东北大学07年(研)数值分析
东北大学数值分析实验报告
数值分析实验班级 姓名 学号实验环境: MATLAB实验一 解线性方程组的迭代法（1）一、实验题目 对以下方程组分别采用Jacobi 迭代法, Gaaus-Seidel 迭代法求解和SOR 迭代法求解。
（2）线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------------------13682438141202913726422123417911101610352431205362177586832337616244911315120130123122400105635680000121324⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2119381346323125 （2）对称正定线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------------1924336021411035204111443343104221812334161206538114140231212200420424⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡87654321x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4515221123660（3）三对角线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------------4100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----5541412621357 二、实验要求（1）应用迭代法求线性方程组, 并与直接法作比较。
数值分析2007第二学期期末考试试题与答案(A)
期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差, （ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产生的向量序列{}()k X 收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
东北大学数值分析考试题解析
数值分析提供了许多实用的算法， 这些算法可以解决各种实际问题， 如线性方程组、微分方程、积分 方程等。这些算法在科学计算、 工程仿真、数据分析等领域都有 广泛的应用。
数值分析在解决实际问题时具有 高效、精确和可靠的特点。通过 数值分析，我们可以快速地得到 问题的近似解，并且可以通过误 差分析来控制解的精度。这使得 数值分析成为解决实际问题的重 要工具。
详细描述
数值分析是一门应用广泛的学科，它通过数学方法将实际问题转 化为可计算的数学模型，并寻求高效的数值计算方法来求解这些 问题。数值分析在科学计算、工程、经济、金融等领域中发挥着 重要的作用，为实际问题的解决提供了有效的工具。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程、经济、金融等。
非线性方程组的求解精度和速 度取决于所选择的方法和初值 条件。
非线性方程组的求解在科学计 算、工程技术和计算机图形学 等领域有广泛应用。
最优化方法
最优化方法是寻找使某个 函数达到最小或最大的参 数值的方法。
最优化方法的效率和精度 取决于所选择的算法和初 始参数值。
常用的最优化方法包括梯 度下降法、牛顿法和拟牛 顿法等。
数值分析在人工智能领域的应用
总结词
数值分析在人工智能领域的应用关键，涉及深度学习、神经 网络等领域。
详细描述
数值分析为人工智能提供了理论基础和算法支持，特别是在 深度学习和神经网络方面。通过数值分析的方法，可以优化 神经网络的参数和结构，提高人工智能的性能和准确性。
数值分析在金融领域的应用
总结词
常见的迭代法有雅可比迭代法 、高斯-赛德尔迭代法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于泰勒级数 的迭代方法，用于求解非线 性方程的根。
东北大学 数值分析 08数值分析(研)答案
y n1 y n
f 1 h 2 f n hfn ( n fn ) 3 3 x y ( 2
2 2 fn 2 fn 2 fn 2 f f n2 ) O(h 4 ) n xy x 2 y 2
问应取 n 为多少？并求此近似值。 2 2 1．由 A0 A1 A2 , A0 A1 x1 A2 0, A0 A1 x12 A2 , 3 5 1 4 3 A0 A1 x1 A2 0, 可得： A0 A2 , A1 , x1 0 ，具有 3 次代数精度。 5 15 2． n 4
五、 （12 分）已知求解常微分方程初值问题：
y f ( x, y) , x [a, b] y ( a)
的差分公式：
h y n 1 y n 3 (k1 k 2 ) k f (x , y ) n n 1 k 2 f ( x n h, y n hk1 ) y0
( A)
5 33 ， Cond( A)1 21。 2
6．求区间[0，1]上权函数为 ( x) 1 的二次正交多项式 P2 ( x) 。
P0 ( x) 1， P1 ( x) x
9 x 3 3． x 为何值时，矩阵 A x 8 4 可分解为 GG T ，并求 x 6 时的分解式，其中 3 4 3
由 A 正定可得， 0 x 8 ， x 6 时有：
9 6 3 3 3 2 1 A 6 8 4 ＝ 2 2 2 1 3 4 3 1 1 1 1
试求形如 y a bx2 的拟合曲线。 由于 0 ( x) 1,1 ( x) x 2 ，所以 0 (1,1,1,1)T ,1 (1,0,1,4)T , f (2,1,3,2)T
东北大学数值分析实验报告
数值分析实验报告课题一 迭代格式的比较一、问题提出设方程f(x3- 3x –1=0 有三个实根 x *1=1.8793 , x *2=-0.34727 ,x *3=-1.53209现采用下面三种不同计算格式，求 f(x)=0的根 x *1 或x *21、 x =213x x + 2、 x = 313-x3、 x = 313+x二、要求1、编制一个程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况；2、用事后误差估计k k x x -+1〈ε来3、初始值的选取对迭代收敛有何影响；4、分析迭代收敛和发散的原因。
三、目的和意义1、通过实验进一步了解方程求根的算法；2、认识选择计算格式的重要性；3、掌握迭代算法和精度控制；4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。
程序代码：#include<iostream> #include<math.h>int k=1,k1=1,k2=1,k3=1; float x1,x2,x3;float one(float x0) {x1=(3*x0+1)/(x0*x0); return(x1); }float two(float x0) {x2=(pow(x0,3)-1)/3; return(x2); }float three(float x0) {x3=pow(3*x0+1,0.33333); return(x3); }main() {float x,x0;printf("输入x0=");scanf("%f",&x);x0=x;x1=one(x0);printf("第一个公式迭代结果: \n");while(fabs(x0-x1)>1e-5){printf("x1=%6.5f\n",x1);x0=x1;x1=one(x0);k1++;}printf("x1=%6.5f \n",x1);printf("k1=%i\n",k1);x0=x;x2=two(x0);printf("第二个公式迭代结果: \n"); while(fabs(x0-x2)>1e-5){printf("x2=%6.5f\n",x2);x0=x2;x2=two(x0);k2++;}printf("k2=%i\n",k2);x0=x;x3=three(x0);printf("第三个公式迭代结果: \n");while(fabs(x0-x3)>1e-5){printf("x3=%6.5f\n",x3);x0=x3;x3=three(x0);k3++;}printf("x3=%6.5f\n",x3);printf("k3=%i\n",k3);scanf("%");}实验结果：四、程序运行结果讨论和分析：对于第一种迭代格式，收敛区间[-8.2 -0.4]，在该收敛区间内迭代收敛于-1.53209，只能求得方程的一个根；对于第二种迭代格式，收敛区间[-1.5 1.8]，在该收敛区间内迭代收敛于-0.34730，同样只能求得方程的一个根；对于第三种迭代格式，收敛区间[-0.3 +∞)，在该收敛区间内迭代收敛于 1.87937，只能求得方程的一个根；由以上结果很容易发现，初值的选取对迭代敛散性有很大影响。
东北大学数值分析答案
第一周解答：π=0.31415926×10M=1|π-3.141|=0.0005926<1/2 ×10m−n=0.5 ×101−n≤0.5×10−2所以n=3|π-3.142|=0.0004074<1/2 ×10m−n=0.5 ×101−n≤0.5×10−3所以n=4即3.141作为π的近似值具有3位有效数字3.142 有4位解答：√3=1.73205081…=0.173205081…M=1|√3−x|≤0.5×101−n|n=2时0.5×101−n=0.051.73205-x≤0.05x≥1.68205x=1.68205|√3−x|≤0.5×101−n|n=3时0.5×101−n=0.0051.73205-x≤0.005x≥1.72705x=1.72705解答：2256=2128×2128=264×264×2128=232×232×264×2128=216×216×232×264×2128=2×2×22×24×28×216×232×264×2128共计算8次乘法第二周解答：因为在n取一定位数时，1/n过于小导致系统计算为0.因此计算机求和在一定位数以后其余的数字都是0，结果为一常数解答：由于y0=28没有误差，可见误差是由√783引起的，设x=27.982σ=x-√783利用已知的递推算法，y n=y n−1−√783100和实际计算中的递推公式Y n=Y n−1−x/100(Y0=y0)两公式相减，e(Y n)=Y n−y n=Y n−1−y n−1−x−√783100e(Y n)= e(Y n−1)- σ/100此为绝对误差因为σ=x-√783数值恒定不变，因此该递推过程稳定解答：(1)原式=2x2(1−2x)(1−x)(2)e x 在x=0处的泰勒展开式可得： e x =1+x +12!x 2+⋯1n!x 2+R n (x) 所以1−e x x=x+12!x 2+⋯1n!x2x=1+12!x 2+⋯1n!x n−1第三周解答：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡61-12001-101-1131-11-301-101-11101112-2-211-11消元消元回代得解，;3,2,2321===x x x解答：1. 使用条件：当系数矩阵 A 的各阶顺序主子式非零时，顺序高斯消去法可以顺利进行；而一般只要系数矩阵 A 的行列式非零，列主元高斯消去法就可以顺利进行。
[考研类试卷]2007年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷.doc
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[考研类试卷]2007年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷
1 给定非线性方程e-x-2x=0． 1)判断该方程存在几个实根； 2)用适当的迭代法求出上述方程的根，精确至3位有效数字； 3)验证所用迭代法满足的收敛性条件，说明所用迭代格式是收敛的．
2 用列主元Gauss 消去法解线性方程组
3 给定线性方程组 1)写出Gauss-Seidel迭代格式；2)分析此迭代格式的收敛性
4 设f(x)=x4—3x3+x2-10，x0=1，x1=3，x2=-2，x3=0． 1)求f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Lagrange插值多项式L3(x)； 2)求f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Newton插值多项式N3(x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式．
5 求方程组的最小二乘解．
6 考虑积分I(f)= 1)写出计算I(f)的Simpson公式S(f)； 2)用多项式插值的思想推导出S(f). 3)写出复化梯形公式和复化Simpson公式之间的关系式．
7 给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=(b—a)／
n，x i=a+ih，f i=f(x i，y i)，0≤i≤n．证明求解公式y i+1=y i +(55f i-59f i-1+37f i-2-9f i-3)是一个4阶公式，并给出局部截断误差的表达式．
答案见麦多课文库。
东北大学数值分析 总复习+习题
(2)构造迭代格式:
xk1 1 sin xk
由于|(x)|=|
cos x|/<12,故1此迭si代n法x收敛.
k 0,1,2,...
取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.0035<10-2 , 故可取 根的近似值x2=1.40983.
容易验证公式对(x)=x5仍精确成立，故其代数精度为5，是Gauss公式。
六、(12分)设初值问题
y f (x, y)
y(a)
(1)试证单步法
a xb
K1 f (xn , yn ),
K2
f
(xn
2 3
h,
yn
2 3
hK1
)
y
n
1
yn
h 4
(
K
1
3K 2 )
2.了解数值计算中应注意的一些问题.
二、解线性方程组的直接法
1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围
顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.
主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.
2.掌握矩阵的直接三角分解法。
会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。
(3)因为0<</2,所以() 故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).
0
cos / 2 1 sin
三、(14分)设线性方程组
4x1 x2 2x3 1 x1 5x2 x3 2 2x1 x2 6x3 3
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数值分析试题 2007.12一、简答下列各题：（每题4分，共20分）1．为了提高计算精度，求方程x 2－72x+1=0的根，应采用何种公式，为什么？2．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112A ，求)(A ρ和2)(A Cond 。
3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131122321A ，求A 的LU 分解式。
4．问23221)2(x x x x ++=是不是3R 上的向量范数,为什么？ 5．求数值积分公式⎰-≈ba ab a f dx x f ))(()(的截断误差R[ƒ]。
二、解答下列各题：（每题8分，共56分）1．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+3532314321321321x x x x x x x x x ，问能用哪些方法求解？为什么？2.解线性方程组b Ax =的Gauss-Seidel 迭代法是否收敛？为什么？其中：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211111112A3.设]2,0[)(4C x f y ∈=，且0)0(,0)2(,2)1(,1)0(='===f f f f ，试求)(x f 的三次插值多项式)(3x H ，并写出余项)()()(33x H x f x R -=。
4．给定离散数据试求形如3bx a y +=的拟合曲线。
5．求区间[0，1]上权函数为x x =)(ρ的正交多项式)(0x p ，)(1x p 和)(2x p 。
6．确定求积系数321,,A A A ,使求积公式：⎰+++-≈31321)532()2()532()(f A f A f A dx x f具有尽可能高的代数精度，并问代数精度是多少？7. 利用2=n 的复化Simpson 公式计算计算定积分 ，并估计误差][f R 。
三、（12分）已知方程0cos 2=-x x ， 1.证明此方程有唯一正根α；2.建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值]1,0[0∈x 都收敛，说明收敛理由和收敛阶。
3.若取初值00=x ，用此迭代法求精度为510-=ε的近似根，需要迭代多少步？ 四、（12分）已知求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧∈=='],[,)(),(b a x a y y x f y α 的差分公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==++=+α0121211)32,32(),()3(4y hk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n 1．证明：此差分公式是二阶方法；2．用此差分公式求解初值问题1)0(,10=-='y y y 时，取步长h=0.25,所得数值解是否稳定,为什么？⎰10sin xdx数值分析试题（参考答案）一、1．应采用公式:1211221)13636(,13636---+==-+=x x x ，避免相近数相减。
2．A 的特征值为3,121==λλ，所以)(A ρ＝3；2)(A Cond ＝3⨯1＝1。
3．由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131122321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→2/92/11522321，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2/95232112/11121A 。
4．不是，不满足非负性（如0)2,1,0(≠-=T x ,但0=x ）。
5．⎰--=ba ab a f dx x f f R ))(()()(),(,2)()())((2b a a b f dx a x f bax ∈-'=-'=⎰ξξξ.二、1．由于系数矩阵各阶顺序主子式都不为零，所以可用顺序Gauss 消元法； 由于系数矩阵行列式不为零，也可以用列主元(全主元)Gauss 消元法； 由于系数矩阵各阶顺序主子式都不为零，所以可用直接三角分解法（LU ）. 由于系数矩阵是严格对角占优矩阵，可用J-法，G-S 法和SOR(10≤<ω)法。
2.令021112=--λλλλλλ得：0)12(2=+λλ，所以G-S 迭代矩阵G 的特征值为:2/1,0321-===λλλ,于是12/1)(<=G ρ，所以G-S 迭代法收敛。
3.设002211003)()()()()(y x y x y x y x x H '+++=ψϕϕϕ)(2)(10x x ϕϕ+= 其中，)2)(1)(()(0--+=x x b ax x ϕ)2)(1)(23(4/1--+=x x x)2()(21-=x Cx x ϕ)2(2--=x x所以，)2(2)2)(1)(23(4/1)(23----+=x x x x x x H )2)(25(4/12-++-=x x x 〔或令)2)(()(23-++=x c bx ax x H ，用待定系数法求出。
〕余项为：)2,0(,)2)(1(!4)()()()(2)4(33∈--=-=x x x x x f x H x f x R ξξ 4.取310)(,1)(x x x ==ϕϕ，则有T T T f x )2,0,1,1(,)8,1,0,1()(,)1,1,1,1(10-=-==ϕϕ,正则方程组为⎩⎨⎧=+=+15668284b a b a ，拟合曲线：3322.006.05011503x x y -=+=。
5．区间[0，1]上x x =)(ρ的正交多项式：1)(0=x p ，32),(),()(1010200001-=-=-=⎰⎰x xdxdx x x p p p p x x x p ，)32()3/2()3/2()(12103110322-----=⎰⎰⎰⎰x dxx x dxx x xdx dxx x x p 103562+-=x x 。
6．令公式对f(x)=1,x,x 2精确成立，得2321=++A A A ,4)5/32(2)5/32(321=+++-A A A , 解得：98,95231===A A A3/26)5/32(4)5/32(32212=+++-A A A所以，公式为：)]5/32(5)2(8)5/32(5[91)(31+++-≈⎰f f f dx x ff(x)=x 3时，左＝20，右＝180/9＝20，公式精确成立，f(x)=x 4时，左＝242/5，右＝2178/5/9＝242/5，公式精确成立， f(x)=x 5时，左＝364/3，右＝1092/9＝364/3，公式精确成立， f(x)=x 6时，公式不精确成立，所以，公式的代数精度为5。
7．=++++=≈⎰]1sin 43sin 441sin 421sin 20[sin 121sin 210S xdx 0.459707744000018261.01628801sin 22880)01(|)(|445≈⨯=⨯-≤M f R 三、1.记x x x f cos 2)(-=，由于0sin 2)(>+='x x f ，所以)(x f 是严格单调增函数，又由于01)0(<-=f ，01cos 2)1(>-=f ，所以方程0)(=x f 有唯一正根α，且在区间(0，1)内。
2.将方程改写为：2/cos x x =可建立迭代格式：,...2,1,0,cos 2/11==+k x x k k ，且迭代函数为：x x cos 2/1)(=ϕ。
由于]1,0[,12/1)(1cos 2/10∈<≤≤<x x ϕ ，且]1,0[,121sin sin 21)(∈<≤='x x x ϕ，所以，对任意]1,0[0∈x 此迭代法收敛，又由于)1,0(,0sin 21)(∈≠='αααϕ此迭代法是线性收敛的，即收敛阶为1。
3.128.13)1sin 2/1ln(/2/1)1sin 2/11(10ln ln /||)1(ln501≈-=--≥-L x x L k ε，k ＝14。
若取L=1/2，可得k ≥16.6096，则取k ＝17。
四、1.由于+∂∂+∂∂+=++=)(32)32,32(12n nn n n n f yf x f h f hk y h x f k)()9494294(23222222222h O f h yf f h y x f h x f h n n n n n +∂∂+∂∂∂+∂∂+ 所以有：+∂∂+∂∂++=+)(221n n n n n n f y f x f h hf y y )()2(642222223h O f yf f y x f x f h n n n n n +∂∂+∂∂∂+∂∂+ 又由于：)()(!31)(21)()()()(4321h O h x y h x y h x y x y h x y x y n n n n n n +'''+''+'+=+=+ +∂∂+∂∂++=)(22n n n n n f y f x f h hf y )()(!643h O x y h n +'''所以有：)()(311h O y x y n n =-++,此差分公式是二阶方法。
2.对1)0(,10=-='y y y ，由于)320(10,1021n n n hy y k y k --=-=，差分公式为： n n n y h h k k hy y )50101()3(42211+-=++=+ 当h ＝0.25时，由于|1-10h+50h 2|＝1.625>1，所以，所得数值解不稳定。