2015北京24中高二(下)期中数学(理科)
2014-2015年北京市丰台区高二下学期期中数学试卷及参考答案(理科)(a卷)
A．12，5
B．12，21 C．21，5
D．21，12
3． （4 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机 取一个点 Q，则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4． （4 分）为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独 立地做 100 次和 150 次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为 t1 和 t2，已知两人在试验中发现对变量 x 的观测数据的平均值都是 s，对变量 y 的 观测数据的平均值都是 t，那么下列说法正确的是（ A．t1 和 t2 有交点（s，t） B．t1 与 t2 相交，但交点不一定是（s，t） C．t1 与 t2 必定平行 D．t1 与 t2 必定重合 ）
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270． 则上述样本中既有可能为系统抽样又有可能为分层抽样的是 ．
16． （4 分）若对于任意的实数 x，有 x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3， 则 a2 的值为 ．
三、解答题共 4 个小题，共 36 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17． （9 分）某种产品的加工需要经过 A，B，C，D，E 共 5 道工序． （Ⅰ）如果 A 工序不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？ （Ⅱ）如果 A，C 两道工序既不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加 工顺序的方法？ 18． （9 分）假设有 6 个大学生，把他们分别记为 Z，Q，S，L，W，X．他们应聘 某单位的工作，但只有 3 个岗位，因此 6 人中仅有三人被录用．如果 6 个人被录 用的机会相等，分别计算下列事件的概率： （1）S 和 X 各自得到一个岗位； （2）S 或 X 得到一个岗位． 19． （9 分）已知（x﹣2）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求下列各式的值． （1）a1+a2+…+a7； （2）a1+a4； （3）|a0|+|a1|+…+|a7|． 20． （9 分）为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同 位置捕共捞出 100 条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克） ，并将所得数据分组， 画出频率分布直方图（如图所示） ．
北京市第二十四中学2014_2015学年高一数学下学期期中试题(无答案)
北京市第二十四中学2014—2015学年度第二学期高一年级数学期中考试试卷班级 姓名 学号 成绩 .一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ）A ．12B ．10C ．8D ．62. 化简AC - BD + CD - AB得（ ）A. ABB. DAC.D. 03．若,,a b c ∈R ，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．c b c a -≥+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a 4．已知等比数列}{n a 的各项均为正数，前n 项的和为n S ，且137a S =，则数列}{n a 的公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．2或 3-D ．2或35. 向量(2,3)a = ，(1,2)b =-，若ma b + 与2a b - 平行，则m 等于( )A. 2-B. 2C.21D. 12-6．在ABC ∆中，角,A B C ,的对应边分别为π,13a b c A a b ===,,，，则c 等于（ ）A ．1B ．2C ．13-D ．37．在ABC ∆中，角,A B C ,的对应边分别为a b c ,,，如果a b c ,,成等差数列，60B = ，△ABC 的面积为2，那么b 等于（ ）A B ．C ．23 D ．28．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =，那么10a 等于（ ） A ．165B ．33C ．30D ．219．若平面四边形ABCD 满足0)(,2=⋅-=，则该四边形一定是（ ）A ．矩形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．平行四边形10．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2(c o s c o s b c A a c B +222a b c =++，则ABC ∆一定是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D. 钝角三角形11．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 比b 长2,b 比c 长2,ABC ∆的面积等于（ ）A ．．2C ．4 D ． 8 12．有限数列 12,,n a a a ，n S 为其前n 项和，定义12s ...nns s +++为该数列的“凯森和”；如有99项的数列1299,,a a a 的“凯森和”为1000，则有100项的数列12991,,,a a a 的“凯森和”为（ ）A ．1001B ．991C ．999D ．990二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.13. 设△ABC 的内角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝43,A ＝30°，则B = .14.已知等差数列{}n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则1a = . 15．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠= .16.已知),,6(),2,4(x b a == 且)2(b a a-⊥，则x = .17．数列{}n a 中，12a =,1n n a a cn +=+（c 是常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．则c 的值是 ．18．数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+（*N n ∈）,那么n a = .19．在数列{}n a 中,2110,2+=+=+n n a a S n n （*n ∈N ）,则数列{}n a 的通项公式是____. 20． ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量)sin ,(C b a m +=)sin sin ,3(A B c a n -+=，若n m //，则角B 的大小为_____________ .三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21.在ABC ∆中，角,A B C ,的对应边分别为a b c ,,，且7,3a c ==，且53sin sin =B C ． （1）求边b 的长；（2）求角A 大小及△ABC 的面积．22（1）若,a b的夹角θ为（2）若()a b b -⊥，求a 与b 的夹角θ．23.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，1n nb S =，且33351,212a b S S =+=.(1)求数列{}n b 的通项公式. (2)求证:123...2n b b b b ++++<24．已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（n 为正整数）.（1）令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2）令1n n n c a n+=，12........n n T c c c =+++试求nT .以下为草稿纸。
北京市第二十四中学2014-2015学年高一数学下学期期中试题
北京市第二十四中学2014—2015学年度第二学期高一年级数学期中考试试卷班级 姓名 学号 成绩 .一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6 2. 化简AC -BD +CD -AB 得（ ）A. ABB.DAC.D. 0 3．若,,a b c ∈R ，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．c b c a -≥+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a 4．已知等比数列}{n a 的各项均为正数，前n 项的和为n S ，且137a S =，则数列}{n a 的公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．2或 3-D ．2或3 5. 向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于( )A. 2-B. 2C.21D. 12-6．在ABC ∆中，角,A B C ,的对应边分别为π,13a b c A a b ===,,，，则c 等于（ ）A ．1B ．2C ．13-D ．37．在ABC ∆中，角,A B C ,的对应边分别为a b c ,,，如果a b c ,,成等差数列，60B =，△ABC 的面积为2，那么b 等于（ ）A B ．C ．23 D ．28．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =，那么10a 等于（ ） A ．165B ．33C ．30D ．219．若平面四边形ABCD 满足0)(,2=⋅-=，则该四边形一定是（ ）A ．矩形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．平行四边形10．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2(c o s c o s b c A a c B +222a b c =++，则ABC ∆一定是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D. 钝角三角形11．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 比b 长2,b 比c 长2,ABC ∆的面积等于（ ）A ．．2C ．4 D ． 8 12．有限数列 12,,n a a a ，n S 为其前n 项和，定义12s ...nns s +++为该数列的“凯森和”；如有99项的数列1299,,a a a 的“凯森和”为1000，则有100项的数列12991,,,a a a 的“凯森和”为（ ）A ．1001B ．991C ．999D ．990二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.13. 设△ABC 的内角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝43,A ＝30°，则B = .14.已知等差数列{}n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则1a = . 15．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠= .16.已知),,6(),2,4(x b a == 且)2(b a a-⊥，则x = .17．数列{}n a 中，12a =,1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．则c 的值是 ．18．数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+（*N n ∈）,那么n a = .19．在数列{}n a 中,2110,2+=+=+n n a a S n n （*n ∈N ）,则数列{}n a 的通项公式是____. 20． ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量)sin ,(C b a m +=)sin sin ,3(A B c a n -+=，若n m //，则角B 的大小为_____________ .三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21.在ABC ∆中，角,A B C ,的对应边分别为a b c ,,，且7,3a c ==，且53sin sin =B C ． （1）求边b 的长；（2）求角A 大小及△ABC 的面积．222,1a b ==（1）若,a b 的夹角θ为a b -； （2）若()a b b -⊥，求a 与b 的夹角θ．23.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，1n nb S =，且33351,212a b S S =+=.(1)求数列{}n b 的通项公式. (2)求证:123...2n b b b b ++++<24．已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（n 为正整数）.（1）令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2）令1n n n c a n+=，12........n n T c c c =+++试求nT .以下为草稿纸。
北京市第二十四中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理
北京市第二十四中学2014—2015学年度第二学期高二年级数学理科期中考试试卷15.04班级 姓名 学号 成绩 .一、选择题：（共10小题，每小题3分）1．计算1ii+的结果是（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ． 1i -2．1(2)0x e x dx +⎰=( )A ．e+1B ．e-1C ．eD ．e+23．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 从4个男生，3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的选法共有 （ ）A. 12种 B .34种 C . 35种 D . 36种 5．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····,从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为( ) A.2(21)k + B.21k +C.211k k ++ D.231k k ++ 6．已知函数3)1(3)1(3)(23+++-+=x m x m x x f 既有极大值，又有极小值，则m 的取值范围是（ ）A. 0<mB.03≤≥m m 或C.3>mD. 03<>m m 或7．若函数()23k kh x x x =-+在(1,)+∞上是增函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[2,)-+∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞-D ．(,2]-∞ 8. 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A ．324 B ．328 C ．360 D ．6489．():344,(),x x y x y y x y ≥⎧⊗=⊗=⎨<⎩定义运算例如则下列等式不能成立．．．．的是（ ） A. x y y x ⊗=⊗ B ．()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗C ．222()x y x y ⊗=⊗D ．)()()(y c x c y x c ⋅⊗⋅=⊗⋅ （其中0>c ） 10．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）D.C.B.A.二、填空题：（共8小题，每小题4分） 11．复数(34)i i +的虚部为_________.12．4男2女排成一排，若2女必在一起，有 种不同的排法，若2女不能相邻，有 种不同的排法。
2015北师大附中高二(下)期中数学(理科)
②函数 f（x）∈ B 的充要条件是 f（ x）有最大值和最小值；
③若函数 f（ x），g（x）的定义域相同，且 f（ x）∈ A， g（ x）∈ B，则 f（x）+g（ x） ?B．
④若函数 f（ x） =aln（x+2）+
（ x＞﹣ 2，a∈R）有最大值，则 f（ x）∈ B．
其中的真命题有
．（写出所有真命题的序号）
2015 北师大附中高二（下）期中数学（理科）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序
号涂在答题卡上）
1．（5 分）下面使用类比推理恰当的是（
）
A．“若 a?3=b?3，则 a=b”类推出 “若 a?0=b?0，则 a=b”
B．“若（ a+b）c=ac+bc”类推出 “（ a?b） c=ac?bc ”
9．（5 分）
．
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10．（ 5 分）计算
=．
11．（ 5 分）函数 f （x）=
的极大值为 ，此时 x= ．
12．（ 5 分）已知 { an} 成等差数列， d 为公差，若 ? m，n∈N+，m ≠n，使 Sm=Sn，则 Sm+n=0．（ Sn 为{ an} 的前 n 项和）类比上述结论： { bn} 为等比数列， q 为公比，若? m ，n∈ N+，m≠n，使 Tm=Tn，则 （Tn
A．a＜b＜c B．c＜b＜a5 分）观察下列各式： a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则 a10+b10=（
）
A．28 B．76 C． 123 D．199
北京东城24中2016-2017学年高二上学期期中考试卷数学【理科】 北师大版 worad 含解析
北京市第二十四中学2016-2017学年度第一学期高二年级理科数学学科期中考试试卷一、选择题1．体积为的球的内接正方体的棱长为（ ）．AB ．2CD【答案】B【解析】设球的半径为R，由34π3R =得R =设球的内接正方体的棱长为a=，解得2a =，故选B ．2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A．6B．7C．8D．7+【答案】B【解析】设三视图知：几何体是直四棱柱，且直四棱柱的侧棱长是1，其底面为直角梯形，梯形的上底为1，下底为2，直角腰为1=∴该几何体表面积1221(12113472S +=⨯⨯=+++⨯=+=+ 故选B ．3．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题，其中正确的是（ ）．①l m αβ⇒∥⊥；②l m αβ⇒⊥∥；③l m αβ⇒∥⊥；④l m αβ⇒⊥∥ A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】①中，由αβ∥，直线l ⊥平面α可得l β⊥，又m ⊂平面β，所以l m ⊥，故①正确；②中，由αβ⊥，直线l ⊥平面α可得l β∥或l β⊂，m ⊂平面β，所以l 与m 相交、平行、异面都有可能，故②错误；③中，由l m ∥，直线l ⊥平面α可得m ⊥平面α，又m ⊂平面β，所以αβ⊥，故③正确；④中，由l m ⊥，直线l ⊥平面α可得m α∥平面m α⊂，所以α与β相交、平行都有可能，故④错误； 综上所述，命题中正确的是①③， 故选：C ．4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1D C 所成的角为（ ）．俯视图侧左()视图正主()视图11111A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】如图，连接1A B ，BD ，∵11A B D C ∥， ∴1DA B ∠即异面直线1A D 和1D C 所成夹角， ∵在正方体中，各面对角线相等， ∴11A D BD A B ==， ∴1A BD △为等边三角形， ∴160DA B =︒∠，即异面直线1A D 与1D C 所成角为60︒． 故选C ．5．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是（ ）．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①项，如图，连接BC ，AD ，可知MN AD ∥，NP BD ∥，所以平面MNP ∥平面ACBD ，又因为ABC 平面ABCD ，所以AB ∥平面MNP ，故①项正确；②项，若下底面中心为O ，则NO AB ∥，NO 平面MNP N =，所以AB 与面MNP 不平行，故②项错误；C BAD C 1D 1B 1A 1A 1B 1D 1C 1D ABCMNBA P①MN BA P②M N BAP ③PA BNM④③项，如图，连接CD ，AB CD ∥，但CD 与平面MNP 相交，所以AB 与面MNP 不平行，故③项错误； ④项，如图，连接CD ，则AB CD NP ∥∥，所以AB ∥平面MNP ，故④项正确． 综上，能得出AB ∥平面MNP 的是①④，故选B ．6．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误．．的是（ ）．A ．BD ∥平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CB DD ．异面直线AD 与1CB 角为60︒【答案】D【解析】A 选项，∵11BD B D ∥，∴BD ∥平面11CB D ，故A 项正确；B 选项，由正方体性质可得，AC BD ⊥，而AC 是1AC 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理知1AC BD ⊥，故B 项正确；C 选项，由三垂线定理可得11AC B C ⊥，111AC BD ⊥，∴1AC ⊥平面11CB D ，故C 项正确；D 选项，∵AD BC ∥，∴1BCB ∠即是AD 与1CB 所成角，显然145BCB =︒∠，故D 项正确．7．已知(1,2)M 、(4,3)N ，直线l 过点(2,1)P -，且与直线MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）．C D①PA BNM O ②PA BN M DC ③P AB NM D C④MNBA PB 1A 1C 1D 1C BADCBAD C 1D 1B 1A 1A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[3,2]-D ．11,,32⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】由已知可得：12321kPM --==--，13224kPN --==-， 若直线l 与MN 有交点，则2k ≥或3k -≤， 所以直线l 的斜率k 的取值范围是(,3][2,)-∞-+∞， 故选A ．8．已知直线1:210l x ay =-=与2:(21)10l a x ay ---=平行，则a 的值是（ ）．A ．0或1B ．1或14C ．0或14D ．14【答案】C【解析】当0a =时，两直线的斜率都不存在，满足题意，当0a ≠时，1212a a a --=，解得14a =， 综上，0a =或14，故选C ．9．经过两直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由方程组310030x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得两条直线的交点为(1,3)A ，当直线的斜率不存在时，直线的方程为1x =，符合题意，当直线的斜率不存在时，设所求直线的方程为：3(1)y k x -=-， 即30kx y k --+=， 1=，解得：43k =，直线方程为：4350x y -+=． 故所求直线方程为：4350x y -+=或1x =．∴满足条件的直线有2条，故选C ．10．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为（ ）．A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=【答案】A【解析】∵圆心在y 轴上，半径为1， ∴设圆的方程为22()1x y b +-=， ∵圆过点(1,2)，∴将(1,2)代入圆的方程得21(2)1b +-=，解得：2b =， 则所求圆的方程为22(2)1x y +-=，故选A ．11．已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++=相切，则圆C 的方程是（ ）．A ．22(1)2x y ++=B ．22(1)8x y ++=C ．22(1)2x y -+=D ．22(1)8x y -+=【答案】A【解析】∵圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点， ∴令10x y -+=中0y =，得1x =-，即圆心为(1,0)-， ∵圆C 与直线30x y ++=相切，∴圆心C 的到直线30x y ++=的距离d r =，即r =∴圆C 的方程是22(1)2x y ++=， 故选A ．12．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）．A ．22(1)(1)1x y -++=B ．22(2)(2)1x y ++-=C ．22(1)(1)1x y ++-=D ．22(2)(2)1x y -++=【答案】D【解析】由题，圆2C 的圆心与圆1C 的圆心关于直线10x y --=对称， 则圆2C 的半径为1，1C 的圆心为(1,1)-，设2C 的圆心为(,)a b ，则 111022111a bb a -++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩， 所以圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=，故选D ．二、填空题（每小题3分，共24分）13．已知直线a ，b 和平面α，且a b ⊥，a α⊥，则b 与α的位置关系是__________． 【答案】b α∥或b α⊂【解析】由线面的位置关系可知当a b ⊥，a α⊥时， b α∥或b α⊂． 14．如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB CD ∥，1AB =，3AD =，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC =︒∠的点E 的个数是__________．【答案】2 【解析】连结BE ，∵SB ⊥底面ABCD ，90SEC =︒∠， ∴CE SB ⊥，CE SE ⊥， ∴CE ⊥平面SBE 从而CE BE ⊥． 故问题转化为在梯形ABCD 中， 点E 是线段AD 上的动点， 求满足BE CE ⊥的点E 的个数， 设AE x =，则3DE x =-，∵AB AD ⊥，AB CD ∥，1AB =，3AD =，2CD =．∴221014(3)x x =+++-，化简得2320x x -+=，解得1x =或2x =，故满足BE CE ⊥的点E 的个数是2，即满足90SEC =︒∠的点E 的个数是2．15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB =︒∠，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是__________．【解析】∵11AC AC ∥，∴11BA C ∠（或其补角）就是异面直线1A B 与AC 所成的角， 在11BA C △中，1A B =111A C =，1BC =∴222111111111cos 2A B AC BC BAC A B AC +-===⋅∠16．直线l 经过(2,1)A 、2(1,)()B m m ∈R 两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是__________．SE CBA DABC C 1B 1A 1【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【解析】221tan 1112m k m α-===--≤，所以ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．17．直线l 经过点(5,4)P --，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为__________． 【答案】25100x y --=或85200x y -+= 【解析】设直线l 的方程为1x ya b+=， ∵直线l 经过点(5,4)P --， ∴将点(5,4)P --代入可得：541a b --+=，又1||52ab =， 联立5411||52a bab ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得52a b =⎧⎨=-⎩或524a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线l 的方程为152x y+=-或1542x y+=-，即25100x y --=或85200x y -+=．18．以点(2,2)-为圆心并且与圆222410x y x y ++-+=相外切的圆的方程是__________． 【答案】22(2)(2)9x y -++=【解析】设所求圆的方程为222(2)(2)(0)x y r r -++=>，∵该圆与圆222410x y x y ++-+=，即22(1)(2)4x y ++-=相外切， ∴圆心距2d r +，解得：3r =， 故所求圆的方程为：22(2)(2)9x y -++=．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是__________． 【答案】(13,13)-【解析】∵圆224x y +=的半径是2，圆上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1， ∴坐标原点(0,0)到直线1250x y c -+=的距离小于1，1<，∴||13c<，解得1313c-<<，故C的取值范围是(13,13)-．20．已知圆22:430C x y x+-+=，则圆心C的坐标是__________；若直线1y kx=-与圆C有两个不同的交点，则k的取值范围是__________．【答案】(2,0)；40,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】圆22:430C x y x+-+=化为标准方程是22(2)1x y-+=，∴圆心C的坐标是(2,0)，又∵直线1y kx=-与圆C有两个不同的交点，∴圆心(2,0)到直线10kx y--=的距离d r<，1<，解得：43k<<，故k的取值范围是40,3⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题（共40分）21．如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，AB AC=，点D、E分别是BC和11B C的中点．求证：（1）1A B∥平面1ADC．（2）平面1A BE⊥平面11BCC B．【答案】见解析【解析】（1）证明：连结1A C交1AC于O，则O是1A C中点，连接OD，∵在1A BC△中，点D是BC的中点，O是1A C的中点，∴1A B OD∥，∵ODC平面1ADC，1A B⊄平面1ADC;∴1A B∥平面1ADC．（2）证明：由直三棱柱的性质可知1C C⊥，平面111A B C，∵1A E⊂平面111A B C，∴11A E C C⊥，又∵AB AC=，E是11B C的中点，∴111A EB C⊥，A1B1C1ECBAD∴1111B C C C C =，∵1A E ⊥平面11BCC B ， 又1A E ⊂平面1A BE ， ∴平面1A BE ⊥平面11BCC B ．22．直线1:40l x y +-=与直线2:20l x y -+=相交于点P ． 求：（1）经过点(1,2)M 和点P 的直线方程． （2）过点P 与直线210x y --=垂直的直线方程． 【答案】见解析【解析】联立4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，即点(1,3)P ．∵直线过(1,2)M 和点(1,3)P ，故直线方程为1x =．（2）设与直线210x y --=垂直的直线方程为20x y c ++=， 将(1,3)P 代入得10b c ++=，解得7c =-，故过点P 且与直线210x y --=垂直的直线方程为：270x y +-=．23．已知圆22:2430C x y x y ++-+=．（1）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程． （2）求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程． 【答案】见解析【解析】（1）已知圆22:2430C x y x y ++-+=化为标准方程为：22(1)(2)2x y ++-=， 圆心为(1,2)-l 不过原点， 且在x 轴，y 轴上的截距相等， 故可设直线方程为0x y a ++=，=1a =或3a =-，故直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=．（2）若直线被圆截得的线段长为2，则圆心到直线的距离1d =， 又直线过原点(0,0)，①当斜率不存在时，直线为0x =，符合题意； ②当斜率存在时，设直线为y kx =，即0kx y -=．ODABC EC 1B 1A 1圆心(1,2)-到直线距离1d ==，解得：34k =-，∴直线方程为：34k x =-．综上所述，经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程为：0x =或34y x =-．24．如图，已知一四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，且侧棱PC ⊥底面ABCD ，且2PC =，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P ABCD -的体积． （2）证明：BD AE ⊥．（3）求二面角P BD C --的正切值． 【答案】见解析【解析】（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形， 且侧棱PC ⊥底面ABCD ，2PC =，所以11212333P ABCD ABCD V S PC -=⋅=⨯⨯=．（2）连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥， 又∵PC ⊥底面ABCD ，BDC 平面ABCD ， ∴BD PC ⊥， ∴BD ⊥平面PAC ， 又∵AE ⊂平面PAC ， ∴BD AE ⊥．（3）设AC ，BD 相交于O ，连PO ， 由（2）知，BD ⊥平面PAC ，∴BD PO ⊥，又BD AC ⊥，∴POC ∠是=面角P BD C --的一个平面角．所以tan PC POC OC ===∠， 即=面角P BD C --的正切值为ECBAP D（第25题1班学生必做！）25．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切． （1）求圆的方程．（2）设直线50ax y -+=与圆相交于A 、B 两点，求实数a 的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】（1）设圆心为(,0)m ，因为圆与直线43290x y +-=相切，且半径是5，所以圆心到直线距离d 等于半径， 即|429|55m -=，解得：272m =（舍去）或1m =． 故所求圆的方程是22(1)25x y -+=．（2）因为直线50ax y -+=与圆相交于A 、B 两点，所以圆心到直线的距离小于半径，5<，化简得：21250a a ->，∴0a <或512a >． 故实数a 的取值范围是5(,0),12⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭． （3）设符合条件的实数a 存在，由（2）得0a ≠，则直线l 的斜率为1a-， ∴l 的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=， ∵l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)必在l 上，∴1240a +-=，解得：34a =． ∵35,412⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭， 故存在实数34a =，使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ． ODPA B CE。
北京市重点中学年高二下期中数学试题(理)及答案(经典版)
北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高 二数学（理）试卷(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1．已知复数z 满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法。
A.120B.16C.64D.393．已知曲线23ln 14x y x =-+的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．124．由直线12y =,2y =,曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A ．2ln 2 B ．2ln 21- C ．1ln 22D ．545．以下说法正确的是（ ）A.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 6．设函数()ln =f x x x ，则()f x 的极小值点为（ ） A.=x e B.ln 2=x C.2=x e D.1=x e7．已知1212⨯=，221334⨯⨯=⨯，32135456⨯⨯⨯=⨯⨯,．．．，以此类推，第5个等式为（ ）A ．4213575678⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯B ．521357956789⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯C ．4213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯D ．5213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯8．在复平面内，复数34i -，()2i i +对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为（ ）A ．22i -+B ．22i -C ．1i -+D ．1i - 9．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）10．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()54112012f x x mx =-22x -在()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．31(,)9-∞ B ．31[,5]9C ．(,3]-∞D ．(),5-∞ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11．函数3()2f x x ax =+-在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是12．设集合{}A b a A ∈=,,5,4,3,2,1,则方程122=+by a x 表示焦点位于y 轴上的椭圆有 个.13．设sin ,0,2()1,,22x x f x x ππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，则20()f x dx ⎰为 。
北京市二十四中2015_2016学年高二数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年北京二十四中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．直线（a为实常数）的倾斜角的大小是( )A．30° B．60° C．120°D．150°2．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交3．到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是( )A．3x﹣4y﹣11=0 B．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0C．3x﹣4y+9=0 D．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=04．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为( )A．B．C．πD．5．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E6．直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为( )A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣7．下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．38．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是( )A．B．C．4πD．9．已知点M（0，﹣1），点N在直线x﹣y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，则点N 的坐标是( )A．（﹣2，﹣1）B．（2，3）C．（2，1）D．（﹣2，1）10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°11．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有( )A．6块B．7块C．8块D．9块12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．其中错误的结论是( )A．①B．②C．③D．④二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是__________．14．△ABC的三顶点分别是A（﹣8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3），则BC边上的高所在的直线的一般式方程是__________．15．经过两直线2x﹣3y﹣12=0和x+y﹣1=0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__________．16．直线y=k（x+1）+3与以点A（2，﹣5），B（4，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则k的取值范围是___________17．如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件__________时，有AC⊥B1D1（写出你认为正确的一种条件即可．）．18．如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是__________．三、解答题（共3小题，满分40分）19．已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．20．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试探求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明．21．（16分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求证：面SAB⊥面SBC；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．2015-2016学年北京二十四中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．直线（a为实常数）的倾斜角的大小是( )A．30° B．60° C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】由已知中直线的方程，可以求直线的斜率，进而根据直线斜率与倾斜角的关系，可以求出直线倾斜角的大小．【解答】解：∵直线（a为实常数）的斜率为﹣令直线（a为实常数）的倾斜角为θ则tanθ=﹣解得θ=150°故选D【点评】本题考查的知识点是直线的倾斜角，其中根据直线方程求出直线的斜率是解答本题的关键2．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】若a，b是异面直线，直线c∥a，所以c与b可能异面，可能相交．【解答】解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，故选D．【点评】此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握．3．到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是( )A．3x﹣4y﹣11=0 B．3x﹣4y﹣11=0或3x﹣4y+9=0C．3x﹣4y+9=0 D．3x﹣4y+11=0或3x﹣4y﹣9=0【考点】直线的一般式方程；两条平行直线间的距离．【专题】计算题；待定系数法．【分析】设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得=2，解方程求出c值，即得所求的直线的方程．【解答】解：设到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y+c=0，由两平行线间的距离公式得=2，c=﹣11，或 c=9．∴到直线3x﹣4y﹣1=0的距离为2的直线方程是 3x﹣4y﹣11=0，或 3x﹣4y+9=0，故选 B．【点评】本题考查用待定系数法求平行直线方程的方法，以及两平行线间的距离公式的应用．4．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为( )A．B．C．πD．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图可判断这个几何体为圆柱体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积．【解答】解：由三视图可知这个几何体是圆柱体，且底面圆的半径，高为1，那么圆柱体的体积是：π×（）2×1=，故选A．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．5．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题；综合法．【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项【解答】解：A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E 不正确；故选C．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．6．直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为( )A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆．【分析】由直线平行可得1×2﹣（1+m）m=0，解方程排除重合可得．【解答】解：∵直线x+（1+m）y=2﹣m和直线mx+2y+8=0平行，∴1×2﹣（1+m）m=0，解得m=1或﹣2，当m=﹣2时，两直线重合．故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．7．下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】常规题型．【分析】根据线线平行、线面平行的判定和性质．即可得出正确结论．【解答】解：：（1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、相交、异面．故（1）不正确．（2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面．故（2）不正确．（3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、相交、异面．故（3）不正确．（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面可能平行、可能相交、可能在平面内．故选A【点评】此题考查学生对空间中点线面之间的位置关系的掌握与理解．考查学生的空间想象能力．8．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是( )A．B．C．4πD．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．【解答】解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D【点评】本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．9．已知点M（0，﹣1），点N在直线x﹣y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，则点N 的坐标是( )A．（﹣2，﹣1）B．（2，3）C．（2，1）D．（﹣2，1）【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据点N在直线x﹣y+1=0上，设点N坐标为（x0，x0+1），利用经过两点的斜率公式，得到直线MN的斜率关于x0的表达式，最后根据直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，得到两直线斜率乘积等于﹣1，建立等式并解之可得点N的坐标．【解答】解：∵点N在直线x﹣y+1=0上∴可设点N坐标为（x0，x0+1）根据经过两点的直线的斜率公式，可得=∵直线MN垂直于直线x+2y﹣3=0，而直线x+2y﹣3=0的斜率为∴⇒=2⇒x0=2因此，点N的坐标是（2，3）故选B【点评】本题借助于直线与垂直，求点的坐标为例，着重考查了直线的方程、直线斜率的求法和直线垂直的斜率关系等知识点，属于基础题．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等边三角形，∴∠DA1B=60°，∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有( )A．6块B．7块C．8块D．9块【考点】简单组合体的结构特征．【专题】计算题．【分析】由俯视图易得最底层正方体的个数，由主视图和左视图找到其余层数里正方体的个数相加即可．【解答】解：由俯视图，我们可得该几何体中小正方体共有4摞，结合正视图和侧视图可得：第1摞共有3个小正方体；第2摞共有1个小正方体；第3摞共有1个小正方体；第4摞共有2个小正方体；故搭成该几何体的小正方体木块有7块，故选B．【点评】用到的知识点为：俯视图决定底层立方块的个数，三视图的顺序分别为：主视图，左视图，俯视图．12．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°．其中错误的结论是( )A．①B．②C．③D．④【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【专题】证明题．【分析】取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断①的真假；求出AC长后，可以判断②的真假；求出AB与平面BCD所成的角可判断③的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出AB与CD所成的角，可以判断④的真假；进而得到答案．【解答】解：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD． ∴BD⊥面AEC．∴BD⊥AC，故①正确．设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=a=EC．∴AC=a．∴△ACD为等边三角形，故②正确．∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°，故③不正确．以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则A（0，0，a），B（0，﹣a，0），D（0，a，0），C（a，0，0）．=（0，﹣a，﹣a），=（a，﹣a，0）．cos＜，＞==∴＜，＞=60°，故④正确．故选C【点评】本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程是x+2y﹣5=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【分析】设过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程为 x+2y+m=0，把点（1，2）代入直线方程，求出m值即得直线l的方程．【解答】解：设过点（1，2）且与直线x+2y=0平行的直线方程为x+2y+m=0，把点（1，2）代入直线方程得，1+4+m=0，m=﹣5，故所求的直线方程为 x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0．【点评】本题考查用待定系数法求直线方程的方法，设过点（1，2）且与直线x+2y﹣1=0平行的直线方程为 x+2y+m=0 是解题的关键．14．△ABC的三顶点分别是A（﹣8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3），则BC边上的高所在的直线的一般式方程是2x﹣y+21=0．【考点】直线的点斜式方程；待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；定义法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：∵△ABC的三顶点分别是A（﹣8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3），∴k BC==﹣，∴BC边上高AD所在直线斜率k=2，又过A（﹣8，5）点，∴BC边上的高AD所在的直线AD：y﹣5=2（x+8），即2x﹣y+21=0．故答案为：2x﹣y+21=0【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法，利用定义法是解决本题的关键．15．经过两直线2x﹣3y﹣12=0和x+y﹣1=0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x+3y=0；或x+y+1=0．【考点】直线的截距式方程；两条直线的交点坐标．【专题】计算题；方程思想；分类法；直线与圆．【分析】联解两条直线的方程，得到它们的交点坐标（﹣3，﹣1）．再根据直线是否经过原点，分两种情况加以讨论，即可算出符合题意的两条直线方程．【解答】解：由解得∴直线2x﹣3y﹣12=0和x+y﹣1=0的交点坐标为（3，﹣2）①所求直线经过原点时，满足条件方程设为y=kx，可得3k=﹣2，解得k=﹣，此时直线方程为y=﹣x，即2x+3y=0；②当所求直线在坐标轴上的截距不为0时，方程设为x+y=a，可得3﹣2=a，解之得a=1，此时直线方程为x+y﹣1=0综上所述，所求的直线方程为2x+3y=0；或x+y+1=0．【点评】本题给出经过两条直线，求经过两条直线的交点且在轴上截距相等的直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题．16．直线y=k（x+1）+3与以点A（2，﹣5），B（4，﹣2）为端点的线段AB有公共点，则k的取值范围是_【考点】直线的斜率．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线方程求得直线所过定点P，然后求得PA，PB的斜率得答案．【解答】解：由y=k（x+1）+3，得直线y=k（x+1）+3过定点P（﹣1，3），∵A（2，﹣5），B（4，﹣2），∴k PA=﹣，k PB=﹣1．∴满足直线y=k（x+1）+3与线段AB有公共点的k的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了直线系方程，考查了数学结合的解题思想方法，是基础题．17．如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件ABCD是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形时，有AC⊥B1D1（写出你认为正确的一种条件即可．）．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】开放型．【分析】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BD∥B1D1，故只需AC⊥BD，则AC⊥B1D1，即只要底面四边形ABCD的对角线相互垂直就行了，比如：菱形、正方形、或者任意一个对角线相互垂直的四边形，只要填一个答案即可．【解答】解：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BD∥B1D1，∴若AC⊥BD，则AC⊥B1D1∴当底面ABCD是菱形、正方形或者是对角线相互垂直的四边形时，AC⊥B1D1故答案为：ABCD是菱形、正方形或者是对角线相互垂直的四边形【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．18．如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是90°．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是二面角及其度量，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点Q，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案．【解答】解：过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示：设PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45°∴QM=QN=aPM=PN= a又由∠MPN=60°，易得△PMN为等边三角形则MN= a解三角形QMN易得∠MQN=90°故答案为：90°【点评】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠MQN为二面角α﹣AB﹣β的平面角，通过解∠MQN所在的三角形求得∠MQN．其解题过程为：作∠MQN→证∠MQN是二面角的平面角→计算∠MQN，简记为“作、证、算”．三、解答题（共3小题，满分40分）19．已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l的方程；（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P的坐标，根据直线l与x﹣2y﹣1垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1，可设出直线l的方程，把P代入即可得到直线l的方程；（Ⅱ）分别令x=0和y=0求出直线l与y轴和x轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由解得由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m=0，即m=2．所求直线l的方程为2x+y+2=0．（Ⅱ）由直线l的方程知它在x轴．y轴上的截距分别是﹣1．﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．【点评】此题考查学生会利用联立两直线的方程的方法求两直线的交点坐标，掌握直线的一般式方程，会求直线与坐标轴的截距，是一道中档题．20．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试探求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】欲证SC∥平面EBD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证SC与平面EBD内一直线平行，取SA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD的交点为O，连接EO．根据中位线可知OE∥SC，而SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，满足定理所需条件．【解答】答：点E的位置是棱SA的中点．证明：取SA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD的交点为O，连接EO．∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC．∵SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，∴SC∥平面EBD．故E的位置为棱SA的中点．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，应熟练记忆直线与平面平行的判定定理，属于探索性问题．21．（16分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；（2）求证：面SAB⊥面SBC；（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】综合题．【分析】（1）由题设条四棱锥S﹣ABCD的体积： V==，由此能求出结果．（2）由SA⊥面ABCD，知SA⊥BC，由AB⊥BC，BC⊥面SAB，由此能够证明面SAB⊥面SBC．（3）连接AC，知∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角．由此能求出 SC与底面ABCD所成角的正切值．【解答】（1）解：∵底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V====．（2）证明：∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴SA⊥BC，∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB∵BC⊂面SBC∴面SAB⊥面SBC．（3）解：连接AC，∵SA⊥面ABCD，∴∠SCA 就是SC与底面ABCD所成的角．在三角形SCA中，∵SA=1，AC=，∴．…10分【点评】本题考查棱锥的体积的求法，面面垂直的证明和直线与平面所成角的正切值的求法．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．。
北京市二十四中2015-2016学年高二3月月考数学(理)试卷
北京市第二十四中学2015—2016学年度第二学期高二年级数学（理科）学科月考试卷 16.3时间：40分钟 满分：100分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx+c ＞0”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）必要条件2．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f(x)＝x 2＋2x·f′(1)．则f ′(0)等于( )A ．0B ．－4C ．－2D ．23．已知函数f(x)＝asin 2x －13sin 3x(a 为常数)在x ＝π3处取得极值，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－124．若f(x)＝lnx x，0＜a ＜b ＜e ，则有( ) A ．f (a )＞f (b ) B ．f (a )＝f (b ) C ．f (a )＜f (b ) D ．f (a )·f (b )＞15．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下右图所示，则导函数y=f '(x)可能为（ ）6．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，20x ＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(⌝p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤2或1≤a ≤2C ．a >1D ．－2≤a ≤17．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的 ( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为－427C ．极小值为－527，极大值为0D ．极小值为0，极大值为5278．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[2，3] C ．[3，2] D ．[2，2]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．“13<<-a ”是“方程 11322=-++ay a x 表示椭圆”的_ _ __条件. 10．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k(k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f(x)在点(1， f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为______ ．11．若函数f(x)＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是__________ ．12．已知曲线323610y x x x =++-上一点P ，则过曲线上P 点的所有切线方程中，斜率最小的切线方程是A B C D13已知0>c ，设命题p ：函数x c y =为减函数．命题q ：当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，函数cx x x f 11)(>+=恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则c 的取值范围是 ． 14．函数3()65()f x x x x R =-+∈，若关于x 的方程()f x a =有三个不同实根，则a 的取值范围是三、解答题：本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本小题满分10分) :p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >，:q 实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩ （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．16．(本小题满分10分)设函数f(x)＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m ＞0. (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f (1))处的切线的斜率；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．17．(本小题满分10分)已知函数)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当1=x 时，)(x f 取得极值2-．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）当∈x ]3,3[-时，m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围。
北京市重点中学年高二下期中数学试题(理)及答案-精
北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高 二数学（理）试卷(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知复数z 满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法。
A.120B.16C.64D.393．已知曲线23ln 14x y x =-+的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．124．由直线12y =,2y =,曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A ．2ln 2B ．2ln 21-C ．1ln 22D ．545．以下说法正确的是（ ）A.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件B.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 6．设函数()ln =f x x x ，则()f x 的极小值点为（ ） A.=x e B.ln 2=x C.2=x e D.1=x e7．已知1212⨯=，221334⨯⨯=⨯，32135456⨯⨯⨯=⨯⨯,．．．，以此类推，第5个等式为（ ）A ．4213575678⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯B ．521357956789⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯C ．4213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯D ．5213579678910⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯8．在复平面内，复数34i -，()2i i +对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为（ ）A ．22i -+B ．22i -C ．1i -+D ．1i -9．已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）10．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若区间(),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()54112012f x x mx =-22x -在()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．31(,)9-∞ B ．31[,5]9C ．(,3]-∞D ．(),5-∞二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11．函数3()2f x x ax =+-在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是12．设集合{}A b a A ∈=,,5,4,3,2,1,则方程122=+by a x 表示焦点位于y 轴上的椭圆有 个.13．设sin ,0,2()1,,22x x f x x ππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，则20()f x dx ⎰为 。
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一、选择题：（共 10 小题，每小题 3 分） 1．（3 分）计算 的结果是（ ）
A．﹣ 1﹣ i B．1﹣i C．1+i D．﹣ 1+i 2．（3 分） （ ex+2x） dx=（ ）
A．e+1 B．e﹣1 C．e D． e+2
3．（3 分）在复平面内，复数 z=i（1+2i）对应的点位于（
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（Ⅰ）求 a、b 的值； （Ⅱ）若对任意的 x∈[ 0， 3] ，都有 f（x）＜ c2 成立，求 c 的取值范围．
20．（ 10 分）在数列 { an} 中， a1=1，且 an+1=
（ n∈ N* ）．
（Ⅰ）求 a2，a3， a4 的值； （Ⅱ）猜想数列 { an} 的通项公式的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想． 21．（ 9 分）请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分 所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A， B， C， D 四个点重合于图中的点 P，正 好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E、F 在 AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=（x cm）． （ 1）若广告商要求包装盒侧面积 S（ cm2）最大，试问 x 应取何值？ （ 2）若广告商要求包装盒容积 V（cm3）最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长 的比值．
10．′（x）是函数 f （x）的导函数），下面四个图
象中 y=f（x）的图象大致是（
）
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A．
B．
C．
D．
二、填空题：（共 8 小题，每小题 4 分）
11．（ 4 分）复数 i（3+4i）的虚部为 ．
12．（ 4 分）4 男 2 女排成一排，若 2 女必在一起，有
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3 分）从 4 个男生，3 个女生中挑选 4 人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的选法共有 （ ）
A．12 种 B．34 种 C．35 种 D．36 种 5．（3 分）用数学归纳法证明 “（n+1）（n+2）?…？（n+n）=2n?1?3?…？（2n﹣1） ”，当 “ｎ从 k 到 k+1”
5．【解答】 当 n=k 时，左端 =（k+1）（k+2）（k+3）…（2k）， 当 n=k+1 时，左端 =（ k+2）（ k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），
故当 “ｎ从 k 到 k+1”左端需增乘的代数式为
=2（2k+1），故选 B．
6．【解答】 函数 f（ x） =x3+3（m﹣1）x2+3（ m+1）x+3， 可得 f ′（x）=3x2+6（m﹣ 1） x+3（ m+1）， 函数 f （x）=x3+3（m﹣ 1） x2+3（m+1）x+3 既有极大值，又有极小值， 则 f ′（x）=0，即 x2+2（m﹣1）x+（ m+1）=0，有两个不相等的实数根， 可得 4（m﹣ 1） 2﹣4（m+1）＞ 0， 解得 m＞ 3 或 m＜ 0． 故选： D．
22．（ 10 分）设 f（x）= +ax（ a＞ 0）． （ 1）判断函数 f （x）在（ 0，+∞）的单调性； （ 2）设 g（a）为 f（ x）在区间 [ 1，2] 上的最大值，写出 g（a）的表达式．
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参考答案与试题解析
一、选择题：（共 10 小题，每小题 3 分） 1．【解答】 复数 故选 B．
）
A．[ ﹣2，+∞） B．[ 2， +∞） C．（﹣∞，﹣ 2] D．（﹣∞， 2]
8．（3 分）用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（
）
A．324 B．328 C． 360 D．648
9．（3 分）
，则下列等式不能成立 的是（ ）
A．x?y=y?x B．（x?y）?z=x?（y?z） C．（x?y）2=x2?y2 D．c?（ x?y） =（ c?x） ?（ c?y）（其中 c 为常数）
． 也是等
比数列 ”．可类比得关于等差数列的一个性质为
．
16．（ 4 分）函数 y= 的减区间是 ．
17．（4 分）将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官， 每个乡镇至少一名， 则不同的分配方案有
种
（用数字作答）．
18．（ 4 分）定义在区间 [ a，b] 上的连续函数 y=f（x），如果 ? ξ∈[ a， b] ，使得 f（b）﹣f （a） =f （′ξ）
左端需增乘的代数式为（
）
A．2k+1 B．2（2k+1） C．
D．
6．（3 分）已知函数 f（x） =x3+3（m﹣1）x2+3（ m+1）x+3 既有极大值，又有极小值，则 m 的取值范 围是（ ） A．m＜ 0 B．m≥ 3 或 m≤ 0 C． m＞3 D． m＞3 或 m＜0
7．（3 分）若函数 h（x） =2x﹣ + 在（ 1，+∞）上是增函数，则实数 k 的取值范围是（
（ b﹣ a），则称 ξ为区间 [ a， b] 上的 “中值点 ”．下列函数：
① f（x）=3x+2； ② f（x）=x2﹣x+1；
③ f（x）=ln（x+1）；
④ f（x）=（x﹣ ） 3，
在区间 [ 0，1] 上 “中值点 ”多于一个的函数序号为
．（写出所有满足条件的函数的序号）
三、解答题：（共 38 分） 19．（ 9 分）设函数 f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c 在 x=1 及 x=2 时取得极值．
2．【解答】 故选： C．
（ex+2x）dx=（ex+x2） =e+1﹣e0﹣0=e．
3．【解答】 ∵z=i（1+2i） =i+2i=﹣2+i， ∴复数 z 所对应的点为（﹣ 2，1）， 故选 B
4．【解答】 根据题意，从 4 个男生， 3 个女生共 7 人中挑选 4 人，有 C74=35 种选取方法， 其中没有 1 名女生，即全部为男生的取法有 C44=1 种， 则至少有一个女生参加的选法有 35﹣ 1=34 种； 故选： B．
种不同的排法，若 2 女不能相邻，有
种
不同的排法．（用数字作答）
13．（ 4 分）若 zl=a+2i，z2=3﹣4i，且 为纯虚数，则实数 a 的值为 ．
14．（ 4 分）曲线 y=x3 在点（ 1， 1）处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的面积为 15．（ 4 分）已知命题： “若数列 { an} 是等比数列，且 an＞0，则数列