b v 0. 故答案为： a — b v 0.(用“v 或〉”填空)>；v . ,2^ 11_ 165 勺13=^16^ .解：原式巫X 丄1. 13 13 169165 1肘 12.计算: 故答案为: 13 .计算：0X(- 3) = 0 .解：0X( - 3) =0 . 故答案为：0 . 14 .若x , y 互为倒数，则(xy )解：•/ X , y 互为倒数，2013 .=1••• xy=1 ,原式=12013=1.故答案为1．15•已知a,b互为相反数，c,d互为负倒数，x的绝对值等于它的相反数的2倍，求x3+abcdx+a -bcd的值.解：由已知可得：a+b=0, cd=- 1, |x|= - 2x，即可得x=0,•••原式=0 - abx 0+a+b=a+b=0。
初二数学有理数的加减乘除以及乘方试题答案及解析
初二数学有理数的加减乘除以及乘方试题答案及解析1.计算： = .【答案】.【解析】针对有理数的乘方，零指数幂2个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：.【考点】1.有理数的乘方；2.零指数幂.2.计算：（－2）2012×（）2013＝.【答案】.【解析】幂的乘方公式:(a m)n=a mn,由题,（－2）2012×（）2013＝（－2）2012×（）2012×=(-×)2012×=.【考点】幂的乘方.3. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物.将0.0000025用科学记数法可表示为 .【答案】【解析】科学记数法的表示方法：科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.0.0000025＝.【考点】科学记数法的表示方法点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握科学记数法的表示方法，即可完成.4.计算：=．【答案】-6【解析】有理数的乘法法则：两数相乘，同号得证，异号得负，并把绝对值相乘.=-6．【考点】有理数的乘法点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握有理数的乘法法则，即可完成.5.【解析】有理数的混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左向右的顺序依次计算；有括号的先算括号里的.同时注意运算过程中可以运用运算律计算的要运用运算律简化计算.原式.【考点】有理数的混合运算点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握有理数的混合运算的顺序，即可完成.6.地球上七大洲的总面积约为149480000km2，该数请用科学计数法并保留3个有效数字表示为 .【答案】1.49×108【解析】科学计数法的表示方法。
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．首先把这个数利用科学记数法表示，然后根据有效数字的确定条件，四舍五入即可求解解：149480000=1.49480000×108≈1.49×108（km2）．故答案是：1.49×108km2【考点】科学计数法的表示方法点评：科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法7.1.0149精确到百分位的近似值为．【答案】1.01【解析】由题意精确到百分位就是对千分位四舍五入.1.0149精确到百分位的近似值为1.01．【考点】近似数与有效数字点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握四舍五入取近似数的方法，即可完成.8.用科学记数法表示：0.000258≈________________(保留两个有效数字).【答案】2.6×10-4【解析】有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【考点】本题考查的是科学记数法，近似数与有效数字点评：解答本题的关键是熟练掌握用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．9.某种药品的说明书上,贴有如右所示的标签,一次服用这种药品的剂量x的范围是。
专题216 有理数的乘法(拓展提高)(解析版)
专题2.16 有理数的乘法（拓展提高）一、单选题1．若a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列选项不正确的是（ ）A ．ab ＜0B ．|a |＞|b |C ．a +b ＞0D ．a ＜﹣b ＜b ＜﹣a【答案】C【分析】根据数轴上数的位置，确定数的正负与绝对值大小即可．【详解】解：由数轴可得，a ＜0＜b ，|a|＞|b|，则ab ＜0，|a|＞|b|，a+b ＜0，a ＜﹣b ＜b ＜﹣a ，错误的是C ．故选：C ．【点睛】本题考查了数轴上的数和有理数运算法则，解题关键是根据数轴判断a ，b 的符号合绝对值大小，再根据有理数运算法则判断式子是否正确．2．如果两个有理数的和等于零，那么这两个有理数的积是（ ）A ．负数B ．正数C ．非负数D ．非正数 【答案】D【分析】根据有理数的加法法则可得这两个数为一正一负，或同为0，再根据乘法法则得到这两个有理数的积是负数或0．【详解】如果两个有理数的和等于零，那么这两个有理数互为相反数，故这两个数为一正一负，或同为0，则这两个有理数的积是负数或0，故选：D ．【点睛】此题考查有理数的加法法则和乘法法则，熟记法则是解题的关键．3．对于任意有理数,a b ，定义一种新运算“⊕”，规则如下：a b ab a b ⊕=+-．例如：525252⊕=⨯+-，则3(2)⊕-的计算结果等于()A ．-7B ．-1C ．-11D ．-5 【答案】B【分析】根据新运算法则解答即可．【详解】解：()()3(2)32326321⊕-=⨯-+--=-++=-．故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的运算，正确理解新运算法则、明确求解的方法是解题的关键．4．在整数集合{3,2,1,0,1,2,3,4,5,6}---中选取两个整数填入“6⨯=”的○内，使等式成立则正确选取后不同填入．．．．的方法有（ ） A ．2种B ．4种C ．6种D ．8种 【答案】C【分析】计算积为6的数，每个式子为两种．【详解】解：-3×（-2）=6，：-2×（-3）=6；2×3=6，3×2=6；1×6=6，6×1=6，共有6种，故选：C ．【点睛】本题考查了有理数的乘法，属于基础题，注意3个式子，6种方法5．若234a b ==，，且0ab <，那么+a b 的值为（ ）A ．5或1B ．-5或-1C ．5或-5D ．1或-1【答案】D【分析】先根据题意确定a ，b 的所有可能取值，然后代入求值即可．【详解】解：∵234a b ==，∴a 3b 2=±=±，∵0ab <∴a 、b 异号当a=3，b=-2时 3-21a b +==当a=-3，b=2时321a b +=-+=-故选：D ．【点睛】此题主要考查求代数式的值，解题的关键是正确根据题意确定a ，b 的值．6．王叔叔将“绿色出行，从我做起”化为实际行动，坚持每天步行上下班，他以10000步为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，记录了一周上下班的步数情况如下表，若王叔叔平均每步0.75米，请你计算本周（星期一至星期五）王叔叔上下班共步行了多少米（ ）A ．2500B ．10500C ．52500D ．39375【答案】D【分析】先根据题意和表格数字列出运算式子，再计算有理数的乘法与加减法即可得．【详解】由题意得：()1000051200800160050000.75⨯+-+++⨯⎡⎤⎣⎦， ()5000025000.75=+⨯，525000.75=⨯，39375=（米），即本周（星期一至星期五）王叔叔上下班共步行了39375米，故选：D ．【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用、有理数乘法与加减法的应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键．二、填空题7．12021-的倒数的相反数是________． 【答案】2021【分析】直接利用倒数、互为相反数的定义分析得出答案．【详解】解：12021-的倒数为：-2021，则-2021的相反数是：2021． 故答案为：2021．【点睛】此题主要考查了倒数、相反数，正确把握相关定义是解题关键．8．乘积为240-的不同五个整数的平均值最大是__________．【答案】9【分析】显然是要使得负因数的绝对值尽量小，且正因数尽量大，符合的负因数只能为-1，然后正因数为1，2，3，40，再根据平均数的求法求出五个整数的平均值．【详解】解：∵要求乘积为-240的不同五个整数的最大平均值，又∵-1×1×2×3×40=-240， ∴平均值最大的五个因数为-1，1，2，3，40，∴五个整数的平均值为（-1+1+2+3+40）÷5=9．故答案为：9．【点睛】本题考查了有理数的乘法，本题确定负因数为-1是解题的关键．9．规定*是一种运算符号，且*2a b ab a =-，则计算()4*2*3-=_______．【答案】-16．【分析】按照新定义转化算式，然后计算即可．【详解】根据题意，2*3232(2)-=-⨯-⨯-=64-+=-2，()4*2*3-=()4*24(2)24-=⨯--⨯=88--=-16故答案为：-16．【点睛】本题考查了新定义运算，解题关键是把新定义运算转化为有理数计算，并准确计算．10．已知21x y -=-，且,a b 互为倒数，那么620132x aby y -+-=______．【答案】2010【分析】利用倒数的性质得到ab ＝1，代入原式计算后，提取公因式变形，将2x−y ＝−1代入计算即可求出值．【详解】由题意得：2x−y ＝−1，ab ＝1，则原式＝6x−2y−y ＋2013＝3（2x−y ）＋2013＝−3＋2013＝2010．故答案为：2010．【点睛】此题考查了代数式求值，倒数，熟练掌握倒数的性质是解本题的关键．11．若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，e 是绝对值最小的数，则()325a b cd e +-+=______．【答案】-2【分析】根据已知求出a+b、cd、e的值，代入代数式即可求出答案．【详解】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，e为绝对值最小的数，∴a+b=0，cd=1，e=0，∴3（a+b）-2cd+5e=3×0-2+5×0=-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，相反数，绝对值，倒数等知识点，解此题的关键是求出a+b、cd、e的值，此题是一道容易出错的题目，但题型较好．12．若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝3ab，如2*（﹣4）＝3×2×（﹣4）＝﹣24．则16*（﹣2*5）＝_____．【答案】﹣15【分析】根据a*b＝3ab，可以求得所求式子的值．【详解】解：∵a*b＝3ab，∴16*（﹣2*5）＝16*[3×（﹣2）×5]＝16*（﹣30）＝3×16×（﹣30）＝﹣15，故答案为：﹣15．【点睛】本题考查有理数的混合运算、新运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．13．某班级课后延时活动，组织全班50名同学进行报数游戏，规则如下：从第1位同学开始，序号为奇数的同学报自己序号的倒数加1，序号为偶数的同学报自己序号的倒数加1的和的相反数．如第1位同学报（111+），第2位同学报1(1)2-+，第3位同学报1(1)3+……这样得到的50个数的乘积为_______．【答案】-51【分析】先确定每位同学所报之数，再列算式，确定积的符号为负，再算积即可．【详解】解：第1位同学报（111+），第2位同学报1(1)2-+，第3位同学报1(1)3+，第4位同学报1(1)4-+，…，第49位同学报1(1)49+，第50位同学报1(1)50-+，列式得（111+）1(1)2⎡⎤⨯-+⎢⎥⎣⎦1(1)3⨯+1(1)4⎡⎤⨯-+⨯⨯⎢⎥⎣⎦1(1)49+1(1)50⎡⎤⨯-+⎢⎥⎣⎦， =21-32⨯43⨯54⨯⨯⨯50495150⨯， =51-．故答案为：-51．【点睛】本题考查有理数乘法与加法混合运算，掌握有理数混合运算法则，特别是负号的确定，多个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数有奇数个时，积为负，负因数有偶数个时，积为正是解题关键．14．已知a 是不等于1-的数，我们把11a +称为a 的和倒数．如：2的和倒数为11123=+，已知211,a a =是1a 的和倒数，3a 是2a 的和倒数，4a 是3a 的和倒数，…，依此类推，则31212a a a a ⋅⋯⋅=______． 【答案】1233【分析】根据和倒数的定义分别计算出a 1、a 2、a 3、…a 12的值，代入计算即可求解．【详解】解：a 1＝1，a 211112==+，a 3121312==+，413a 2513==+，515a 3815==+，618a 51318==+，7113a 821113==+，8121a 1334121==+，9134a 2155134==+，10155a 3489155==+，11189a 55144189==+，121144a 892331144==+， 则a 1•a 2•a 3…a 12＝1123581321345589144123581321345589144233233⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：1233【点睛】本题为新定义问题，理解和倒数的定义，并根据定义依次计算出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5…a 12的值是解题关键．三、解答题15．计算（1）5116()()()6767+-+-+-； （2）（﹣20）﹣（﹣18）+（﹣14）﹣13；（3）111(8)()842-⨯-+； （4）（﹣8）×（﹣43）×（﹣0.125）×54． 【答案】（1）﹣13；（2）﹣29；（3）﹣3；（4）﹣53 【分析】（1）原式化简后，相加即可求出值；（2）原式利用减法法则变形，计算即可求出值；（3）原式利用乘法分配律计算即可求出值；（4）原式结合后，相乘即可求出值．【详解】解：(1)原式＝56﹣16﹣17﹣67＝23﹣1 ＝﹣13； （2）原式＝﹣20+18﹣14﹣13＝﹣47+18＝﹣29；（3）原式＝﹣8×18﹣8×（﹣14）﹣8×12 ＝﹣1+2﹣4＝﹣3；（4）原式＝﹣8×0.125×43×54 ＝﹣53． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练运用有理数运算法则和运算律进行计算． 16．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2，求a 234b m cd m++-的值． 【答案】1或-7【分析】根据a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是2，可以求得a +b 、cd 、m 的值，从而可以求得所求式子的值．【详解】解：因为a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是3，所以a +b ＝0，cd ＝1，m ＝±2．当m＝2时，a234bm cdm++-＝223142+⨯-⨯⨯＝0+4﹣3＝1；当m＝﹣2时，a234bm cdm++-＝()223142+⨯--⨯⨯＝0﹣4﹣3＝﹣7．所以a234bm cdm++-的值是1或-7．【点睛】本题考查了相反数的意义、倒数的意义、绝对值的意义、有理数的混合运算，明确相反数、倒数、绝对值的意义是解题关键．17．已知x，y为有理数，现规定一种新运算“*”，满足x*y＝xy﹣5例如：1*2＝1×2﹣5＝﹣3（1）请仿照上面的例题计算下列各题：①2*（﹣3）；②（4*5）*（﹣16）；（2）任意选择两个有理数，分别填入下列□和〇中，并比较它们的运算结果；多次重复以上过程，你发现：□*〇〇*□（用“＞”“＜”或“＝”填空）．【答案】（1）①﹣11；②﹣152；（2）＝【分析】（1）①利用题中的新定义计算即可求出值；②利用题中的新定义计算即可求出值，先计算括号里面的再计算；（2）设□和〇的数字分别为有理数a，b，利用新定义，分别计算□*〇与〇*□，再比较大小即可．【详解】解：（1）①根据题中的新定义得：原式＝2×（﹣3）﹣5＝﹣6﹣5＝﹣11；②根据题中的新定义得：原式＝（4×5﹣5）*（﹣16）＝15*（﹣16）＝15×（﹣16）﹣5＝﹣52﹣5＝﹣152；（2）设□和〇的数字分别为有理数a ，b ，根据题意得：a*b ＝ab ﹣5，b*a ＝ab ﹣5，即a*b ＝b*a ，则□*〇＝〇*□．故答案为：＝．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．利用运算律计算有时可以简便例1：256172651782214-+-+=--++=-+=；例2：()99999910019900999801⨯=-=-=．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算．（1）1112322+--； （2）计算：()221546463737-⨯-⨯+⨯--⨯． 【答案】（1）-3；（2）-10【分析】（1）根据加法交换律与加法结合律计算；（2）根据乘法分配律、加法交换律与加法结合律计算 ． 【详解】（1）原式1113252322=--+=-+=- （2）()221546463737-⨯-⨯+⨯--⨯． ()212544663377=-⨯+⨯--⨯-⨯ 2125463377⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4610=--=-【点睛】本题考查有理数的简便运算，熟练掌握有理数的运算律是解题关键．19．小明家想要从某商场购买洗衣机和烘干机各一台，现在分别从,A B 两个品牌中各选中一款洗衣机和一款烘干机，它们的单价如表1所示．目前该商场有促销活动，促销方案如表2所示．表1：洗衣机和烘干机单价表表2：商场促销方案你认为有哪几种购买方案？请通过计算为小明家选择支付总费用最低的购买方案．【答案】①购买A 品牌的洗衣机与烘干机各一台；②购买B 品牌的洗衣机与烘干机各一台；③购买A 品牌的洗衣机一台，购买B 品牌的烘干机一台；④购买A 品牌的烘干机一台；购买B 品牌的洗衣机一台；方案①的总费用为13272元，方案②的总费用为12820元，方案③的总费用为12872元，方案④的总费用为14020元，总费用最低的方案为方案②．【分析】由表1可得购买方案有四种，再根据表2的优惠方案分别计算四种方案的购买费用，通过比较从而可得答案．【详解】解：由题意可得购买方案为：①购买A 品牌的洗衣机与烘干机各一台；②购买B 品牌的洗衣机与烘干机各一台；③购买A 品牌的洗衣机一台，购买B 品牌的烘干机一台；④购买A 品牌的烘干机一台；购买B 品牌的洗衣机一台；所以一共有四种方案．方案①：()70000.8113%110000.8400⨯⨯-+⨯-4872880040013272=+-=（元）方案②：()75000.8113%100000.8400⨯⨯-+⨯-5220800040012820=+-=（元）方案③：()70000.8113%100000.8⨯⨯-+⨯4872800012872=+=（元）方案④：()75000.8113%110000.8⨯⨯-+⨯5220880014020=+=（元）由12820＜12872＜13272＜14020,所以选择方案②购买B 品牌的洗衣机与烘干机各一台总费用最低．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，数学分类思想的应用，掌握分类讨论数学思想是解题的关键．20．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：2449(5)25⨯-，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式＝12491249452492555-⨯=-=-； 小军：原式＝24244(49)(5)49(5)(5)24925255+⨯-=⨯-+⨯-=-； （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？（2）受上面解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；（3）用你认为最合适的方法计算：1599(8)16⨯-． 【答案】（1）小军的解法较好；（2）还有更好的解法；解法见详解；（3）见详解；【分析】（1）根据计算判断小军的解法较好；（2）把244925写成15025⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把151916写成12016⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用乘法分配律进行计算即可得解； 【详解】（1）小军的解法相对来说更简便一些，所以小军的解法较好；（2）还有更好的解法，()()()()241114495=505=5055=250=24925252555⎛⎫⨯--⨯-⨯--⨯--+- ⎪⎝⎭ ； （3）()()()()151111198=208=2088=160=159********⎛⎫⨯--⨯-⨯--⨯--+- ⎪⎝⎭ ； 【点睛】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转化是解题的关键 ；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有理数的乘法运用和例题解析 一、学习目标 1．体会有理数乘法的实际意义；2．掌握有理数乘法的运算法则和乘法法则；3．经历探索、归纳有理数乘法法则的过程，发展学生观察、归纳、猜测、验证等能力．二、知识回顾 1．有理数加法法则内容是什么？同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为０；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．一个数同０相加，仍得这个数．2．计算：（1）2+2+2= 6 ；（2）（-2）+（-2）+（-2）= －63．将上面两个算式写成乘法算式．2×3=6，（-2）×3=-6三、新知讲解 1.有理数乘法法则两数相乘， 同号得正，异号得负 ，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得 0 ．2.有理数乘法步骤两个有理数相乘，先确定积的 符号 ，再确定积的 绝对值 .有理数乘法与有理数加法的运算步骤一样.第一步： 确定符号 ；第二步： 确定绝对值 .即3.倒数乘积是1的两个数互为倒数，即若a·b=1，则a 与b 互为倒数；反之，若a 与b 互为倒数，则a·b=1.四、典例探究1．两个有理数的乘法运算 【例1】计算的结果是（ ） A ．﹣8 B ．8 C ．2 D ．﹣2 总结： 无论是两个有理数相乘，还是多个不等于0的有理数相乘，都要先确定积的符号，再确定积的绝对值. 对于含多重符号或绝对值符号的，要先算绝对值并化为最简，然后再确定积的符号． 练1．计算：= ． 练2．计算3×|﹣2|的结果是（ ） A ．5 B ．﹣5 C ．6 D ．﹣6 2.乘积符号和因数符号之间的关系 【例2】如果ab ＜0，且a ＞b ，那么一定有（ ）有理数乘法 符号法则 算术乘法 确定积的符号 确定积的绝对值积A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0总结：“同号得正，异号得负”是专指“两数相乘”而言的. 其中“同号得正”是指两数的符号只要相同，无论是“＋”还是“－”，积的符号一定为“＋”；“异号得负”是指两数的符号相反，其积的符号为“－”；0与任何有理数相乘，结果都等于0.反之，两个数的乘积为负数，说明它们异号；积为正数说明它们同号；积为0说明至少有一个为0. 练3．如果ab=0，那么一定有（）A．a=b=0 B．a=0C．a，b至少有一个为0 D．a，b最多有一个为0练4．如果a＞b＞0，则b（a﹣b）0（填写“＞”，“＜”，“=”）3．有理数乘法的实际应用【例3】某校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的12，13和14，请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？总结：此类问题一般比较简单，关键是要理清题意，然后根据题意列式并计算，再结合实际意义得出结论．练5．某同学和他的家人在一座有5层高的大厦内购物休闲，当他们在大厦顶楼购物完后，开始坐电梯下楼，若电梯向上运动为正，向下运行为负，并且知道每层楼高 4.2m，当他们的家人由顶层下降到2层时，准备在二层吃饭，请你说一下他们一家人高度的变化情况是怎样的？4．倒数和负倒数【例4】（1）的倒数为的倒数为．（2）若两数之积是﹣1时，我们称这两数互为负倒数，那么的负倒数是，0.25的负倒数是．总结：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．即：若a、b互为倒数，则ab=1；若两个数的乘积是﹣1，我们就称这两个数互为负倒数．即：若a、b互为负倒数，则ab=-1.需要注意的是：（1）零没有倒数,也没有负倒数.（2）a≠0时,a的倒数为1a，负倒数为1a.（3）求分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可.（4）正数的倒数是正数,负数的倒数仍是负数.（5）倒数等于它本身的数是±1.练6．﹣1.5的倒数是．练7．一个数的相反数的负倒数是，则这个数等于．五、课后小测一、选择题1．计算﹣4×（﹣2）的结果是（）A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣22．0.3×（）．3．若有理数a、b满足ab＞0，且a+b＜0，则下列说法正确的是（）A．a，b可能一正一负 B．a，b都是正数C．a，b都是负数 D．a，b中可能有一个为04．如果有3xy=0，那么一定有（）A．x=y=0 B．y=0C．x、y中至少有一个为0 D．x、y中最多有一个为05．两个互为相反数的有理数相乘，积为（）A．正数 B．负数 C．零 D．负数或零6．假设拧不紧的水龙头每秒滴下2滴水，每滴水约0.05毫升，那么经过4小时，滴下的水的体积是（）A．144毫升 B．1.44×103毫升 C．0.14×104毫升 D．14×102毫升7．国庆节期间，小欣到智慧迷宫去游玩，发现了一个秘密机关，机关的门口有一些写着整数的数字按钮，此时传来了一个机器人的声音：“按出两个数字，积等于﹣8”请问小欣有多少种按法？（）A．2 B．3 C．4 D．68．（2014•秀屿区模拟）2014的负倒数是（）A． B．﹣ C．2014 D．﹣20149．﹣|﹣3|的相反数的负倒数是（）A．﹣ B． C．﹣3 D．3二、填空题10．若有理数a、b同时满足（1）ab＜0，（2）a（b+1）＞0，那么b的范围是．11．若a＜b＜0，则ab 0，a﹣b 0．（用“＜或＞”填空）12．计算：1×= ．13．计算：0×（﹣3）= ．14．若x，y互为倒数，则（xy）2013= ．三、解答题15．已知a，b互为相反数，c，d互为负倒数，x的绝对值等于它的相反数的2倍，求x3+abcdx+a﹣bcd的值．例题详解：【例1】计算的结果是（）A．﹣8 B．8 C．2 D．﹣2分析：先去括号，然后再进行有理数的乘法运算即可．解答：解：原式=﹣4×=﹣2．故选D．点评：此题考查了有理数的乘法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握有理数的乘法法则．【例2】如果ab＜0，且a＞b，那么一定有（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0分析：先由ab＜0，判断出a、b异号，再由a＞b，得出a＞0，b＜0．解答：解：∵ab＜0，∴a、b异号，又∵a＞b，∴a＞0，b＜0，故选B．点评：本题考查了有理数的乘法，解题的关键是明确两数相乘积小于零，则这两个数异号．【例3】某校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的12，13和14，请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？分析：本题可以转化为：求一个数的几分之几是多少的数学模型，所以用乘法来解答．解答：60×1111234⎛⎫---⎪⎝⎭＝60×（112-）=－5．答：不够借，还缺5个篮球．【例4】（1）﹣的倒数为的倒数为．分析：根据倒数的定义求解即可．解答：解：﹣的倒数为﹣；﹣1=﹣，则﹣1的倒数为﹣，故答案为：﹣；﹣．点评：本题考查了倒数的概念及性质，解题的关键是掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．（2）若两数之积是﹣1时，我们称这两数互为负倒数，那么的负倒数是，0.25的负倒数是﹣4 ．分析：根据负倒数的定义进行求解即可．解答：解：的负倒数是，0.25的负倒数是﹣4．故答案为：，﹣4．点评：考查了负倒数的定义：若两个数的乘积是﹣1，我们就称这两个数互为负倒数．练习答案：练1．计算：= ．分析：利用有理数的乘法法则；两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，进行计算即可．解答：解：原式=×=，故答案为：．点评：此题主要考查了有理数的乘法，关键是熟练掌握计算法则，正确判断出积的符号．练2．计算3×|﹣2|的结果是（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6分析：先根据绝对值的定义求出|﹣2|，再按有理数乘法法则计算．解答：解：3×|﹣2|=3×2=6．故选C．点评：本题考查了有理数的乘法，先算绝对值，再算乘法是解题的基本规律．练3．如果ab=0，那么一定有（）A．a=b=0 B．a=0C．a，b至少有一个为0 D．a，b最多有一个为0分析：根据积为0的有理数乘法法则解答．解答：解：如果ab=0，那么一定a=0，或b=0．故选C．点评：有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同零相乘，都得0．练4．如果a＞b＞0，则b（a﹣b）＞0（填写“＞”，“＜”，“=”）分析：先求出a﹣b＞0，再根据同号得正解答．解答：解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴b（a﹣b）＞0．故答案为：＞．点评：本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解题的关键．练5．某同学和他的家人在一座有5层高的大厦内购物休闲，当他们在大厦顶楼购物完后，开始坐电梯下楼，若电梯向上运动为正，向下运行为负，并且知道每层楼高4.2m，当他们的家人由顶层下降到2层时，准备在二层吃饭，请你说一下他们一家人高度的变化情况是怎样的？解：因为每层楼高4.2m，他们一家人向下移动了3层楼，所以高度变化为：3×(-4.2)=-12.6m．答：高度变化是-12.6m．练6．﹣1.5的倒数是﹣．分析：先把小数化为假分数，然后根据倒数的定义求解．解答：解：﹣1.5=﹣，﹣的倒数为﹣．故答案为﹣．点评：本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为．练7．一个数的相反数的负倒数是，则这个数等于19 ．分析：这个数实际上是的负倒数的相反数，的负倒数为﹣19，再求﹣19的相反数即可．解答：解：这个数为﹣（﹣1）÷=19．故答案为19．点评：熟练掌握倒数和相反数的概念．实数a（a≠0）的倒数是，它的负倒数是﹣，它的相反数为﹣a．课后小测答案：1．（2014•台州）计算﹣4×（﹣2）的结果是（）A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣2解：﹣4×（﹣2）=4×2=8．故选：A．2．0.3×（）．解：0.3×（﹣）=×（﹣）=﹣．3．若有理数a、b满足ab＞0，且a+b＜0，则下列说法正确的是（）A．a，b可能一正一负 B．a，b都是正数C．a，b都是负数 D．a，b中可能有一个为0解：若有理数a、b满足ab＞0，则a，b同号，排除A，D选项；且a+b＜0，则排除a，b都是正数的可能，排除B选项；则说法正确的是a，b都是负数，C正确．故选C．4．如果有3xy=0，那么一定有（）A．x=y=0 B．y=0C．x、y中至少有一个为0 D．x、y中最多有一个为0解：根据有理数乘法法则：两数相乘积为0，两数中至少有一个数为0，因而若3xy=0，则x，y中至少有一个为0．故选C．5．两个互为相反数的有理数相乘，积为（）A．正数 B．负数 C．零 D．负数或零解：∵正数的相反数为负数，负数的相反数为正数，根据异号两数相乘得负，∴积为负．又∵0的相反数是0，∴积为0．故选D6．假设拧不紧的水龙头每秒滴下2滴水，每滴水约0.05毫升，那么经过4小时，滴下的水的体积是（）A．144毫升 B．1.44×103毫升 C．0.14×104毫升 D．14×102毫升解：4小时=1.44×104秒，滴下的水的体积=2×1.44×104×0.05=1.44×103毫升．故选B．7．国庆节期间，小欣到智慧迷宫去游玩，发现了一个秘密机关，机关的门口有一些写着整数的数字按钮，此时传来了一个机器人的声音：“按出两个数字，积等于﹣8”请问小欣有多少种按法？（）A．2 B．3 C．4 D．6解：1×（﹣8）=﹣8，（﹣1）×8=﹣8；2×（﹣4）=﹣8；（﹣2）×4=﹣8，故选：C．8．（2014•秀屿区模拟）2014的负倒数是（）A． B．﹣ C．2014 D．﹣2014解：2014的负倒数是﹣，故选：B．9．﹣|﹣3|的相反数的负倒数是（）A．﹣ B． C．﹣3 D．3解：﹣|﹣3|的相反数是3，﹣|﹣3|的相反数的负倒数等于．故选A．10．若有理数a、b同时满足（1）ab＜0，（2）a（b+1）＞0，那么b的范围是﹣1＜b＜0 ．解：∵ab＜0，a（b+1）＞0，∴b与b+1的符号不同，∵b＜b+1，∴b＜0，b+1＞0，解得﹣1＜b＜0．故答案为：﹣1＜b＜0．11．若a＜b＜0，则ab ＞0，a﹣b ＜0．（用“＜或＞”填空）解：∵a＜b＜0，∴ab＞0，a﹣b＜0．故答案为：＞；＜．12．计算：1×= ．解：原式=×=．故答案为：．13．计算：0×（﹣3）= 0 ．解：0×（﹣3）=0．故答案为：0．14．若x，y互为倒数，则（xy）2013= 1 ．解：∵x，y互为倒数，∴xy=1，∴原式=12013=1．故答案为1．15．已知a，b互为相反数，c，d互为负倒数，x的绝对值等于它的相反数的2倍，求x3+abcdx+a ﹣bcd的值．解：由已知可得：a+b=0，cd=﹣1，|x|=﹣2x，即可得x=0，∴原式=0﹣ab×0+a+b=a+b=0．。