导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用(1)

一、教学目标

1、理解函数的单调性与导数的关系;会利用导数研究函数的单调性。

2、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。

3、理解函数在某点取得极值得条件;

二、知识梳理

1、给出下列命题:

①若()f x 在区间(),a b 上就是增函数,都有'()0f x >

②若()f x 在区间(),a b 上可导,则()f x 必为(),a b 上的单调函数

③若对任意(),x a b ∈,都有'()0f x >,则()f x 在(),a b 上就是增函数

④若可导函数()f x 在区间(),a b 上有'()0f x <,则()f x 区间(),a b 上有()0f x < 其中真命题的序号就是

2、下列结论中正确的就是

①若'()0f x =,则0()f x 就是函数()f x 的极值

②若()f x 在(),a b 内有极值,则()f x 在(),a b 内不就是单调函数

③函数的极小值一定小于它的极大值

④()f x 在定义域上最多只能有一个极大值与一个极小值

3、求函数)(x f 在[]b a ,最值的一般步骤

为:(1) ;(2) ;(3) 。

三、诊断练习

题1:函数2

()36ln f x x x =-的单调减区间就是__________. 题2.函数)0(3

2)(2>+=x x x x f 有极 ___值_____. 题3.函数()2cos ,[0,]2f x x x x π

=+∈的最大值就是________、

题4.函数13)(23+-=x x x f 在=x 处取得极小值。

要点归纳

(1)要熟悉求函数单调区间、求极值的一般步骤方法,如诊断练习题1、题2

(2)分析原函数、导函数的图象,牢记“正增负减”四个字,即“导数的正负决定原函数的增减”。遵循此规律,函数的增减性、极值情况一目了然。

四、范例导析

例1、已知函数||ln )(2x x x f =、(1)判断函数)(x f 的奇偶性;(2)求函数)(x f 的单调区间、

【变式】:已知函数()2

x

e f x x =-,求函数()f x 的单调区间。

例2:设函数()32

()f x x bx cx x R =++∈,已知()()()g x f x f x '=-就是奇函数。 (1)求b 、c 的值。 (2)求()g x 的单调区间与极值。

例3:已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 就是自然对数的底数、

(1)证明:)(x f 就是R 上的偶函数;

(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立,求实数m 的取值范围;

注:分离参数后,也可利用基本不等式去处理m 的范围。

变式:已知函数()3212

f x x x bx c =-++. (1)若函数()f x 在(,)-∞+∞上就是增函数,求b 的取值范围;

(2)若()f x 在1x =时取得极值,且[]1,2x ∈-时,2

()f x c <恒成立,求c 的取值范围。

五、解题反思

1、与初等方法相比,导数在研究函数性质时,具有一般性与有效性。运用导数知识,我们可以解决一些非整式型函数的单调区间、最值问题。牢记求导公式就是根本,同时一定要熟练掌握求单调区间,求极值、最值的解题基本步骤。如例1

2、要注意函数()y f x =在0x x =处取得极值的充要条件,体会'

()0f x >就是函数()f x 在区间I 上单调递增的充分不必要条件,注意端点处情况的讨论。如例3的第(1)问。

3、求字母参数的取值范围问题,可考虑生成一个恒成立的不等式,最终转化为函数求最值问题。如诊断练习4,例3第(2)问。

4、要会读图、识图。要搞清楚原函数图像与其导函数图像之间的相互关系,这对概念的理解、作三次函数的简图等都大有裨益。 课后作业

1、 函数y ＝1x

＋2lnx 的单调减区间为________. 2、 若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值,则a ＝________.

3、 函数f (x)＝sinx ＋12

x 在区间[0,2π]上的值域为________.

4、已知函数f(x)＝－12

x 2＋blnx 在区间[2,＋∞)上就是减函数,则b 的取值范围就是________.

5、已知函数f(x)＝alnx －ax －3(a ∈R ).

(1) 当a ＞0时,求函数f(x)的单调区间;

(2) 若函数y ＝f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,且函数g(x)＝12

x 2＋nx ＋mf′(x)(m ,n ∈R )当且仅当在x ＝1处取得极值,其中f′(x)为f(x)的导函数,求m 的取值范围.

6、已知函数f(x)＝ax ＋lnx,x ∈(1,e),且f(x)有极值.

(1) 求实数a 的取值范围;

(2) 求函数f(x)的值域.