高考数学专题复习 函数零点
2015高考数学专题复习：函数零点
函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数）
?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数）
1.求下列函数的零点
1.232
-+=x x y 2.x y 2log = 3.62
-+=x x y 4.1ln -=x y 5.21
sin +
=x y
2.函数
22
()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =??
?>-≤-+)0(2ln )0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数
()()???>+-≤-=13.41.44)(2
x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4
5.函数
5
()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4]
6.函数1
()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 （ ）
A. (1,0)-
B. (0,1)
C. (1,2)
D. (2,3)
7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 （ ） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6)
8.方程
2|2|lg x x -=的实数根的个数是
9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ） A ．()21，
B ．()32，
C ．()43，
D ．()54，
10.若函数
2()4f x x x a
=--的零点个数为3，则a =______
11(09山东文)若函数
()()1,0≠>--=a a a x a x f x
有两个零点，则实数a 的取值范围是
12.函数2
()2x f x a
x =--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是 （ ）
A.(1,3)
B.(1,2)
C.(0,3)
D.(0,2)
13.设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,
22b c
a a
b
c ????
=== ? ?????比较,,a b c 大小：
14.函数()x f 的零点为1x ，函数
()224-+=x x g x
的零点为2x ，若41
21>
-x x ，则()x f 可以是 （ ）
A.
()212-=x x f B.()41
2-+-=x x x f C.()x
x f 101-= D.()()28ln -=x x f
15.若直角坐标平面内的两点Q P ,满足条件：①Q P ,都在函数()y f x =的图像上；②Q P ,关于原点对称. 则称点对[]Q P ,是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对[]Q P ,与[]P Q ,看作同一对“友好点对”）. 已知函数
22
log (0)()4(0)x x f x x x x >?=?--≤?，则此函数的“友好点对”有 （ ） A.0对 B.1对 C.2对 D.3对
16.已知函数ln ,0()0,0x x f x x ?≠?=?
=??,则方程2
()()0f x f x -=的不相等的实根个数为_______
17.已知0x 是函数
()x x f x -+
=11
2的一个零点，若()()+∞∈∈,,,10201x x x x ，比较大小()1x f ()2x f
18.若关于x 的方程
|1|2x a a -=(0,1)a a >≠有两个不等实根，则a 的取值范围是
19.函数()()()?????≤->-??? ??=0,20,log 31321x x x x x f x
x
，若0x 是()x f 的零点，且
00x t <<，则()t f 的值 （ ） A.恒小于0 B.恒大于0 C.等于0 D.不大于0
20.方程
m x x +=-2
4有两个解，则求m 的取值范围
21.已知[1,1]x ∈-，则方程2cos2x
x -=所有实数根的个数为
（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
22.（11山东理科）函数()log (0,1)
a f x x x
b a a =+->≠且，当234a b <<<<时，函数()f x 的零
点*
0(,1),x n n n N ∈+∈，则n =
23.函数
()x x x x f ln 2542
-+-=的零点个数是
24.已知21
()()log 3x f x x =-，实数a 、b 、c 满足0)()()( 数()f x 的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是 （ ） A.0x a < B.0x b > C.0x c < D.0x c > 25.函数()()11 sin 2-+ =x x x f π在区间()4,2-上的各零点之和是 26.函数()x x x f lg cos -=的零点个数为 ，函数 ()x x x f lg cos -=的零点个数为 27.函数x x y sin lg -=的零点个数是 28.定义在R 上的偶函数(2)f x -，当2x >-时， 1 ()2x f x e +=-若存在k Z ∈，使方程()0f x = 的实数根 0(1,)x k k ∈-，则k 的取值集合是 （ ） A ．{}0 B ．{}3- C ．{}0,4- D ．{}0,3- 29.函数 ()()()?? ?≤+>+-=0............140.2ln 2x x x x x x x f 的零点个数是 30.方程a a x -+= ?? ? ??53223有负根，求a 的取值范围 31.若不等式 0log 22≥+-x x a 对任意? ?? ??∈21,0x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()[) ()()()()()()()()()()().21,32131.32,2330.329.28.3276.426.825.24.2232.22.21.22220.19.21,01817716151413121114104,392876542342,,2,3113 21????????? ??-??? ??< >>>--D D A A C C a b c C a C B B B C e ，，，，， 专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________. （三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且 导数压轴题之隐零点问题 导数压轴题之隐零点问题(共13题) 1．已知函数f（x）=（ae x﹣a﹣x）e x（a≥0，e=2.718…，e为自然对数的底数），若f（x）≥0对于x∈R恒成立． （1）求实数a的值； （2）证明：f（x）存在唯一极大值点x0，且． 【解答】（1）解：f（x）=e x（ae x﹣a﹣x）≥0，因为e x＞0，所以ae x﹣a﹣x≥0恒成立， 即a（e x﹣1）≥x恒成立， x=0时，显然成立， x＞0时，e x﹣1＞0， 故只需a≥在（0，+∞）恒成立， 令h（x）=，（x＞0）， h′（x）=＜0， 故h（x）在（0，+∞）递减， 而==1， 故a≥1， x＜0时，e x﹣1＜0， 故只需a≤在（﹣∞，0）恒成立， 令g（x）=，（x＜0）， g′（x）=＞0， 故h（x）在（﹣∞，0）递增， 而==1， 故a≤1， 综上：a=1； （2）证明：由（1）f（x）=e x（e x﹣x﹣1）， 故f'（x）=e x（2e x﹣x﹣2），令h（x）=2e x﹣x﹣2，h'（x）=2e x﹣1， 所以h（x）在（﹣∞，ln）单调递减，在（ln，+∞）单调递增， h（0）=0，h（ln）=2eln﹣ln﹣2=ln2﹣1＜0，h（﹣2）=2e﹣2﹣（﹣2）﹣2=＞0， ∵h（﹣2）h（ln）＜0由零点存在定理及h（x）的单调性知， 方程h（x）=0在（﹣2，ln）有唯一根， 设为x0且2e x0﹣x0﹣2=0，从而h（x）有两个零点x0和0， 所以f（x）在（﹣∞，x0）单调递增，在（x0，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增， 从而f（x）存在唯一的极大值点x0即证， 由2e x0﹣x0﹣2=0得e x0=，x0≠﹣1， ∴f（x0）=e x0（e x0﹣x0﹣1）=（﹣x0﹣1）=（﹣x0）（2+x0）≤（） 2=， 取等不成立，所以f（x0）＜得证， 又∵﹣2＜x0＜ln，f（x）在（﹣∞，x0）单调递增 所以f（x0）＞f（﹣2）=e﹣2[e﹣2﹣（﹣2）﹣1]=e﹣4+e﹣2＞e﹣2＞0得证， 从而0＜f（x0）＜成立． 2．已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R） （1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围； （2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立， 《方程的根与函数的零点》教学设计 一、学情分析 程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数．知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的． 二、设计思想 教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣． 教学原则：注重各个层面的学生． 教学方法：三学一导． 三、教学目标 1.知识与技能： ①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件； ②培养学生的观察能力； 2.过程与方法： ①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法； ②让学生归纳整理本节所学知识． 3.情感、态度与价值观： 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值． 四、教学重点、难点 重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法． 难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法． 五、教学过程设计 1．指导学生进行课前学习 预习教材，完成以下习题： 2．指导学生进行课堂学习 （1）方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索 问题1：先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：如图1 ①方程0322=--x x 与函数322--=x x y ②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ③方程0322=+-x x 与函数122+-=x x y 高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 复合函数零点问题专题训练 1．定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中： (1)方程f[g(x)]=0有且仅有三个解；(2)方程g[f(x)]=0有且仅有三个解；(3)方程f[f(x)]=0有且仅有九个解；(4)方程g[g(x)]=0有且仅有一个解。 那么，其中正确命题的个数是 () A ．1 B.2 C.3 D.4(第1 题图) 解：选B.（1）方程f[g （x ）]=0有且仅有三个解；g （x ）有三个不同值，由于y=g （x ）是减函数，所以有三个解，正确； （2）方程g[f （x ）]=0有且仅有三个解；从图中可知，f （x ）∈（0，a ）可能有1，2，3个解，不正确； （3）方程f[f （x ）]=0有且仅有九个解；类似（2）不正确； （4）方程g[g （x ）]=0有且仅有一个解．结合图象，y=g （x ）是减函数，故正确．2.已知函数1)(+=x xe x f ， 若函数2)()(2 ++=x bf x f y 恰有四个不同的零点，则实数b 的取值范围是 （ ） A.) 22,(--∞ B.) 2,3(-- C.) 3,(--∞ D.(] 2 2,3--解：用求导方法得，f(x)在x =－1取得最大值1，在x=0取得最小值0，故0 3.1.1方程的根与函数的零点 一、教材分析 1、本节内容在教材中的地位和作用 本节内容是高中新课程数学必修1第三章“函数与方程”的第一节，“函数与方程”这个单元体现了函数与方程、不等式、算法等内容的横向联系，也为今后通过多次接触、反复体会、螺旋上升方式学习函数奠定了基础。本节”方程的根与函数的零点”正体现函数与方程及数形结合重要思想，同时为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的算法等学习内容打下基础，起着承上启下的作用. 2、教学重难点 重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点存在性定理。难点：探究并发现零点存在性定理及其应用。 二、三维目标分析 1、知识与技能 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.理解并会用零点存在性定理。 2、过程与方法 培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程互相转化的重要思想。 3、情感态度与价值观 在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。 确定教学目标的依据： 1、新课程标准的基本要求：注重基础，避免拓展，注重联系，突出本质 2、学生的认知水平：已有的认知基础是初中学习过二次函数定义图象及性质和一元二次方程解法，并且体会过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到一元二次方程与相应二次函数的联系，对二次函数图象与轴是否相交，也有一些直观的认识与体会．在高中阶段，学生已经学习了函数概念与性质，掌握了研究部分基本初等函数性质的思想方法． 三、教法学法 为了达到三维目标，突出重点攻克难点，我制定了以下的教法和学法 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出 高中数学专题--- 隐零点及卡根思想 基本方法： 导数解决函数综合性问题最终都回归于函数单调性的判断，而函数的单调性与其导数的零点有着紧密的联系，可以说导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计成为导数综合应用中最为核心的问题. 导函数的零点，根据其数值上的差异，我们可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，我们不妨称为“显零点”；另一类是能判断其存在但数值上无法精确求解的，我们不妨称为“隐零点”. （1）函数“隐零点”的存在性判断 对于函数“隐零点”的存在性判断，常采用下列两种方法求解：①若连续函数()f x 在(,)a b 上单调，且()()0f a f b ?，则()f x 在(,)a b 上存在唯一零点；②借助图像分析，即将函数()f x 的零点问题转化为方程()0f x =的解的判断，并通过合理的变形将方程转化为合适的形式在处理. （2）函数“隐零点”的虚设和代换 对于函数“隐零点”，由于无法求出其显性表达式，这给我们求解问题带来一定困难. 处理这类问题的基本方法为“虚设及代换”：在确定零点存在的条件下虚设零点0x ，再借助零点的表达式 进行合理的代换进而求解. （3）函数“隐零点”的数值估计-卡根思想 函数“隐零点”尽管无法求解，但是我们可以进行数值估计，最简单的方法即为判断其存在性的前提下利用二分法进行估计，估值范围越精确越容易解决问题. 对于“隐零点”的代数估计，可以通过单调函数构造函数不等式进行估计. 一、典型例题 1. 已知函数()22e x f x x x =+-，记0x 为函数()f x 极大值点，求证：()0124f x <<. 2. 已知函数()4ln (1)x f x x x += >. 若*k N ∈，且()1k f x x <+恒成立. 求k 的最大值. 二、课堂练习 1. 已知函数()2ln f x x x x x =--，证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<. 2. 已知函数ln 1()x f x ax x -= -. 若12a <<，求证：()1f x <-. 三、课后作业 1. 已知函数()ln f x x =，若关于x 的方程()()1f x m x =+，()m Z ∈有实数解，求整数m 的最大值. 2. 已知函数()22ln f x x =+，令()() 2xf x g x x =-在()2,+∞上的最小值为m ，求证：()67f m <<. 专题五挖掘“隐零点”，破解导数压轴题 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数的“隐零点”，破解导数压轴问题，例题说法，高效训练. 【典型例题】 类型一挖掘“隐零点”，求参数的最值或取值范围 例1.【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】设函数,曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=3x平行. (1)判断函数f(x)在区间和上的单调性，并说明理由; (2)当时,恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）区间单调递增；（2） 【解析】 （1）.∵f'(1)=1+b=3,∴b=2,则f'(x)=ln x+4x-1. 因为在单调递增，所以当时 即函数f(x)在区间单调递减；当时 即函数f(x)在区间单调递增； （2）因为，而在（0，1）上递增 存在使得 ，当 时单调递减； 当时 单调递增 所以 又因为时则 所以则 类型二 挖掘“隐零点”，证明不等式 例2. 设函数2()ln x f x e a x =-，设()2 0,2a e ∈求证：当(]0,1x ∈时，2()2ln f x a a a ≥+ 【答案】见解析 【解析】()f x 的定义域为(]0,1，222'()2x x a xe a f x e x x -=-= 设2()2x x xe a ?=-，()22()242x x x xe x e ?'==+， 当(]0,1x ∈，()0x ?'>，即()x ?在区间(]0,1为增函数， (2(),2x a e a ??∈--? 又因为( )2 0,2a e ∈，所以2 (0)0,(1)20a e a ??=-<=-> 由零点存在定理可知'()f x 在(]0,1的唯一零点为0x 当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，当(]0,1x x ∈，'()0f x > 故()f x 在0(0,)x 单调递减，在(]0,1x 单调递增， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0200()ln x f x e a x =-， 由0 2020x x e a -=，即0 202x a e x = ，两边去对数得00ln ln 22 a x x =- 由于，所以00000222()2ln 22ln 2ln 22a a f x ax a ax a a a x a x a a = ++≥?=+ 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 函数零点问题专题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 2.已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间 []11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()4f x x =+-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5. 若存在区间[,]a b ,使函数[]()(,)f x k x a b =∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. （三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 7：设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 8：已知函数(0)()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?- 高考数学专题复习函数隐性零点的处理技巧 近些年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的， 不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称之为隐性零点。 本专题通过几个具体的例题来体会隐性零点的处理步骤和思想方法。 一、隐性零点问题示例及简要分析： 1.求参数的最值或取值范围 例1（2012年全国I 卷）设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2． （1）求f （x ）的单调区间； （2）若a=1，k 为整数，且当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0，求k 的最大值． 解析：（1）（略解）若a≤0，则f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上单调递增； 若a ＞0，则f （x ）的单调减区间是（﹣∞，lna ），增区间是（lna ，+∞）． （2）由于a=1，所以（x ﹣k ）f′（x ）+x+1=（x ﹣k ）（e x ﹣1）+x+1． 故当x ＞0时，（x ﹣k ）f ′（x ）+x+1＞0等价于k ＜ 1 1 -+x e x +x （x ＞0）（*）， 令g （x ）=1 1 -+x e x +x ，则g′（x ）=2)1()2(---x x x e x e e ， 而函数f （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增，①f （1）＜0，f （2）＞0， 所以f （x ）在（0，+∞）存在唯一的零点．故g ′（x ）在（0，+∞）存在唯一的零点． 设此零点为a ，则a ∈（1，2）．当x ∈（0，a ）时，g ′（x ）＜0；当x ∈（a ，+∞）时，g ′（x ）＞0．所以g （x ）在（0，+∞）的最小值为g （a ）． 高中数学2017-2018高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 专题三 . 隐零点专题 知识点 一、不含参函数的隐零点问题 已知不含参函数)(x f ，导函数方程0)('=x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，②注意确定0x 的合适范围. 二、含参函数的隐零点问题 已知含参函数),(a x f ，其中a 为参数，导函数方程0),('=a x f 的根存在，却无法求出，设方程0)('=x f 的根为0x ，则①有关系式0)('0=x f 成立，该关系式给出了a x ,0的关系，②注意确定0x 的合适范围，往往和a 的范围有关. 例1.已知函数)2ln()(+-=x e x g x ，证明)(x g ＞0. 例2.（2017052001）已知函数x a e x f x ln )(-=. （I ）讨论)(x f 的导函数)('x f 的零点的个数； （II ）证明：当0>a 时，)ln 2()(a a x f -≥. 例3.（2017.全国II.21）已知函数x x ax ax x f ln )(2 --=，且()0f x ≥. （I ）求a ； （II ）证明：)(x f 存在唯一的极大值点0x ，且2022)(--< 含参函数的零点问题 含参函数的零点问题常以超越方程、分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等目的．要注意函数的零点、方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类题的关键，等价转化是这类问题的难点．解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用． 例1已知函数f (x )＝x 2 ＋ax (a ∈R)，g (x )＝? ?? ?? f x ， x ≥0， f ′x ， x <0. 若方程g (f (x ))＝ 0有4个不等的实根，则a 的取值范围是________． 例2(1) 若关于x 的方程|x 4 －x 3 |＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为________． (2) 已知函数f (x )＝x 2 ＋|x －a |，g (x )＝(2a －1)x ＋a ln x ，若函数y ＝f (x )与函数y ＝ g (x )的图象恰好有2个不同的交点，则实数a 的取值范围为________． 思维变式题组训练 1. 已知函数f (x )＝?? ? 2x －1， x ≥2， 2， 1≤x <2. 若方程f (x )＝ax ＋1恰有一个解时，则 实数a 的取值范围为________． 2. 设函数f (x )＝????? x －1e x ， x ≥a ， －x －1， x 0， 若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有 且只有4个不同解，则实数k 的取值构成的取值集合为________． 强化训练 1. 若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为________． 《函数的零点》教学设计 常州市第一中学孑L祥武 一.设计思想与理念 本课的教学设计是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线. ”的原则而设计的?教师在 充分分析学生已有知识水平和思维能力的基础上，为学生创设探索的情境，通过问题串，指引探 索的途径，通过环环相扣问题链激发学生的求知欲、探索欲，弓I导学生不断地提出新问题，解决 新问题. 二.教材分析： 1.内容分析 函数f(X)的零点，是中学数学的一个重要概念，从函数值与自变量对应的角度看，就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看，即为相应方程f (x) = 0的实数根；从函数的图像角度看，函数的零点就是函数f (x)与x轴交点的横坐标?函数的零点从不同的角度，将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用. 学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方 程近似解》提供理论支持?在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数 形结合的思想方法? 2.学情分析： 初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程 的根?教学时可通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，只能把方程交给函数， 转化为考察相应函数的零点问题，从动态的角度来研究，借助形的角度来研究数的问题. 本人执教的班级是一中的教改班，学生层次较高，简单引用教材上的例题学生会觉得提不 起兴趣，因此尝试在立足教材的基础上提出一些有挑战性的问题，调动学生的积极性，引导学生 自主发现，自我建构知识. 3.教材处理 本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一 元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形?体会函数与方程之间的转化关系. 复合函数零点问题 例1：设定义域为R 的函数()1 ,111,1x x f x x ?≠? -=??=? ，若关于x 的方程 ()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则22212 3x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。所以()1i f x =，可解得： 1230,1,2x x x ===，所以222 1235x x x ++= 答案：5 例2：关于x 的方程( ) 2 2 213120x x ---+=的不相同实根的个 数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得： 1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即 可，共有5个 答案：C 例3：已知函数 11 ()||||f x x x x x =+ --，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程 2 ()()0f x a f x b ++=可视为()()2 0f x a f x b ++=，故考虑作出 ()f x 的图像：()2 ,12,01 2,102 ,1x x x x f x x x x x ?>?? <≤?=? --≤时，()()121,0212,22 x x f x f x x -?-<≤? =?->??，则关于x 的方 程()()2 610f x f x --=????的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：已知方程()()2 610f x f x --=????可解，得 ()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23 y y ==- 与()y f x =的交点个数即可。由奇函数可先做出 0x >的图像，2x >时，()()1 22 f x f x = -，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩 为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程 ()()()2 320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2020【通编版】高考数学专题突破 《直击函数压轴题中零点问题》 一、解答题 1．已知函数()()()2 ln 10f x x a x a =+->. （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明：3 12 0e x e --<<. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）依题可知 ()10 f =，若 () f x 在区间 ()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >， 且0110,2x x ?? =∈ ???，于是：()2 0010lnx a x +-=①，2002210ax ax -+=② 由①②得 000 1ln 0 2x x x -- =，设g(x)＝lnx ?12x x -，(x∈(0，1))，求出函数的导数，根据函 数的单调性证明即可． （2）依题可知 ()10 f =，若 () f x 在区间 ()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >， 且 0110,2x x ?? =∈ ? ?? Z&X&X&K] 于是： ()2 0010 lnx a x +-=① 2002210 ax ax -+= ② 由①②得 0001ln 02x x x -- =，设()()()1ln ,0,12x g x x x x -=-∈， 则 ()221 2x g x x '-= ，因此()g x 在10,2?? ???上单调递减， 又3 3 2 2 402e g e -??-=> ???，()11302e g e ---=< 根据零点存在定理，故 31 2 0e x e - -<<. 点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法. 2．设函数f(x)＝x2＋bx －1(b ∈R)． (1)当b ＝1时证明：函数f(x)在区间1,12?? ? ??内存在唯一零点； (2)若当x ∈[1,2]，不等式f(x)<1有解．求实数b 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） (),1-∞ 【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f(x)在区间1,12?? ? ??单 调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为 对应函数最值问题：2 b x x < - ，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b 的取值范 围．专题复习之--函数零点问题
导数压轴题之隐零点问题专辑含答案纯word版
《方程的根与函数的零点》优秀公开课教案 (比赛课教案)
高中数学专题练习-函数零点问题
复合函数零点问题专题训练
3.1.1方程的根与函数的零点(优秀经典公开课比赛教案)
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一
高中数学专题---隐零点及卡根思想
专题05 挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)
函数的零点问题
函数零点问题专题
高考数学专题复习函数隐性零点的处理技巧
高中数学函数零点问题及例题解析2018年高三专题复习-函数
高考数学隐零点问题解题技巧
专题含参函数的零点问题
函数的零点教案详细(孔祥武)
复合函数零点问题专题
【通用版】2020高考数学突破专题《直击函数压轴题中零点问题》