山东省乐陵市高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4二面角及其度量1学案无答案新人教A版选修2_1
山东省乐陵市第一中学高中数学人教B版选修2-1导学案：
二面角及其度量2【学习目标】：理解二面角的定义，能用定义法或向量法求二面角。
【自主学习】：设向量2121,nnlnn与的法向量，则向量是二面角βα--的夹角（或其补角）就等于二面角的平面角，所以，2121cosnnnn•=θ至于2121cosnnnn•=θ还是2121cosnnnn•-=θ，需要结合题意与直观图形判断θ是锐角还是钝角而定。
【自我检测】1、自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，这两条垂线所成的角与二面角的大小关系是（）A. 相等B. 互为补角C. 互为余角D. 相等或互补2、已知二面角βαβα⊥⊥nmnml,,60--为异面直线，且，的大小为ο，则直线nm,的夹角为（）οοοο120.90.60.30.DCBA3.如图，在四面体aABaBCDCADBCDADABCD3,,====⊥平面中，（1）求证：平面ADCABC平面⊥（2）求二面角DABC--的大小【合作探究】1、,aABPAABCDABCDPAABCDP==⊥-为正方形，，且底面中，已知四棱锥所成的角的大小与）求（的中点。
是点DMBPPCM1（2）的大小。
求二面角C DA M --2、已知BC AB SA ABCD SA ABC ABCD ==⊥=∠=∠,,90DAB 平面是直角梯形，ο =1，AD=21,的夹角的正切值与平面求平面SCD SAB【反思与总结】【达标检测】1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=3,BC=1,31=CC ,求下列两个平面所成的角。
（1）ABCD BC A 与平面平面1（2）ABCD AB C 与平面平面1【课后作业】1．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，AB CB AC AA BB AB E D 22,,11===的中点，分别是（1）证明：CD A BC 11//平面 （2）求二面角E C A D --1的正弦值2．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F.（1）证明⊥PB 平面EFD ；（2）求二面角D -PB -C 的大小．。
2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.4二面角及其度量学案新人教B版选修2_1
3．2.4 二面角及其度量学习目标核心素养1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点)2.掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点) 1.通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养学生的数学抽象素养.2.借助求二面角的方法和步骤的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作αlβ，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作AlB，也可记作2∠l，二面角的范围为[0，π]．(3)二面角的平面角：在二面角αlβ的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角αlβ的平面角．思考：如何找二面角的平面角？[提示](1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．用向量的夹角度量二面角设二面角的大小为θ，n1，n2为两个非零向量．(1)当n1∥α，n2∥β，n1⊥l，n2⊥l，且n1，n2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n1，n2〉．(2)当n1⊥α，n2⊥β，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不能确定C [由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或互补．]2．三棱锥A BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A BD C 的大小为( )A.π3 B.2π3 C.π3或2π3 D.π6或π3C [当二面角A BD C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝π3；当二面角A BD C 为钝角时，它应等于π〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3.]3．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________．27[由题得AB →＝(－1,2,0)，AC →＝(－1,0,3)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.令x ＝2，得y ＝1，z ＝23，则平面ABC 的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，23.平面xOy 的一个法向量为OC →＝(0,0,3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪OC →·n|OC →|·|n |＝23×73＝27.]用定义法求二面角【例1】 如图所示，ABCD 是正方形，V 是平面ABCD 外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝AB ，求二面角A VB C 的余弦值．[思路探究] 先判断△VAB ，△VBC 为等边三角形，取VB 的中点E ，连接AE ，CE ，再证明∠AEC 是二面角的平面角．[解] 取VB 的中点为E ， 连接AE ，CE . ∵VA ＝VB ＝VC ＝AB ， ∴AE ⊥VB ，CE ⊥VB .∴∠AEC 是二面角A VB C 的平面角． 设AB ＝a ，连接AC ，在△AEC 中，AE ＝EC ＝32a ，AC ＝2a ，由余弦定理可知：cos∠AEC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－(2a )22×32a ×32a ＝－13，∴所求二面角A VB C 的余弦值为－13.用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)； (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角； (3)解三角形求角.1．如图所示，在四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)证明AB ⊥平面VAD ；(2)求面VAD 与面VDB 夹角的正切．[解] (1)证明：∵平面VAD ⊥平面ABCD ，交线为AD .AB ⊂平面ABCD ，AB ⊥AD .∴AB ⊥平面VAD .(2)如图，取VD 的中点E ，连接AE ，BE . ∵△VAD 是正三角形， ∵AE ⊥VD ，AE ＝32AD . ∵AB ⊥平面VAD ，∴AB ⊥AE . 又由三垂线定理知BE ⊥VD .因此，∠AEB 是所求二面角的平面角． 于是tan∠AEB ＝AB AE ＝233，即平面VAD 与平面VDB 夹角的正切为233.用向量法求二面角[探究问题]1．构成二面角的平面角有几个要素？[提示] (1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？ [提示] 条件平面α，β的法向量分别为u ，v ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u ，v 〉＝φ图形关系 θ＝φθ＝π－φ计算cos θ＝cos φcos θ＝－cos φABCD A 1B 1C 1D 1AC BD O A 1C 1B 1D 1O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1OB 1D 的余弦值．[思路探究] (1)充分利用图形中的垂直关系，用传统的方法(综合法)可证． (2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用法向量求二面角的余弦值．[解] (1)因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ， 又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ，因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD . (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ，又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1→，m ⊥OC 1→，所以3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0， 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝2319＝25719. 由图形可知二面角C 1OB 1D 的大小为锐角， 所以二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719.1．(改变问法)本例条件不变，求二面角B A 1C D 的余弦值． [解] 如图建立空间直角坐标系．设棱长为2，则A 1(0，－1,2)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)． 所以BC →＝(－3，1,0)，A 1C →＝(0,2，－2)，CD →＝(－3，－1,0)． 设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·A 1C →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎨⎧2y 1－2z 1＝0，－3x 1＋y 1＝0，取x 1＝3，则y 1＝z 1＝3，故n 1＝(3，3,3)．设平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C →＝0，n 2·CD →＝0，即⎩⎨⎧2y 2－2z 2＝0，－3x 2－y 2＝0，取x 2＝3，则y 2＝z 2＝－3，故n 2＝(3，－3，－3)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1521＝－57.由图形可知二面角B A 1C D 的大小为钝角，所以二面角B A 1C D 的余弦值为－57.2．(变换条件、改变问法)本例四棱柱中，∠CBA ＝60°改为∠CBA ＝90°，设E ，F 分别是棱BC ，CD 的中点，求平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值．[解] 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A (0,0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，D 1(0,1,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，AB 1→＝(1,0,1)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，AD 1→＝(0,1,1)．设平面AB 1E 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋z 1＝0，x 1＋12y 1＝0，令y 1＝2，则x 1＝－1，z 1＝1， 所以n 1＝(－1,2,1)．设平面AD 1F 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AD 1→＝0，n 2·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋z 2＝0，12x 2＋y 2＝0.令x 2＝2，则y 2＝－1，z 2＝1.所以n 2＝(2，－1,1)．所以平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝|(－1，2，1)·(2，－1，1)|(－1)2＋22＋12·22＋(－1)2＋12＝|(－1)×2＋2×(－1)＋1×1|6×6＝12.利用坐标法求二面角的步骤设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系． (2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2. (3)计算：求n 1与n 2所成锐角θ，cos θ＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|.(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ. 提醒：确定平面的法向量是关键．空间中的翻折与探索性问题【例3】 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝2AB ＝4，E ，F 分别在线段BC ，AD 上(异于端点)，EF ∥AB .将四边形ABEF 沿EF 折起，连接AD ，AC ，BC .(1)若BE ＝3，在线段AD 上取一点P ，使AP ＝12PD ，求证：CP ∥平面ABEF ；(2)若平面ABEF ⊥平面EFDC ，且线段FA ，FC ，FD 的长成等比数列，求平面EAC 和平面ACF 夹角的大小．[解] (1)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥AB ，BE ＝3， ∴AF ＝3.又AD ＝6，BC ＝4，∴EC ＝1，FD ＝3，在线段AF 上取点Q ，使AQ ＝12QF ，连接PQ ，QE ，∵AP ＝12PD ，∴PQ 綊13DF ，∵CE 綊13DF ，∴CE 綊PQ ，∴四边形ECPQ 为平行四边形，∴CP ∥EQ ，∵CP ⊄平面ABEF ，EQ ⊂平面ABEF ，∴CP ∥平面ABEF .(2)在梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥EF ，∴EF ⊥AF ，EF ⊥FD ，∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC ＝EF ，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面EFDC .设FA ＝x (0＜x ＜4)，∵EF ＝AB ＝2，∴FD ＝6－x ，EC ＝4－x ，∴FC ＝4＋(4－x )2， ∵线段FA ，FC ，FD 的长成等比数列， ∴FC 2＝FA ·FD ，即4＋(4－x )2＝x (6－x )， 化简得x 2－7x ＋10＝0，∴x ＝2或x ＝5(舍去)．以点F 为坐标原点，FE ，FD ，FA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则F (0,0,0)，E (2,0,0)，C (2,2,0)，A (0,0,2)， ∴EC →＝(0,2,0)，EA →＝(－2,0,2)， 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面EAC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EC →＝0n 1·EA →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 1＝0－2x 1＋2z 1＝0，取z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝0，∴平面EAC 的一个法向量为n 1＝(1,0,1)． 又FC →＝(2,2,0)，FA →＝(0,0,2)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC →＝0n 2·FA →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2y 2＝02z 1＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝0，∴平面ACF 的一个法向量为n 2＝(1，－1,0)． ∴cos〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝12×2＝12.∵平面EAC 和平面ACF 的夹角为锐角， ∴平面EAC 和平面ACF 的夹角为60°.1．与空间角有关的翻折问题与最值问题的解法(1)翻折问题：要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．(2)三视图问题：关于三视图问题，关键是通过三视图观察直观图中的对应线段的长度． 2．关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．2．如图所示，四棱锥P ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)求证：AB ⊥PD .(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P ABCD 的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值．[解] (1)因为ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ； 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PD . (2)过点P 作PO ⊥AD 于点O ，则PO ⊥平面ABCD ，过点O 作OM ⊥BC 于点M ， 连接PM .则PM ⊥BC ，因为∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2， 所以BC ＝6，PM ＝233，设AB ＝t ，则在Rt△POM 中，PO ＝43－t 2，所以V P ABCD ＝13·t·6·43－t 2 ＝13－6⎝⎛⎭⎪⎫t 2－232＋83，所以当t 2＝23，即t ＝63时，V P ABCD 最大为269.如图， 此时PO ＝AB ＝63，且PO ，OA ，OM 两两垂直，以OA ，OM ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ， 则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0，0， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，63，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63，0. 所以PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0，－63，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，63，－63，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63，－63.设平面PCD 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋y 1－z 1＝0，－2x 1－z 1＝0，令x 1＝1，则m ＝(1,0，－2)，|m |＝5； 同理设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)， ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋y 2－z 2＝0，x 2＋y 2－z 2＝0，令y 2＝1，则n ＝(0,1,1)，|n |＝2，设平面PBC 与平面DPC 夹角为θ，显然θ为锐角，且cos θ＝|m·n ||m||n |＝25×2＝105.1．思考辨析(1)二面角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. ( )(2)若二面角αl β的两个半平面的法向量分别为n 1，n 2，则二面角的平面角与两法向量夹角〈n 1，n 2〉一定相等．( ) (3)二面角的大小通过平面角的大小来度量．( ) [提示] (1)× 不是．是[0，π]．(2)× 不一定．可能相等，也可能互补．(3)√2．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1BC A 的余弦值为( )A.12B.23C.22D.33C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 BC A 的平面角，cos∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22.] 3．若直线l 的方向向量a ＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值等于________．23834[设直线l 与平面α所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n ||n||a|＝|－8＋1|14·17＝23834.] 4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1BD C 1的余弦值是________．13[如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0， 令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面BC 1D 的一个法向量m ＝(1，－1,1)， 则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝13，所以二面角A 1BD C 1的余弦值为13.]。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量学案(含解析)新人教B版选修2
学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤．知识点一直线与平面所成的角1．直线与平面所成的角2．最小角定理知识点二二面角及理解1．二面角的概念(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.(2)二面角的记法：棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l—β.如图，A∈α，B∈β，二面角也可以记作A—l—B，也可记作2∠l.(3)二面角的平面角：在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O 在l 上的位置无关．(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5)二面角的范围是[0°，180°]．2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法(1)如图，分别在二面角α—l —β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则〈n 1，n 2〉等于该二面角的平面角．(2)如图，设m 1⊥α，m 2⊥β，则角〈m 1，m 2〉与该二面角大小相等或互补．1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × )2．二面角的大小范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × )3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × )题型一 求直线与平面的夹角例1 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，2a )，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，2a ， 方法一 取A 1B 1的中点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a2，2a ，连接AM ，MC 1，则MC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0，0，AB →＝(0，a,0)，AA 1→＝(0,0，2a )．∴MC 1→·AB →＝0，MC 1→·AA 1→＝0， ∴MC 1→⊥AB →，MC 1→⊥AA 1→， 则MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1. 又AB ∩AA 1＝A ， ∴MC 1⊥平面ABB 1A 1.∴∠C 1AM 是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．由于AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，2a ，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，2a ，∴AC 1→·AM →＝0＋a 24＋2a 2＝9a 24，|AC 1→|＝3a 24＋a 24＋2a 2＝3a ， |AM →|＝a 24＋2a 2＝32a ， ∴cos〈AC 1→，AM →〉＝9a243a ×3a 2＝32. ∵〈AC 1→，AM →〉∈[0°，180°]，∴〈AC 1→，AM →〉＝30°， 又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.方法二 AB →＝(0，a,0)，AA 1→＝(0,0，2a )，AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，2a .设侧面ABB 1A 1的法向量为n ＝(λ，y ，z )， ∴n ·AB →＝0且n ·AA 1→＝0.∴ay ＝0且2az ＝0. ∴y ＝z ＝0.故n ＝(λ，0,0)． ∴cos〈AC 1→，n 〉＝n ·AC 1→|n ||AC 1→|＝－λ2|λ|， ∴|cos〈AC 1→，n 〉|＝12.又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.反思感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．跟踪训练1 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点，求BD 与平面ADMN 所成的角θ.解 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ，设BC ＝1，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2) 则N (1,0,1)， ∴BD →＝(－2,2,0)， AD →＝(0,2,0)， AN →＝(1,0,1)，设平面ADMN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋z ＝0，取x ＝1，则z ＝－1，∴n ＝(1,0，－1)，∵cos〈BD →，n 〉＝BD →·n |BD →||n |＝－28·2＝－12，∴sin θ＝|cos 〈BD →，n 〉|＝12.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 题型二 求二面角例2 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD 中，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝AB ，E 是PD 的中点，求平面EAC 与平面ABCD 的夹角．解 方法一 如图，以A 为原点，分别以AC ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设PA ＝AB ＝a ，AC ＝b ，连接BD 与AC ，交于点O ，取AD 中点F ，连接EF ，EO ，FO ，则C (b,0,0)，B (0，a,0)．∵BA →＝CD →，∴D (b ，－a,0)，P (0,0，a )，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，－a 2，a 2，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，0，0，OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)．∵OE →·AC →＝0，∴OE →⊥AC →，OF →＝12BA →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，0，OF →·AC →＝0.∴OF →⊥AC →.∴∠EOF 等于平面EAC 与平面ABCD 的夹角． cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →|OE →||OF →|＝22.∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°. 方法二 建系如方法一， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴AP →＝(0,0，a )为平面ABCD 的法向量， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)．设平面AEC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2x －a 2y ＋a 2z ＝0，bx ＝0.∴x ＝0，y ＝z .∴取m ＝(0,1,1)，cos 〈m ，AP →〉＝m ·AP →|m ||AP →|＝a 2·a ＝22.又平面EAC 与平面ABCD 所成角的平面角为锐角， ∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°.反思感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．跟踪训练2 若PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求锐二面角A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，故AP →＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)，CB →＝(2，0,0)，CP →＝(0，－1,1)， 设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AP →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎨⎧z ＝0，2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－2，故m ＝(1，－2，0)． 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·CP →＝0，即⎩⎨⎧2x ′＝0，－y ′＋z ′＝0.令y ′＝－1，则z ′＝－1，故n ＝(0，－1，－1)，∴cos〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33.∴锐二面角A －PB －C 的余弦值为33. 题型三 空间角中的探索性问题例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)求证：AB ⊥PD ；(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P －ABCD 的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值． (1)证明 因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD ； 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PD . (2)解 过点P 作PO ⊥AD 于点O .则PO ⊥平面ABCD ，过点O 作OM ⊥BC 于点M ， 连接PM .则PM ⊥BC ，因为∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2， 所以BC ＝6，PM ＝233，设AB ＝t ，则在Rt△POM 中，PO ＝43－t 2， 所以V P －ABCD ＝13·t ·6·43－t 2 ＝13－6⎝⎛⎭⎪⎫t 2－232＋83，所以当t 2＝23，即t ＝63时，V P －ABCD 最大为269.如图，此时PO ＝AB ＝63，且PO ，OA ，OM 两两垂直， 以OA ，OM ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ， 则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，63，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0，0， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，63，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63，0. 所以PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0，－63，PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，63，－63，PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63，63，－63. 设平面PCD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋y 1－z 1＝0，－2x 1－z 1＝0，令x 1＝1，则m ＝(1,0，－2)，|m |＝5； 同理设平面PBC 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)， ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋y 2－z 2＝0，x 2＋y 2－z 2＝0，令y 2＝1，则n ＝(0,1,1)，|n |＝2，设平面PBC 与平面DPC 的夹角为θ，显然θ为锐角， 所以cos θ＝|m ·n ||m ||n |＝25×2＝105.即平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值为105. 反思感悟 利用空间向量解决空间角中的探索性问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．跟踪训练3 如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，且AB ⊥AC ，点M 是CC 1的中点，点N 是BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足A 1P →＝λA 1B 1→.(1)证明：PN ⊥AM ；(2)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角最大值的正切值．(1)证明 以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则P (λ，0,1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， 从而PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12， PN →·AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ×0＋12×1－1×12＝0， 所以PN ⊥AM .(2)解 过点P 作PE ⊥AB 于E ，连接EN ， 则PE ⊥平面ABC ， 则∠PNE 为所求角θ， 所以tan θ＝PE EN ＝1EN，因为当点E 是AB 的中点时，EN min ＝12.所以(tan θ)max ＝2，此时，λ＝12.利用向量求二面角典例 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.(1)证明：平面ABEF ⊥EFDC ； (2)求二面角E-BC-A 的余弦值． 考点 向量法求平面与平面所成的角 题点 向量法求平面与平面所成的角(1)证明 由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥FE ，所以AF ⊥平面EFDC ，又AF ⊂平面ABEF ，故平面ABEF ⊥平面EFDC .(2)解 过D 作DG ⊥EF ，垂足为G ，由(1)知DG ⊥平面ABEF .以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz .由(1)知∠DFE 为二面角D －AF －E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则DF ＝2，DG ＝3，可得A (1,4,0)，B (－3,4,0)，E (－3,0,0)，D (0,0，3)． 由已知AB ∥EF ，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ，所以AB ∥平面EFDC ，又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ，故AB ∥CD ，CD ∥EF ， 由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角C-BE-F 的平面角，∠CEF ＝60°， 从而可得C (－2,0，3)．所以EC →＝(1,0，3)，EB →＝(0,4,0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →＝(－4,0,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0.所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0.同理可取m ＝(0，3，4)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角E-BC-A 的余弦值为－21919. [素养评析] 试题以一个面为正方形的五面体为载体，分层设计问题，由浅入深，给不同基础的考生提供了想象的空间和展示才华的平台．第(1)问侧重对立体几何中线面垂直、面面垂直等基础知识的考查，题目比较简单．求解第(2)问的关键是充分运用直观想象，把握图形的结构特征，构建空间直角坐标系，并针对运算问题，合理选择运算方法，设计运算程序，解决问题．1．已知向量m ，n 分别是直线l 的方向向量和平面α的法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B．60°C．120°D．150° 答案 A解析 设l 与α所成的角为θ，则 sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.∴θ＝30°.2．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为( ) A.24B.23C.63D.32答案 C解析 建系如图，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A (1,0,0)，∴BC 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(－1,1,1)，A 1B →＝(0,1，－1)，A 1D →＝(－1,0，－1)．∴AC 1→·A 1B →＝1－1＝0，AC 1→·A 1D →＝1－1＝0.∴AC 1⊥A 1B ，AC 1⊥A 1D ，又A 1B ∩A 1D ＝A 1， ∴AC 1⊥平面A 1BD .∴AC 1→是平面A 1BD 的法向量． ∴cos〈BC 1→，AC 1→〉＝BC 1→·AC 1→|BC 1→||AC 1→|＝1＋12×3＝63. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成的角的正弦值为63. 3．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为__________． 答案 45°或135°解析 设二面角的平面角为θ，∵cos〈m ，n 〉＝11×2＝22，∴θ＝45°或135°.4．正四面体ABCD 中棱AB 与底面BCD 所成角的余弦值为________． 答案33解析 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，O 为△BCD 的中心，设正四面体的棱长为a ，则OB ＝33a ，∠ABO 为所求角，cos∠ABO ＝33.5．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________． 答案 27解析 AB →＝(－1,2,0)，AC →＝(－1,0,3)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由n ·AB →＝0，n ·AC →＝0知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝23.∴平面ABC 的法向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，23.平面xOy 的法向量为OC →＝(0,0,3)．所以所求锐二面角的余弦值cos θ＝|n ·OC →||n ||OC →|＝23×73＝27.1．线面角可以利用定义在直角三角形中解决．2．线面角的向量求法：设直线的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n ||a||n |.3．二面角通常可通过法向量的夹角来求解，但一定要注意法向量的夹角和二面角的大小关系．一、选择题1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A.π6B.π3C.5π6D ．以上均错 答案 B解析 直线l 与平面α所成的角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.2．直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1，v 2，若v 1与v 2所成的角为θ，直线l 1，l 2所成的角为α，则( ) A ．α＝θ B ．α＝π－θ C ．cos θ＝|cos α| D ．cos α＝|cos θ|答案 D解析 α＝θ或α＝π－θ，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 因而cos α＝|cos θ|.3．已知在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值是( ) A.23B.33C.23D.13 答案 A解析 以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)， 故DB →＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)，DC →＝(0,1,0)， 设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2， 所以n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23.4.已知在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则AB 1与ED 1所成角的余弦值为( )A.1010B.105 C ．－1010 D ．－105答案 A解析 ∵A (2,2,0)，B 1(2,0,2)，E (0,1,0)，D 1(0,2,2)，∴AB 1→＝(0，－2,2)，ED 1→＝(0,1,2)， ∴|AB 1→|＝22，|ED 1→|＝5，AB 1→·ED 1→＝0－2＋4＝2，∴cos〈AB 1→，ED 1→〉＝AB 1→·ED 1→|AB 1→||ED 1→|＝222×5＝1010，∴AB 1与ED 1所成角的余弦值为1010. 5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B —AC —D 的余弦值为( ) A.13B.12C.233 D.32 答案 A解析 设菱形对角线AC 与BD 交于O 点，则∠BOD 为二面角B —AC —D 的平面角，由余弦定理可得cos∠BOD ＝13.6．A ，B 是二面角α—l —β的棱l 上两点，P 是平面β上一点，PB ⊥l 于B ，PA 与l 成45°角，PA 与平面α成30°角，则二面角α—l —β的大小是( ) A ．30°B．60°C．45°D．75° 答案 C解析 如图，作PO ⊥α于O ，连接AO ，BO ，则∠PAO 为PA 与平面α所成角，∠PBO 为二面角α—l —β的平面角，由∠PAO ＝30°，∠PAB ＝45°，取PA ＝2a ，则PO ＝a ，PB ＝2a ，∴sin∠PBO ＝POPB ＝22，∴∠PBO ＝45°.二、填空题7．平面α的一个法向量n 1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n 2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是________． 答案 90°解析 由于n 1·n 2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0， 所以n 1⊥n 2，故α⊥β，α与β所成的角是90°.8．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________． 答案 60°或120°解析 设二面角大小为θ，由题意可知 |cos θ|＝|82＋52－72|2×8×5＝64＋25－4980＝12，所以cos θ＝±12，所以θ＝60°或120°.9．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是________． 答案 30°解析 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈PC →，n 〉 ＝PC →·n|PC →||n |＝－12，所以〈PC →·n 〉＝120°，所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成的角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成的角为30°.10．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是________. 答案π6解析 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，取AC 的中点O ，连接OB ，OB ⊥AC ，则OB ⊥平面ACC 1A 1，∴∠BC 1O 就是BC 1与平面AC 1所成的角．∵OB ＝32，BC 1＝3， ∴sin∠BC 1O ＝OB BC 1＝12， ∴∠BC 1O ＝π6.三、解答题11．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，求该二面角的大小． 解 由题意知，CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD → ＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA →，BD →〉＝(217)2. ∴cos〈CA →，BD →〉＝－12，又〈CA →，BD →〉∈[0°，180°]， ∴〈CA →，BD →〉＝120°， ∴二面角的大小为60°.12.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD .PD ＝DC ，E 是PC 的中点．求EB 与平面ABCD 夹角的余弦值．解 取CD 的中点M ，则EM ∥PD ， 又∵PD ⊥平面ABCD ， ∴EM ⊥平面ABCD ，∴BE 在平面ABCD 上的射影为BM ， ∴∠MBE 为BE 与平面ABCD 的夹角． 如图建立空间直角坐标系Dyxz ， 设PD ＝DC ＝1，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， ∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，12，BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，0，cos 〈BM →，BE →〉＝BE →·BM →|BE →||BM →|＝1＋1432× 52＝306， ∴EB 与平面ABCD 夹角的余弦值为306. 13.如图，在直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值．(1)证明 连接AC 1，交A 1C 于点F ，连接DF ，则F 为AC 1的中点，因为D 为AB 的中点， 所以DF ∥BC 1，又因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)解 由AA 1＝AC ＝CB ＝22AB ， 可设AB ＝2a ，则AA 1＝AC ＝CB ＝2a ，所以AC ⊥BC ，又由直棱柱知CC 1⊥平面ABC ，所以以点C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz 如图．则C (0,0,0)，A 1(2a ，0, 2a )，D ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 2a ，22a ，CA 1→＝( 2a,0, 2a )， CD →＝⎝⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0，CE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0， 2a ，22a ，A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，2a ，－22a . 设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·CD →＝0且n ·CA 1→＝0， 可解得y ＝－x ＝z ，令x ＝1，得平面A 1CD 的法向量为n ＝(1，－1，－1)， 同理可得平面A 1CE 的法向量为m ＝(2,1，－2)， 则cos 〈n ，m 〉＝33， 又因为〈n ，m 〉∈[0°，180°]， 所以sin 〈n ，m 〉＝63， 所以二面角D -A 1C -E 的正弦值为63.14.如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 的中点，则二面角C BF D 的正切值为( )A.36 B.34 C.33D.233 答案 D解析 如图所示，连接BD ，AC ∩BD ＝O ，连接OF .以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝ 3.所以B ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0.结合图形可知，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0且OC →为平面BOF 的法向量，由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12，可求得平面BCF 的法向量n ＝(1，3，3)． 所以cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，所以tan 〈n ，OC →〉＝233.15．直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， 求AA 1与平面AED 夹角的正弦值.解 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，设CA ＝2a ，则A (2a,0,0)，B (0,2a,0)，D (0,0,1)，A 1(2a,0,2)，E (a ，a,1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，13. 从而GE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，23， BD →＝(0，－2a,1)，由GE ⊥BD ，得GE →·BD →＝0，得a ＝1.∴DA →＝(2,0，－1)，DE →＝(1,1,0)设n ＝(x ，y ，z )为平面AED 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －z ＝0，x ＋y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ z ＝2x ，y ＝－x ， 令x ＝1，则y ＝－1，z ＝2， 即n ＝(1，－1,2)，又AA 1→＝(0,0,2)， 设AA 1与平面AED 的夹角为θ， sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝|AA 1→·n ||AA 1→||n |＝|4|6×2＝63. ∴AA 1与平面AED 夹角的正弦值为63.。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.4 二面角及其度量
3.2.4 二面角及其度量
课前导引
问题导入
如下图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
如何用空间向量求二面角A—PB—C的大小？
运用空间向量求二面角的大小，比用几何的方法求二面角的大小更容易入手.本节课我们就学习用空间向量解立体几何问题.
知识预览
1二面角的概念
（1）半平面——平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一个部分都叫做_________________;
(2)二面角——从一条直线出发的_________________所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，这叫做二面角的面.
(3)二面角的符号表示——如果一个二面角的两个面记为α、β，棱记作AB，则这一个二面角可以表示为___________________.
答案：(1)半平面
(2)两个半平面每个半平面
(3)α-AB-β
2二面角的平面角
（1）二面角的平面角的概念——以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角；
（2）二面角的取值范围——二面角的大小可以用它的平面角来度量，规定取值范围是_____________；其中平面角是的______________二面角叫做直二面角.
答案：(1)垂直
(2)［0,π］90°。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.4二面角及其量(第1课时)b21b高二21数学
12/12/2021
第一页，共十七页。
引入课题(kètí)
1.在平面几何(píngmiànjǐhé)中"角"是怎样定义的？ 平面中的角刻画了两直线的相对倾斜程度.
2.“线面角”是怎样(zěnyàng)定义的？
二面 角 l
二面 角 AB
二面P 角 lQ 二面 P角 AB Q
第三页，共十七页。
知识点二：二面角的度量(dùliàng)
以二面角的棱上任意(rènyì)一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
二面角的大小(dàxiǎo)用它的平面角来度量 二面角的平面角必须满足：
No 范围:[0°，180°]。(3)角的边都要垂直于二面角的棱.。如何用向量表示平面与平面所成的角。∵VA＝AB＝BC＝VC，。∴AE⊥VB，CE⊥VB.。
（回到图形问题）
Image
12/12/2021
第十七页，共十七页。
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中 涉及的点、直线、平面(píngmiàn)，把立体几何问题转化为向量问题；
（化为向量问题）
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置 关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （回到图形问题）
B1 B
l
O1
A A1
O
(1)角的顶点在棱上; (2)角的两边分别在两个面内; (3)角的边都要垂直于二面角的棱.
二面角的大小的范围:[0°，180°]
山东省乐陵市第一中学数学选修2-1学案3-1二面角及其度量2 精品
二面角及其度量2【学习目标】：理解二面角的定义，能用定义法或向量法求二面角。
【自主学习】：设向量2121,n n l n n 与的法向量，则向量是二面角βα--的夹角（或其补角）就等于二面角的平面角，所以，cos =θ至于cos =θ还是cos =θ，需要结合题意与直观图形判断θ是锐角还是钝角而定。
【自我检测】1、自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，这两条垂线所成的角与二面角的大小关系是（ ）A. 相等B. 互为补角C. 互为余角D. 相等或互补2、已知二面角βαβα⊥⊥n m n m l ,,60--为异面直线，且，的大小为 ，则直线 n m ,的夹角为 （ ）120.90.60.30.D C B A3.如图，在四面体a AB a BC DC AD BCD AD ABCD 3,,====⊥平面中，（1）求证：平面ADC ABC 平面⊥ （2）求二面角D AB C --的大小【合作探究】1、,a AB PA ABCD ABCD PA ABCD P ==⊥-为正方形，，且底面中，已知四棱锥 所成的角的大小与）求（的中点。
是点DM BP PC M 1（2）的大小。
求二面角C DA M --2、已知BC AB SA ABCD SA ABC ABCD ==⊥=∠=∠,,90DAB 平面是直角梯形， =1，AD=21,的夹角的正切值与平面求平面SCD SAB【反思与总结】【达标检测】1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，AB=3,BC=1,31=CC ,求下列两个平面所成的角。
（1）ABCD BC A 与平面平面1（2）ABCD AB C 与平面平面1（3）B B AA 111与平面平面AB D【课后作业】1．如图，直三棱柱111C B A ABC -中，AB CB AC AA BB AB E D 22,,11===的中点，分别是（1）证明：CD A BC 11//平面 （2）求二面角E C A D --1的正弦值2．如图，在四棱锥ABCDPD底面ABCD，P-中，底面ABCD是正方形，侧棱⊥EF⊥交PB于点F.DCPD=，E是PC的中点，作PB（1）证明⊥PB平面EFD；（2）求二面角DC的大小．--PB。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量学案含解析新人教B版选修2_1
3.2.4 二面角及其度量学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤．知识点一直线与平面所成的角1．直线与平面所成的角2．最小角定理知识点二二面角及理解1．二面角的概念(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.(2)二面角的记法：棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l —β.如图，A ∈α，B ∈β，二面角也可以记作A —l —B ，也可记作2∠l .(3)二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O 在l 上的位置无关．(4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角．(5)二面角的范围是[0°，180°]．2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法(1)如图，分别在二面角α—l —β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则〈n 1，n 2〉等于该二面角的平面角．(2)如图，设m 1⊥α，m 2⊥β，则角〈m 1，m 2〉与该二面角大小相等或互补．1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × )2．二面角的大小范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( × ) 3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × )题型一 求直线与平面的夹角例1 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，2a )，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，a 2，2a ， 方法一 取A 1B 1的中点M ，。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.4 二面角及其度量学案(无答案)新人教B版选修2-1
辽宁省本溪满族自治县高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.4 二面角及其度量学案（无答案）新人教B版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省本溪满族自治县高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.4 二面角及其度量学案（无答案）新人教B版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为辽宁省本溪满族自治县高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.4 二面角及其度量学案（无答案）新人教B版选修2-1的全部内容。
3。
2.4二面角及其度量学习目标：1．掌握二面角的概念,二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．2．掌握求二面角的基本方法、步骤．学习重点:求二面角的大小.学习难点：找二面角的平面角知识点1、二面角的定义平面内的一条直线将平面分成两部分，其中每一部分叫做。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做，这条直线叫做 ,每个半平面叫做。
棱为l，两个面分别为α,β的二面角，记为________．2、二面角的平面角在二面角α-l-β的棱上任取一点O,在两个半平面内分别作射线OA⊥l、OB⊥l，则________叫做二面角α—l—β的平面角．3、直二面角平面角是________的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面就是的平面．注意：二面角的大小可以用它的来度量。
4．如图，在正方体ABCD—A¢B¢C¢D¢中，（1) 平面ABC¢D¢与底面ABCD所成二面角的棱是，平面角是，大小是；（2) 平面ABC¢D¢与后面DCC¢D¢所成二面角的棱是，平面角是，大小是(3) 平面ABC¢D¢与侧面B¢BCC¢所成二面角的棱是，平面角是，大小是；(4)二面角C¢-BD—C的棱是，平面角是 ,二面角的正切值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二面角及其度量1
【学习目标】：理解二面角的定义，能用定义法或向量法求二面角。
【自主学习】： 阅读课本108 页至 111页，完成下列问题。
1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ，这条直线叫做 ，，每个半平面叫做 ；设棱为l ，两个半平面分别为βα,，则二面角记作 ；
2、 叫做的平面角二面角βα--l ；平面角是直角的二面角叫做 。
就是相交成直二面角的两个平面。
【自我检测】
1、已知正三棱锥S-ABC 的棱长都为1，求侧面与底面的夹角。
2、在O
90二面角的棱上有两个点A,B,AC,BD 分别是在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB ，已知AB=5cm ，AC=3cm,BD=8cm ，求CD 长.
【合作探究】
1、（1）已知一正三棱锥S-ABC的棱长都等于a，求侧面与底面所成二面角的余弦。
（2）已知一正四棱锥S-ABCD的棱长都等于a，求侧面与底面所成二面角的余弦。
2、（课本109页例1）
方法一：（向量法）
方法二：（余弦定理）
【反思与总结】
【达标检测】
1、求正四面体相邻两个侧面所成的二面角。
2、ABC ∆是边长为1的正三角形，1CD ABC,=⊥且平面CD ,求二面角D-AB-C 的余弦值。