5.3 真空中静电场的高斯定理解析
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
电通量真空中静电场的高斯定理
高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。
真空中静电场(高斯定理)
QR
电场方向、大小
Q P
o
r
E
S
dS
• 选取合适的高斯面(闭合面)
E dS EdS E dS E4 r 2
S
S
S
• 再根据高斯定理解方程
qi内
E4r 2 i 0
E 1
4 0
qi
i
r2
E 1
4 0
qi
ir2ຫໍສະໝຸດ ds E
ds
E ds
S
侧面
两底面
E2rl 0
利用高斯定理解出 E
ds r
l
Eds
E 2rl l 0
E 1 2 0 r
例三. 无限大均匀带电平面的电场分布
分析:无限大带电面两侧电场分布对称
作高斯面如图示:
e
E dS
例四. 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0 求证: 体内处处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
由高斯定理
E dS 0
qi内 内dV 0
S
i
V
体积元任取
内 0
证毕
作业
习题P321-322
7-15,7-17,7-18,7-21
讨论
Q P
Ro r
E
S
dS
r R qi 0
i
r R qi Q
i
rR E0
rR
E
1
4 0
Q r2
如何理解面内场强为0 ?
dE1 dE2
P
真空中的高斯定理
三. 高斯定理
高斯定理：是关于电场线、电荷分布、空间 曲面三者之间的关系；
高斯定理的导出
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
三. 高斯定理
点电荷位于球面中心
q
E
Φe
4π
E dS
0r 2
q
dS
2. 推广到一般的电场，电场可以是任意带电体的电荷 产生的电场。电场力对电荷所作的功只与起点和终 点的位置有关，与所经历的路径无关。
静电场力是保守力，静电场是保守场。
二.静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功：
A F dl q0E dl
b
a
z
en
E dS
S
E dS E dS E dS
s(柱侧面）
s ( 上底）
s (下底）
E dS 0 0
s ( 柱侧面）
+
E
+
r h
+
+o y
x
+ en en
E dS EdS
S
s ( 柱侧面）
S
E cosdS
S
E
dS
eˆn E
E
dS
S
E
规定
电通量是一个 标量，可正可负
1. 规定闭合曲面法线方向：向外为正！
2. 即如果电场线从闭合曲面内向外穿出则 电通量为正；反之，电通量为负
dΦe E dS E cosdS
高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高斯定理高...
a
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零
Q q0 ≠ 0
r r ∴ ∫ E • dl = 0
26
在点电荷系电场中：
r n r E = ∑ Ei
i =1 l
n r r n r r r r ∫ E ⋅ dl = ∫ ∑ Ei ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl = 0 l l i =1 i =1
r r 3. 分别求出 Φ E = ∫ E ⋅ d S
从而求得 E
和 ΦE =1Biblioteka εo∑qS内
i
，
17
例5-5 求均匀带电球面的电场。半径为R，带电量q>0 解: 对称性分析
r<R
= E 1 4π r
2
r E 具有球对称 作高斯面——球面
r v Φ e = ∫ E 1 ⋅ d S = E 1 ∫ dS
电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 电荷处在静电场中一定的位置就具有一定的势能， 称为电荷在静电场中的电势能 称为电荷在静电场中的电势能。 电势能。 静电场力对电荷所做的功 = 静电势能增量的负值 试验电荷 q0 处于 a 点和 b 点分 别具有电势能 Wa 和 Wb 则 a → b 电场力的功
∆S
∆S
r E
θ
θ
r n
r E
Φe = E∆S
r r Φe = E∆S cosθ = E • ∆S
8
(2) 非均匀电场 S为任意曲面
dΦe = EdS⊥ = EdS cos θ v v = E ⋅ dS
Φ e = ∫ d Φ e = ∫ E cos θ dS S S v v v v = ∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ n dS
静电场中的高斯定理
静电场中的高斯定理：高斯定理是静电学中的一个重要定理, 它反映了静电场的一个基本性质, 即静电场是有源场, 其源即是电荷。
可表述为: 在静电场中, 通过任意闭合曲面的电通量, 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和的1/ε倍, 与闭合曲面外的电荷无关。
表达式为01()1/n i i S E ds q φε==∙=∑⎰⎰ （1）高斯定理是用来求场强E 分布, 定理中, S 是任意曲面, 由于数学水平的限制, 要由高斯定理计算出E,则对由场的分布有一定的要求, 即电荷分布具有严格的对称性( 若电荷分布不对称性即不是均匀的, 引起电场分布不对称, 不能从高斯定理求空间场强分布,高斯定理当然仍是成立的) , 由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性, 场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。
典型情况有三种:1) 球对称性, 如点电荷, 均匀带电球面或球体等;2) 轴对称性, 如无限长均匀带电直线, 无限长均匀带电圆柱或圆柱面, 无限长均匀带电同轴圆柱面3) 面对称性, 如均匀带电无限大平面或平板,或者若干均匀带电无限大平行平面。
根据高斯定理计算场强时, 必须先根据电荷分布的对称性, 分析场强分布的对称性; 再适当选取无厚度的几何面作为高斯面。
选取的原则是:○1 待求场强的场点必须在高斯面上;○2 使高斯面的各个部分或者与E 垂直, 或者E 平行;○3 与E 垂直的那部分高斯面上各点的场强应相等;○4 高斯面的形状应是最简单的几何面。
最后由高斯定理求出场强。
高斯定理说明的是通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的所有电荷的代数和之间的关系, 即闭合曲面的总场强E 的电通量只与曲面所包围的电荷有关, 但与曲面内电荷的分布无关。
但闭合曲面上的电场强度却是与曲面内外所有电荷相联系的,是共同激发的结果。
下面举一些例子来说静电场中高定理的应用：例1：一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为()Ar r R ρ=≤，0()r R ρ=>，A 为大于零的常量。
高斯定理解析
b E r0 3 0
高斯定理—练习
讨论：
空腔处的电场强度为
特征：
b E r0 3 0
b O R 恒值
O' P
大小 方向
b E 3 0 r0
匀强电场
同向
s
0
高斯定理
说明
qi E dS
s
0
1、等式左边是电通量的定义，其中E为参考面dS上合场 强（空间 所有电荷对dS面的贡献）。 2、等式右边是高斯定理的结果，其中qi为高斯面内所
包围的净电荷。
3、静电场为有源场。 其穿过闭合曲面的电通量只与参考面内所包围的电荷有关。 其曲面上各点的电场强度只与参考面内所包围的电荷有关。
0
高斯定理
对称性分析
1、利用Gauss定理为求电场强度，首先要做对称性分析， 寻找合适的高斯面。 2、下面以均匀带电球体为例： 1）球外（一）： 合场强方向沿径向
高斯定理 2、下面以均匀带电球体为例： 1）球外（二）： 合场强方向沿径向
（1） 在球外，空间各点电场强度方向沿径向方向 （2） 在球外，距离球心相等距离处，电场强度大小相等。
b
O'
O
R
P
高斯定理—练习
解： 利用补偿法 将带空腔的带电球看作： -
+ O' r b O R O' P
O R
r1ห้องสมุดไป่ตู้
P
+
2
P
e
e
E dS 4r
q/
s
0 3 1
2 1
E1
4 r / 3 0
E1 OP 3 0 同理： E2 PO 3 0
真空中的高斯定理
证: 体内处处不带电
证明： 导体内任取体积元 dV 其表面积为 S
E dS 0
qi dV 0
S
i
V
体积元任取 0
立体角的概念
定义：线段元 dl 对某点所张的平面角
d dl0 dl0 dl cos
r0
r
r
立体角 面元dS 对某点所张的立体角
d
dS0 r0 2
dS0 r2
dS r2
E ds
S
侧面
两底面
E2rl
利用高斯定理解出E
E 2rl l 0
E
2 0r
rP
dE
ds r
l
Eds
例：求无限大平面的场强（电荷面密度为 ）
解: 对称性：平面对称 高斯面 求解E
dS
E dS EdS E dS 2ES
E
E
S
底面
底面
2ES S / 0
E 20
例 导体静电平衡时,体内场强处处为0
二.电通量
E
通过任意面积元的电通量 d E dS
通过任意曲面的电通量 d E dS
S S 正负号 与法线方向相关 E dS 0
通过闭合面的电通量 E dS S
面元方向规定：外法向
E dS 0
电力线穿出
E
E dS 0 电力线穿入
E dS 0
电力线净穿出
S
dq1 dS1 dq2 dS2
dq1 在P点场强
dE1
dS1 4 0r12
d 4 0
dq2 在P点场强
dE2
dS2 4 0r22
d 4 0
dE1 dE2
§3 高斯定理
一.电力线 方向：力线上每一点的切线方向
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(2) 若q 位于任意曲面S 内； (3) q位于任意闭合曲面S 以外。
第五章 真空中的静电场
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
(1)点电荷位于球面中心
q E 4πε0R2
dΦe E d S
Φe
EdS
S
q d S 4 πε0 R2 S
dS
+ q
R
物理学
既然电场是由电荷所激发的，那么，通过电
场空间某一给定闭合曲面的电场强度通量与激发
电场的场源电荷必有确定的关系。高斯通过缜密
运算论证了这个关系,这就是著名的高斯定理。
下面以点电荷为例，得出相关结论，而后导出 高斯定理。
例 求下列情况中通过曲面S、S及 S的电场强
度通量：
(1) 点电荷+q位于半径为r 的球面S 的球心处 ；
3. 在均匀电场
E
3i
2
j中，过
yoz
平面内
面积为S的电通量。 E
y
E
R
O
S
O
x
S1 S2 0
S1 (E π R2 ) 0 S1 E π R2
Z E S
(3i 2 j) Si
3S
第五章 真空中的静电场
17
大学
2 电场强度通量
作通电过场该中曲通面过的任电一场曲强面度的通电量场，线的简的称条E数通，量称。
用符号Φ表e 示.
匀强电场，
垂E直平面时.
(en
//
E)
SS
Φe ES
第五章 真空中的静电场
Een E
10
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
匀强电场，E与
e成n 夹角
。θ
(2) 疏密表示电场强度的大小
垂直于电场线的单位面积上电场线条数等于 该点的电场强度的大小。
第五章 真空中的静电场
2
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
典型电场的电场线分布图形
正点电荷与负点电荷的电场线 一对等量正点电荷的电场线 一对等量异号点电荷的电场线 一对不等量异号点电荷的电场线 带电平行板电容器的电场线
q 通过球面的电场强度通量等于球面 ε0 所包围的电荷除以真空电容率。
第五章 真空中的静电场
20
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
(2)点电荷在闭合曲面内
S
将包围点电荷q的球面
S
换成任意闭合曲面
+
显然，穿过闭合曲
q
面 和S穿 过球面 的电S
力线条数相等。
Φe
EdS
S
q 通过任意闭合曲面的电场强度通
s1
E dS ES1 cos π ES1
Φe2 s1 E dS ES2 cosθ ES1
5
Φe Φei 0
y
P N
S2
en
E
i 1
S1
en
o
R
x
zM
en Q
第五章 真空中的静电场
16
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
2. 求均匀电场中一半球面的电通量。
ε0
量等于闭合曲面所包围的电荷除 以真空电容率。
5.3 真空中静电场的高斯定理
1. 三棱柱体放置在如图所示的匀强电场中.求通 过此三棱柱体的电场强度通量.
解
5
Φe Φei i 1
Φe1 Φe2
y
P N
en S1 o
zM
en
E
S2
R
en Q
x
第五章 真空中的静电场
15
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
Φe1
（1）电场线总是起始于正电荷，终止于负电荷，电 场线不会形成闭合线。
（2）在没有电荷的地方电场线不中断，任意两条 电场线不会相交。
（3）电场线密集的地方，电场强度较大；电场 线疏稀的地方，电场强度较小。
电场线的这些性质反映了静电场的特征。
第五章 真空中的静电场
9
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
第五章 真空中的静电场
3
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
第五章 真空中的静电场
4
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
一对等量正点电荷的电场线
+
+
第五章 真空中的静电场
5
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
第五章 真空中的静电场
13
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
➢ 闭合曲面 规定面元的法向单位矢量取向外为正。
电场线穿出，电通量为正，反之则为负。
Φe
E dS
S
E cosθdS
S
“穿出”θ 90
θ en
E
“穿进”θ 90
E
θ
en
S
第五章 真空中的静电场
14
大学 物理学
练习
6
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
一对不等量异号点电荷的电场线
+ 2q
q-
第五章 真空中的静电场
7
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
------------
第五章 真空中的静电场
8
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
电场线性质
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
二、高斯定理
高斯 (C.F.Gauss 17771855）
德国数学家、天文学家和 物理学家，有“数学王子” 美称，他与韦伯制成了第一 台有线电报机和建立了地磁 观测台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
第五章 真空中的静电场
18
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
en
θ
E
电场穿过某曲面
dS
的电通量为
S
Φe
E dS
S
第五章 真空中的静电场
12
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
非匀强电场，通过任意闭合
曲面S的电场强度通量.
v
S
E
Φe
E dS
S
说明
➢ 不闭合曲面
面元的法向单位矢量可有两种相反取向，电通 量可正也可负；
第五章 真空中的静电场
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
一、电场线 电场强度通量
1 电场线
为了形象直观地描述电场强度在空间的分布，在
电场中画一系列曲线，这些曲线称为电场线。
EB •
EC
EA • B C
•A
第五章 真空中的静电场
1
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
电场线规定
(1) 电场线上各点的切线方向表示该点场强的 方向；
S
Sθ
θ
en
E
Φe
ES
cos
θ
ES
第五章 真空中的静电场
11
大学
5.3 真空中静电场的高斯定理
物理学
非匀强电场，通过任意曲面S的电场强度通量.
将曲面分割为无限多个面元，称为面积元矢量。
dS
dS
en
电场穿过该面元 的电通量为
dΦe E cosθdS E dS