高等数学多元函数微分重点难点

多元函数微分学及其应用

一.基本要求

(1)理解多元函数的概念。

(2)了解二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函

数的性质。

(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充

分条件及全微分在近似计算中的应用。

(4)理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算法。

(5)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

(6)会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。

(7)了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，

会求它的方程。

(8)了解二元函数的二阶泰勒公式。

(9)理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在

的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会用最小二乘法求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的实际问题。

二.主要内容

多元函数某些概念之间关系的比较 1. 一元函数()f x 在0x x =

不成立

不成立

2. 二元函数(,)f x y 在点),(000y x P

不成立

不成立

不成立

重要定理

定理1 在有界闭区域D 上的多元连续函数，在D 上一定有最大值和最小值.

定理2 在有界闭区域D 上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上必取得介于两个值之间的任何值.

定理 3 如果),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y x z

∂∂∂2在区域D 内

连续，那么在该区域内，必有x y z ∂∂∂2=y

x z

∂∂∂2.

定理4 如果函数),(y x f z =在点),(y x 可微，则该函数在点),(y x 的偏导数必定存在，且函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分为dy y

z

dx x z dz ∂∂+∂∂= 定理5 如果函数),(y x f z =的偏导数x

z

∂∂，y z ∂∂在点),(y x 连续，则函数在该点可微.

定理6 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必为零，即0),(00'=y x f x ，0),(00'=y x f y . 定理7 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且存在二阶连续偏导数，且

0),(00'=y x f x ，0),(00'=y x f y

记

),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =

2B AC C

B B A -==

∆

则(1)当0>∆时，),(y x f 在),(00y x 处具有极值，且当0

极大值，当0>A 时，),(00y x f 是极小值； (2) 当0<∆时，),(00y x f 不是极值；

(3) 当0=∆时，),(y x f 在),(00y x 处是否有极值不能确定. 重要公式

多元复合函数求导法则

空间曲面的切平面与法线方程

空间曲线的切线与法平面方程

多元函数极值的求法

重点: 理解多元函数的基本概念定义，掌握基本概念之间的关系，会求复合函数和隐函数的偏导数。会求曲线的切线与法平面，曲面的切平面及法线的方程,掌握求多元函数极值、最值及其实际应用。 难点： 抽象的多元复合函数求偏导，多元函数的条件极值及其实际应用。 三、例题精选 极限与连续 求极限的方法:

1. 利用连续的定义及初等函数的连续性，如000(,)P x y 是(,)f x y 的连续点，则0

00lim (,)(,)x x

y y f x y f x y →→=；

2. 利用两边夹法则；

3. 利用化简方法(恒等变形、因式分解、有理化、极限的运算性质、等价代换)；

4. 换元法(转换为一元函数极限)。 例1 求下列极限

(1) 2201

4lim x y xy

x y

→→-+, (2) 2200lim x y x y x y →→++

(3)22

2

20

lim()

x y x y x y +→→+ (4) 222222

00

1cos()

lim ()x y x y x y x y →→-++ 解：(1) 因

22

4xy

x y

-+是初等函数，(0,1)是其连续点，故

2222

0(0,1)

1

44lim

4x y xy xy

x y x y →→--=

=++

(2) 22

0x y x y x y +<<++ ,因为 ()00

lim 0x y x y →→+= 原式0=. (3)令 22x y r +=，则 原式0

ln lim

1lim ln 0

lim

1r r r r r

r r

r r e e

→→→====

(4)原式2

22

2222222222000000

1()11112lim lim lim()()22x x x y y y x y x y x y x y x y y x →→→→→→++===+=+∞+

证明极限不存在的方法:

1. 若二元函数沿某一途径的极限不存在,则该函数的极限不存在；

2. 若沿(,)y k x φ=途径的极限为()k ϕ，则极限不存在；

3. 若沿两条不同途径的极限都存在，但不相等，则该函数的极限不存在.

例2 证明下列极限不存在

(1) 00

lim x y x y

x y →→+- (2)

22

22200

lim ()x y x y x y x y →→+- (3) 10

lim(1)(0)x y

x y xy x y +→→++≠

解：(1)令y kx =,则00

1lim

1x y x y k

x y k

→→++=

--与k 有关，所以极限不存在. (2) 当,x y 沿y x =趋于零时，224

2224000

lim

lim 1()x x y x y x x y x y y →→→==+- 当,x y 沿2y k =趋于零时，原式4

42

04lim

04x x x x →==+, 所以原式极限不存在. (3)令 3y x x =-+，则 原式42

3

3

42

1

1

24240

lim(1

)lim (1)x x x x x x x x x x x x --→→⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦