2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第四章 章末小结 知识整合与阶段检测

[对应学生用书P44]

一、定积分 1．定积分的概念：

⎠⎛a b

f (x )d x 叫函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分．

2．定积分的几何意义：

当f (x )≥0时，⎠⎛a b

f (x )d x 表示的是 y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b 和x 轴所围成的曲边梯形的面积．

3．定积分的性质： (1)∫b a 1d x ＝b －a . (2)⎠⎛a b

kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x .

(3)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a b

g (x )d x .

(4)⎠⎛a b

f (x )d x ＝⎠⎛a c

f (x )d x ＋⎠⎛c b

f (x )d x .

定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．

二、微积分基本定理

1．如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则⎠⎛a b

f (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．

2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．

三、定积分的简单应用

定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积，解题步骤为： ①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．

⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤

对应阶段质量检测(四) 见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知∫b a f (x )d x ＝m ，则∫b

a nf (x )d x ＝( )

A ．m ＋n

B ．m －n

C ．mn

D.m n

解析：根据定积分的性质，∫b a nf (x )d x ＝n ∫b a f (x )d x ＝mn .

答案：C

2.∫10(e x ＋2x )d x 等于( )

A ．1

B ．e －1

C ．e

D.e ＋1

解析：∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)⎪⎪⎪

1

＝(e 1＋1)－e 0＝e ，故选C. 答案：C

3．若∫k 0(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )

A ．0

B ．1

C ．0或1

D.不确定

解析：∫k 0(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)

⎪⎪⎪

k

＝k 2－k 3＝0，

∴k ＝0(舍去)或k ＝1，故选B. 答案：B

4．(江西高考)若f (x )＝x 2

＋2⎠⎛01

f (x )d x ，则⎠⎛01

f (x )d x ＝( )

A ．－1

B ．－1

3

C.13

D.1

解析：∵f (x )＝x 2

＋2⎠⎛01

f (x )d x ，

∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x 10＝13＋2⎠⎛

01

f (x )d x . ∴⎠⎛01

f (x )d x ＝－1

3. 答案：B

5．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66

f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8

D.16

解析：∵f (x )为偶函数，∴其图像关于y 轴对称， ∴⎠⎛-66

f (x )d x ＝2⎠⎛06

f (x )d x ＝16. 答案：D

6．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为( )

A.12

B.13

C.14

D.15

解析：根据题意得S 阴影＝∫103x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪

1

＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴影S 长方形＝13×1＝1

3

. 答案：B

7．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积是( ) A.53 B.323

C.643

D.9

解析：解⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝－x 2

，

y ＝2x －3，得交点A (－3，－9)，B (1，－1)．

则y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积

S ＝∫1－3(－x 2)d x －∫1

－3(2x －3)d x

＝－13x 3| 1－3－(x 2－3x ) |1－3＝323. 答案：B

8．由曲线y ＝x ，x ＝4和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为( ) A ．16π B ．32π C ．8π

D.4π

解析：由图知旋转体的体积为π∫40(x )2

d x ＝π2

x 2 |4

＝8π.

答案：C

9．已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A ．gt 20

B.gt 20

3

C.gt 202

D.gt 206

解析：s ＝∫t 00v (t )d t ＝12gt 2 |t 00＝1

2gt 20.

答案：C

10．如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是(

)

A ．6

B ．9

C ．12

D.3

解析：由⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝3－x 2

，

y ＝x 2

－2x －1， 解得交点(－1,2)，(2，－1)，

所以S ＝∫2－1[(3－x 2)－(x 2

－2x －1)]d x ＝∫2－1(－2x 2＋2x ＋4)d x

＝⎝⎛⎭⎫－23x 3＋x 2＋4x ⎪⎪⎪

2

－1＝9. 答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)

11. ⎠⎜⎛0π

3cos x d x ＝________.

解析：⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪

π30

＝3

2.