2023年荆州市中考数学试卷附答案

2023年湖北省荆州市中考数学试卷一、选择题（本大题共有10个小题,每小题只有唯一正确答案,每小题3分,共30分）1.在实数1-12,3.14中,无理数是（ ） A.1- B. C. 12 D. 3.14 2. 下列各式运算正确的是（ ）A. 23232332a b a b a b -=B. 236a a a ⋅=C. 623a a a ÷=D. ()325a a =3. 观察如图所示的几何体,下列关于其三视图的说法正确的是（ ）A. 主视图既是中心对称图形,又是轴对称图形B. 左视图既是中心对称图形,又是轴对称图形C. 俯视图既是中心对称图形,又是轴对称图形D. 主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形4. 已知蓄电池的电压U 为定值,使用蓄电池时,电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系U I R ⎛⎫= ⎪⎝⎭．下列反映电流I 与电阻R 之间函数关系的图象大致是（ ） A. B.C. D.5. 已知k =⋅,则与k 最接近的整数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5 6. 为评估一种水稻的种植效果,选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg ）分别为1210,,,x x x ⋯,下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（ ）A. 这组数据的平均数B. 这组数据的方差C. 这组数据的众数D. 这组数据的中位数7. 如图所示的“箭头”图形中,AB CD ∥,80B D ∠=∠=,47E F ∠=∠=,则图中G ∠的度数是（ ）A. 80B. 76C. 66D. 56 8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺？如果设木条长x 尺,绳子长y 尺,那么可列方程组为（ ）A. 4.50.51y x y x =+⎧⎨=-⎩B. 4.521y x y x =+⎧⎨=-⎩C. 4.50.51y x y x =-⎧⎨=+⎩D. 4.521y x y x =-⎧⎨=-⎩9. 如图,直线332y x =-+分别与x 轴,y 轴交于点A ,B ,将OAB 绕着点A 顺时针旋转90得到CAD ,则点B 的对应点D 的坐标是（ ）A. ()2,5B. ()3,5C. ()5,2D. )10. 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧AC ,点O 是这段弧所在圆的圆心,B 为AC 上一点,OB AC ⊥于D ．若AC =,150m BD =,则AC 的长为（ ）A. 300m πB. 200m πC. 150m πD. m二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分）11.若21(3)0a b -+-=,___________．12. 如图,CD 为Rt ABC △斜边AB 上的中线,E 为AC 的中点．若8AC =,5CD =,则DE =___________．13. 某校为了解学生对A ,B ,C ,D 四类运动的参与情况,随机调查了本校80名学生,让他们从中选择参与最多的一类,得到对应的人数分别是30,20,18,12．若该校有800名学生,则估计有___________人参与A 类运动最多．14. 如图,60AOB ∠=︒,点C 在OB 上,OC =P 为AOB ∠内一点．根据图中尺规作图痕迹推断,点P 到OA 的距离为___________．15. 如图,无人机在空中A 处测得某校旗杆顶部B 的仰角为30,底部C 的俯角为60,无人机与旗杆的水平距离AD 为6m ,则该校的旗杆高约为___________m 1.73≈,结果精确到0.1）16. 如图,点()2,2A 在双曲线(0)k y x x=>上,将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B ,交双曲线于点C ．若2BC =,则点C 的坐标是___________．三、解答题（本大题共有8个小题,共72分） 17. 先化简,再求值：222222x y x xy y x y x y x y x y⎛⎫--+--÷ ⎪+-+⎝⎭,其中112x -⎛⎫= ⎪⎝⎭,0(2023)y =-． 18. 已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围;（2）当1k =时,用配方法．．．解方程． 19. 如图,BD 是等边ABC 的中线,以D 为圆心,DB 的长为半径画弧,交BC 的延长线于E ,连接DE ．求证：CD CE =．20. 首届楚文化节在荆州举办前,主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐,随机抽取了部分志愿者,对其身高进行调查,将身高（单位：cm ）数据分A ,B ,C ,D ,E 五组制成了如下的统计图表（不完整）．根据以上信息回答：（1）这次被调查身高的志愿者有___________人,表中的m =___________,扇形统计图中α的度数是___________;（2）若E 组的4人中,男女各有2人,以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图,求刚好抽中两名女志愿者的概率．21. 如图,在菱形ABCD 中,DH AB ⊥于H ,以DH 为直径的O 分别交AD ,BD 于点E ,F ,连接EF ．（1）求证：①CD 是O 的切线;①DEF DBA ∽;（2）若5AB =,6DB =,求sin DFE ∠．22. 荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A ,B 两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A 种的件数是630元采购B 种件数的2倍,A 种的进价比B 种的进价每件多1元,两种饰品的售价均为每件15元;计划采购这两种饰品共600件,采购B 种的件数不低于390件,不超过A 种件数的4倍．（1）求A ,B 饰品每件的进价分别为多少元？（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠,即一次性采购A 种超过150件时,A 种超过的部分按进价打6折．设购进A 种饰品x 件,①求x 的取值范围;①设计能让这次采购的饰品获利最大的方案,并求出最大利润．23. 如图1,点P 是线段AB 上与点A ,点B 不重合的任意一点,在AB 的同侧分别以A ,P ,B 为顶点作123∠=∠=∠,其中1∠与3∠的一边分别是射线AB 和射线BA ,2∠的两边不在直线AB 上,我们规定这三个角互为等联角,点P 为等联点,线段AB 为等联线．（1）如图2,在53⨯个方格的纸上,小正方形的顶点为格点、边长均为1,AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．．．．的方法,作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角,并标出等联角,保留作图痕迹;（2）如图3,在Rt APC △中,90A ∠=,AC AP >,延长AP 至点B ,使AB AC =,作A ∠的等联角CPD ∠和PBD ∠．将APC △沿PC 折叠,使点A 落在点M 处,得到MPC ,再延长PM 交BD 的延长线于E ,连接CE 并延长交PD 的延长线于F ,连接BF ． ①确定PCF 的形状,并说明理由;①若:1:2AP PB =,BF =,求等联线AB 和线段PE 的长（用含k 的式子表示）． 24. 已知：y 关于x 的函数()()221y a x a x b =-+++．（1）若函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点,且4a b =,则a 的值是___________; （2）如图,若函数的图象为抛物线,与x 轴有两个公共点()2,0A -,()4,0B ,并与动直线:(04)l x m m =<<交于点P ,连接PA ,PB ,PC ,BC ,其中PA 交y 轴于点D ,交BC 于点E ．设PBE △的面积为1S ,CDE 的面积为2S ．①当点P 为抛物线顶点时,求PBC 的面积;①探究直线l 在运动过程中,12S S -是否存在最大值？若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由．2023年湖北省荆州市中考数学试卷答案一、选择题.1. B2. A3. C4. D5.B6. B7. C8. A9. C解：①直线332y x =-+分别与x 轴.y 轴交于点A ,B . ①当0x =时,3y =,即()0,3B .则3OB =.当0y =时.2x =.即()2,0A .则2OA =.①将OAB 绕着点A 顺时针旋转90得到CAD . 又①90AOB ∠=︒①2,3AC OA CD OB ====.90OAC ∠=︒.=90ACD ∠︒. ①CD OA ∥.延长DC 交y 轴于点E .则()0,2E.235DE EC CD =+=+=.①D ()5,2.故选：C ．10. B解： OB AC ⊥.点O 是这段弧所在圆的圆心. AD CD ∴=..OD OD =.OA OC =.ADO CDO ∴≌.AOD COD ∠=∠∴.AC =.AD CD =.AD CD ∴==.设OA OC OB x ===.则150DO x =-.在Rt ADO △中.()(222150x x =-+. 300m x ∴=.sin 3002AD AOD AO ∴∠=== 60AOD ∴=︒∠.120AOC ∴∠=︒.120300200m 180180n R AC πππ⨯⨯∴===. 故选：B.二、填空题.11. 212. 313. 30014. 115. 13.816. 解：把()2,2A 代入(0)k y x x =>.可得22k =.解得4k =. ∴反比例函数解析式4(0)y x x =>.如图.过点A 作x 轴的垂线段交x 轴于点E .过点C 作y 轴的垂线段交y 轴于点D .()2,2A .AE OE ∴=.45AOE ∴∠=︒.9045AOD AOE ∴∠=︒-∠=︒.将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B . 45CBD ∴∠=︒.在Rt CBD △中.sin 45CD CB =︒=.2CD ∴==.即点C .把x 代入4(0)y x x=>.可得y =C ∴.故答案为：． 三、解答题. 17. -x x y,2 18. （1）25k >-且0k ≠（2）13x =23x =【小问1详解】解：依题意得：()()20Δ=244640160k k k k k ≠⎧⎪⎨+--=+>⎪⎩. 解得25k >-且0k ≠； 【小问2详解】解：当1k =时.原方程变为：2650x x --=.则有：26959x x -+=+.()2314x ∴-=.3x ∴-=∴方程的根为13x =23x = 19. 证明：∵BD 为等边ABC 的中线.BD AC ∴⊥.160∠=︒330∴∠=︒BD DE =.330E ∴∠=∠=︒2160E ∠+∠=∠=︒.230E ∴∠=∠=︒CD CE ∴=20. （1）20,6,54（2）1621. （1）①见解析.①见解析（2）2425【小问1详解】证明：①四边形ABCD 是菱形.AB CD ∴∥DH AB ⊥.90CDH DHA ∴∠=∠=.则CD OD ⊥又D 为O 的半径的外端点.CD ∴是O 的切线．①连接HF .①DF DF =①DEF DHF ∠=∠ DH 为O 直径.90DFH ∴∠=︒.而90DHB ∠=︒DHF DBA DEF ∴∠=∠=∠.又EDF BDA ∠=∠DEF DBA ∴∽．【小问2详解】解：连接AC 交BD 于G ．菱形ABCD .6BD =.AC BD ∴⊥.AG GC =.3DG GB ==.∴在Rt AGB △中.4AG =.28AC AG ∴==.12ABCD S AC BD AB DH =⋅=⋅菱形. 112468255DH ∴=⨯⨯⨯=. 在Rt ADH 中.24124sin 5525DH DH DAH AD AB ∠===⨯=. 由DEF DBA ∽得：DFE DAH ∠=∠.24sin sin 25DFE DAH ∴∠=∠=． 22. （1）A 种饰品每件进价为10元.B 种饰品每件进价为9元； （2）①120210x ≤≤且x 为整数.①当采购A 种饰品210件.B 种饰品390件时.商铺获利最大.最大利润为3630元．【小问1详解】（1）设A 种饰品每件的进价为a 元.则B 种饰品每件的进价为()1a -元． 由题意得：140063021a a =⨯-.解得：10a =. 经检验.10a =是所列方程的根.且符合题意．A 种饰品每件进价为10元.B 种饰品每件进价为9元．【小问2详解】①根据题意得：6003906004x x x -≥⎧⎨-≤⎩. 解得：120210x ≤≤且x 为整数；①设采购A 种饰品x 件时的总利润为w 元．当120150x ≤≤时.()156********w x x =⨯---.即3600w x =-+.10-<.w ∴随x 的增大而减小．∴当120x =时.w 有最大值3480．当150210x <≤时.()()15600101501060%1509600w x x ⎡⎤=⨯-⨯+⨯---⎣⎦ 整理得：33000w x =+.30>.w ∴随x 的增大而增大．∴当210x =时.w 有最大值3630．36303480>.w ∴的最大值为3630.此时600390x -=．即当采购A 种饰品210件.B 种饰品390件时.商铺获利最大.最大利润为3630元． 23.（1）见解析（2）①等腰直角三角形.见解析；①3AB k =；52PE k =【小问1详解】解：如图所示（方法不唯一）【小问2详解】①PCF 是等腰直角三角形．理由为：如图.过点C 作CN BE ⊥交BE 的延长线于N ．由折叠得AC CM =.90CMP CME A ︒∠=∠=∠=.12∠=∠AC AB =.90A PBD N ∠︒=∠=∠=.∴四边形ABNC 为正方形CN AC CM ∴==又CE CE =.()Rt Rt HL CME CNE ∴≌△△34∴∠=∠.而123490∠+∠+∠+∠=︒.90CPF ∠=︒2345PCF CFP ︒∴∠=∠+∠=∠=PCF ∴△是等腰直角三角形．①过点F 作FQ BE ⊥于Q .FR PB ⊥交PB 的延长线于R .则90R A ︒∠=∠=．155690︒∠+∠=∠+∠=.16∴∠=∠.由PCF 是等腰直角三角形知：PC PF =.()AAS APC RFP ∴≌△△.AP FR ∴=.AC PR =.而AC AB =.AP BR FR ∴==.在Rt BRF △中.222BR FR BF +=.BF =.AP BR FR k ∴===.22PB AP k ∴==.3AB AP PB BN k ∴=+==.由BR FR =.90QBR R FQB ∠︒=∠=∠=.①四边形BRFQ 为正方形.BQ QF k ==.由FQ BN ⊥.BN CN ⊥得：FQ CN ∥.①QEF NEC ∽.QE QF NE CN∴=.而32QE BN NE BQ k NE k k NE =--=--=-. 即2133k NE k NE k -==.解得：32NE k =. 由①知：PM AP k ==.32ME NE k ==. 3522PE PM ME k k k ∴=+=+=． 24. （1）0或2或14- （2）①6,①存在,163【小问1详解】 解：函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点. ()()2210a x a x b ∴-+++=.4a b =.()()22104a a x a x ∴-+++=. 当函数为一次函数时.20a -=.2a ∴=．当函数为二次函数时.()()22104a a x a x -+++=. 若函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点.即与x 轴.y 轴分别只有一个交点时. ()()2241424104a b ac a a a ∴∆=-=+--⋅=+=. 14a ∴=-． 当函数为二次函数时.函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点. 即其中一点经过原点. 0b ∴=.4a b =.0a ∴=．综上所述.2a =或0．故答案为：0或2或14-． 【小问2详解】解：①如图所示.设直线l 与BC 交于点F .直线l 与AB 交于点H ．依题意得：2102028a b a b +=⎧⎨+=⎩.解得：18a b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为：2228(1)9y x x x =-++=--+．点P 为抛物线顶点时.(1,9)P .(0,8)C .9PH ∴=.1P x =.由()4,0B .()0,8C 得直线BC 的解析式为28y x =-+.F 在直线BC 上.且在直线l 上.则F 的横坐标等于P 的横坐标. ()1,6F ∴.6FH ∴=.1OH =.963PF PH FH ∴=-=-=.413BH OB OH =-=-= 1111S S S 313362222PBC PFC PFB P x OH HB PF ∴=+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=． 故答案为：6．①12S S -存在最大值.理由如下：如图.设直线x m =交x 轴于H ．由①得：4OB =.2AO =.6AB =.8OC =.2AH m =+.()2,28P m m m -++ 228PH m m ∴=-++.OD x ⊥.PH AB ⊥.OD PH ∴∥.AO OD AH PH∴=. 即22228OD m m m =+-++. 82OD m ∴=-1S S S S PAB AOD EDOB =--四边形.2S S S OBC EDOB =-四边形. ()()221262828248S S S S S 38222PAB AOD OBC m m m m m -++-⨯∴-=--=--=-+.212416S S 333m ⎛⎫∴-=--+ ⎪⎝⎭. 30-<.04m <<.∴当43m =时.12S S -有最大值.最大值为163． 故答案为：163．。