知识的生长点

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让元认知提问“恰触”知识生长点

两边平方，得
(x + c)2 + y2 = e2[(x - c)2 + y2] .
整理，得
x2+2cx + c2+y2 =e2(x2 - 2cx + c2 +y2) .
再整理，得 (1 - e2)x2 +(1 - e2)y2 + (2c + 2ce2)x
+c2(1 - e2) = 0 . ①
（1）当 e2 = 1 时，上式①可以化为 4cx gt; 0，e ≠ 1 )
所以动点 M(x，y)的轨迹为圆，圆
心为
(-
c + ce2 1 - e2
,
0
)
，半径是
r
=
|| |
2ce 1 - e2
|| |
.
65
广西教育 2019.1
师：通过类比椭圆的定义，双曲线的定义，联想到给在平面内与两个定点的距离的商定义，好极了！大家还能研究什么呢？
师：为什么要定义“商”？
生 2：前面已经有了和与差，
还没有商呢 .
师：那么，你认为满足条件的
点的轨迹会是什么图形呢？能说
出理由吗？
生 2：直线和圆 .
教师请学生到黑板上写下证
明过程 . 生证明如下:
设动点 M（x，y），定点 F（1 -c， 0），F（2 c，0），则
| |
MF1 MF2
| |
=
(x + c)2 + y2 = e(e > 0). (x - c)2 + y2
师：好吧，那就跟老师一起分析吧……（过程略）
教师接过难活，学生乐得观摩、倾听，此时学生的注意力高度集中 .

挖掘知识生长点,提升学生核心素养——以“角的平分线的性质”为例

2021年第4期中学数学教学参考(下旬)'#法新探|挖掘知识生长点，提升学生核心素养—以“角的平分线的性质”为例刘朝红（山东省沂南县教育和体育局）摘要：挖掘角平分线性质的生长点，设计螺旋式上升的探究活动，能够激发学生的学习兴趣，培养逻辑推理能力，积累数学活动经验，提升学生数学核心素养。

关键词：角平分线；生长点；数学素养文章编号：1002-2171 (2021)4-0038-03《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）在“教学建议”中指出：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。

”为了更好地落实这个理论，教师教学时应充分挖掘知识的“生长点”，巧妙设计探究活动，在探究过程中让学生积极观察、思考、探索、交流，进而培养学生学习的兴趣，获取基本经验，提升数学素养。

下面笔者以人教版教材八年级上册第十二章第3节“角的平分线的性质”为例进行说明，与各位同行分享。

1知识引人如图1,任意作一个角Z A O B，作出Z A O B的平分线O C。

在O C上任取一点过点P作O A，O B的垂线，垂足分别为〇，£，测量户0,尸£并作比较，你能得到什么结论？在O C上再取几个点试一试。

通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？《课标（2011年版）》要求探图1索并证明角平分线的性质定理。

教材设计是先让学生动手量一量，从直观上感知两条线段的数量关系后得到猜想，然后通过演绎推理论证，得到角平分线的性质定理。

结合图1,角平分线的性质用符号语言可表述为：由题设（1)Z1=Z2，（2)P D丄04,尸£丄0召得到结论（3)P D=P£。

紧扣知识生长点

紧扣知识生长点作者：张玲罗文清来源：《湖北教育·教育教学》2020年第05期这里的知识生长点是指学生已经具备的相关教学知识，即已经知道了什么。

它是学习新知识的前提和基础。

化生长点为重难点，提升教学的效度。

以“加减计算”为例。

小学阶段，学生经历了从整数“一位→两位→三位→多位，不进位（或不退位）→进位（或退位）”到小数“简单的计算→稍复杂的计算”再到分数“同分母→异分母”的学习过程。

在这个庞大的知识体系中，我们一直在解决两个问题：1.计数单位相同的数才能直接加减。

2.在整数、小数加减中，满十向前一位进一（不够从前一位退一当十）;在分数加减中，满一向整数部分进一，分数部分不够减时从整数部分退一。

以上两点即为知识的生长点，应作为教学的重难点，强力突破。

化生长点为延伸点，拓展教学的宽度。

数学知识的逻辑性、层次性与延续性昭示了某一知识点既是前位知识生长的结果，又是后位知识生长的基础。

以“直柱体的体积”为例，小学阶段学生依次学习了长方体、正方体及圆柱体的体积计算。

三者除了本身存在推理上的因果关系外（长方体体积计算是正方体、圆柱体体积公式推导的前提与基础），还能以“体积=底面积×高”这个公式统一起来。

有的教师可能还会从“长方体的体积=长×宽×高”入手（而公式中的“长×宽”也就是前式中的底面积），对正方体、圆柱体作出类似分析，对三者通用一个公式进行拓展。

教学其实还可再向前迈一步。

教师借助直观图的演示（长方体、圆柱体的高由小变大，让学生感悟到它们好似一片片、一个个小的图形累积起来的），进一步引导学生思考：你感受到了什么？对于它们的体积公式都可用“底面积×高”你又有了什么新的认识？当学生体会到这些图形好像一个个长方形（或一个个圆）向上堆积起来的过程，公式里的底面积就代表那些长方形（或圆）的面积，而高正好就是堆积的高度时，就自然而然地明白了它们都可用“底面积×高”来计算体积了。

把握知识的生长点

教学要抓住知识的“生长点”和“延伸点”——《分数的意义》教学案例分析孙明知识生长点是一种根知识，它是知识的本原雏形或胚胎，具有高生长性高附加值高信息量，有时具有一定的缄默性。

它是原有认知结构中影响新知识学习的一个最关键的因素，对开展教学，特别是探究问题成功与否起着重要作用。

根据奥苏伯尔的有意义学习理论，学生认知结构中已有的适当知识对新知识有意义学习起固着作用。

根据学生已有的知识状况进行教学是教育心理学最基本的原理。

学生头脑中的已有知识至少包括如下两类：已有知识经验是新知识的生长点，其二，已有知识经验可作为获取新知识的工具。

找到知识生长点有助于找到新知识的源头活水，激发探究新知识的欲望。

每一个知识点既是已学知识的延伸点，又是后续学习的生长点。

《分数的意义》是学生在学习了除法，借助操作、直观初步认识了分数（基本是真分数），知道了分数各部分的名称，会读写简单的分数。

以上这些都是学生学习本课新知的“生长点”。

本节课的教学，将引导学生在已有的基础上，由感性认识上升到理性认识，简单了解分数产生的过程。

知道把一个物体、一个计量单位平均分成若干份，取这样的一份或几份，可以用分数来表示的；重点是使学生理解不仅一个物体，一个计量单位可用自然数1来表示，许多物体组成的一个整体也可用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”，进而总结概括出分数的意义。

本课的重点难点是学生对单位“1”的理解。

这是学生本课将要学习的新知，也是旧知的延伸点。

教学片断:上课开始，姜老师说我们玩一个拍掌游戏，请大家用掌声来表示计算的结果。

师：把8个苹果平均分给2人，每人分得几个？生：啪、啪、啪、啪四下清脆的掌声师：把4个苹果平均分给2人，每人分得几个？生：啪、啪两下清脆的掌声师：把1个苹果平均分给2人，每人分得几个？生：没有反应师：为什么不拍了？生：二分之一怎么拍？生：不是一个整数。

引出分数的产生：在分物、测量或计算时往往不能得到一个整数的结果，这时候我们就用一个分数来表示。

抓住新知识的生长点,让学生经历“数学化”的过程

抓住新知识的生长点，让学生经历“数学化”的过程
《儿童乐园》本课是在上一节“有多少块糖”的基础上，结合“儿童乐园”的现实情境，在计算相同加数连加时引入乘法算式，使学生初步体会学习乘法的必要性。

尽管大部分学生对乘法并不陌生，甚至好多人已经会背诵乘法口诀，但对于乘法的意义并不了解，更不清楚乘法是怎么产生的，为什么学了加法还要再学乘法等。

因此，教学中我从学生的已有经验出发，“儿童乐园”是儿童熟悉的现实世界。

“你喜欢哪项活动？请选择自己喜欢的活动算一算有多少人参加了这项活动，并在练习本上写一写。

”这样把孩子们引到解决他们身边数学问题的数学活动中去。

在汇报交流中，请孩子们把自己的想法都记录在黑板上：坐飞机的一共有多少人？2+2+2+2=8（人）；乘小火车的一共有多少人？4+4+4+4+4+4=24（人）；坐在椅子上说话的有多少人？3+3=6（人）……从而把孩子们从现实世界引向符号世界。

这些相同加数的连加算式就是本课的思维对象——乘法的生长点。

“可喜欢划船的人可多着了，肖老师也喜欢划船。

如果有20条船，每只船上也坐着3人，坐船的一共有多少人”，此时孩子们真切地感受到学习乘法的必要性。

接着，我又引导孩子们把连加算式2+2+2+2=8（人）改写成乘法算式“2x4=8（人）或4x2=8（人）”，随后，让每个孩子动笔继续把黑板上其他连加算式都改写成乘法算式，并追问：“当遇到求几个相同加数的和时，你
会采用加法计算还是乘法计算？”孩子们的回答也不出所料“当然用乘法计算，这样不需要写那么长的算式，简便多了。

”孩子们真正地经历了数学化的过程。

小学数学知识点教学的“生长点”与“延伸点”的探究

小学数学知识点教学的“生长点”与“延伸点”的探究摘要：《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调培养学生核心素养，使其具备面向未来社会和个人发展所需的能力。

随着教育体系的不断发展，小学数学教学依托核心素养的革新成为关注的重点内容。

这也要求小学数学教师在教学中不仅要设计合适的教学内容和方法，还要根据素质教育的要求，深入剖析学科知识特点，做好知识点的“生长与延伸”，增强学生学习体验的同时，培养他们良好的数学思维，提升知识综合运用能力。

基于此，本文立足小学数学，从以下几个方面展开论述，以期为广大教师后续教学工作开展提供价值参考。

关键词：小学数学；知识“生长”与“延伸”；策略研究引言：数学作为一门逻辑学科，对学生逻辑思维、科学发展观等品质的发展有着十分重要的指导作用。

现阶段学生已初步建立了数学基础知识和解决问题的能力，然而受教育资源、教育环境等因素的影响，部分学生难以将知识建立有机联系，难以正确运用所学知识解决实际问题。

基于此，为弥补当下教学存在的短板，教师可从“生长点、延伸点”等方面入手，探索知识间的关联，并做好教学内容、方法的革新，从而更好地引导学生进行知识学习，促进其能力、素养的协同发展。

一、做好知识点的“生长”，培养学生思考意识知识的延伸能够提高学生的学习体验，并激发他们的探究意识。

在实际教学中，教师要充分利用多种教育资源，简化抽象的数学知识，从而提高学生学习积极性。

以“分数”相关知识为例，在实际教学中，教师可摆脱以往“直授式”的教学模式，引入日常生活中的例子，如分割苹果、平均分配糖果等，让学生初步感受分数在实际中的应用。

随后，教师可以生活案例为线索，引导学生在问题中思考、总结知识，如：把一块巧克力平均分给三个人，每人分到块，如果再平均分给其他两个人，他们分到的是多少？学生思考过程中，教师可让学生利用手中的画笔表示每个人分得蛋糕的数量，同时阐述原因。

通过这种方式，能够让学生逐步挖掘、理解分数的性质特点，并学会用分数解决实际问题。

如何了解学生的知识“生长点”在哪里———高雅老师《小数的初步认识》教学片断与赏析

一、结合生活情境，了解学生知识起点师：今天高老师也给你们带来一个笔筒（实物），大家猜一猜多少钱？生1：10元。

生2：8元5角。

生3：7.5元。

师：每个人都希望自己能够猜中价钱，是不是？现在请把你自己猜的价格写在老师发给你的价格标签纸上。

（标签纸就是超市中常见的标签纸，和生活结合很紧密）教师巡视：选择典型的价格标签，作为展示的对象。

【赏析：高老师首先以生活情境的形式引入，符合中低年级段学生的心理特点，很快就把学生的注意力、好奇心集中起来。

数学问题很自然就在“你猜这个笔筒多少钱？”中提出来了。

通过学生猜价格的过程，老师就可以初步了解学生对小数的初步认识到了什么样的程度。

一个简单的设计，在无痕的活动中就了解了学生的知识起点，为后续的教学提供了基础。

】二、汇报展示，进一步了解学生的“生长点”师:黑板上是几位同学猜的价格标签：请他们给大家介绍一下分别代表什么意思。

生：9.5元表示9元5角。

生：9.50元也表示9元5角。

生：9.98元就表示9元9角8分。

师：为什么9.98元中的前面两个都是9，一个表示元一个表示角呢？生：因为第一个9在小数点的前面，第二个9在小数点的后面第一位，因为位置不一样，所以表示的意思就不一样了。

生：我知道了小数点前面的数字代表元，小数点后面第一位表示角，小数点后面第二位表示分。

师：你们刚才写的价格中，像9.5、9.50、9.98这样的数就叫小数。

【赏析：老师在巡视的过程中就是在了解学生的知识起点，最后展示在黑板上的几种情况就代表了不同学生的知识基础。

在汇报的过程中，更是充分了解学生对小数的相关知识达到了一个什么样的程度。

知识生长点与结合点是提高教学效果“催化剂”[论文]

知识生长点与结合点是提高教学效果的“催化剂”课堂教学是一个有多种层次结构的系统，包括教材中知识结构、学生的认知结构和课堂的教学结构。

教材的知识结构是学习和形成学生的认知结构的必要前提，课堂的教学结构则是促进教学的知识结构向学生的认知结构转化中介和动力，只有当三种结构的形成协调统一、和谐一致的关系时，才能获得最佳的教学效果。

如何才能实现知识、认知和教学和谐一致呢？笔者认为，只有找到课堂教学中三者的结合点，作为学生获得知识、增长能力的生长点，才能达到实现三者的和谐统一。

一、分析知识生长点，建立知识生长树学生的认知结构是学生头脑中现有知识的数量、清晰度和组织方式。

在初中学习化学的时候，教师已经引导学生熟知物质结构、性质和用途之间的关系。

但是随知识内容的增多，高中阶段若仅仅从物质结构、性质和用途之间关系去认识，他们就感到知识又多又乱，如一团乱麻，所以有必要根据高中知识深广度的特点，分析学生认识化学的知识生长点，才能有利于提高课堂教学效果。

在教学中，物质的结构知识可从原子结构（原子的构成及核外电子排布规律、原子结构示意图电子式、电子排布式、轨道表示式）、分子结构（分子空间结构及成键方式、电子式、结构式、结构简式）和晶体结构（结构中粒子及相互作用、晶体空间结构）入手作为知识生长点。

物质的化学性质可从类别通性、氧化还原性及特殊性质入手作为知识生长点。

如二氧化硫的化学性质包括三方面：其一，具有酸性氧化物的一般通性如与水、碱、碱性氧化物进行反应，类似于二氧化碳，其二，从价态讲，二氧化硫既具有氧化性，又具有还原性，通过实验探究，二氧化硫以还原性为主，如使酸性高锰酸钾溶液、氯水、溴水、碘水褪色。

其三，特殊性，如二氧化硫能使品红褪色。

再如，化学计算教学中应以物质的量为知识生长点形成知识网（如下图）。

教学中如果以这样的知识结构进行引导教学，有利于学生对知识的理解和加工，进而形成内化的知识结构。

二、找准知识生长点，激发学生兴趣在教学中，找准学生的“知识生长点”，使教学符合学生的认知规律，有助于激发学生对问题的兴趣。

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（1）小数乘法转化为整数乘法
1）按整数乘法的法则算出积；
2）再看因数中一共有几位小数,就从得数的右边起数出几位,点上小数点.
3）得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉.
（2）除数是小数的小数除法转化为除数是整数的小数除法
小数除法,要先将除数转化为整数,按除数是整数的除法计算,关键是商的小数点要和被除数
的小数点对齐.
（3）分子、分母各不相同的分数比较大小可以转化为分子相同或分母相同的分数再比较
（4）异分母分数加减法转化为同分母分数加减法
根据通分,我们可以把异分母分数加、减法化成同分母加、减法
（5）分数除法转化为分数乘法
（6）循环小数的运算可以转化为分数的运算
（7）分数和小数混合运算可以转化为分数（或小数）运算
（1）正方形（长方形）面积的推导过程是先统一了面积计量单位，用面积单位进行铺摆，
看一行能摆几个，能摆几行，所以用乘法求面积。

（2）平行四边形是沿着一条高剪开，就可以转化成长方形。

（3）三角形可以有两种转化方法：一种是用两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边
形，所以计算三角形面积就先求出与之等底等高的平行四边形面积再除以2；第二种可以将
三角形外面画一个长方形，长方形的长等于三角形的底，长方形的宽等于三角形的高，这个
三角形的面积是长方形面积的。

（4）梯形的转化可以用两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯
形的上底加下底，高等于平行四边形的高，所以梯形面积就是这个平行四边形面积的1/2。

数学知识之间是充满联系的，知识与知识之间是成网络的，如果你善于运用这些数学方法去
回顾知识，梳理知识，那么知识在同学们的头脑当中就不再零散了，这也是数学方法的价值
所在。

生活中的转化无处不在，任何数学知识也是一环扣一环的，中间充满了联系。

“转化”在数学学习当中非常重要，我们学习每一个新知识的时候，都离不开旧知识，都要将新知识巧妙地转化成旧知识。

所以转化对数学学习来说非常重要。

知识是在不断变化的，我们总在学习一些不同的新知识，但解题的方法是不变的，只要掌握了这种方法，就能够很好地融会贯通了，所有的新问题都能够迎刃而解。

相信大家不仅学会了新的数学知识，更学会了如何去学习数学。

进一步感受数学知识间的相互联系，感受到数学知识的联系美、简洁美。

◇在感受转化的过程中，帮助学生感受独立、有序、全面思考的快乐，建立数学学习的自信心。

◇使学生在数学活动中培养积极合作的意识和能力。

让学生通过观察、比较、猜测，初步体会知识之间的内在联系，初步培养学生思维的有序性和全面性。

◇在分析图形转化的过程中，帮助学生积累学习整理知识、梳理结构的方法，提高学习数学知识的方法与能力1）按整数乘法的法则算出积；
2）再看因数中一共有几位小数,就从得数的右边起数出几位,点上小数点.
3）得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉.。