因式分解精练(培优)附答案
(完整版)整式乘除与因式分解培优精练专题答案
整式乘除与因式分解培优精练专题答案一．选择题（共9小题）222之值的十位数字为何？（+88805）+77707 1．（2014?台湾）算式99903A．1 B．2 C．6 D．8222分析：的后两位数，再相加即可得到答案．、、8880577707分别得出999032解答：的后两位数为09，解：999032的后两位数为25，888052的后两位数为49，7770709+25+49=83，所以十位数字为8，故选：D．32）a正确的结果是（2014?盘锦）计算（2a）?2．（6777 D．B．C．A． 4 43aaa a根据幂的乘方与积的乘方、单项式与单项式相乘及同底数幂的乘法法则进行计算即分析：可．解答：解：原式=7 =4a，故选：B．22 +b）的值为（，．（2014?遵义）若a+b=2ab=2，则a3D ．B．4 C．6A． 3 2222分析：﹣2ab利用a代入数值求解．+b（=a+b）222解答：解：a4=4+b（=a+b），﹣2ab=8﹣．故选：B22+m，则a，m的值分别是（））?4．（2014拱墅区二模）如果ax+2x+=（2x+D ，B A．2，0．40C．．4，2，运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．解答：22∵解：ax+2x+，+2x+=4x+m∴，．解得．故选D．）），则有（（a＞b＞05．（2014?江阴市模拟）如图，设2＞2D．k1．B．C．＜k＜A22解答：a﹣b）解：甲图中阴影部分的面积=a﹣b，，乙图中阴影部分的面积=a （=，＞∵ab＞0，，∴2∴1＜k＜．故选：C．）的值为（，则．6（2012?鄂州三月调考）已知法确定C．无D．．．A B解答：，解：∵a+=2）两边平方得：（a+∴=10，2 =10，a展开得：++2a?2a∴，2=8=10+﹣222）∴a﹣（2=6，﹣2=8﹣=a+2a﹣=a?+，±=﹣a∴．故选C．）7．已知，则代数式的值等于（D ．C．A．B．分析：两边平方并整理成的平先判断a是正数，然后利用完全平方公式把方的形式，开方即可求解．解答：，解：∵22+a，且﹣a∴＞0 ，=12+2+a∴=5，2 =5即（+|a|），开平方得，+|a|=．故选C．201232012232，则+…+2的值，可令S=1+2+2…滨州）求8．（2012?1+2+2+2+2+2+20122320134232013+5+5+2S=2+2．仿照以上推理，计算出+21+5+5+2+…+2S=2，因此2S﹣…﹣1 ）的值为（20132012．．D A．B．C1 ﹣1 ﹣55201223分析：S﹣+5整理即可得解．，用根据题目提供的信息，设S=1+5+55S+5+…2013201242332解答：5S=5+5+5，+5+…解：设S=1+5+5+5+5+…+5，则2013因此，5S﹣S=5﹣1，．S= C．故选222bc﹣+c﹣ab，那么代数式c=x+19，x+20b=，x+21郑州）已知2004．9（?a=a+b ac的值是（）﹣ 1 ．B 4 A．3．D 2 ．C压轴题．：专题．，c=﹣1﹣b=1，a﹣三个式子消去分析：已知条件中的几个式子有中间变量x，x即可得到：a ﹣2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．b﹣c=222解答：﹣ac，﹣ab解：法一：a﹣+bbc+c ），+c（c﹣aa﹣b）+b（b﹣c）=a（，，c=x+21又由a=x+20，b=x+19，得（a﹣bx+20﹣）=x﹣19=1 ，2，（c﹣a）=1（同理得：b﹣c）=﹣．x+19）+x+21=3所以原式=a﹣2b+c=x+20﹣2（B故选．222 bc法二：a﹣+b，+cac﹣ab﹣222 +2b，+2c2ac﹣2ab=（2a﹣2bc﹣）222222，）]）+（b=[（a﹣2ab+b﹣）+（a﹣2ac+c2bc+c222，]）﹣c=[（a﹣b）+（a﹣c）（+b．1+1+4）=3=×（故选B．二．填空题（共9小题）2）?江西样卷）已知（x+5（x+n）=x5+mx ﹣，则m+n=3．201410．（n的值．把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到m、分析：2解答：x+5n5+n）x+n）（）=x+（解：展开（x+52=x（x+5）（x+n）∵+mx﹣，5 ﹣5，5+n=m∴，5n= m=4n=∴﹣1，．∴1=3．m+n=4﹣3故答案为：23．，则﹣徐州一模）已知2014．11（?x=1x+=分析：2，然后利用完全平方公式展开，=1）﹣x的两边分别平方，可得（=1﹣x首先将．2变形后即可求得x+的值．222代入，即可+2，然后将）﹣x或者首先把x﹣+凑成完全平方式x=1+=（x2 +求得x的值．解答：x﹣=1，解：方法一：∵2）x﹣∴（，=12即x，+﹣2=12x∴+=3．，x﹣=1∵方法二：22x∴（x﹣）+2，+=2 +2，=1 =3．故答案为：3．226．12（2011?平谷区二模）已知，那么x+y．=2分析：用（x+y）与xy的代数式表示，然后把x+y，首先根据完全平方公式将（x+y）xy的值整体代入求值．解答：解：∵x+y=，xy=2，222）∴（x+y+2xy，+y =x2210=x∴+4，+y22x∴=6．+y故答案是：6．点评：本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：222．2ab+b=a ±±（ab）mn3m+2n=72=3，则10．201013．（?贺州）已知10=2，103m+2n3m2nm3n232解答：．9=72×=83?=2）10（）10（=10=1010解：本题利用了同底数幂相乘的性质的逆运算和幂的乘方的性质的逆运算．同底数幂相点评：乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘．222 a﹣+b+c的值等于=1，则ab+bc+ca．14．（2005?宁波）已知a﹣b=b﹣c=，c），（﹣a﹣c）的平方和，然c的值，再利用完全平方公式求出（a﹣b），（b求出分析：先a﹣后代入数据计算即可求解．解答：解：∵a﹣b=b﹣c=，22）﹣b∴（a=，a﹣c=，，=（b﹣c）222222a∴﹣2ac=a，2bc=+c2ab=﹣，b +c，﹣+b222a∴2（）﹣2（ab+bc+ca）+b++==，+c∴2﹣2（ab+bc+ca）=，，=ab+bc+ca）∴1﹣（．∴ab+bc+ca=﹣=﹣故答案为：﹣．点评：本题考查了完全平方公式，解题的关键是要由a﹣b=b﹣c=，得到a﹣c=，然后对a﹣b=，b﹣c=，a﹣c=三个式子两边平方后相加，化简求解．22222，则数a，b747b=888，﹣30c，c=1053按从小到大厦门）设15．（2014?a=19﹣×918，的顺序排列，结果是a＜c＜b．考点：因式分解的应用．分析：运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为918，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．2解答：×918=361×918，：a=19 解22=（888﹣30）×（b=888888+30﹣30）=858×918，22=（1053+747）×（1053﹣747）=1800×306=600c=1053747﹣×918，所以a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．16．（1999?杭州）如果a+b+ ．03c=﹣a+2b那么，，然后将等号左边的式子配成两个完全平方式，从而得到三个非负数的和为0分析：先移项，b、c的值后，再代值计算．根据非负数的性质求出a、解答：解：原等式可变形为：5 a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣+|）（b+1﹣1|﹣4﹣﹣2+5=0 （a2）+2（a﹣2）﹣+1+|﹣1|=04b+1）﹣+4+（22（11|=0﹣；）﹣（+|2）+﹣，2=0﹣1=0﹣，﹣1=0即：，，=1∴，，=1=2∴a，c﹣1=1﹣2=4，b+1=1，，c=2；解得：a=6，b=0 ×3c=6+0﹣32=0．﹣∴a+2b=117．已知x﹣，则．=分析：2的值，﹣把x=1两边平方求出x+再把所求算式整理成的形式，然后代入数据计算即可．解答：解：∵x﹣=1，2x∴+﹣2=1，2x∴+=1+2=3，===．故应填：．22=1，则（2008﹣a）?（2007）a﹣a）=0．﹣（a200818．已知（﹣）+2007解答：22，=1）a﹣2007（+）a﹣2008（∵解：22）∴（2008﹣a ，）（2007﹣a）（2007﹣a）﹣=1﹣2（2008a2007﹣2（2008﹣a）（﹣a）+2，）（2007﹣aa﹣2007+a））=1﹣2（2008﹣a即（2008﹣，2007﹣a）=0整理得﹣2（2008﹣a）（．2007﹣a）=0∴（2008﹣a）（8三．解答题（共小题）22 4或﹣2（k﹣1）ab+9b．是一个完全平方式，那么k=19．如果a﹣2解答：2222，3b）﹣2（k﹣1）解：∵a﹣2（k﹣1）ab+9bab+=a （，×3b）k﹣1ab=±2×a∴﹣2（，﹣3∴k﹣1=3或k﹣1= ．﹣2解得k=4或k= 2．或﹣即k=42．故答案为：4或﹣本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，点评：熟记完全平方公式对解题非常重要．x+3x．已知3．=8，求3203xx+3解答：?3：3=3解27×=8 ．=216 点评：本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加．3m+2n1m232n5n+13m2﹣﹣﹣﹣（﹣21．计算：ab（abb）））+（a 分析：先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．3m+253m632n+26m43nn﹣﹣﹣﹣解答：（b）（﹣）+a 解：原式=abba，436m3n36m43n﹣﹣﹣﹣+a）b=a（﹣b，46m3n3n36m43﹣﹣﹣﹣，bb﹣a=a =0．本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是点评：解题的关键．±1++是一个有理式A的平方，那么，A=n22．已知是正整数，．解答：解：1++=，22222222，+2n+1+n+n）n+1（=n+n）n+1（+）n+1（n分子：22+2n（n+1））+1，=n （n+12，]（n+1）+1=[n∴分子分母都是完全平方的形式，±．∴A=．故答案为：±为正整数，求x+y的最大值和最小值．，其中x，y23．已知2008=分析：可能的、yxy=2009，再根据x首先根据2008=，y为正整数，确定x可知y、73、、9．通过x取值．根据xy的乘积的个位是9，确定x、y的个位可能是1、的十位数最大xx取过的值，y也有可能，故只取x即可，都具有同等的地位，那么．因而不会超过5、39、41、4327、29、31、33、37、、、就x取值可能是111、13、17、1921、23、47、49．就这几种情况讨论即可．解答：2008=解：∵1 2008=xy﹣2009=xy∴9 的个位数是∵x，y为正整数，并且乘积是20099 的个位可能是y1、3、7、因而x、①当x的个位是1时，x=1y=2009显然成立，，y不存在，x=11，不存在，x=21，y yx=31，不存在，，y=49，x=41 3时②当x的个位是不存在，，x=3y 不存在，x=13，y x=23，y不存在，x=33，y 不存在，不存在；，x=43y 当的个位是7时③y=287 x=7，不存在x=17，y x=27，y不存在yx=37，不存在不存在；，x=47y 时9的个位是x当④．x=9，y不存在x=19，y不存在x=29，y不存在x=39，y不存在x=49，y=41．故可能的情况是①x=1，y=2009或x=2009，y=1，x+y=2010②x=7，y=287或x=287，y=7，x+y=7+287=394③x=41，y=49或x=49，y=41，x+y=41+49=90故x+y的最大值是2010，最小值是90?内蒙古）计算：24．（200012347=n+1，12345=n﹣1，解答：解：由题意可设字母n=12346，那么2）．）（n+1于是分母变为nn﹣（﹣1 应用平方差公式化简得22222 +1=1﹣﹣1n）=nn，﹣（n 1，即原式分母的值是．所以原式=246902242 0，求1﹣ab的值．+2a﹣1=0，b﹣2b≠﹣1=0a25．设，且22分析：a的题设条件求得b，代入所求的分式化简求值．=解法一：根据1﹣ab﹣≠0224，解得：1=0，由a=﹣1﹣b﹣﹣2b解法二：根据aa=+2a﹣1=0，解得﹣1+或2+1b，把所求的分式化简后即可求解．= 解法一：解答：2421=0 ﹣2b，b﹣解：∵a﹣+2a1=0224a ∴（=0﹣2b）1+2a﹣）﹣（b1﹣22=0）+2化简之后得到：（a+b（）a﹣b2222，与题设矛盾，所以2a=0﹣a﹣）﹣a﹣b+2=0，即b=a+2，则1ab﹣=1a（a+2=1若20+2≠a﹣b22a 因此=0，即a+b=﹣b=∴=200311（﹣=）=﹣解法二：2，﹣1﹣或﹣1=0（已知），解得a=﹣1+解：aa=+2a224=由b，﹣2b+1﹣1=0，解得：b2=b∴+﹣2+，+1﹣2+==+1﹣2+4+3=4+3，当a=1时，原式﹣2ab﹣∵11舍去；﹣≠0，∴a==时，原式﹣当a= ﹣1﹣+1﹣2=﹣1，2003）（﹣1∴1，﹣=．即=﹣12点评：的0ab≠本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1﹣运用．2222 =0，求x+y值．+z+2xy+2xz+2yz﹣1|+26．已知3|2x﹣+（z1）首先利用非负数的性质求得x、y、z的值，然后代入代数式求解即可．分析：解答：2 1+∵解：3|2x﹣1|+（z﹣），=01=0 ∴2xz﹣﹣1=0，3y1=0，﹣z=1y=，，∴x=222222x∴×+2×+2）（）（+z+y+2xy+2xz+2yz=++1×1=××1+2×点评：本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是求得未知数的值．。
初中培优竞赛 第4讲 因式分解
7.
(2 、 3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）
若x 3 +3x2 − 3x + k 有一个因式是 x + 1, 求 k 的值 分析：因为x 3 +3x2 − 3x + k有一个因式是x + 1，那么我们分组分解，保证每一个组里都含 有因式x + 1. 详解： x 3 +3x2 − 3x + k = x 3 + x 2 +2x2 + 2x − 5x − 5 + 5 + k = x 2 x + 1 + 2x x + 1 = (x + 1)(x2 + 2x − 5) + (k + 5). 所 以 k = −5. 技巧：原式有一个因式，那么我们保证含有未知数的几组中都含有这个因式，得解.
2 3 n 2
= =
n 2n2 + 3n + 1 2
n(n+1)(2n+1) 2
.因
因为 n， n+l 是连续自然数，必有一个是偶数，所以 N 一定是整数 . (2) 当n = 3k（k 是自然数）时，N 是 3 的倍数；当n = 3k + 1（k 是自然数）时， 2n + 1 = 3(2k + 1)，N 是 3 的倍数；当n = 3k + 2（k 是自然数）时， n + 1 = 3(k + 1)，N 是 3 倍 数. 综上所述，对任何自然数 n ， N 都是 3 的倍数 . 技巧：我们把原式因式分解，再分情况讨论，能很简便解题.
答案：B 技巧：此题我们可以先移项，再通过合并同类项从而因式分解，然后根据题意分析. 易错点：得到结果后，x、y 的结果可以互换，所以答案不能为 A.
人教版八年级数学上册14.3因式分解 (培优) 专练(含答案解析)
人教版八年级数学上册：14.3因式分解（培优）专练习题一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．103．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．05．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．66．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，647．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．39．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．9712．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 ．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 ．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 ．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ ．三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．人教版八年级数学上册14.3因式分解培优专练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．10【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故选：A．3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝＝＝＝3，故选：A．5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．6【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除【解答】解：20183﹣2018＝2018（20182﹣1）＝2018×（2018+1）（2018﹣1）＝2018×2019×20172018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．故选：A．8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，故选：D．9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+9）．故选：D．11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．97【解答】解：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，∴k可能是99、100、98或50，故选：D．12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：依据新运算可得①2＝1×2，则，正确；②24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1，正确；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），如64＝43＝8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选：C．二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6故答案为6．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 3 ．【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．故答案为：3．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴1＝3+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝﹣1，∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a3+b3+c3＝5∴5﹣3abc＝3+1∴abc＝，∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2abc（a+b+c）∴1＝a2b2+b2c2+a2c2+∴a2b2+b2c2+a2c2＝∵（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）∴9＝a4+b4+c4+∴a4+b4+c4＝．故答案为：．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 75 ．【解答】解：∵a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2又已知ab＝3，a+b＝5，∴原式＝3×52＝75故答案为：75．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．【解答】解：∵2xy+x2＝2yz+z2，∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，∵x，y，z是△ABC的三边，∴x+z+2y≠0，∴x﹣z＝0，∴x＝z，∴△ABC是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ 2020 ．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0∴a2+a＝1∴a3+a2＝a又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020∴a3+2a2+2019＝2020三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）＝p（a﹣1）（p﹣1）；（3）原式＝＝＝．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1＝（2016+2017）2＝40332；（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边，∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1＝（x2+x+x2+x+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【解答】解：（1）∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0，∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；（2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数）∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，∵4n2能被4整除，∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）．由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224，∴m2﹣n2＝56，∴（m+n）（m﹣n）＝56，可得整数解：或，∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．。
苏科版九年级数学上册 因式分解法解一元二次方程- 培优训练【含答案】
苏科版九年级数学上册 因式分解法解一元二次方程- 培优训练一、选择题1、我们解一元二次方程3x 2－6x ＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x (x －2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x ＝0或x －2＝0，进而得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想2、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是( )A ．(x ＋1)(x －3)＝2B ．2(x －2)2＝x 2－4C ．x 2＋3x －1＝0D ．5(2－x )2＝33、下列方程能用因式分解法求解的有（ ）①2x x =； ②2104x x -+=； ③230x x --=； ④2(32)16x +=． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、用因式分解法解方程3x (2x －1)＝4x －2，则原方程应变形为( )A ．2x －1＝0B ．3x ＝2C ．(3x －2)(2x －1)＝0D ．6x 2－7x ＋2＝05、方程x 2－3x ＝0的解为( )A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝－3D ．x 1＝0，x 2＝36、一元二次方程x (x －3)＝3－x 的解是( )A ．x ＝－1B ．x ＝3C ．x 1＝1，x 2＝3D ．x 1＝－1，x 2＝37、在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：“由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，得方程的根为x 1＝－1，x 2＝7.”乙同学说：“应把方程右边化为0，得x 2－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根为x 1＝－3，x 2＝3.”对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是( )A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都错误8、一元二次方程2x +5x=0的较大的一个根设为m ，2x -3x+2=0较小的根设为n ，则m+n 的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、—4 D 、49、k 是常数，关于x 的一元二次方程x （x +1）＝k （k +1）的解是（ ）A ．x ＝kB ．x ＝±kC ．x ＝k 或x ＝﹣k ﹣1D ．x ＝k 或x ＝﹣k +110、定义一种新运算：a ♣b ＝a (a －b )．例如，4♣3＝4×(4－3)＝4.若x ♣2＝3，则x 的值是( )A ．x ＝3B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝1D ．x 1＝3，x 2＝－1二、填空题11、用因式分解法解方程5(x ＋3)－2x (x ＋3)＝0，可将其化为两个一元一次方程： 、_____________________求解，其解为x 1＝________，x 2＝________．12、(1)方程x 2＋x ＝0的解是 ．(2)方程3(x －5)2＝2(x －5)的根是____________．13、小华在解一元二次方程x 2－4x ＝0时，只得出一个根是x ＝4，则被她漏掉的一个根是________．14、若实数x 满足(x －1)2－8(x －1)＋16＝0，则x ＝________．15、方程2x 2+5x ﹣3=0的解是16、已知数轴上A ，B 两点对应的数分别是一元二次方程(x ＋1)(x －2)＝0的两个根，则A ，B 两点间的距离是________．17、当x=______________时，代数式x －3的值与x (x －3)的值的差为0.18、三角形的每条边的长都是方程x 2﹣6x+8=0的根，则三角形的周长是19、当a ＝_______23a -13a -20、已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程27100x x -+=的根，则这个三角形的周长是三、解答题21、用因式分解法解下列方程：(1)x2＋16x＝0；(2)(3x＋2)2－4x2＝0；(3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0.22、用因式分解法解下列方程：(1)x2＋16x＝0；(2)(3x＋2)2－4x2＝0；(3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0；(4)x(2x－5)＝4x－10；(5)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(6)(x－5)2－2(x－5)＋1＝0.23、当x为何值时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数？24、小红、小亮两名同学一起解方程x(2x－5)＋4(5－2x)＝0.小红是这样解的：先将方程变形为x(2x－5)－4(2x－5)＝0，移项，得x(2x－5)＝4(2x－5)，方程两边同除以(2x－5)，得x＝4.小亮看后说小红的解法不对，请你判断小红的解法是否正确，若不正确，请说明理由，并给出正确的解法．25、我们知道可以用公式2()()()x p q x pq x p x q +++=++来分解因式，解一元二次方程． （1）2680x x ++=，方程分解为 =0，27300x x --=，方程分解为 =0．（2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：23720x x -+=，方程可分解为(2)(31)0x x --=，从而可以快速求出方程的解．利用此方法解一元二次方程24850x x --=．26、阅读下面的文字，并回答问题．解方程：x 4－5x 2＋4＝0.解：令x 2＝y ，则原方程可变形为y 2－5y ＋4＝0，①即(y －1)(y －4)＝0.解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，x 2＝1，∴x 1＝1，x 2＝－1；当y ＝4时，x 2＝4，∴x 3＝2，x 4＝－2.问题：(1)上述解题过程中，将原方程化成①的形式用到的数学思想是() A ．数形结合思想 B ．整体思想 C ．分类讨论思想(2)上述解一元二次方程的过程中，用到了什么方法？(3)上述解题过程是否完整？若不完整，请补充．(4)用上面的解法解方程：(2x ＋1)2－4(2x ＋1)＋3＝0.27、阅读题例，解答后面的问题：解方程：x 2－|x －1|－1＝0.解：①当x －1≥0，即x ≥1时，原方程化为x 2－(x －1)－1＝0，则x 2－x ＝0，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝1；②当x －1＜0，即x ＜1时，原方程化为x 2＋(x －1)－1＝0，则x 2＋x －2＝0，解得x 1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝－2.综上所述，原方程的解是x ＝1或x ＝－2.依照上面的解法，解方程：x 2＋2|x ＋2|－4＝0.一、选择题1、我们解一元二次方程3x 2－6x ＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x (x －2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x ＝0或x －2＝0，进而得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A ．转化思想B ．函数思想C ．数形结合思想D ．公理化思想A2、下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是( )A ．(x ＋1)(x －3)＝2B ．2(x －2)2＝x 2－4C ．x 2＋3x －1＝0D ．5(2－x )2＝3[解析] A ，C ，D 项不适合用分解因式法解方程，B 项最适合用分解因式法解方程．故选B .3、下列方程能用因式分解法求解的有（ ）①2x x =； ②2104x x -+=； ③230x x --=； ④2(32)16x +=． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C【分析】根据分解因式法求解方程的方法逐一判断即得答案．解：方程2x x =可变形为()10x x -=，故①能用分解因式法求解； 方程2104x x -+=可变形为2102x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故②能用分解因式法求解； 方程230x x --=不能用因式分解法求解；方程2(32)16x +=可变形为()()3243240x x +-++=，即()()32360x x -+=，故④能用分解因式法求解．综上，能用因式分解法求解的方程有3个，故选：C ．4、用因式分解法解方程3x (2x －1)＝4x －2，则原方程应变形为( )A ．2x －1＝0B ．3x ＝2C ．(3x －2)(2x －1)＝0D ．6x 2－7x ＋2＝0[解析] 3x(2x －1)＝4x －2，3x(2x －1)－(4x －2)＝0，3x(2x －1)－2(2x －1)＝0，(2x －1)(3x －2)＝0. 故选C .5、方程x 2－3x ＝0的解为( )A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝－3D ．x 1＝0，x 2＝3[解析] ∵x 2－3x ＝0，∴x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，∴x1＝0，x2＝3.故选D.6、一元二次方程x(x－3)＝3－x的解是()A．x＝－1 B．x＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3D[解析] 原方程可化为x(x－3)＋(x－3)＝0，∴(x－3)(x＋1)＝0，∴x－3＝0或x＋1＝0，∴x1＝3，x2＝－1.7、在解方程(x＋2)(x－2)＝5时，甲同学说：“由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，得方程的根为x1＝－1，x2＝7.”乙同学说：“应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，即(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为x1＝－3，x2＝3.”对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是()A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误[解析] (x＋2)(x－2)＝5，整理，得x2－9＝0.分解因式，得(x＋3)(x－3)＝0，则x＋3＝0，x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝3.所以甲错误，乙正确．故选A.8、一元二次方程2x+5x=0的较大的一个根设为m，2x 3x+2=0较小的根设为n，则m+n的值为（）A、1B、2C、—4D、4A第一个一元二次方程解得：x1=0，x2=—5，故m=0；第二个一元二次方程解得：x1=1，x2=2，故n=1；∴m+n=1，即m+n的值是1。
因式分解精练(培优)
因式分解精选练习一分解因式 1.2x 4y 2－4x 3y 2＋10xy 4 、2. 5x n+1－15x n ＋60x n —1 、 3.()()431241a b a b ---4. (a+b)2x 2-2(a 2-b 2)xy+(a-b)2y 2 、5. x 4-1、6.－ａ2－ｂ２＋2ab ＋４7. 134+--x x x 、 8.()()422223612y y y y x y y x -++-+9. ()()()()422223612y x y x y x x y x x +-+++-+、10.a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac11.x 2-2x-8、 12．3x 2+5x-2 、13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1、14. (x 2+3x+2)(x 2+7x+12)-120.15．把多项式3x 2+11x+10分解因式。
16.把多项式5x 2―6xy ―8y 2分解因式。
因式分解精选练习二、证明题17．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。
18.设n 为正整数，且64n -7n 能被57整除，证明：21278+++n n 是57的倍数.19.求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。
20.已知x 2+y 2-4x+6y+13=0,求x,y 的值。
三 求值。
21.已知a,b,c 满足a-b=8,ab+c 2+16=0,求a+b+c 的值 .22．已知x 2+3x+6是多项式x 4-6x 3+mx 2+nx+36的一个因式，试确定m,n 的值，并求出它的其它因式。
因式分解精选练习1. 解：原式=2xy 2·x 3－2xy 2·2x 2＋2xy 2·5y 2 =2xy 2 (x 3－2x 2＋5y 2)。
2.解：原式=5 x n--1·x 2－5x n--1·3x ＋5x n--1·12=5 x n--1 (x 2－3x ＋12)3.解：原式=3a(b-1)(1-8a 3) =3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a 2)*4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2=(ax+bx-ay+by)25.解：原式=(x 2+1)(x 2-1)=(x 2+1)(x+1)(x-1)6.解：原式＝－（a 2－2ab ＋b 2－４）＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）7. 解： 原式= x 4-x 3-(x-1)= x 3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x 3-1)=(x-1)2(x 2+x+1)*提8. 解：原式=y 2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y 4=y 2(x+y-6)2-y 4=y 2[(x+y-6)2-y 2]=y 2(x+y-6+y)(x+y-6-y)= y 2(x+2y-6)(x-6)9. 解：原式== (x+y)2(x 2-12x+36)-(x+y)4=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)= - (x+y)2(2x+y-6)(y+6)10.解：原式=.（a 2+b 2 +2ab ）+2bc+2ac+c 2=(a+b)2+2(a+b)c+c 2 =(a+b+c)211.解：原式=x 2-2x+1-1-8 =(x-1)2-32=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)12．解：原式=3(x 2+53x)-2 =3(x 2+53x+2536-2536)-2 =3(x+56)2-3×2536-2=3(x+56)2-4912 =3[(x+56)2-4936]=3(x+56+76)(x+56-76)=3(x+2)(x-13) =(x+2)(3x-1)13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x 2+5x+4)(x 2+5x+6)+1令x 2+5x=a,则 原式=(a+4)(a+6)+1=a 2+10a+25=(a+5)2=(x 2+5x+5)14. 解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120=(x 2+5x+6)(x 2+5x+4)-120令 x 2+5x=m, 代入上式,得原式=(m+6)(m+4)-120=m 2+10m-96=(m+16)(m-6)=(x 2+5x+16)(x 2+5x-6)=(x 2+5x+16)(x+6)(x-1)15．解：原式＝(x+2)(3x+5)提示：把二次项3x 2分解成x 与3x （二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x =x ×5+3x ×2。
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整式乘除与因式分解培优精练专题答案一．选择题（共 9 小题）1．（ 2014?台湾）算式 2 2 2之值的十位数字为何？（）99903 +88805 +77707 A ．1B ． 2C ． 6D ． 8分析： 分别得出 999032、888052、 777072的后两位数，再相加即可得到答案．2解答： 解： 99903 的后两位数为 09，288805 的后两位数为 25，277707 的后两位数为 49，09+25+49=83 ，所以十位数字为 8， 故选： D ．2．（ 2014?盘锦）计算（2a 2） 3? a 正确的结果是（ ）A ．3a7B ． 4a7C ． a7D ． 4a6分析： 根据幂的乘方与积的乘方、单项式与单项式相乘及同底数幂的乘法法则进行计算即可．解答：解：原式 ==4a 7，故选： B ．3．（ 2014?遵义）若 a+b=2 ， ab=2，则 a 2+b 2的值为（ ）A ．6B ． 4C ． 3D ． 2分析： 利用 a 2+b 2=（ a+b ） 2﹣2ab 代入数值求解．解答： 解： a 2+b 2=（ a+b ） 2﹣ 2ab=8﹣ 4=4，故选： B ．4．（ 2014?拱墅区二模）如果 ax 2+2x+ =（2x+） 2+m ，则 a ， m 的值分别是（）A ． 2，0B ． 4， 0C ．2，D ． 4，运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．解答：22+m ，解： ∵ax +2x+ =4x +2x+∴ ，解得 ．故选 D．5．（ 2014?江阴市模拟）如图，设（a＞b＞0），则有（）A ．B．C． 1＜k＜ 2D． k＞2解答：解：甲图中阴影部分的面积=a 2﹣ b2，乙图中阴影部分的面积=a（ a﹣ b），=，∵a＞ b＞ 0，∴，∴1＜ k＜2．故选： C．6．（ 2012?鄂州三月调考）已知，则的值为（）A ．B．C． D ．无法确定解答：解：∵a+ =，∴两边平方得：（ a+ ）2=10 ，展开得： a 2+2a? +=10 ，∴a 2+=10 ﹣ 2=8 ，∴（ a﹣）2=a2﹣2a?+=a2+﹣2=8﹣2=6，∴a﹣=±，故 C．7．已知，代数式的等于（）A ．B．C．D．分析：先判断 a 是正数，然后利用完全平方公式把两平方并整理成的平方的形式，开方即可求解．解答：解：∵，∴a＞ 0，且2+a 2=1，∴+2+a 2=5，即（+|a|）2=5，开平方得，+|a|=．故 C．8．（ 2012?州）求1+2+2 2+23+⋯+22012的，可令S=1+2+22+23+⋯+22012，2S=2+22+23+24+⋯+22013，因此 2S S=220131．仿照以上推理，算出1+5+5 2+53+⋯+52012的（）A ．520121B． 520131C．D．分析：根据目提供的信息，S=1+5+5 2+53+⋯+52012，用 5S S 整理即可得解．解答：解： S=1+5+52320125S=5+52342013 +5 +⋯+5，+5 +5 +⋯+5，因此， 5S S=520131，S=．故 C．9．（ 2004?州）已知 a=x+20 ，b=x+19 ， c=x+21 ，那么代数式 a 2+b2+c2ab bcac 的是（）A ．4B． 3C． 2D． 1：．分析：已知条件中的几个式子有中间变量 x ，三个式子消去 x 即可得到： a ﹣b=1 ，a ﹣ c=﹣ 1，b ﹣ c=﹣ 2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．解答：解：法一： a 2+b 2+c 2﹣ ab ﹣ bc ﹣ ac ， =a （ a ﹣ b ） +b （ b ﹣c ） +c （ c ﹣ a ），又由 a= x+20， b= x+19， c=x+21 ，得（ a ﹣b ） = x+20 ﹣x ﹣ 19=1，同理得：（ b ﹣ c ）=﹣ 2，（ c ﹣ a ） =1 ， 所以原式 =a ﹣ 2b+c= x+20 ﹣ 2（x+19 ） + x+21=3 ．故选 B ．法二： a 2+b 2+c 2﹣ ab ﹣ bc ﹣ ac ，= （ 2a 2+2b 2+2c 2﹣ 2ab ﹣2bc ﹣ 2ac ），22 2 2 2 2= [（ a ﹣ 2ab+b ）+（ a ﹣ 2ac+c ） +（ b ﹣2bc+c ） ]，= [（ a ﹣ b ） 2+（a ﹣ c ） 2+（ b ﹣ c ） 2] ，= ×（ 1+1+4） =3． 故选 B ．二．填空题（共 9 小题）x+5 ）（ x+n ） =x 2+mx ﹣ 5，则 m+n= 3 ．10．（ 2014?江西样卷）已知（分析： 把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到m 、 n 的值．解答： 解：展开（ x+5 ）（x+n ） =x 2+（ 5+n ） x+5n∵（ x+5 ）（ x+n ） =x 2+mx ﹣5，∴5+n=m ， 5n= ﹣5，∴n=﹣ 1， m=4 ．∴m+n=4 ﹣ 1=3 ．故答案为： 311．（2014?徐州一模）已知 x ﹣ =1，则 x 2+ = 3 ．分析：首先将 x ﹣ =1 的两边分别平方，可得（x ﹣ ）2=1，然后利用完全平方公式展开，解答：变形后即可求得 x 2+的值．或者首先把 x 2+凑成完全平方式 x 2+ =（ x ﹣ ）2+2，然后将 x ﹣ =1 代入，即可求得 x 2+的值．解：方法一： ∵x ﹣ =1，∴（ x ﹣ ） 2=1，即 x 2+ ﹣ 2=1，∴x 2+=3．方法二： ∵x ﹣ =1 ，2 2，∴x + =（ x ﹣ ） +2 =1 2+2， =3 ．故答案为： 3．12．（ 2011?平谷区二模）已知2 2．，那么 x +y = 6分析：首先根据完全平方公式将（ x+y ） 2用（ x+y ）与 xy 的代数式表示，然后把x+y ， xy的值整体代入求值．解答：解： ∵x+y=， xy=2 ，∴（ x+y ） 2=x 2+y 2+2xy ，∴10=x 2+y 2+4，∴x 2+y 2=6．故答案是： 6．点评：本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（ a ±b ）2=a 2±2ab+b 2．13．（ 2010?贺州）已知 10m =2， 10n =3，则 103m+2n= 72 ．解答： 解： 103m+2n =103m 102n =（ 10m ） 3（ 10n ） 2=23?32=8×9=72．点评： 本题利用了同底数幂相乘的性质的逆运算和幂的乘方的性质的逆运算．同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘．14．（ 2005?宁波）已知 a ﹣ b=b ﹣ c= ， a 2+b 2+c 2=1，则 ab+bc+ca 的值等于 ﹣．分析：先求出 a ﹣ c 的值，再利用完全平方公式求出（a ﹣b ），（ b ﹣c ），（ a ﹣ c ）的平方和，然后代入数据计算即可求解．解答： 解： ∵a ﹣ b=b ﹣ c= ，∴（ a ﹣ b ）2= ，（ b ﹣ c ）2=， a ﹣ c= ，22﹣ 2ab= 2 2﹣ 2bc= 22，∴a +b ， b +c ， a +c ﹣ 2ac=∴2（ a 2+b 2+c 2）﹣ 2（ ab+bc+ca ） = ++= ，∴2﹣ 2（ ab+bc+ca ） = ，∴1﹣（ ab+bc+ca ） = ，∴ab+bc+ca=﹣ =﹣ ．故答案为：﹣．点评：a ﹣ b=b ﹣ c= ，得到 a ﹣ c= ，然后对 a本题考查了完全平方公式，解题的关键是要由﹣ b= ， b ﹣ c= ， a ﹣ c= 三个式子两边平方后相加，化简求解．15．（ 2014?厦门）设 a=192×918， b=8882﹣ 302， c=10532﹣ 7472，则数 a ， b ， c 按从小到大的顺序排列，结果是 a ＜ c ＜ b ．考点 ：因式分解的应用．分析：运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为 918，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．解答：解： a=192×918=361×918，b=888 2﹣302=（ 888﹣ 30） ×（888+30 ）=858×918，c=1053 2﹣7472=（ 1053+747 ）×（ 1053﹣ 747）=1800×306=600×918，所以 a ＜c ＜ b ． 故答案为： a ＜ c ＜ b ．16．（ 1999?杭州）如果 a+b+ ，那么 a+2b ﹣ 3c= 0 ．分析：先移项，然后将等号左边的式子配成两个完全平方式，从而得到三个非负数的和为0，根据非负数的性质求出a 、b 、c 的值后，再代值计算．解答：解：原等式可变形为：a ﹣ 2+b+1+|﹣ 1|=4+2﹣ 5（ a ﹣ 2）+（ b+1 ）+|﹣ 1|﹣ 4﹣ 2 +5=0（ a ﹣ 2）﹣ 4+4+ （ b+1 ）﹣ 2+1+|﹣1|=0（ ﹣ 2） 2+（﹣ 1）2+| ﹣ 1|=0；即：﹣ 2=0，﹣ 1=0，﹣ 1=0 ，∴=2， =1， =1，∴a ﹣ 2=4 ，b+1=1 ， c ﹣1=1，解得： a=6， b=0 ，c=2；∴a+2b ﹣ 3c=6+0﹣ 3×2=0．17．已知 x ﹣ =1，则 = ．分析：2的值，再把所求算式整理成 的形式， 然把 x ﹣ =1 两边平方求出x + 后代入数据计算即可．解答：解： ∵x ﹣ =1，∴x 2+﹣2=1 ，∴x 2+=1+2=3 ，= = = ．故应填：．18．已知（ 2008﹣ a ）2+（ 2007 ﹣a ） 2=1，则（ 2008﹣a ） ?（ 2007﹣ a ） = 0．解答：解： ∵（ 2008﹣ a ） 2+（2007﹣ a ）2=1，22﹣ 2（ 2008﹣ a）（ 2007﹣ a），∴（2008 ﹣ a）﹣ 2（2008 ﹣ a）（ 2007﹣ a）+（ 2007﹣ a） =1即（ 2008﹣ a﹣ 2007+a）2=1﹣ 2（ 2008﹣a）（ 2007﹣a），整理得﹣ 2（ 2008﹣a）（2007﹣ a） =0，∴（ 2008 ﹣a）（ 2007﹣ a） =0．三．解答题（共8 小题）22是一个完全平方式，那么k= 4 或﹣ 2 ．19．如果 a ﹣2（ k﹣ 1） ab+9b解答：解：∵a 2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，∴﹣ 2（ k﹣1） ab=±2×a×3b，∴k﹣ 1=3 或 k﹣ 1=﹣ 3，解得 k=4 或 k= ﹣ 2．即k=4 或﹣ 2．故答案为： 4 或﹣ 2．点评：本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．x x+320．已知 3 =8，求 3．解答：解： 3x+3=3x?33=8 ×27=216 ．点评：本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加．n﹣5n+1 3m﹣22n﹣ 1 m﹣233m+221．计算： a （ a b） +（ a b）（﹣ b）分析：先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．解答：解：原式=a n﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），=a3n﹣ 3b6m﹣4+a3n﹣ 3（﹣b6m﹣ 4），3n﹣ 36m﹣43n﹣ 36m﹣4，=a b﹣ a b=0 ．点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．22．已知 n 是正整数， 1++是一个有理式 A 的平方，那么，A=±．解答：解： 1++=，分子： n 2（ n+1 ）2+（n+1 ）2+n2=n2（ n+1 ）2+n2+2n+1+n2，22=n （ n+1） +2n（ n+1） +1，2=[n （ n+1 ）+1] ，∴分子分母都是完全平方的形式，∴A= ±．故答案为：±．23．已知 2008=，其中 x，y 为正整数，求 x+y 的最大值和最小值．分析：首先根据 2008=可知 xy=2009 ，再根据 x，y 为正整数，确定 x、y 可能的取值．根据 xy 的乘积的个位是 9，确定 x、 y 的个位可能是1、3、 7、 9．通过 x、y 都具有同等的地位，那么x 取过的值， y 也有可能，故只取x 即可， x 的十位数最大不会超过 5．因而就x 取值可能是 1、 11、 13、 17、 19、 21、 23、 27、 29、 31、 33、 37、 39、 41、 43、47、 49．就这几种情况讨论即可．解答：解：∵2008=2008=xy ﹣ 1∴2009=xy∵x， y 为正整数，并且乘积是2009 的个位数是9因而 x、y 的个位可能是1、 3、 7、 9①当 x 的个位是 1 时，x=1 ， y=2009 显然成立，x=11 ， y 不存在，x=21 ， y 不存在，x=31 ， y 不存在，x=41 ， y=49，②当 x 的个位是 3 时x=3 ， y 不存在，x=13 ， y 不存在，x=23 ， y 不存在，x=33 ， y 不存在，x=43 ， y 不存在；③当的个位是7 时x=7 ， y=287x=17 ， y 不存在x=27 ， y 不存在x=37 ， y 不存在x=47 ， y 不存在；④当 x 的个位是9 时x=9 ， y 不存在 x=19 ， y 不存在 x=29 ， y 不存在 x=39 ， y 不存在 x=49 ， y=41． 故可能的情况是① x=1 ， y=2009 或 x=2009 ， y=1， x+y=2010 ② x=7 ， y=287 或 x=287 ， y=7， x+y=7+287=394 ③ x=41 ， y=49 或 x=49， y=41， x+y=41+49=90故 x+y 的最大值是 2010，最小值是 9024．（ 2000?内蒙古）计算：解答： 解：由题意可设字母 n=12346，那么 12345=n ﹣1， 12347=n+1 ，于是分母变为 n 2﹣（ n ﹣ 1）（n+1 ）．应用平方差公式化简得22222n ﹣（ n ﹣1 ） =n ﹣ n +1=1 ，所以原式 =24690 ．25．设 a 2+2a ﹣1=0 ， b 4 ﹣2b 2﹣ 1=0 ，且 1﹣ ab 2≠0，求的值．分析：解法一：根据 1﹣ab 2≠0 的题设条件求得 b 2=﹣ a ，代入所求的分式化简求值．解法二：根据a 2+2a ﹣ 1=0 ，解得 a=﹣ 1+ 或 a=﹣ 1﹣，由 b 4﹣2b 2﹣ 1=0 ，解得：2b = +1，把所求的分式化简后即可求解．解答：解法一：解： ∵a 2+2a ﹣ 1=0 ， b 4﹣2b 2﹣ 1=0∴（ a 2+2a ﹣1）﹣（ b 4﹣ 2b 2﹣ 1）=0化简之后得到： （a+b 2）（ a ﹣ b 2+2） =0若 a ﹣ b 2+2=0 ，即 b 2=a+2，则 1﹣ ab 2=1﹣ a （ a+2） =1﹣ a 2﹣ 2a=0，与题设矛盾，所以a ﹣ b 2+2≠0因此 a+b 2=0，即 b 2=﹣ a∴===（﹣ 1） 2003=﹣ 1解法二： 解： a 2+2a ﹣ 1=0（已知），解得 a=﹣ 1+ 或 a=﹣1﹣ ， 由 b 4﹣ 2b 2﹣ 1=0 ，解得： b 2= +1 ， ∴ =b 2+ ﹣ 2+= +1﹣ 2+ ，当 a= ﹣ 1 时，原式 = +1﹣ 2+4+3 =4 +3 ，∵1﹣ ab 2≠0， ∴a= ﹣ 1 舍去；当 a=﹣ ﹣ 1 时，原式 = +1﹣2﹣ =﹣ 1，∴（﹣ 1） 2003=﹣ 1，即 =﹣ 1． 点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意 1﹣ab 2≠0 的运用． 26．已知3|2x ﹣ 1|+ +（ z ﹣1） 2=0，求 x 2+y 2+z 2+2xy+2xz+2yz 值． 分析：首先利用非负数的性质求得 x 、 y 、 z 的值，然后代入代数式求解即可． 解答：解： ∵3|2x ﹣1|+ +（ z ﹣ 1） 2=0，∴2x ﹣ 1=0， 3y ﹣ 1=0， z ﹣ 1=0 ∴x= ， y= ， z=1 ∴x 2+y 2+z 2+2xy+2xz+2yz= （ ）2+（ ） 2+12+2× × +2× ×1+2 × ×1=点评： 本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是求得未知数的值．。
初中数学因式分解的应用培优练习题2(附答案详解)
初中数学因式分解的应用培优练习题2（附答案详解）1．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）. A ．3B ．-3C ．5D ．-52．如果一个三角形的三边a 、b 、c ，满足2ab bc b ac +=+，那么这个三角形一定是（ ）A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解: 22228160m mn n n -+-+=Q ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=， 4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3） 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.4．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，()222222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”.（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．. 5．阅读理解：添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) ＝(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) ＝(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) …… ＝例2：因式分解：x 4+x 2+1 解：原式＝x 4+x 2+1＝x 4+2x 2+1﹣x 2 ＝(x 2+1)2﹣x 2 ＝(x 2+1+x)(x 2+1﹣x) 根据材料解决下列问题： (1)计算：；(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x 4+4来表示，所以他决定先对x 4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：①分解因式：x 4+4； ②计算：.6．已知xy 15=，满足()()22x y xyx y 28---=（1）利用因式分解求x y -的值；（2）求22x y ,x y ++的值7．用双十字相乘法分解因式 例：20x 2+9xy-18y 2-18x+33y-14。
初中数学因式分解综合训练培优练习2(附答案详解)
初中数学因式分解综合训练培优练习2（附答案详解）1．下列各式分解因式正确的是A ．()()2228244a b a b a b -=+- B ．()22693x x x -+=-C ．()22224923m mn n m n -+=-D ．()()()()x x y y y x x y x y -+-=-+2．因式分解：a (n －1)2－2a (n －1)＋a.3．分解因式：412x 3y xy -+4．因式分解：（1）316x x - （2）221218x x -+5．因式分解：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2； （2）a 3-4ab 2．6．2221x x y ++-7．(x 2+2x)2+2(x 2+2x)+18．分解因式：(1) 3a 3－6a 2+3a ．(2) a 2(x －y)+b 2(y －x)．9．因式分解：(1)3349x y xy - (2)222(6)6(6)9x x ---+10．因式分解： (1) x 2﹣36；(2) xy 2﹣x ；(3) ab 4﹣4ab 3+4ab 2；(4) （m +1）（m ﹣9）+8m ．11．已知ab ＝－3，a ＋b ＝2．求下列各式的值： (1)a 2＋b 2； (2)a 3b ＋2a 2b 2 ＋ab 3； (3)a －b ．12．（1）因式分解：3a 3+12a 2+12a ；2016+20162-20172（2）解不等式组：()263125x x x -<⎧⎨+≤+⎩，并将解集在数轴上表示出来．（3）解分式方程：2236x 1x 1x 1+=+--．13．观察下列式子：23(1)(1)1x x x x +-+=+;23(2)(24)8x x x x +-+=+;2233(2)(42)8m n m mn n m n +-+=+;……（1）上面的整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方公式的推导过程，请你写出一个新的乘法公式（用含a 、b 的字母表示），并加以证明；（2）直接用你发现的公式写出计算结果：（2a +3b ）（4a 2﹣6ab +9b 2）= ；（3）分解因式：m 3 + n 3 + 3mn （m + n ）.14．分解因式：4322221x x x x ++++15．因式分解：(1)x 2y －2xy ＋xy 2； (2)422x -+．16．222---x xy y =__________17．分解因式212x 123y xy y -+-=___________18．将22363ax axy ay -+分解因式是__________．19．在实数范围内分解因式：4244x x -+=_____________．20．因式分解：m 3n ﹣9mn ＝______．21．分解因式：339a b ab -=_____________．22．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．23．分解因式：3x 2﹣3y 2＝_____．24．因式分解：2328x y y -=_________.25．分解因式：am 2﹣9a=_________________．26． 分解因式：（p+1）（p ﹣4）+3p ＝_____．27．因式分解：x 3﹣6x 2y +9xy 2＝____．28．分解因式：222x 2y -= ______.29．分解因式：22xy xy x -+-=__________．30．分解因式：a 3b +2a 2b 2+ab 3＝_____．31．分解因式：3a 2+6ab+3b 2=________________．32．分解因式：29y x y -=_____________．33．分解因式：4a 2b ﹣b ＝_____．34．分解因式：222m -=_________________________．35．分解因式：2a 2﹣18=________．36．分解因式：x 3﹣2x 2+x=______．37．因式分解：34x x -=____________________．参考答案1．B【解析】【分析】利用完全平方公式a 2-2ab+b 2=（a-b ）2和平方差公式以及提公因式法分别进行分解即可．【详解】A. ()()2222282(4)222a b a b a b a b -=-=+-，故该选项错误； B. ()22693x x x -+=-，分解正确；C. ()22224923m mn n m n -+≠-，故原选项错误；D. ()()()()2()x x y y y x x y x y x y -+-=--=-，故原选项错误. 故选B.【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．2．a(n-2)2【解析】试题分析：根据题意，先提公因式a ，然后把n-1看做一个整体，利用完全平方公式分解即可.试题解析：原式=a[(n-1)2-2(n-1)+1]=a[(n-1)-1]2=a(n-2)2点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 3．()()32121xy x x -+-【解析】试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式-3xy ，然后根据平方差公式因式分解即可. 试题解析：()()()4212x 334132121y xy xy x xy x x -+=--=-+- 4．（1）(4)(4)x x x +-；（2）22(3)x -【解析】试题分析：根据因式分解的方法步骤，一提（公因式）二套（平方差公式，完全平方公式）三检查（是否分解彻底），可直接进行因式分解.试题解析：（1）原式=()216x x -=()()44x x x +-（2）原式=()2269x x -+=()223x -5．（1）-3x （x-y ）2；（2） a （a+2b ）（a-2b ）．【解析】试题分析：根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），可以直接接计算即可.试题解析：（1）﹣3x 3+6x 2y ﹣3xy 2=-3x （x 2-2xy+y 2）=-3x （x-y ）2（2）a 3-4ab 2=a （a 2-4b 2）=a （a+2b ）（a-2b ）点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 6．(1)(1)x y x y +++-【解析】解：原式=()221x y +-=()()11x y x y +++- 7．4(1)x +【解析】解：原式=()2221x x ++=()41x +8．(1) 3 a （a －1）2；(2) (x －y)（a －b)（a+b ）；(3)（a+7b ）（7a+b ）【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：(1) 原式=3 a （a 2－2a+3）=3 a （a －1）2；(2) 原式= (x －y)（a 2－b 2)= (x －y)（a －b)（a+b ）；(3) 原式=[4(a+b)－3(a －b)] [4(a+b)+3(a －b)]=（a+7b ）（7a+b ）．9．（1）（2）22(3)(3)x x +- 【解析】试题分析：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）. 试题解析：（1）3349x y xy -=xy （2x-3y ）（2x+3y ）（2）()()2226669x x ---+ =（x 2-6-3）2=（x+3）2（x-3）210．（1）（x +6）（x ﹣6）．（2）x （y ﹣1）（y +1）．（3）ab 2（b ﹣2）2． （4）（m +3）（m ﹣3）．【解析】试题分析：（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，再根据平方差公式分解即可；（3）先提公因式，再根据完全平方公式分解即可；（4）先根据乘法公式计算，再合并同类项，最后根据平方差公式分解即可.试题解析：（1）x 2﹣36=（x +6）（x ﹣6）．（2）xy2﹣x=x（y2﹣1）=x（y﹣1）（y+1）．（3）ab4﹣4ab3+4ab2=ab2（b2﹣4b+4）=ab2（b﹣2）2．（4）（m+1）（m﹣9）+8m=m2﹣9m+m﹣9+8m=m2﹣9=（m+3）（m﹣3）．点睛：此题主要考查了因式分解，解题的关键是灵活选用适当的方法进行饮食费解。
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因式分解精选练习
一分解因式
1.2x 4y 2－4x 3y 2＋10xy 4
2. 5x n+1－15x n ＋60x n —1
3.()()431241a b a b ---
4. (a+b)2x 2-2(a 2-b 2)xy+(a-b)2y 2
5. x 4-1
6.－ａ2－ｂ２＋2ab ＋４
7. 134+--x x x 8.()()422223612y y y y x y y x -++-+
9. ()()()()422223612y x y x y x x y x x +-+++-+
10.a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 11.x2-2x-8、12．3x2+5x-2 、13. (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1、
14. (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.
15．把多项式3x2+11x+10分解因式。
16.把多项式5x2―6xy―8y2分解因式。
二、证明题
17．求证：32000－4×31999＋10×31998能被7整除。
18.设n 为正整数，且64n -7n 能被57整除，证明：21278+++n n 是57的倍数.
19.求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。
20.已知x 2+y 2-4x+6y+13=0,求x,y 的值。
三 求值。
21.已知a,b,c 满足a-b=8,ab+c 2+16=0,求a+b+c 的值 .
22．已知x 2+3x+6是多项式x 4-6x 3+mx 2+nx+36的一个因式，试确定m,n 的值，并求出它的其它因式。
因式分解精选练习答案
一分解因式
1. 解：原式=2xy2·x3－2xy2·2x2＋2xy2·5y2 =2xy2 (x3－2x2＋5y2)。
2.解：原式=5 x n--1·x2－5x n--1·3x＋5x n--1·12=5 x n--1 (x2－3x＋12)
3.解：原式=3a(b-1)(1-8a3) =3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a2)*
4.解：原式= [(a+b)x]2-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]2=(ax+bx-ay+by)2
5.解：原式=(x2+1)(x2-1)=(x2+1)(x+1)(x-1)
6.解：原式＝－（a2－2ab＋b2－４）＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）
7. 解：原式= x4-x3-(x-1)= x3(x-1)-(x-1)=(x-1)(x3-1)=(x-1)2(x2+x+1)* 提8. 解：原式=y2[(x+y)2-12(x+y)+36]-y4=y2(x+y-6)2-y4=y2[(x+y-6)2-y2]
=y2(x+y-6+y)(x+y-6-y)= y2(x+2y-6)(x-6)
9. 解：原式== (x+y)2(x2-12x+36)-(x+y)4
=(x+y)2[(x-6)2-(x+y)2]=(x+y)2(x-6+x+y)(x-6-x-y)
=(x+y)2(2x+y-6)(-6-y)= - (x+y)2(2x+y-6)(y+6)
10.解：原式=.（a2+b2 +2ab）+2bc+2ac+c2=(a+b)2+2(a+b)c+c2 =(a+b+c)2
11.解：原式=x2-2x+1-1-8 =(x-1)2-32=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4)
12．解：原式=3(x2+5
3
x)-2
=3(x2+5
3x+25
36
-25
36
)-2 =3(x+5
6
)2-3×25
36
-2=3(x+5
6
)2-49
12
=3[(x+5
6)2-49
36
]=3(x+5
6
+7
6
)(x+5
6
-7
6
)=3(x+2)(x-1
3
)
=(x+2)(3x-1)
13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令x2+5x=a,则原式=(a+4)(a+6)+1
=a2+10a+25=(a+5)2=(x2+5x+5)
14.解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120
=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120
令 x2+5x=m, 代入上式,得
原式=(m+6)(m+4)-120=m2+10m-96
=(m+16)(m-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)
15．解：原式＝(x+2)(3x+5)
提示：把二次项3x2分解成x与3x（二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x=x×5+3x×2。
二证明题
17．证明： 原式=31998(32－4×3＋10)= 31998×7，
∴ 能被7整除。
18.证明： 21278+++n n
=8（82n -7n ）+8×7n +7n+2=8（82n -7n ）+7n (49+8)=8（82n -7n ）+57∙7n
21278+++n n 是57的倍数.
19.证明：3530912422+++-y y x x
=4x 2-12x+9+9y 2+30y+25+1=(2x-3)2+(3y+5)2+1≥1.
20.解：∵x 2+y 2-4x+6y+13=0
∴x 2-4x+4+y 2+6y+9=0
(x-2)2+(y+3)2=0
(x-2)2≥0, (y+3)2≥0.
x-2=0且y+3=0 x=2,y=-3
三 求值。
21.解：∵a-b=8 ∴a=8+b
又ab+c 2+16=0 即∴（b+8）b+c 2+16=0 即(b+4)2+c 2=0
又因为，(b+4)2≥0，C 2≥0, ∴b+4=0,c=0,
b=-4,c=0,a=b+8=4 ∴a+b+c=0.
22． 解：设它的另一个因式是x 2+px+6,则
x 4-6x 3+mx 2+nx+36=(x 2+px+6)(x 2+3x+6)=x 4+(p+3)x 3+(3p+12)x 2+(6p+18)x+36 比较两边的系数得以下方程组：
36
312618p p m p n +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得 9
1536
p m n =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩。