布洛赫定理 近自由电子近似-山东大学固体物理
固体物理考试重点(广工版、复习资料)
一、晶体宏观特征（必考其一）1.晶体的自限性（自范性）：自发形成封闭几何外形的能力。
2.晶面角守恒定律：同一种晶体在相同的温度和压力下，对应晶面之间的夹角不变。
3.晶体的解理性（Cleave property）：晶体受到外力作用时会沿着某一个或几个特定的晶面劈裂开的性质称为解理性。
4-晶体的各向异性（anisotropy）：沿晶体内部的不同方向上有不同的物理性质。
5.晶体的均匀性（homogeneity ）：内部各部分的宏观性质相同。
6.晶体的对称性（symmetry）：由于内部质点有规则排列而形成的特殊性质。
7.晶体的稳定性：与同种物质的其他形态（气态、液态、非晶态、等离子态等）相比，晶体的内能最小、最稳定。
晶体具有固定的熔点，而非晶体则没有固定的熔点。
二、空间点阵（基元、原胞（primitive cell）> 晶胞（conventional cell）> B 格子、WS 原胞）1.基元：组成晶体的最小结构单元。
2.初基原胞（原胞）：一个晶格最小的周期性单元，称为原胞。
3.惯用原胞（晶胞）：能使原胞同时反映晶体对称性和周期性特征的重复单元,称为晶胞。
4.B格子：如果晶体只由一种原子构成，且基元是一个原子，则原子中心与阵点重合，这种晶格称为布拉菲格子，或称B格子。
5.WS原胞：WS原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS原胞。
作法：（1）任选一格点为原点；（2）将原点与各级近邻的格点连线，得到几组格矢；（3）作这几组格矢的中垂面，这些中垂面绕原点围成的最小区域称W-S原胞。
三、第一布里渊区（二维）：从倒格子点阵的原点出发，作出它最近邻点的倒格子点阵矢量，并作出每个矢量的垂直平分面，可得到倒格子的WS原胞，称为第一布里渊区。
注：写出二维坐标系j> b P b2（ b为倒格子基矢）。
四、晶体的对称性、晶系、密堆积、配位数（一至二）；1.晶体的对称性：晶体经过某种对称操作后物体能自身重合的性质，2.晶系：根据晶体空间点阵中6个点阵参数之间相对关系的特点而将其分为7类，各自称一晶系。
第二讲-能带论-近自由电子近似-final-2008
第13讲_布洛赫定理 —— 能带理论
能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论 基础。能带理论最初的成就是用量子力学阐明了晶体 中电子运动的普遍性的特点。能带理论是一个近似的 理论，在固体中存在大量的电子，他们的运动是相互 关联的，每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵 连，严格地解这种多电子系统显然是不可能的。能带 理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子， 而是在整个固体中运动，称为共有化电子。为了解决 多电子在不为零的平均势场中的复杂运动，使问题简 化，通常考虑三个基本假设。
第13讲_布洛赫定理 —— 能带理论
周期区
简约区
第13讲_布洛赫定理 —— 能带理论
广延区
为了使简约波矢
k
的取值和平移算符的本征值一一对应，
将简约波矢的取值限制第一布里渊区
−
bj 2
< kj ≤
bj 2
用周期性边界条件确定波矢k 的取值 使用周期性边界条件有：
ψ n ,k (r + N1a1 ) = e
ψ n ( k , r ) ——称为布洛赫函数，用它描写的晶格电子也
称为布洛赫电子。
第13讲_布洛赫定理 —— 能带理论
重要推论
（1）根据布洛赫定理，将 ψ n ( k , r ) 写成
ψ n (k , r ) = ψ n (k , r + Rl ) = e un (r )
ik i r
那么 un ( r ) 具有同样的晶格周期性：
un ( r + Rl ) = un ( r )
即晶格电子的波函数可用通过晶格周期性调幅的平面波 ik i r ψ ∼ e 表示。如果将u 置为常数， ，那么这时电子的 行为就像自由电子，则可用一平面波来描述。由此给出 了k 的物理意义：k为波矢。上面作为一个常数引入的k 现在与波矢联系起来。
固体物理 04-01布洛赫定理
大
学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
为一矢量 —— 当平移晶格矢量
—— 波函数只增加了位相因子 电子的波函数
—— 布洛赫函数
西
南 晶格周期性函数
科 技 大 学
—— 晶格周期性函数
Solid State Physics
固 体 物
理 布洛赫定理的证明
—— 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数
二十年代初期，在用量子力学研究金属
的电导理论的过程中发展起来的。
西 南 科 技 大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
Felix Bloch，1905.10 – 1983.9
博士论文《金属的传导理论》
发展核磁精密测量的新方法及其有 关的发现，与爱德华·珀塞尔（ Edward Mills Purcell, 1912-1997） 分享 1952年诺贝尔物理学奖
Solid State Physics
固 体
物 平移算符本征值的物理意义
理
1)
—— 原胞之间电子波 函数相位的变化
2) 平移算符本征值量子数
西
南 —— 简约波矢，对应于平移动操作本征值的量子数
科
技 —— 不同的简约波矢，原胞之间的相位差不同
大 学
Solid State Physics
固
体
物
理
—— 布洛赫定理
？
b）晶体中电子的平均自由程为什么会远大于
西
南 原子的间距？
科
技 大
……
学
Solid State Physics
布洛赫定理 近自由电子近似-山东大学固体物理
h
则上式化为
uk (r Rn ) uk (r )
ik r k (r ) e uk (r )
即晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。
ik Rn (r Rn ) e (r )
2 2 k ( r Rn ) k ( r )
n
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T ( Rn ) T (n1a1 n2 a 2 n3 a 3 ) T (n1a1 )T (n2 a 2 )T (n3 a 3 )
n1 ˆ n2 ˆ n3 ˆ T ( a1 ) T ( a 2 ) T ( a 3 )
i(k K K h )r n (r ) k a(k K n K h )e Kn
h h
i(k K l ) r a(k K l )e l
h
令K n K h K l
k (r )
例1：一维周期场中电子的波函数 k ( x ) 应当满足布洛赫 定理，若晶格常量为a，电子波函数为 k ( x )
j N j l j （其中lj为任意整数)，
j
lj Nj
只能取一些分立的值。
K n 是倒格矢。
当 j 'j
' 相当于波矢 k 换成 k k K n , 整数时，
(r ) (r ) 可以证明 k kK
h
k
态和 k K h 态是同一电子态，而同一电子态对应同一
l
m l
据布洛赫定理，eikna (i )n 即 e ika i
3 ka 2πs π 2
固体物理学：第四章总结
(r
ki
Rn)
bi 2
eik
，(i
Rn
(r ),
1，2 ，3 )
(r ) (r )
k
kKh
在此范围内k共有N个值(N为晶体原胞数) 。
近自由电子近似
1.模型： 假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势
能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替
V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理。
Rs
5.能带宽度： E Emax Emin
费米面的构造法
1.画出布里渊区的广延区图形；
2.画出自由电子费米面(费米面的广延区图)；
N
kF
Z(k )dk
0
kF 0
2N A
2πkdk
πk
2 F
2N A
kF
A
1
2
2π
3.将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当的倒格矢进
入简约布里渊区中等价部位；
3.结论：
发生能量不连续的波矢 k 满足的条件可改写为:
Kn
(k
Kn 2
)
0
k'
k
Kn
0
Kn
对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区边界E(k)函数是 间断的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而有可能使能 带发生重叠。
紧束缚近似
1.模型
晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场V
(r
Rm
)
的作用，其他原子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子
态作为零级近似。
2.势场
V r V (r Rm )
'V
(r
Rn
)
布洛赫定理、一维近自由电子近似
布洛赫定理在固体物理、表面物 理等领域有广泛应用，是理解周
期性结构中粒子行为的基础。
一维近自由电子近似研究现状
1
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述 一维晶体中电子的运动。
2
在一维近自由电子近似中，电子被视为在周期性 势场中运动的粒子，其波函数具有一维周期性。
3
目前，一维近自由电子近似已被广泛应用于研究 一维晶体中的电子结构和物理性质，如电荷密度 波、自旋密度波等现象。
发展更精确的理论模型和计算方法，以更准确地 描述一维晶体中电子的运动和相互作用。
探索一维近自由电子近似在其他领域的应用，如 光子晶体、表面等离激元等。
感谢您的观看
THANKS
这一定理表明，在周期性势场中，电子的波函数具有与周期性势场相同的周期性 。
布洛赫定理对一维近自由电子近似的影响
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述在一维空 间中运动的电子的行为。这种近似忽略了电子之间的相互 作用以及更高阶的能量修正。
根据布洛赫定理，一维近自由电子近似中的波函数应该是 具有周期性的。这意味着，在计算电子的能量和波函数时， 需要考虑周期性势场的影响。
布洛赫定理指出，如果一个函数在一个区间内可积，那么这个函数在这个区间内的积分等于该函数在 区间内任意分割的子区间上的积分的极限。这个定理在数学分析、实变函数等领域有着广泛的应用。
02 一维近自由电子近似的基 本概念
1. 布洛赫定理的表述
布洛赫定理表述为：对于周期性势场， 电子运动的波函数具有Bloch函数的周期 性。即，对于晶体中的电子，其波函数 可以表示为：Ψ(r)=u(r)exp(ik·r)，其中 u(r)是周期性函数，k是波矢。
一、布洛赫定理
4.1布洛赫定理、一维近自由电子近似
试求电子在该态的波矢。 解: 根据 Bloch 定理, 而
π
ψ k ( x + na) = eiknaψ k ( x)
a π
ψ k ( x + na) = sin ( x + na)
π = sin x + nπ = sin a a
所以
=e
inπ
sin
πx
a
x cos nπ
V (ξ )d ξ = Vn
否则
k ' |V | k = 0
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
根据这个结果, 波函数考虑一级修正后可写成
ψ k = ψ k0 +ψ k(1)
= Vn 1 ikx e +∑ 2 L n ℏ 2 2π k − k + 2m a 1 e 2 L n
Tα f (r ) = f (r + aα ), α = 1, 2,3
其中 a1, a2, a3 为晶格三个基矢
显然这些算符是相互对易的
Tα Tβ f (r ) = Tα f (r + a β ) = f (r + a β + aα )
= Tβ Tα f (r )
或
Tα Tβ − Tβ Tα = 0
它具有晶格周期性
ℏ2 2 Tα Hf (r ) = − ∇ r + aα + V (r + aα ) f (r + aα ) 2m ℏ2 2 = − ∇ r + V ( r ) f ( r + aα ) 2m
= HTα f (r )
固体物理概念答案
1． 基元，点阵，原胞，晶胞，布拉菲格子，简单格子，复式格子。
基元：在具体的晶体中，每个粒子都是在空间重复排列的最小单元；点阵：晶体结构的显著特征就是粒子排列的周期性，这种周期性的阵列称为点阵； 原胞：只考虑点阵周期性的最小重复性单元；晶胞：同时计及周期性与对称性的尽可能小的重复单元；布拉菲格子：是矢量Rn=mA1+nA2+lA3全部端点的集合，A1，A2，A3分别为格点到邻近三个不共面格点的矢量；简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶体；复式格子：每个基元中包含一个以上的原子或离子的晶体；2． 晶体的宏观基本对称操作，点群，螺旋轴，滑移面，空间群。
宏观基本对称操作：1、2、3、4、6、i 、m 、4，点群：元素为宏观对称操作的群螺旋轴：n 度螺旋轴是绕轴旋转2/n π与沿转轴方向平移T t j n=的复合操作 滑移面：对*一平面作镜像反映后再沿平行于镜面的*方向平移该方向周期的一半的复合操作空间群：保持晶体不变的所有对称操作3． 晶向指数，晶面指数，密勒指数，面间距，配位数，密堆积。
晶向（列）指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行直线族上，取一个格点沿晶向到邻近格点的位移基失由互质的（l1/l2/l3）表示；晶面指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行平面族上，取原胞基失为坐标轴取离原点最近晶面与三个基失上的截距的倒数由互质的（h1/h2/h3）表示；密勒指数：晶胞基失的坐标系下的晶面指数；配位数：晶体中每个原子（离子）周围的最近邻离子数称之为该晶体的配位数；面间距：晶面族中相邻平面的间距；密堆积：空间内最大密度将原子球堆砌起来仍有周期性的堆砌结构；4． 倒易点阵，倒格子原胞，布里渊区。
倒易点阵：有一系列在倒空间周期性排列的点-倒格点构成。
倒格点的位置可由倒格子基矢表示，倒格子基矢由…确定倒格子原胞：倒空间的周期性重复单元（区域），每个单元包含一个倒格点布里渊区：在倒格子中如以*个倒格点作为原点，画出所有倒格矢的垂直平分面，可得到倒格子的魏格纳塞茨原胞，即第一布里渊区5． 布拉格方程，劳厄方程，几何结构因子。
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设 T ˆ(R n)对 应 的(本 R n)， 征 则 值 有 为
T ˆ ( R n )( r )
根据平移特点
T ˆ ( R n ) T ˆ ( n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3 ) T ˆ ( n 1 a 1 ) T ˆ ( n 2 a 2 ) T ˆ ( n 3 a 3 )
a ib j 2πij
,
(Rn)eikRn
(r R n ) e ik R n (r ) ---布洛赫定理
再证明布洛赫波函数具有如下形式：
k r eik r u k r
u k r u k r R n
可以看出平面波 eikr能满足上式。因此矢量 k具有波矢的
a (k K h )iK e h r h
h
则上式化为
k (r )eik r uk (r )
u k (r R n ) u k (r )
即晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。
(r R n ) e ik R n (r ) k (r R n)2k (r )2
(a 1 )、 (a 2 )、 (a 3 ) ?
设 a 1 、 晶 a 2 、 a 3 方 体 N 1 向 、 N 在 2 、 N 3 个 各 , 原 有
由周期性边界条件
(r) (r N 1a1 )
(r) (r N 2a2 )
(r)
(r
N
3 a3
)
根据上式可得到
T ˆ N 1 a 1 ( r ) ( a 1 ) N 1( r ) ( r N 1 a 1 ) ( r )
(3) Tˆ (Rn)eikRn
(1)平移对称算符 T(Rn)
T ( R n )f( r ) f( r R n ) T 2 ( R n ) f ( r ) T ( R n ) f ( r R n ) f ( r 2 R n ) T l( R n ) f ( r ) f ( r l R n )
根据布洛赫定理波函数写成如下形式：
(a 1)、 (a 2)、 (a 3) ? u k r u k r R n
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调
幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
3.证明布洛赫定理
(1)引入平移对称算符 T(Rn)
(2)说明: [Tˆ,Hˆ ]0
电子在一个具有晶格周期性的势场中运动
V r Vr R n
其中 Rn为任意格点的位矢。
2m 2 2VrE
2. 布洛赫定理
当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
(r R n) e ik R n (r ),
其中 k为电子波矢，
R n n 1a 1 n 2a 2 n 3a 3是格矢。
k (r) k (r N2a2 )
T ˆ(a 1 )n 1T ˆ(a 2 )n 2T ˆ(a 3 )n 3
可得到
T ˆ ( R n ) ( r ) ( R n ) ( r ) ( a 1 ) n 1 ( a 2 ) n 2 ( a 3 ) n 3 ( r )
即 ( R n ) ( a 1 ) n 1 ( a 2 ) n 2 ( a 3 ) n 3
意义。当波矢增加一个倒格矢 Kh，平面波 ei(kKh)r 也满足上式。
因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加
k ( r ) a ( k K h )i ( k e K h ) r e i k r a ( k K h )i K h r e
h
设 u k (r )
第一节 布洛赫定理
本节主要内容: 5.1.1 布洛赫定理 5.1.2 波矢的取值和范围 5.1.3 布里渊区
§5.1 布洛赫定理
5.1.1 布洛赫定理
1.晶格的周期性势场 (1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能 之和； (2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势 能与距离成反比)； (3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具 有周期性； (4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在 晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。
T ˆ ( R n ) H ˆ ( r )( r ) H ˆ ( r R n )( r R n ) H ˆ(r )T ˆ(R n)(r )
[Tˆ,Hˆ ]0
平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 (r)
是 Hˆ的本征函数，那么 (r) 也一定是算符 Tˆ(Rn) 的本征函数。
可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面
波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述
电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。
5.1.2 k的取值和范围
设a 晶 1 、 a 2 、 a 3 体 方N 在 向 1 、 N 2 、 N 各 3 个有 原
由周期性边界条件
k (r) k (r N1a1 )
(a1)N1 1
(a1)
i2π l1
e N1
同理可得：
(a2)
i2π l2
e N2
,
(a3)
i
e
2π
l3 N3
这样 Tˆ(Rn) 的本征值取下列形式
i2π(n1l1n2l2n3l3) N1 N2 N3
(R)e n
引入矢量 kl1b1l2b2l3b3
N1 N2 N3
式中
b1、b2、b3为晶格三个倒格基矢，由于
f(r)可V 以 (r)， 是 (r)， H ˆ(r)
(2) [Tˆ,Hˆ ]0
H ˆ 2 2 V(r) 2m
V (r )V (r R n),
在直角坐标系中：
2(r ) x22 y22 z2 2 2(r R n)
2
2
2
(xn 1a1)2(yn 2a2)2(zn 3a3)2
晶体中单电子哈密顿量 Hˆ 具有晶格周期性。