高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学函数零点问题必考点梳理+真题精练(附答案)
f
x
mx
m
2 3
有四个解，即直线
y
mx
m
2 3
与函数
f
x
的图象有四个交点，
因为直线
y
mx
m
2 3
过定点
1,
2 3
，
在同一直角坐标系中作出直线 y mx m 2 与函数 f x 的图象，如下图所示，
3
当直线
y
mx
m
2 3
过原点时，
m
2 3
；
当直线
y
mx
m
2 3
与函数
y
ln
x
1
,
x
0
的图象相切时，
4、函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系 （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的 单调性确定是否存在零点. （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两 个可分析的函数，为作图做好铺垫. （3）图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.
专题 08 函数零点问题面面观 【热点聚焦与扩展】
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助 于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1） 零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根分布问题；（3）判断根的个数问题；（4） 根据方程解的情况确定求参数的值或范围.上述情形除（1）简单，其它往往与分段函数结合或 与导数的应用结合，难度往往较大. 一、基础知识：
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解
高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
函数零点高中数学解题方法含详解
【分析】
分别解函数对应的方程，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，由 可得 ，即函数 有零点；
B选项，由 得 ，即函数 有零点；
C选项，由 解得， 不存在，即函数 没有零点；
D选项，由 解得 或 ，即函数 有零点.
故选：C.
6．A
【分析】
直接令 ，求方程的实数根，确定零点个数.
【详解】
令 ，解得： 或 ，
故选：C
8．D
【分析】
由已知，根据奇函数的对称性有(－∞,0)上也有1009个零点，由奇函数在R上有定义即f(0)＝0，即可知零点的总个数.
【详解】
∵f(x)为奇函数且在(0,＋∞)内有1009个零点，
∴在(－∞,0)上也有1009个零点，
又∵f(0)＝0，
∴共有2018＋1＝2019(个)零点．
故选：D
故选：C
2．C
【分析】
根据函数的零点存在性定理即可求解.
【详解】
因为函数 的图象是连续的曲线，
且 ， ，
所以 ，
根据零点存在性定理可得函数 必定存在零点位于区间 ，
故方程 必存在有根的一个区间是 ，
故选：C.
3．B
【分析】
令 ，利用零点存在性定理即可求解.
【详解】
令 ，则f(0)＝－4<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，
（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围；
（3）设函数 ，若 在 上有零点，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
题目是让我们找零点所在的一个区间，注意是一个区间，意味着只要找到一个，问题就解决，利用零点存在定理即可判断.
高一函数零点题型归纳
高一函数零点题型归纳函数零点是高中数学中的一个重要概念，它涉及到函数的值、图像、单调性等多个方面。
以下是高一函数零点的一些常见题型及其解题方法：一、判断零点个数例题：函数f(x) = x^{2} - 2xf(x)=x2−2x在区间( - 3,3)(−3,3)内的零点个数为( )A.0 B.11 C.22 D.33解析：首先确定函数的对称轴为x = 1x=1，然后判断函数的开口方向为向上。
接下来，根据对称轴和区间端点的距离，可以确定函数在区间内的零点个数。
二、求函数的零点例题：函数f(x) = \log_{2}(x - 3)f(x)=log2(x−3)的零点是( )A.22 B.33 C.44 D.55解析：对数函数的零点即为使对数内部表达式等于1的x值。
因此，令x - 3 = 1x−3=1，解得x = 4x=4。
三、判断零点所在区间例题：函数f(x) = x^{3} - x^{2} - xf(x)=x3−x2−x在区间( - 1,2)(−1,2)内的一个零点所在的区间是( )A.(0,1)(0,1) B.(1,2)(1,2) C.( - 1,0)(−1,0) D.(0,2)(0,2)解析：先确定函数在给定区间端点的函数值，然后判断其正负性。
如果端点函数值异号，则该区间内必存在零点。
四、应用题中的零点问题例题：某商品的成本价为每件30元，售价不超过50元时，售价y(元)与售价的整数部分x 满足关系式：y = x + 20y=x+20，当成本价与售价相等时，每月最多可售出该商品____件。
解析：根据题意，当成本价与售价相等时，即30 = x + 2030=x+20，解得x = 10x=10。
由于售价的整数部分为10，则售价为30元。
再根据一次函数的性质，当斜率大于0时，函数单调递增，因此每月最多可售出该商品33件。
五、判断函数是否为同一函数（根据零点个数）例题：下列四个函数中与函数f(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1表示同一函数的是( )A.y = \frac{x^{2}}{x}y=xx2B.y = \frac{1}{\sqrt{x}}y=x1C.y = \frac{1}{\log_{a}x}y=logax1D.y = \frac{e^{x}}{x}y=xex解析：根据函数的三要素（定义域、值域、对应关系），分别判断各选项是否与给定函数定义域相同、值域相同以及对应关系相同。
零点定理高等数学例题
零点定理高等数学例题零点定理是高等数学中非常重要的一条定理，该定理有着广泛的应用。
这篇文章主要介绍关于零点定理高等数学例题的一些基本知识和应用。
首先，我们来了解一下零点定理的定义。
零点定理就是如果一个连续函数f(x)在区间[a,b]上取到两个不同的符号，那么在这个区间内至少有一个零点。
接下来我们结合一些例题来加深理解。
例题一：证明函数f(x)=x^3-5x^2+3x+15在区间[1,4]内有且仅有一个零点。
解：首先，我们需要判断f(x)在区间[1,4]的取值。
我们可以使用寻找函数极值点法：f'(x)=3x^2-10x+3f'(1)=-4<0,f'(2)>0,f'(4)<0由于导数在区间[1,2]上大于0，在区间[2,4]上小于0，所以f(x)在点x=2处取得极值。
设f(2)=k，则轮换成(x,0)、(2,-k)两个点，可以得出f(x)=(x-2)(x-a)(x-b)其中a、b均在[1,4]中，即f(x)在[1,4]中至少存在三个零点，与题目不符合。
因此，我们可以得出结论：函数f(x)=x^3-5x^2+3x+15在区间[1,4]内有且仅有一个零点。
例题二：证明函数f(x)=(x+1)(x+2)(x-3)在区间[0,2]和[-3,0]不存在零点。
解：由于f(x)是一个三次函数，因此存在三个零点。
我们可以用反证法来证明。
首先，我们假设f(x)在区间[0,2]存在至少一个零点，即存在一个x0∈[0,2]，使得f(x0)=0。
由于f(x)是一个连续函数，而且区间[0,2]上f(x)的取值为正负负，所以根据零点定理，在区间[0,2]上f(x)至少存在一个零点，且零点个数为奇数，矛盾！因此，f(x)在区间[0,2]不存在零点。
同理，我们可以证明f(x)在区间[-3,0]也不存在零点。
综上所述，这两道例题都依据了零点定理，通过张贴轮换和反证法的方式来证明结论的正确性。
函数零点的7种问题及解法
函数零点的7种问题及解法1．若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间()a．(0,1) b．(1,1.25)c．(1.25,1.75) d．(1.75,2)解析：设f(x)＝lg x ＋x－2，则f(1.75)＝f74＝lg 74－，f(2)＝lg 20.答案：d2．函数f(x)＝x2＋2x－3，x0，－2＋lnx，x0的零点个数为()a．0个 b．1个 c．2个 d．3个解析：：x0时由x2＋2x－3＝0x＝－3；x0时由－2＋lnx＝0x＝e2.答案：c3．设函数f(x)＝x2－x＋a(a0)，若f(m)0，则()a．f(m－1)0b．f(m－1)0c．f(m－1)＝0d．f(m－1)与0的'大小不能确定解析：融合图象极易推论．答案：a4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间就是()a．(－2，－1) b. (－1,0)c. (0,1) d．(1,2)解析：因为f(0)＝－10，f(1)＝e－10，所以零点在区间(0,1)上，选c.答案：c5．函数f(x)＝4x－2x＋1－3的零点是________解析：由4x－2x＋1－3＝0(2x＋1)(2x－3)＝02x＝3, x＝log23.答案：log236．函数f(x)＝(x－1)(x2－3x＋1)的零点就是__________．解析：利用定义可求解．答案：1，7．若函数y＝x2－ax＋2有一个零点为1，则a等于__________．解析：由零点定义可以解．答案：38．未知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a1)，当时，函数f(x)的零点为x0(n，n＋1)(nn*)，则n＝________.解析：根据f(2)＝loga2＋2－blogaa＋2－3＝0，f(3)＝loga3＋3－blogaa＋3－4＝0，x0(2,3)，故n＝2.答案：29．证明：方程x2x＝1至少有一个小于1的正根．证明：令f(x)＝x2x－1，则f(x)在区间(－，＋)上的图象是一条连续不断的曲线．当x＝0时，f(x)＝－10.当x＝1时，f(x)＝10.f(0)f(1)0，故在(0,1)内至少有一个x0，当x＝x0时，f(x)＝0.即至少有一个x0，满足01，且f(x0)＝0，故方程x2x＝1至少有一个小于1的正根．。
高一数学必修一函数零点试题及解析
高一数学必修一函数零点试题及解析一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f (x )＝lg x －1x的零点所在的区间是( )A ．(3,4)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(0,1) 答案：B解析：∵函数f (x )＝lg x －1x，∴f (2)＝lg2－12＝lg2－lg1012＜0，f (3)＝lg3－13＝lg3－lg1013＞0，∴f (2)f (3)＜0由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为(2,3)，故选B. 2．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋2x ＋a 的零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3) 答案：C解析：解：由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象得0＜b ＜1，f (1)＝0，从而－2＜a ＜－1，而g (x )＝ln x ＋2x ＋a 在定义域内单调递增，产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是________．答案：60,16解析：因为组装第A 件产品用时15 min ，所以cA＝15 ①；所以必有4<A ，且c4＝c2＝30 ②，联立①②解得c ＝60，A ＝16. 8．设函数y ＝x3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0所在的区间是(n ，n ＋1)(n ∈Z )，则n ＝________.答案：1解析：画出函数y ＝x3和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象，如图所示．由函数图象，知1<x 0<2，所以n ＝1.9．若关于x 的方程|x |x －2＝kx 有三个不等实数根，则实数k 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析：由题意可知k ≠0， ∵|x |x －2＝kx ，∴kx 2－2kx ＝|x |. 当x ≥0时，kx 2－2kx ＝x ， 解得x ＝0或x ＝2k ＋1k，∴2k ＋1k >0，∴k >0或k <－12；当x <0时，kx 2－2kx ＝－x ，解：设函数f (x )＝2x ＋x －4， ∵f (1)＝－1<0，f (2)＝2>0，f (x )在区间(1,2)上单调递增，∴f (x )在区间(1,2)内有唯一的零点，则方程2x ＋x －4＝0在区间(1,2)内有唯一一个实数解． 取区间(1,2)作为起始区间，用二分法逐次计算如下：区间 中点的值 中点的函数值 区间长度 (1,2) 1.5 0.33 1 (1,1.5) 1.25 －0.37 0.5 (1.25,1.5)1.375－0.0310.25由上表可知，区间(1.25,1.5)的长度为0.25<0.3. ∴方程的实数解为1.375.能力提升12．(5分)若容器A 有m 升水，将水慢慢注入容器B ，t 分钟后A 中剩余水量y 符合指数函数y ＝m e －at (e 为自然对数的底)．假设经过5分钟时，容器A 和容器B 水量相等，且又过n 分钟容器A 中水只有m8，则n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 答案：D解析：⎩⎪⎨⎪⎧m ·e －5a ＝12m ，m ·e－a5＋n＝m8，温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）1) 对于函数 y=f(x)，将方程 f(x)=0 的实数根称为函数y=f(x) 的零点。
2) 方程 f(x)=0 有实根⇔函数 y=f(x) 的图像与 x 轴有交点⇔函数 y=f(x) 有零点。
若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的图像是连续的曲线，则 f(a)f(b)<0 是 f(x) 在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间 [a,b] 上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x)，通过不断地把函数 y=f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0，那么，函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个 c 也是方程 f(x)=0 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件。
例如，函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 ( )。
分析：显然函数 f(x)=ln(x+1)-2 在区间 [1,2] 上是连续函数，且 f(1)0，所以由根的存在性定理可知，函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 (1,2)，选 B。
二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。
对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学-函数零点问题及例题解析
一、函数与方程基本知识点
1、函数零点：（变号零点与不变号零点）
（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =
,通过不断地把函数
()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似
值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧
零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：
（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如
例、函数x
x x f 2
)1ln()(-
+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数x
x x f 2
)1ln()(-
+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数x
x x f 2
)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B
（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。
对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。
如：
1．对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如： 例.求x x x f 2)(2-=零点的个数。
分析：本题直接求解，无法下手，由函数x x x f 2)(2-=的零点也是方程02)(2=-=x x x f 的根，即方程x x 22=的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数21x y =、x y 22=,在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所以x x x f 2)(2-=零点的个数有三个。
2.对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X 轴交点的情况求解。
（导数专题再续讲）
（三）求函数的具体零点或求方程的根。
对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。
如：
例、求函数36)35()(55++++=x x x x f 的零点。
分析：考察036)35()(55=++++=x x x x f 的特点，直接求解难以入手，可转化为求
)()35()35(55x x x x +-=+++的解，根据式子特点构造函数x x x g +=5)(，显然)(x g 为奇函数，
且在R 上单调递增，由)()35()35(55x x x x +-=+++可化为)()()35(x g x g x g -=-=+，故利用函数)(x g 的性质可得x x -=+35，则21-
=x ，所以函数)(x f 的零点为2
1
-=x
基础练习
1、下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）答案B
2、已知函数)(x f 的图象是连续的，有如下表。
函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（ ） 答案C
x
1 2 3 4 5 6 )(x f
123.56 21.45 －7.82 11.57 53.76 －126.49
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3. 设α、β分别是方程2log 40240x x x x +-=+-=和的根，则α＋β＝ 。
答案4
4. 已知函数b a b
ax x x f ,()(2
+=为常数），且方程012)(=+-x x f 有两实根3和4 (1)求函数)(x f 的解析式； (2)设1>k ，解关于x 的不等式：x
k
x k x f --+<
2)1()(
解： （1）即方程
0122
=+-+x b
ax x 有两根3和4，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++=++084160939
b
a b
a 得 ⎩⎨
⎧=-=2
1b a 所以x x x f -=2)(2
（2）即x
k
x k x x --+<-2)1(22整理的0))(1)(2(>---k x x x 21<<k 时，不等式的解集}21|{><<x k x x 或；2=k 时，不等式的解集}221|{><<x x x 或；2>k 时，不等式的解集}21|{k x x x ><<或。