高中数学函数零点问题及例题解析2018年高三专题复习-函数

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【高中数学】利用导数研究函数零点问题

利用导数研究函数零点问题考点一研究函数零点个数[典例](2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )只有一个零点．[解](1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3.令f ′(x )＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间为(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)，单调递减区间为(3－23，3＋23)．(2)证明：因为x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2(x 2＋2x ＋3)(x 2＋x ＋1)2≥0，仅当x ＝0时，g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点．综上，f (x )只有一个零点．[对点训练]设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．解：(1)由题意知，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex (x >0)，则f ′(x )＝x －ex2，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题意知g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)．当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23，又∵φ(0)＝0.结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知，①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．考点二已知零点存在情况求参数范围[典例](2019·重庆调研)设函数f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在13，3上有两个零点，求实数a 的取值范围．[解](1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f ′(x )＝－2x －1＋1x ＝－2x 2－x ＋1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12(负值舍去)，当0<x <12时，f ′(x )>0；当x >12时，f ′(x )<0.∴f (x )(2)令f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x ＝0，得a ＝x －ln x x.令g (x )＝x －ln xx，其中x ∈13，3，则g ′(x )＝1－1－ln x x 2＝x 2＋ln x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1，当13≤x <1时，g ′(x )<0；当1<x ≤3时，g ′(x )>0，∴g (x )的单调递减区间为13，(1,3]，∴g (x )min ＝g (1)＝1，∵函数f (x )在13，3上有两个零点，3ln 3＋13，g (3)＝3－ln 33，3ln 3＋13>3－ln 33，∴实数a ，3－ln 33.[解题技法]本题是已知区间上有零点，求参数的范围问题．由于有些函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考：(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解．[对点训练]设函数f (x )＝ln x －x ，若关于x 的方程f (x )＝x 2－103x ＋m 在区间[1,3]上有解，求m 的取值范围．解：方程f (x )＝x 2－103x ＋m 在区间[1,3]上有解，即ln x －x 2＋73x ＝m 在区间[1,3]上有解．令h (x )＝ln x －x 2＋73x ，则h ′(x )＝1x －2x ＋73＝－(3x ＋1)(2x －3)3x.∴当x ∈[1,3]时，h ′(x )，h (x )随x 的变化情况如下表：∵h (1)＝43，h (3)＝ln 3－2<43，ln 32＋54，∴当x ∈[1,3]时，h (x )∈ln 3－2，ln32＋54，∴m 的取值范围为ln 3－2，ln32＋54.[课时跟踪检测]1．(2019·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝kx －ln x (k >0)．(1)若k ＝1，求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )有且只有一个零点，求实数k 的值．解：(1)若k ＝1，则f (x )＝x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝1－1x，由f ′(x )>0，得x >1；由f ′(x )<0，得0<x <1，∴f (x )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)法一：由题意知，方程kx －ln x ＝0仅有一个实根，由kx －ln x ＝0，得k ＝ln xx (x >0)．令g (x )＝ln xx (x >0)，则g ′(x )＝1－ln x x 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0.∴g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (e)＝1e .当x →＋∞时，g (x )→0.又∵k >0，∴要使f (x )仅有一个零点，则k ＝1e.法二：f (x )＝kx －ln x ，f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x (x >0，k >0)．当0<x <1k 时，f ′(x )<0；当x >1k 时，f ′(x )>0.∴f (x )∴f (x )min ＝1－ln 1k ，∵f (x )有且只有一个零点，∴1－ln1k ＝0，即k ＝1e.法三：∵k >0，∴函数f (x )有且只有一个零点等价于直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切，设切点为(x 0，y 0)，由y ＝ln x ，得y ′＝1x，∴＝1x 0，0＝kx 0，0＝ln x 0，∴k ＝1e ，∴实数k 的值为1e.2．已知函数f (x )＝x 3＋x 2＋ax ＋b .(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )的图象与直线y ＝ax 恰有两个不同的交点，求实数b 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 3＋x 2－x ＋b ，则f ′(x )＝3x 2＋2x －1，由f ′(x )>0，得x <－1或x >13，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)(2)函数f (x )的图象与直线y ＝ax 恰有两个不同的交点，等价于f (x )－ax ＝0有两个不等的实根．令g (x )＝f (x )－ax ＝x 3＋x 2＋b ，则g ′(x )＝3x 2＋2x .由g ′(x )>0，得x <－23或x >0；由g ′(x )<0，得－23<x <0.所以函数g (x )∞(0，＋∞)－23，所以当x ＝－23时，函数g (x )取得极大值＝427＋b ；当x ＝0时，函数g (x )取得极小值为g (0)＝b .要满足题意，则需＝427＋b ＝0或g (0)＝b ＝0，所以b ＝－427或b ＝0.3．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )(e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)求f (x )的单调区间；(2)讨论g (x )＝f (x [0,1]上零点的个数．解：(1)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a >0时，令f ′(x )<0，得x <ln a ，令f ′(x )>0，得x >ln a ，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，ln a )，单调递增区间为(ln a ，＋∞)．(2)令g (x )＝0，得f (x )＝0或x ＝12，先考虑f (x )在区间[0,1]上的零点个数，①当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增且f (0)＝0，∴f (x )在[0,1]上有一个零点．②当a ≥e 时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，∴f (x )在[0,1]上有一个零点．③当1<a <e 时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a,1)上单调递增．而f (1)＝e －a －1，当e －a －1≥0，即1<a ≤e －1时，f (x )在[0,1]上有两个零点；当e －a －1<0，即e －1<a <e 时，f (x )在[0,1]上有一个零点．再考虑x ＝12时，由0，得a ＝2(e －1)．综上所述，当a ≤1或a >e －1或a ＝2(e －1)时，g (x )在[0,1]上有两个零点；当1<a ≤e －1且a ≠2(e －1)时，g (x )在[0,1]上有三个零点．4．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x ，g (x )＝xe x －2.(1)求函数f (x )的极值；(2)若对任意给定的x 0∈(0，e]，方程f (x )＝g (x 0)在(0，e]上总有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝(2x ＋1)(－ax ＋1)x(x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )无极值．②当a >0时，令f ′(x )>0，得0<x <1a ；令f ′(x )<0，得x >1a .故f (x )∴f (x )存在极大值，极大值为ln 1a ＋1a－1，无极小值．综上所述，当a ≤0时，f (x )无极值；当a >0时，f (x )存在极大值，极大值为ln 1a ＋1a－1，无极小值．(2)g (x )＝xe x －2，g ′(x )＝1－x ex ，令g ′(x )>0，得x <1；令g ′(x )<0，得x >1.则g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∵g (0)＝－2，g (1)＝1e －2，g (e)＝ee e －2>－2，∴当x ∈(0，e]时，g (x )2，1e－2.由(1)得，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时在(0，e]上f (x )＝g (x 0)总有两个不相等的实数根不成立，因此a >0.当a >0，g (x )max ，－2，由f (e)＝1－a e 2＋2e －e a ≤－2，得a ≥3＋2ee 2＋e ，由ln 1a ＋1a －1>1e－2，即ln a －1a ＋1e <1，令h (x )＝ln x －1x ＋1e (x >0)，易知h (x )在(0，＋∞)上单调递增，且h (e)＝1，∴ln a －1a ＋1e <1，得a ∈(0，e)．综上所述，3＋2ee 2＋e≤a <e，故实数a 的取值范围是3＋2ee 2＋e ，。

高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解

高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

2018版高考数学二轮复习特色专题训练专题03直击函数压轴题中零点问题理

专题03 直击函数压轴题中零点问题一、解答题1．已知函数()()()2ln 10f x x a x a =+->.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明： 312e x e --<<.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）依题可知()10f =，若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >，且0110,2x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，于是： ()20010lnx a x +-= ①，2002210ax ax -+= ② 由①②得0001ln 02x x x --=，设g (x )＝lnx −12x x-，(x ∈(0，1))，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．（2）依题可知()10f =，若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，由（1）可知2a >，且0110,2x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. 于是： ()20010lnx a x +-= ①2002210ax ax -+= ②由①②得0001ln 02x x x --=，设()()()1ln ,0,12x g x x x x-=-∈，则()2212x g x x '-=，因此()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又3322402e g e -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， ()11302e g e ---=< 根据零点存在定理，故3120ex e --<<.点睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法. 2．设函数f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )． (1)当b ＝1时证明：函数f (x )在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点； (2)若当x ∈[1,2]，不等式f (x )<1有解．求实数b 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(),1-∞【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f (x )在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为对应函数最值问题： 2b x x<- ，再根据函数单调性确定函数最小值，即得实数b 的取值范围．(2)由题意可知x2＋bx－1<1在区间[1,2]上有解，所以b<＝－x在区间[1,2]上有解．令g(x)＝－x，可得g(x)在区间[1,2]上递减，所以b<g(x)max＝g(1)＝2－1＝1 ，从而实数b的取值范围为(－∞，1)．点睛：利用零点存在性定理不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点3．已知函数()()210f x ax mx m a =++-≠.（1）若()10f -=，判断函数()f x 的零点个数；（2）若对任意实数m ，函数()f x 恒有两个相异的零点，求实数a 的取值范围；（3）已知12,x x R ∈R 且12x x <， ()()12f x f x ≠，求证：方程()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦ 在区间()12,x x 上有实数根.【答案】⑴见解析;⑵01a <<;⑶见解析.【解析】试题分析：（1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可；（3）方程()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12,x x 上有实数根，即()()()()1212g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦有零点，结合零点存在定理可以证明. 试题解析：⑴()10,10,1f a m m a -=∴-+-=∴=Q()21f x x mx m ∴=++-()()22412m m m ∆=--=-,当2m =时， 0∆=，函数()f x 有一个零点；当2m ≠时， 0∆> ，函数()f x 有两个零点⑶设()()()()1212g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦，则()()()()()()1112121122g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦ ()()()()()()2212211122g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦ ()()12f x f x ≠Q()()()()21212104g x g x f x f x ⎡⎤∴⋅=--<⎣⎦, ()0g x ∴=在区间()12,x x 上有实数根，即方程()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12,x x 上有实数根. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 4．已知函数()2ln f x a x bx =-图象上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++.(1)求,a b 的值;(2)若方程()0f x m +=在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不等实根,求m 的取值范围(其中e 2.71828=L 为自然对数的底).【答案】(1)a =2,b =1.(2) 2112em <≤+. 【解析】试题分析：本题考查函数与方程，函数与导数的综合应用．(1)根据导数的几何意义，得出两个方程，然后求解．(2)先利用导数研究函数h (x )=f (x )+m =2lnx ﹣x 2+m 的单调性，根据单调性与极值点确定关系然后求解．(2)由（1）得f (x )=2lnx ﹣x 2，令h (x )=f (x )+m =2lnx ﹣x 2+m ，则()()22122x h x x x x='-=-，令h '(x )=0，得x =1(x =﹣1舍去)．故当x ∈11e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，时，h '(x )＞0，h (x )单调递增；当x ∈(1，e ]时，h '(x )＜0，h (x )单调递减． ∵方程h (x )=0在1e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内有两个不等实根，∴()()221120e e {11020h m h m h e e m ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭=-+>=-+≤，解得2112e m <≤+． ∴实数m 的取值范围为211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦. 点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题．（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 5．已知函数()1xf x e ax =--，其中e 为自然对数的底数， a R ∈（I ）若a e =，函数()()2g x e x =- ①求函数()()()h x f x g x =-的单调区间 ②若函数()()(),{,f x x m F x g x x m≤=>的值域为R ,求实数m 的取值范围（II ）若存在实数[]12,0,2x x ∈,使得()()12f x f x =，且121x x -≥，求证： 21e a e e -≤≤- 【答案】（1）①详见解析②实数m 的取值范围是10,2e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）21e a e e -≤≤-；试题解析：（1）当a e =时， ()1xf x e ex =--.①()()()()21,'2xxh x f x g x e x h x e =-=--=-.由()'0h x >得ln2x >，由()'0h x <得ln2x <.所以函数()h x 的单调增区间为()ln2,+∞，单调减区间为(),ln2-∞. ②()'xf x e e =-当1x <时， ()'0f x <，所以()f x 在区间(),1-∞上单调递减；当1x >时， ()'0f x >，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.()()2g x e x =-在(),m +∞上单调递减，值域为()(),2e m -∞-,因为()F x 的值域为R ，所以12)me em e m --≤-，即210m e m --≤. *（）（2）()'xf x e a =-.若0a ≤时， ()'0f x >，此时()f x 在R 上单调递增. 由()()12f x f x =可得12x x =，与121x x -≥相矛盾，同样不能有[)12,ln ,x x a ∈+∞.不妨设1202x x ≤<≤，则有120ln 2x a x ≤<<≤.因为()f x 在()1,ln x a 上单调递减，在()2ln ,a x 上单调递增，且()()12f x f x =，所以当12x x x ≤≤时， ()()()12f x f x f x ≤=. 由1202x x ≤<≤，且121x x -≥，可得[]121,x x ∈ 故()()()121f f x f x ≤=.又()f x 在(],ln a -∞单调递减，且10ln x a ≤<，所以()()10f x f ≤，所以()()10f f ≤，同理()()12f f ≤. 即210,{122e a e a e a --≤--≤--，解得211e a e e -≤≤--，所以21e a e e -≤≤-.点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会. 6．已知函数()1xxf x ax e =-+. （1）当1a =时，求()y f x =在[]1,1x ∈-上的值域；（2）试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.【答案】（1）[]2,1e -（2）当0a ≤时， ()f x 只有一个零点；当0a >时， ()f x 有两个零点．（2）原方程等价于10x e a x --=实根的个数，原命题也等价于()1x h x e a x=--在(),0)(0,x ∈-∞⋃+∞上的零点个数，讨论0a =， 0a <， 0a >，三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理可得结果.试题解析：（1）当1a =时， ()1x x f x ax e =-+，则()()11xxf xg x e-'-==，而()20xx g x e -'=<在[]1,1-上恒成立，所以()()g x f x ='在[]1,1-上递减， ()()max 1210f x f e =-=-'>'， ()()min 110f x f ''==-<，所以()f x '在[]1,1-上存在唯一的00x =，使得()00f '=，而且当()1,0x ∈-时， ()0f x '>， ()f x 递增；当()0,1x ∈时()0f x '<， ()f x 递减；所以，当0x =时， ()f x 取极大值，也是最大值，即()()max 01f x f ==，()()(){}()min min 1,112f x f f f e =-=-=-，所以， ()f x 在[]1,1-上的值域为[]2,1e -.（I ）若0a =，则当(),0x ∈-∞时， ()10x h x e x=->恒成立，则没有零点；当()0,x ∈+∞时， ()110h e =->， 1202h e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又()h x 在()0,+∞上单调递增的，所以有唯一的零点。

2018高考数学专题大讲堂-第六讲-压轴小题中的函数零点问题(PDF 含答案)

答案：
解析：分别画出函数
和
的图象.
由图象可知,函数
关于对称, 又也是函数
的对称轴,
所以函数和的交点也关于对称，且两函数共有个交点,所以所有零点之和为 .
变式：( ·全国Ⅱ)已知函数
满足
，若函数
与
图象的交点为
，则
()
答案：变式：(2016·全国Ⅱ)已知函数
点为
，则
满足 ()
，若函数
与
图象的交
数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其
中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
直接计算或判断零点
例 ( ·南通三模)设函数
内的所有零点的和为________．答案：
解析：当
时，
，
当
时，
，
，则函数
在区间
，此时当
时，
；由此可得
；时，
.
下面考虑
且时，的最大值的情况．
当
时，由函数的定义知
，
因为
，所以
，此时当
时，
；
当
时，同理可知，
.
由此可得
且时，
.
综上，对于一切的
，函数在区间
上有个零点，从而在区间
上有个零
点，且这些零点为
，所以当
时，所有这些零点的和为
．
变式：( ·天津二模)已知函数
在定义域
上单调递增，且对任意
，方程和为( )
压轴小题中的函数零点问题
函数的零点问题是高考的重点和难点内容，由于其和函数、方程有着密切的联系，近几年在全国各地高考

第10集函数的零点——2018年高考数学天津卷理科第14题

第10集函数的零点——2018年高考数学天津卷理科第14题
高考中，函数的零点问题往往是由基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）组合而成，题目常常以选择题或填空题形式出现，考查数形结合的思想，有些题目难度非常大。

函数的零点问题常常可以分成三类问题：一是判断函数零点所在的区间，由零点存在定理完成；二是判断函数零点的个数；三是已知函数零点的个数，求参数的取值范围。

已知函数的零点，求参数的取值范围常用的方法有以下几种：
（1）直接法：直接解方程，求得根，或者通过解不等式确定参数的取值范围。

（2）分离参数法：先将参数进行分离，转化为求函数的值域问题加以解决。

（3）数形结合法：先对解析式进行改写，在同一坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求得参数的取值范围。

一·套路
本题考查函数的零点（方程的根），涉及函数的图象、函数的性质、函数的零点等知识点，考查数形结合的思想和分类讨论的思想，属于难题。

本题首先根据自变量的取值范围，分离参数，转化为函数的值域问题；然后分离常数得到两个对勾函数，将问题转化为对勾函数与直线的交点问题；最后作出函数的图象，通过数形结合求得参数的取值范围。

值得说明的是，对勾函数是高考中的热点，因此，对于对勾函数的图象和性质务必十分熟悉。

当然本题不采用分离常数得到对勾函数，
而借助导数求解也是可以的。

三·迁移
以分段函数为载体，利用零点个数考查参数的取值范围问题，是高考中的高频试题。

这类试题往往需要缜密的思维，严谨的逻辑，和强大的计算，但其基本思路相差无几，几乎都是利用数形结合的思想转化。

不信，你看2016年天津高考理科数学的第8题，是不是倍感亲切。

2018年高考数学黄金100题系列第21题函数零点的性质问题理

第21题函数零点的性质问题I ．题源探究·黄金母题【例1】求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数．【答案】1．【解析】()f x 的定义域为()0,+∞．()(),,2ln24603ln3660f f =+-<=+->由零点存在性定理知()f x 有零点．又()()120,f x f x x'=+>∴在()0,+∞上是单调递增函数，()f x ∴只有一个零点．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1P 88例1．【母题评析】本题考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断．【思路方法】判断函数是否存在零点可用零点存在性定理或利用数形结合法．而要判断函数有几个零点，还需要借助函数的单调性．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考山东卷】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（） A ．(])0,123,⎡+∞⎣B ．(][)0,13,+∞ C．()23,⎡+∞⎣D ．([)3,+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥，2(1)y mx =-单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，ym =单调递增，且[,1]y m m m =∈+，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m <<，2(1)y mx =-在1[,1]m 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥，故选B ．【例3】【2016高考天津卷】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0，且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题主要考查分段函数的零点问题．本题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力，以及数形结合、转化与化归能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．【难点中心】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．C ．123,334⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦ D ．123,334⎧⎫⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭ 【答案】C ．【解析】由()f x 在R 上递减可知340,1331,01,34a a a a -≥⎧∴≤≤⎨≥<<⎩，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123,334⎧⎫⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，故选C ．【例4】【2016高考山东卷】已知函数()2,,24,,x x m f x x mx m x m ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________．【答案】()3,+∞【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图象在深蓝色图象的下方，即22224,30m m m m m m >-+∴->，解得3m >．【命题意图】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念，考查学生分析问题与解决问题的能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题．【难点中心】解答这类问题的关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式．本题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等．III ．理论基础·解题原理函数零点、方程的根、函数图象交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：3（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点；（2）方程的根：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫；（3）函数图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间．三者转化：函数()f x 的零点⇒方程()0f x =的根−−−−→方程变形方程()()g x h x =的根⇒函数()g x 与()h x 的交点．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性较强，难度较大．【技能方法】1．已知函数有零点求参数取值范围常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 2．此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图象；（2）确定变量范围：通过图象与交点位置确定参数和零点的取值范围；（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值．【易错指导】对函数零点存在的判断需要注意以下两点：（1）函数()f x 在[],a b 上连续；（2）满足()()0f a f b ⋅<．上述方法只能求变号零点，对于非变号零点不能用上述方法求解．另外需要注意的是：（1）若函数()f x 的图象在0x x =与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；（2）函数的零点不是点，它是函()y f x =数与x 轴的交点的横坐标，是方程()0f x =的根． V ．举一反三·触类旁通考向1 函数零点所在区间的判断【例1】【2018豫西南部分示范高中高三第一学期联考】函数()22ln f x x x=-的零点所在的区间为（） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 【答案】B【解析】由题干知道原函数是增函数，故可以根据零点存在定理得到：()1,2上，故选B ．【例2】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知函数()()()0),,ln x f x x x g x x e h x x x =>=+=+ 的零点分别为123,,x x x ，则A ．123x x x <<B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．312x x x << 【答案】C【解析】根据函数y x = 分别与,ln x y y e y x ==-=- 图像交点，可知选C ．【跟踪练习】1．【2018河南省天一大联考】函数的零点位于区间（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，所以由零点存在定理得零点位于区间，选C ．2．【2018湖北部分重点中学上学期第一次联考】函数()e 43xf x x =+-的零点所在的区间为（） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C考向2 由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围【例3】【2018四川绵阳高三第一次诊断性考试】已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【名师点睛】解题的关键是得到后，得到，然后将问题转化成方程在上有解的问题处理．在解题的过程中分离参数的方法，转化为求函数在闭区间的最值问题处理，求最值时可用导数或基本不等式处理，具体求解中要注意合理的变形．【例4】【2018南宁高三毕业班摸底联考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可得函数f(x)的对称轴为x=2，周期为T=4，原方程变形为，，所以只需画出，两个函数在区间(-2，6)的图像，根据图像求a的范围，图像如下，一定过（-1，0）点，当时，显然只有一个交点，所以，只需要对数从点B，点C下面穿过就有4个零点，所以解得，选D．【名师点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a的范围．5【例5】【2018河南省天一大联考】已知函数若关于的方程有3个实数根，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】作图如下：因此要使方程有3个，实数的取值范围是，选D ．【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．【例6】【2018山西45校高三第一次联考】函数在区间和区间上分别存在一个零点，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．或【答案】B【例7】【2017江西上饶一模】已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是（）A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥ 【答案】A【解析】由题意知必存在唯一的正实数a ，满足()13log f x x a +=， ()4f a = ①，∴()13log f a a a +=7②，由①②得： 13log 4a a =-，∴413a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得3a =．故()133log f x x =-，由方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解，即有3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解，由()32694g x x x x a =-+-+，可得()23129g x x x =-+'，当13x <<时， ()0g x '<， ()g x 递减；当01x <<时， ()0g x '>， ()g x 递增． ()g x 在1x =处取得最大值a ， ()04g a =-， ()34g a =-，分别作出13log y x =，和32694y x x x =-+-的图象，可得两图象只有一个交点()1,0，将32694y x x x =-+-的图象向上平移，至经过点()3,1，有两个交点，由()31g =，即41a -=，解得5a =，当05a <≤时，两图象有两个交点，即方程两解．故选A ．【例8】【2018河南郑州一中模拟】已知函数()f x 满足()()22f x f x +-=，当(]0,1x ∈时，()2f x x = ，当(]1,0x ∈-时，()2f x +=若定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是__________．【答案】(0,6-()2,3031x x ∈⇒<-<，所以3fx =-，则()224433f x x x =-=+--．所以()222+1{ 2(243xx x f x x -=-+-， (](](](),1,0,0,1,1,2,2,3x x x x ∈-∈∈∈，画出函数()y f x =在区间()1,3-上的图像与函数()1y t x =+的图像，由于直线()1y t x =+是过定点()1,0-斜率是t 的动直线，数形结合可知：当()1y t x =+与()222y x =--相切时，即方程()()()2212242=0t x x x t x t +=--⇒+-++有唯一解，可求得6t =-故结合图像可知：当06t <<-时，函数()y f x =在区间()1,3-上的图像与直线()1y t x =+的图像有且只有三个不同的交点，即定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点，应填答案(0,6-．【名师点睛】解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数()y f x =在区间()1,3-上的解析表达式求出来，再画出其图像数形结合，从而将问题转化为方程()()()2212242=0t x x x t x t +=--⇒+-++有唯一解，可求得6t =-06t <<-()y f x =在区间()1,3-上的9图像与直线()1y t x =+的图像有且只有三个不同的交点，即定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点．【例9】【2017江苏南师大附中模拟】函数()()()({ 4x x x t f x x x t ≤=>其中0t >，若函数()()1g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是__________．【答案】()3,4()()()22343f x x tx t x t x t =-+=--'，则,3tx x t ==是两个极值点，且极大值为327t ，极小值为0．画出函数()()()({ 4x x x t f x xx t ≤=>的图像，和直线1,1y t y =+=的图像，结合函数的图像可知：当314{ 34127t t t<⇒<<>时，两直线1,1y t y =+=与函数()y f x =共有六个不同交点，应填答案()3,4．【名师点睛】解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数形结合思想建立不等式组．求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值．灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征，体现了数学思想在解决数学问题中四两拨千斤的功能．【跟踪练习】1．【2018届山西45校高三第一次联考】函数()221f x ax x =-+在区间（-1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．31a -<< B ．314a << C ．334a -<< D ．3a <-或34a > 【答案】B2．【2018四川绵阳高三第一次诊断性考试】函数满足，且当时，．若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为函数满足，所以函数的周期为又在一个周期内，函数解析式为，所以可作出函数图象，在同一坐标系内作函数的图象，要使两个函数图象有且仅有四个交点，只需，所以，故选C ．3．【2018贵州黔东南州上学期第一次联考】已知函数()29,0{ 42,0x x x f x x x +-≤=->，若方程()f x a =有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．[)59,2,24⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭B ．()2,-+∞C ．()59,2,24⎛⎤--⋃-+∞ ⎥⎝⎦D ．()59,2,24⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】作出函数()29,0{ 42,0x x x f x x x +-≤=->的图象如下：方程()f x a =有两个不相等的实数根等价于函数()y f x =与y a =的图象有两个不同的交点，有图可知，11()59,2,24a ⎛⎤∈--⋃-+∞ ⎥⎝⎦．故选C ．【名师点睛】方程的根或函数有零点求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 4．【2018四川达州模拟】已知()2sin 26f x x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为( )A ．（1，2）B ．[1，2]C ．[1，2)D ．（1，2] 【答案】C【名师点睛】本题考查正弦函数的图象，解答本题关键是将函数有两个零点的问题转化为两个函数有两个交点的问题，作出两函数的图象，判断出参数的取值范围，本题以形助数，是解此类题常用的方法，熟练作出相应函数的图象对解答本题很重要5．【2018江西横峰中学第一次月考】设()f x 满足()()-=f x f x -，且在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-，当[]1,1a ∈-时都成立，则t 的取值范围是（）A ．1122t -≤≤ B ．2t ≥或2t ≤-或0t = C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．22t -≤≤ 【答案】B【解析】若函数()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立，由已知易得()f x 的最大值是1，∴2212120t at at t ≤-+⇔-≤，设()22g a at t =- ()11a -≤≤，欲使220at t -≤恒成立，则 ()()10{210g t g -≤⇒≥≤或2t ≤-或0t =，故选B ．6．【2018湖北七校联考】已知)(x f 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数)()12(2x f x f y -++=λ只有一个零点，则实数λ的值是（） A ．41 B ．81 C ．87- D ．83-【答案】C ．【解析】令0)()12(2=-++=x f x f y λ，且)(x f 是奇函数，则)()()12(2λλ-=--=+x f x f x f ，又因为)(x f 是R 上的单调函数，所以λ-=+x x 122只有一个零点，即0122=-+-λx x 只有一个零点，则0)1(81=--=∆λ，解得87-=λ，故选C ． 7．已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（）A ．()+∞ B ． )⎡+∞⎣C ．()3,+∞D ．[)3,+∞【答案】C ．【评注】（1）此类问题如果()f x 图象易于作出，可先作图以便于观察函数特点；（2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t ，从而用t 表示出,a b ，达到消元效果，但是要注意t 是有范围的（通过数形结合y t =需与()y f x =有两交点）；一个是通过图象判断出,a b 的范围，从而去掉绝对值．138．已知函数()111,0,2212,,22x x x f x x -⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，()()12f x f x =，则()()122x f x f x -的取值范围为（）A ．20,4⎛- ⎝⎭ B ．92,164⎡--⎢⎣⎭ C ． 91,162⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．2142⎡⎫--⎪⎢⎪⎣⎭ 【答案】C ．9．【2018江西新余一中二模】已知函数()y f x =的周期为2，当[]0,2x ∈时， ()()21f x x =-，如果()()5log 1g x f x x =--，则函数()y g x =的所有零点之和为（）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D【解析】由题意可得()()5log 1g x f x x =--，根据周期性画出函数()()21f x x =-的图象，以及5log 1y x =-的图象，根据5log 1y x =-在()1,+∞上单调增函数，当6x =时， 5log 11y x =-=， ∴当6x >时， 5log 11y x =->，此时与函数()y f x =无交点，再根据5log 1y x =-的图象和()f x 的图象都关于直线1x =对称，结合图象可知有8个交点，则函数()()5log 1g x f x x =--的零点个数为8，故选D ．【方法点睛】判断函数()y f x =零点个数的常用方法：(1) 直接法：令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0,f a f b ⋅<再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题．10．【2018河北石家庄二中八月高三模拟】已知()22,{ 2,x x a f x x x a -≥=+<，若函数()1ln g x f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[][)1,23,-⋃+∞【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 11．【2018广东茂名高三五大联盟学校9月联考】若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】15【名师点睛】本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用，求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像，进而借助图像的直观建立不等式，进而通过解不等式求出参数的取值范围．。

2018版第3章3.4.1第1课时函数的零点精讲例题教案

3.4函数的应用3．4.1函数与方程第1课时函数的零点1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(重点)2．会求函数的零点．(重点、难点)3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)[基础·初探]教材整理1零点的概念阅读教材P91至P92例1，完成下列问题．1．函数零点的定义一般地，我们把使函数y＝f (x)的值为0的实数x称为函数y＝f (x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f (x)的零点就是方程f (x)＝0的实数根．(2)函数y＝f (x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．函数y＝x2＋3x＋2的零点是________，其图象与x轴的交点为________．【解析】令x2＋3x＋2＝0，则(x＋2)(x＋1)＝0，∴x＝－1或x＝－2.【答案】－1或－2(－1,0)，(－2,0)教材整理2零点存在性定理阅读教材P92例2至P93“思考”，完成下列问题．若函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a)·f (b)<0，则函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．()(2)任意两个零点之间函数值保持同号．()(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f (a)·f (b)＜0.()【解析】(1)可举反例f (x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f (x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点即x＝1,2,3，在(1,2)上f (x)为正，在(2,3)上f (x)为负，故在零点1和3之间有正有负．(3)举例f (x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f (x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f (2)·f (－2)>0.【答案】(1)×(2)×(3)×2．若函数f (x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，则函数f (x)在区间(2,5)上零点的个数是________．【解析】由f (x)在区间(2,5)上是减函数，可得f (x)至多有一个零点．又因为f (x)是一条连续不断的曲线，f (2)·f (5)＜0，所以f (x)在(2,5)上至少有一个零点，可得f (x)恰有一个零点．【答案】 1[小组合作型]求函数的零点求下列函数的零点．(1)f (x)＝x3－x；(2)f (x)＝2x－8；(3)f (x)＝1－log4x；(4)f (x)＝(ax－1)(x－2)(a ∈R)．【精彩点拨】根据函数零点的方程根的关系，求函数的零点就是求相应方程的实数根．【自主解答】 (1)∵f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x －1)(x ＋1)，令f (x )＝0，得x ＝0,1，－1，故f (x )的零点为x ＝－1,0,1. (2)令f (x )＝2x －8＝0，∴x ＝3，故f (x )的零点为x ＝3.(3)令f (x )＝1－log 4 x ＝0，∴log 4 x ＝1，∴x ＝4. 故f (x )的零点为x ＝4.(4)当a ＝0时，函数为f (x )＝－x ＋2，令f (x )＝0，得x ＝2. ∴f (x )的零点为2.当a ＝12时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x －2)＝12(x －2)2，令f (x )＝0得x 1＝x 2＝2. ∴f (x )有零点2. 当a ≠0且a ≠12时，令f (x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝2. ∴f (x )的零点为1a ，2.综上，当a ＝0时，f (x )的零点为2；当a ＝12时，函数有零点2；当a ≠0且a ≠12时，f (x )的零点为1a ，2.函数零点的求法求函数f (x )的零点时，通常转化为解方程f (x )＝0，若方程f (x )＝0有实数根，则函数f (x )存在零点，该方程的根就是函数f (x )的零点；否则，函数f (x )不存在零点．[再练一题]1．若函数f (x )＝x 2－ax ＋b 有两个零点1和4，则函数g (x )＝bx 2－ax ＋1的零点为________．【解析】由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1＋4＝5，b ＝1×4＝4，∴g (x )＝4x 2－5x ＋1＝(4x －1)(x －1)，令g (x )＝0，则x ＝14或1，即g (x )的零点为14或1. 【答案】 14或1零点存在性定理及其应用在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为________．(填序号)①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 【精彩点拨】利用函数零点的存在性定理判断，即是否具备f (a )f (b )<0，也可以利用函数图象判断，即函数图象与x 轴是否有交点．【自主解答】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －1>0， ∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上．【答案】③1．判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在性定理，二是利用函数图象．2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f (x)的图象在[a，b]上连续，且f (a)·f (b)<0，则f (x)在(a，b)上必有零点，若f (a)·f (b)>0，则f (x)在(a，b)上不一定没有零点．[再练一题]2．根据表格中的数据，可以断定方程e x－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)x －1012 3e x0.371 2.727.4020.12x＋32345 6①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．【解析】设f (x)＝e x－(x＋3)，由上表可知，f (－1)＝0.37－2<0，f (0)＝1－3<0，f (1)＝2.72－4<0，f (2)＝7.40－5>0，f (3)＝20.12－6>0，∴f (1)·f (2)<0，因此方程e x－(x＋3)＝0的根在(1,2)内．【答案】③[探究共研型]方程零点个数的判断探究1如何去求一个方程的零点？【提示】(1)可以解方程；(2)可以结合图象；(3)可以用零点存在性定理．探究2求方程零点的方法有何优缺点？能否用来判断零点的个数？【提示】解方程法．优点：解的准确，不需估算．缺点：有些方程，我们解不出根的精确值，如f (x )＝2x －3x .图象法和零点存在性定理解得的零点未必是精确值，但我们可以通过图象的交点个数来判断方程零点的个数．(1)函数f (x )＝e x －3的零点个数为________．(2)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数是________． (3)已知关于x 的一元二次方程(x －1)(3－x )＝a －x (a ∈R )，试讨论方程实数根的个数．【精彩点拨】 (1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数图象来求解．(3)原方程可化为(x －1)(3－x )＋x ＝a ，利用直线y ＝a 与抛物线y ＝(x －1)(3－x )＋x 的位置关系讨论，也可以利用判别式．【自主解答】 (1)令f (x )＝0，∴e x －3＝0，∴x ＝ln 3，故f (x )只有1个零点． (2) 在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数为2.【答案】 (1)1 (2)2(3)法一：原方程化为－x 2＋5x －3＝a . 令f (x )＝－x 2＋5x －3，g (x )＝a .作函数f (x )＝－x 2＋5x －3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为12－254×(－1)＝134，画出如图所示的简图：由图象可以看出：①当a ＞134时，方程没有实数根；②当a ＝134时，方程有两个相等的实数根； ③当a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．法二：原方程化为x 2－5x ＋3＋a ＝0. Δ＝25－4(3＋a )＝－4a ＋13.①当Δ＜0，即a ＞134时，方程没有实数根； ②当Δ＝0，即a ＝134时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＞0，即a ＜134时，方程有两个不相等的实数根．判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．[再练一题]3．若把(3)中x 加以限制(1＜x ＜3)，求解相应问题．【解】原方程可化为－x 2＋5x －3＝a (1＜x ＜3)，作函数f (x )＝－x 2＋5x －3(1＜x ＜3)的图象，注意f (x )＝－x 2＋5x －3的对称轴为x ＝52，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－254＋252－3＝50－25－124＝134，f (1)＝－1＋5－3＝1，f (3)＝－9＋15－3＝3. 故f (x )在1＜x ＜3上的草图如图所示：由图可知，①当a ＝134或1＜a ≤3时，方程有一解； ②当3＜a ＜134时，方程有两解； ③当a ≤1或a ＞134时，方程无解.1．下列图象表示的函数中没有零点的是________．(填序号)【解析】 ②③④的图象均与x 轴有交点，故函数均有零点，①的图象与x 轴没有交点，故函数没有零点．【答案】 ①2．函数f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10)的零点个数是________．【解析】 ∵f (x )＝(x －1)(x 2＋3x －10) ＝(x －1)(x ＋5)(x －2)，由f (x )＝0，得x ＝－5或x ＝1或x ＝2. 【答案】 33．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 f (x )136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238由表可知函数f (x )存在零点的区间有________个．【解析】 ∵f (2)·f (3)＜0，f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＜0，f (6)·f (7)＜0，∴共有4个区间．【答案】 4 4．方程0.9x －221x ＝0的实数解的个数是________．【解析】设f (x )＝0.9x －221x ，则f (x )为减函数，值域为R ，故有1个．【答案】 15．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围.【解】令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14. 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m >0，f (4)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，26m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，26m ＋38>0，解得－1913<m <0.。

2018届高考数学(理)一轮复习：微专题1 函数的零点

微专题1 函数的零点与性质在高考中都有所考查，函数的应用则体现了新高考考查应用的理念，在高考中对函数应用的考查主要体现在函数的零点问题上，是高考考查的热点、重点．函数的零点与方程的解、函数的图象等问题密切相关，该部分的重点主要包括以下几个方面：函数零点的判断与求解、与函数零点相关的含参问题、与二次函数相关的零点问题．处理函数零点问题的常用方法：(1)解方程，令f (x )＝0，求解；(2)零点存在性定理，要求函数在区间上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定；(3)数形结合，转化为两个函数的图象的交点的个数问题．函数的零点问题主要涉及了转化思想，如方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数的值域问题．在解决函数的零点问题需要注意以下几点：(1)函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标；(2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件，判零点个数还是要根据函数的单调性、对称性或者结合函数的图象.判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理求：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图象的情况，常通过分解转化为两个函数图象，然后利用数形结合，看其交点有几个．其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． (1)已知函数f (x )＝ln x －(12)x －2的零点为x 0，且x 0所在的区间是(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为________． (3)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3||x 的零点个数是________．反思提炼：函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．函数零点存在性定理中的条件是零点存在的一个充分不必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．(1)函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.(2)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x >0，则函数f (x )＝sgn(x －1)－ln x 的零点个数为________．·举一反三·函数f (x )＝|2x －1|，则函数g (x )＝f (f (x ))＋ln x 在(0，1)上不同的零点个数为________．二、与函数零点相关的含参问题函数y ＝f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点．在解决函数与方程的问题时，要注意这三者之间的关系，在解题中充分利用这个关系对实际问题进行转化．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e x(x ＞0)． (1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．反思提炼：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围．若方程可解，则通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．·变式训练·设函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，g (x )＝log 2(2x －1)，若关于x 的函数F (x )＝g (x )－f (x )－m 在上有零点，求m 的取值范围．三、与二次函数相关的零点问题是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．反思提炼：解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．1.||k 的取值范围是________．2．函数f (x )＝x cos x 2在区间上的零点个数为________．3.已知x ∈R ，符号表示不超过x 的最大整数．若函数f (x )＝[x ]x－a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是________．4．已知f (x )＝|2x －1|，f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，则函数y ＝f 4(x )的零点个数为________．5．已知二次函数f (x )的最小值为－4，y ＝f (x )的两个零点为－1和3.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f （x ）x－4ln x 的零点个数．6．已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，且在[0，π2]上的最大值为π－32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明．。

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高中数学2017-2018高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析
一、函数与方程基本知识点
1、函数零点：（变号零点与不变号零点）
（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =
,通过不断地把函数
()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似
值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧
零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：
（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如
例、函数x
x x f 2
)1ln()(-
+=的零点所在的大致区间是（）（A ）（0，1）；（B ）（1，2）；（C ）（2，e ）；（D ）（3，4）。

分析：显然函数x
x x f 2
)1ln()(-
+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数x
x x f 2
)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B
（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。

对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。

如：
1．对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如：例.求x x x f 2)(2-=零点的个数。

分析：本题直接求解，无法下手，由函数x x x f 2)(2-=的零点也是方程02)(2=-=x x x f 的根，即方程x x 22=的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构造函数21x y =、x y 22=,在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点，所以x x x f 2)(2-=零点的个数有三个。

2.对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X 轴交点的情况求解。

（导数专题再续讲）
（三）求函数的具体零点或求方程的根。

对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。

如：
例、求函数36)35()(55++++=x x x x f 的零点。

分析：考察036)35()(55=++++=x x x x f 的特点，直接求解难以入手，可转化为求
)()35()35(55x x x x +-=+++的解，根据式子特点构造函数x x x g +=5)(，显然)(x g 为奇函数，
且在R 上单调递增，由)()35()35(55x x x x +-=+++可化为)()()35(x g x g x g -=-=+，故利用函数)(x g 的性质可得x x -=+35，则21-
=x ，所以函数)(x f 的零点为2
1
-=x
基础练习
1、下列函数中，不能用二分法求零点的是（）答案 B
2、已知函数)(x f 的图象是连续的，有如下表。

函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（）答案C
x
1 2 3 4 5 6 )(x f
123.56 21.45 －7.82 11.57 53.76 －126.49
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3. 设α、β分别是方程2log 40240x x x x +-=+-=和的根，则α＋β＝。

答案4
4. 已知函数b a b
ax x x f ,()(2
+=为常数），且方程012)(=+-x x f 有两实根3和4 (1)求函数)(x f 的解析式； (2)设1>k ，解关于x 的不等式：x
k
x k x f --+<
2)1()(
解：（1）即方程
0122
=+-+x b
ax x 有两根3和4，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++=++084160939
b
a b
a 得 ⎩⎨
⎧=-=2
1b a 所以x x x f -=2)(2
（2）即x
k
x k x x --+<
-2)1(22整理的0))(1)(2(>---k x x x 21<<k 时，不等式的解集}21|{><<x k x x 或；2=k 时，不等式的解集}221|{><<x x x 或；2>k 时，不等式的解集}21|{k x x x ><<或。