2020新版教材人教A版高中数学必修第一册第二章2.1.2 不等式的性质
a b
b c
a b b)+(b－c)>0
a－c>0 a>c.
这个性质也可以表示为c<b，b<a，则c<a. 这个性质是不等式的传递性。
性质3：如果a>b，则a+c>b+c. 证明：因为a>b，所以a－b>0， 因此(a+c)－(b+c)=a+c－b－c=a－b>0， 即 a+c>b+c. （可加性）
（可乘方性）
性质8 ：如果a>b>0，则，n a n b
(n∈N+，n>1).
证明：用反证法，假定 n a ≤ n b ，即 nanb 或na nb ，
根据性质4的推论2和根式性质，得 a<b或a=b，
这都与a>b矛盾，因此 n a n b
（可开方性）
例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：
ab ab
即
11 ba
由c<0，得 c c
ab
（3）已知a>b>0，0<c<d，求证：ac
b d
证明：（3）因为0<c<d，根据（1）的结
论得 1 1 0
cd
又因为a>b>0，所以 a 1 b 1
cd
即
a c
b d
例2. 已知a>b，不等式:（1）a2>b2；
（2） 1 1 ab
；（3） 1 1
（1）已知a>b，ab>0，求证： 1a
1 b
；
证明：（1）因为ab>0，所以 1 0
ab
又因为a>b，所以 a 1 b 1
ab ab
即11
ba
因此 1 1
ab
（2）已知a>b>0，c<0，求证： c c
ab
证明：（3）因为a>b>0 ，所以ab>0, 1 0
ab
于是 a 1 b 1
3
3
由－4≤a－b≤－1，得
5 ≤ 5 (a b) ≤ 20
33
3
由－1≤4a－b≤5，得
8 ≤ 8 (4a b) ≤ 40
33
3
以上两式相加得－1≤9a－b≤20.
对称性— a>b b<a
传递性— a>b，b>c a>c
可加性— a>b a+c>b+c
不
等
推论：移项法则— a+c>b a>b-c
33
3
两式相加得－1≤f(3) ≤20.
练习．已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－ b≤5，求9a－b的取值范围。
解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)
=(m+4n)a－(m+n)b，
令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，
m 5,n 8 33
所以9a－b= 5 (a－b)+ 8 (4a－b)
式
的
同向可加— a>b，c>d a+c>b+d
性 质
可乘性— a>b, c>0 ac>bc
c<0 ac<bc
同向正可乘— a>b>0，c>d>0 ac>bd
可乘方— a>b>0 an>bn (nR+)
可开方— a>b>0 n a n b (nN)
作业：P42习题2.1 5,6
又因为c>d，b>0，所以bc>bd，
根据不等式的传递性得 ac>bd。 几个两边都是正数的同向不等式的两边 分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。
（同向同正可乘性）
性质7：如果a>b>0，则an>bn，(n∈N+，
n>1). 证明：因为
a b 0
a
b
0
n
个，
a b 0
根据性质4的推论1，得an>bn.
因为－4<a－b<0，1<c2<4， 所以－16<(a－b)c2<0
例5．若 ≤ ≤ ，求
2
2
,
22
的取值范围。
, ≤ 0
2 2 22 2
例6 已知:函数 f ( x) ax2 c,
4 f (1) 1, 1 f (2) 5
求: f (3) 的取值范围.
解：因为f(x)=ax2－c,
证明：因为a>b，所以a+c>b+c， 又因为c>d，所以b+c>b+d， 根据不等式的传递性得 a+c>b+d.
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
（同向可加性）
性质5：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc. （可乘性） 性质6 ：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd. 证明：因为a>b，c>0，所以ac>bc，
性质 5 如果 a b c 0那么 a b . cc
可以发现, 性质1,2反映了相等关系自身的特性， 性质3,4,5是从运算的角度提出的，反映了等式在 运算中保持的不变性。
探究 ：类比等式的基本性质，你能猜想 不等式的基本性质，并加以证明吗？
性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a， 那么a>b.即 a>b b<a (对称性) 性质2：如果a>b，b>c，那么a>c. 证明：根据两个正数之和仍为正数，得
2.1.2 不等式的性质
复习：两个实数大小关系的基本事实
abab0 a b ab 0 abab0
这既是比较大小(或证明大小)的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
那么，不等式到底有哪些性质呢？
因为不等式与等式一样，都是对大小关系的 刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究 方法中获得启发。
f (1) a c
所以
f
(2)
4a
c
解之得
a
1[ 3
f
(2)
f (1)]
c
1 3
f
(2)
4 3
f
(1)
所以f(3)=9a－c= 8 f (2) 5 f (1)
3
3
因为 4 f (1) 1, 1 f (2) 5
所以 8 ≤ 8 f (2) ≤ 40
33
3
5 ≤ 5 f (1) ≤ 20
ab a
成立的个数是（ A ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
例3．设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R，则A， B的大小关系是 A≥B 。
例4．（1）如果30<x<36，2<y<6，求x－
2y及 x 的取值范围。
y
18<x－2y<32，
5 x 18 y
（2）若－3<a<b<1，－2<c<－1，求(a －b)c2的取值范围。
思考：请你先梳理等式的基本性质，再观察它
们的共性。你能归纳一下发现等式基本性质的方 法吗？
等式有下面的基本性质:
性质 1 如果 a b，那么b a ; 性质 2 如果 a bb c那么a c ; 性质 3 如果 a b 那么a c b c ; 性质 4 如果 a b 那么ac bc ;
性质3表明，不等式的两边都加上同一 个实数，所得的不等式与原不等式同向.
由性质3可以得出 a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b.
推论：不等式中的任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后，从不等式的 一边移到另一边。 （移项法则）
性质4：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
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人教版高中数学必修第一册第二章2.1.2等式性质与不等式性质(2)【课件】
质吗？
【活动4】初步了解不等式的性质的应用
【问题5】“若a>b，则ac2>bc2”，此命题是否正确？
【问题6】已知a>b，c>d，要使① a＋c>b＋d；② ac>bd成立，a，
b，c，d需满足的条件是否一致？
【问题7】若a>b，c>d，则a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
【问题8】若a>b，c>d，则ac>bd成立吗？
【证明】 (1) 由bc-ad≥0可得bc≥ad,又bd>0,两边同除以bd
+ +
+ +
可得 ≥ ,即 ≥ .两边同时加1可得 ≥ ,即 ≤ .
+ + +
++ ++ ++
(2) 由 < < ,各式同时加1可得
<
<
,由
运用不等式的性质解决有关问题
学科核心素养
通过对不等式性质的研究，提升
数学抽象、数学运算及逻辑推理
素养
运用不等式的性质解决问题，培
养数学抽象及数学运算素养
情境导学
在日常生活中，我们知道对于糖水来说，如果再往糖水中加入
一些糖，糖水会变得更甜．设糖水为b g，含糖a g，再加入c g糖.
你能用不等式表示出糖水变甜这一现象吗？
(2)
已知a<b<0，求证： < .
【证明】
(1) 因为a>b,c>0,所以ac>bc,即-ac<-bc.又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc.
【活动4】初步了解不等式的性质的应用
【问题5】“若a>b，则ac2>bc2”，此命题是否正确？
【问题6】已知a>b，c>d，要使① a＋c>b＋d；② ac>bd成立，a，
b，c，d需满足的条件是否一致？
【问题7】若a>b，c>d，则a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
【问题8】若a>b，c>d，则ac>bd成立吗？
【证明】 (1) 由bc-ad≥0可得bc≥ad,又bd>0,两边同除以bd
+ +
+ +
可得 ≥ ,即 ≥ .两边同时加1可得 ≥ ,即 ≤ .
+ + +
++ ++ ++
(2) 由 < < ,各式同时加1可得
<
<
,由
运用不等式的性质解决有关问题
学科核心素养
通过对不等式性质的研究，提升
数学抽象、数学运算及逻辑推理
素养
运用不等式的性质解决问题，培
养数学抽象及数学运算素养
情境导学
在日常生活中，我们知道对于糖水来说，如果再往糖水中加入
一些糖，糖水会变得更甜．设糖水为b g，含糖a g，再加入c g糖.
你能用不等式表示出糖水变甜这一现象吗？
(2)
已知a<b<0，求证： < .
【证明】
(1) 因为a>b,c>0,所以ac>bc,即-ac<-bc.又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc.
2020新版教材人教A版高中数学必修第一册第二章2.1.1 等式性质与不等式性质
问题2
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2 000本。如何 定价才能使提价后的销售总收入不低于20万 元呢？
分析：设杂志社的定价为x元，则销售的总收入为
8 x 2.5 0.2 x万元，
0.1
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”
于是就有：
a2 b2 2ab
结论：一般地， a,b∈R，那么a2+b2≥ 2ab （当且仅当a=b时，等号成立）
你能给出证明吗？
数的角度（作差法）
证明：因为 a2+b2－2ab=(a－b)2 当 a=b时，(a－b)2 =0； 当a ≠ b时，(a－b)2 ＞ 0 所以， (a－b)2 ≥ 0 ，即a2+b2 ≥ 2ab
当且仅当a=b时，等号成立
巩固练习
1、某钢铁厂要把长度为4000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种。按照生产的要求，600 mm的 数量不能超过500 mm钢管的3倍。怎样写出满足所 有上述不等关系的不等式呢？
解：假设截得500 mm的钢管x根，截得600
mm的钢管y根。根据题意，应有如下的不等
am a
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
am a
(a m)a
ab ma ab bm (a m)a
m(a b) (a m)a
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
∴bm b 0∴bm b
p
≥
2.3%
(3).设点A向直线l做垂线，垂足为D，B为
直线l上的任意一点,则 _A_D__≤_A_B_.
人教A版必修第一册高中数学2.1等式性质与不等式性质【教学课件】
杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使
提价后的销售总收入不低于20万元?
学习新知
如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式
的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．
在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质
为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？
[练习2]比较大小 : x2 2 y 2 ____
> 2xy 2 y 2.
①画图
②配方
析 : x2 2 y 2 (2 xy 2 y 2) ( x y)2 ( y 1)2 1
2
2
2.重要不等式：a, b R, a b 2ab(当且仅当a b时等号成立).
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．
这是解决不等式问题的常用方法．
应用新知
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．
其思维过程：作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论，
其中变形是判断符号的前提．
作差法比较大小的基本步骤：
（1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
（2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
④限制宽度3m, 0 < ≤ 3.
④通行时间7: 30 − 10: 00,7.5 ≤ ≤ 10.
引入新知
在数学中，我们用不等式来表示不等关系.
文字语言
数学符号
文字语言
大于
＞
大于，高于，超过
小于
＜
小于，低于，少于
大于或等于
≥
至少，不少于，不低于
小于或等于
≤
至多,不多于,不超过
提价后的销售总收入不低于20万元?
学习新知
如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式
的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．
在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质
为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？
[练习2]比较大小 : x2 2 y 2 ____
> 2xy 2 y 2.
①画图
②配方
析 : x2 2 y 2 (2 xy 2 y 2) ( x y)2 ( y 1)2 1
2
2
2.重要不等式：a, b R, a b 2ab(当且仅当a b时等号成立).
这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．
这是解决不等式问题的常用方法．
应用新知
这种比较大小的方法通常称为作差比较法．
其思维过程：作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论，
其中变形是判断符号的前提．
作差法比较大小的基本步骤：
（1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
（2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
④限制宽度3m, 0 < ≤ 3.
④通行时间7: 30 − 10: 00,7.5 ≤ ≤ 10.
引入新知
在数学中，我们用不等式来表示不等关系.
文字语言
数学符号
文字语言
大于
＞
大于，高于，超过
小于
＜
小于，低于，少于
大于或等于
≥
至少，不少于，不低于
小于或等于
≤
至多,不多于,不超过
2022-2023学年人教A版必修第一册 第二章 2-1 第2课时不等式的性质 课件(22张)
【解析】(1)如果 a＞b＞0，那么 0＜1a ＜1b ，即1b ＞a1 ＞0. (2)如果 a＞b，那么－2a＜－2b. (3)如果 a＞b＞0，那么 a10＞b10. (4)如果 a＞－b，那么－a＜b，所以 c－a＜c＋b. 答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜
合作探究 形成关键能力
若 ab＞0，bc－ad＞0，则ac
－bd
bc－ad ＝ ab
＞0，故 B 正确；
若 c＞d，则－d＞－c，又 a＞b，则 a－d＞b－c，故 C 正确； 若 a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则da ＝－1，bc ＝－1，da ＝bc ，故 D 错误．
3．(多选题)(2022·淄博高一检测)给出下列四个条件：①xt2＞yt2；②xt＞yt；③x2＞y2； ④0＜1x ＜1y .其中能成为 x＞y 的充分条件的是( ) A．① B．② C．③ D．④ 【解析】选 AD.①由 xt2＞yt2 可知 t2＞0， 所以 x＞y，故 xt2＞yt2⇒ x＞y； ②当 t＞0 时，x＞y，当 t＜0 时，x＜y，
【补偿训练】
已知－21
1 ≤α<β≤2
α＋β ，求 2
α－β ，3
的取值范围．
【解析】因为－12
1 ≤α<β≤2
，所以－14
α ≤2
1 <4
，－14
β <2
1 ≤4
.
两式相加得－12
α＋β <2
1 <2
.
因为－16
α ≤3
1 <6
，－16
≤－3β
1 <6
，两式相加得－31
α－β ≤3
1 <3
.
α－β 又因为 α<β，所以 3
高一上学期数学人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质(第二课时)课件
a＞b，b＞c a＞c； a＜b，b＜c a＜c（传递性）
问题3：若甲的年薪比乙高，如果年终两人发 同样多的奖金或捐赠同样多的善款，则甲的 年薪仍然比乙高，这里反应出的不等式性质 如何用数学符号语言表述？
a＞b a+c＞b+c（可加性）
证明:(a c) (b c) a b 0
a c b c
a b 0 an bn (n N, n 1) a b 0 n a n b(n N, n 1)
例题分析
例2：已知a b 0, c 0,求证 c c . ab
证明一: a b 0,
不等式两边同乘以正数 1 ,得 ab
1 1 ,即1 1 , ba ab
c 0, c c .
课堂练习
1. 设 a ﹥ b ，用 “﹥” 或 “﹤” 号填空：
（1） a＋5 ＞___ b ＋5
(2) 2a＞___ 2b
(3) －5a ＜___ －5b
(4) a ＞___ b
3
3
2.判断下列各命题的真假，并说明理由：
√ 1如果a b,那么a c b c
2如果a b, 那么a b
cc
性质5 如果a＝b，c≠0，那么____ac_＝__bc______.
不等式的基本性质
问题1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲 矮，反之亦然.从数学的观点分析，这里反应 了一个不等式性质，你能用数学符号语言表 述这个不等式性质吗？
a＞b b＜a（对称性）
问题2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙 高，那么甲的身材比丙高，这里反应出的 不等式性质如何用数学符号语言表述？
如果a＞b a－b＞0; 如果a＜b a－b＜0; 如果a＝b a－b＝0. 2. “作差法”比较两实数的大小的一般 步骤?
问题3：若甲的年薪比乙高，如果年终两人发 同样多的奖金或捐赠同样多的善款，则甲的 年薪仍然比乙高，这里反应出的不等式性质 如何用数学符号语言表述？
a＞b a+c＞b+c（可加性）
证明:(a c) (b c) a b 0
a c b c
a b 0 an bn (n N, n 1) a b 0 n a n b(n N, n 1)
例题分析
例2：已知a b 0, c 0,求证 c c . ab
证明一: a b 0,
不等式两边同乘以正数 1 ,得 ab
1 1 ,即1 1 , ba ab
c 0, c c .
课堂练习
1. 设 a ﹥ b ，用 “﹥” 或 “﹤” 号填空：
（1） a＋5 ＞___ b ＋5
(2) 2a＞___ 2b
(3) －5a ＜___ －5b
(4) a ＞___ b
3
3
2.判断下列各命题的真假，并说明理由：
√ 1如果a b,那么a c b c
2如果a b, 那么a b
cc
性质5 如果a＝b，c≠0，那么____ac_＝__bc______.
不等式的基本性质
问题1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲 矮，反之亦然.从数学的观点分析，这里反应 了一个不等式性质，你能用数学符号语言表 述这个不等式性质吗？
a＞b b＜a（对称性）
问题2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙 高，那么甲的身材比丙高，这里反应出的 不等式性质如何用数学符号语言表述？
如果a＞b a－b＞0; 如果a＜b a－b＜0; 如果a＝b a－b＝0. 2. “作差法”比较两实数的大小的一般 步骤?
数学人教A版必修第一册2.1.2等式性质与不等式性质课件
∴（a－b）＋（c－d）＞0，即（a＋c）－（b＋d）＞0．
∴a＋c＞b＋d．
证明（法2）：由性质3，得a＋c＞b＋c，c＋b＞d＋b；
由性质2，得a＋c＞b＋d．
性质6：（同向同正可乘性）
a b 0且c d 0 ac ___
bd .
利用不等式乘法性质和不等式的传递性可证明
利用不等式基本性质和两正数和仍是正数来证明
a b a b 0
a b b c 0 a c 0 a c
b c b c 0
性质3：如果a b，那么a c b c；（可加性）
不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向．
√
C.a＋b<ab
B.a<b
3>b3
D.a
√
1 1
由 a<b<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确；
a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；
a3>b3，D正确.
反思感悟
利用不等式的性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱
化条件，尤其是不能想当然随便捏造性质.
1
1
解析 因为 a<b<0,所以|a|>|b|>0, <0, <0,则
1
1
2
2
a >b ,
| |
1
1
<
1
1
,所以
| |
项 ACD 正确;取 a=-2,b=-1,则 a<b<0,则 - =-1, =-2,此时
2.1等式性质与不等式性质课件——高中数学人教A版必修第一册
[注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号” 是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式 分解法、配方法、有理化法等．
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
a<0
b<0
正确．故填②③.
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在 15 天里加工零件 408 个，最初三天中， 每天加工 24 个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规 定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工 x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
a<0
b<0
正确．故填②③.
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在 15 天里加工零件 408 个，最初三天中， 每天加工 24 个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规 定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工 x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
第二章-2.1-等式性质与不等式性质高中数学必修第一册人教A版
A.0 > > ⇒ 2 > 2
C. > ⇒
<1
)
B.2 > 2 ⇒ > > 0
D. > ⇒ 3 > 3
【解析】对于A，由0 > > 可知,0 < − < −,则由性质7可知, −
2
> − 2 ,即
2 > 2 ，故A为假命题.
对于B，性质7不具有可逆性，如令 = −1, = 0,有2 > 2 ,但得不到 > > 0,故B
当,中有一个为0时，3 > 3 .
综上， > ⇒ 3 > 3 .（事实上，若 > ,则2−1 > 2−1 ∈ + , > 1 ）
知识点5 倒数法则及其应用
例5-5 (2024·北京市101中学期中)若 > > 0， < < 0，则( B
A.5 + 4 < 200
)
B.5 + 4 ≥ 200
C.5 + 4 = 200
D.5 + 4 ≤ 200
【解析】由题意知，，满足的不等式关系为500 + 400 ≤ 20 000，即
5 + 4 ≤ 200.
知识点2 实数大小比较的依据
例2-2 (2024·上海市松江区期末)已知, ∈ ，设 = 2 − , = − 2 ，则与
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
必备知识解读
知识点1 不等关系与不等式
例1-1 (2024·江苏省海安高级中学期末)完成一项装修工程，请木工需付工资每人500
C. > ⇒
<1
)
B.2 > 2 ⇒ > > 0
D. > ⇒ 3 > 3
【解析】对于A，由0 > > 可知,0 < − < −,则由性质7可知, −
2
> − 2 ,即
2 > 2 ，故A为假命题.
对于B，性质7不具有可逆性，如令 = −1, = 0,有2 > 2 ,但得不到 > > 0,故B
当,中有一个为0时，3 > 3 .
综上， > ⇒ 3 > 3 .（事实上，若 > ,则2−1 > 2−1 ∈ + , > 1 ）
知识点5 倒数法则及其应用
例5-5 (2024·北京市101中学期中)若 > > 0， < < 0，则( B
A.5 + 4 < 200
)
B.5 + 4 ≥ 200
C.5 + 4 = 200
D.5 + 4 ≤ 200
【解析】由题意知，，满足的不等式关系为500 + 400 ≤ 20 000，即
5 + 4 ≤ 200.
知识点2 实数大小比较的依据
例2-2 (2024·上海市松江区期末)已知, ∈ ，设 = 2 − , = − 2 ，则与
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
必备知识解读
知识点1 不等关系与不等式
例1-1 (2024·江苏省海安高级中学期末)完成一项装修工程，请木工需付工资每人500
数学人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
x－2.5
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0.2)x 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：
x－2.5
(8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
练一练
1.某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维
0是相等与不等的分界
定号
定论
小提供了标杆.
练一练
2. 已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
3 + 3 − 2 + 2
= 3 − 2 + 3 − 2
= 2( − ) + 2( − )
= − 2 − 2
= −
2
+ .
∵ ≠ ∴ −
2
>0
又 ∵ + > 0, ∴ 3 + 3 > 2 + 2.
综上所述, 3 + 3 ≥ 2 + 2.
练一练
3.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与
(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析]
∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
解析：各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x>0.而要构成三角形,
还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所
对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,
5- > 0,
故 x 应满足的不等关系为 (5-) + (12-) > 13-,
x－2.5
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0.2)x 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：
x－2.5
(8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
练一练
1.某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维
0是相等与不等的分界
定号
定论
小提供了标杆.
练一练
2. 已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
3 + 3 − 2 + 2
= 3 − 2 + 3 − 2
= 2( − ) + 2( − )
= − 2 − 2
= −
2
+ .
∵ ≠ ∴ −
2
>0
又 ∵ + > 0, ∴ 3 + 3 > 2 + 2.
综上所述, 3 + 3 ≥ 2 + 2.
练一练
3.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与
(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析]
∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
解析：各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x>0.而要构成三角形,
还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所
对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,
5- > 0,
故 x 应满足的不等关系为 (5-) + (12-) > 13-,
人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质-课件
对这个性质进行解释吗？
二、不等式性质
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在
数轴上表达出来，你能从几何意义的角度
对这个性质进行解释吗？
二、不等式性质
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在
数轴上表达出来，你能从几何意义的角度
特性”的思想方法，你能猜想并证明不等式
的基本性质吗？
二、不等式性质
性质1：如果a ＞ b，那么b ＜a;
如果b ＜a，那么a >b．
即： a ＞ b b ＜a;
追问1：你打算怎么证明？
二、不等式性质
性质1：如果a ＞ b，那么b ＜a;
如果b ＜a，那么a ＜b．
即： a ＞ b b ＜a．
对这个性质进行解释吗？
二、不等式性质
追问3：你能从性质3中得到什么结论吗？
由性质3可得
a+b>c a b (b) c (b)
a c b
二、不等式性质
追问4：是否还有其他结论？
性质4：如果 a＞b， c>0 ， 那么 ac ＞bc;
如果 a>b， c<0 ， 那么 ac < bc．
你还可以猜想并证明不等式的其
.
他性质吗？
二、不等式性质
性质3：如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c.
.
追问：在基本性质3中，不等式的两边同
加同一个实数。如果两边同加不同的实
数，即不等式两边分别加上不相等的两
个数，能得到什么不等关系呢？
二、不等式性质
二、不等式性质
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在
数轴上表达出来，你能从几何意义的角度
对这个性质进行解释吗？
二、不等式性质
性质3：如果a ＞b，那么a+c ＞b+c.
追问2：两个实数大小关系还可以形象地在
数轴上表达出来，你能从几何意义的角度
特性”的思想方法，你能猜想并证明不等式
的基本性质吗？
二、不等式性质
性质1：如果a ＞ b，那么b ＜a;
如果b ＜a，那么a >b．
即： a ＞ b b ＜a;
追问1：你打算怎么证明？
二、不等式性质
性质1：如果a ＞ b，那么b ＜a;
如果b ＜a，那么a ＜b．
即： a ＞ b b ＜a．
对这个性质进行解释吗？
二、不等式性质
追问3：你能从性质3中得到什么结论吗？
由性质3可得
a+b>c a b (b) c (b)
a c b
二、不等式性质
追问4：是否还有其他结论？
性质4：如果 a＞b， c>0 ， 那么 ac ＞bc;
如果 a>b， c<0 ， 那么 ac < bc．
你还可以猜想并证明不等式的其
.
他性质吗？
二、不等式性质
性质3：如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c.
.
追问：在基本性质3中，不等式的两边同
加同一个实数。如果两边同加不同的实
数，即不等式两边分别加上不相等的两
个数，能得到什么不等关系呢？
二、不等式性质