济南大学2016～2017年高数上试卷
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷文科) 数学试题及答案(学生版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷文科）数学试题一、单选题（本大题共10小题，每小题____分，共____分。
）1.设集合，则=（）A. B. C. D.2.若复数，其中i为虚数单位，则=（）A. 1+IB. 1−IC. −1+ID. −1−i3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A. 56B. 60C. 120D. 1404.若变量x，y满足则的最大值是（）A. 4B. 9C. 10D. 125.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）A. B. C. D.6.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面相交”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离8.中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=（）A. B. C. D.9.已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= —f(x)；当x＞时，f(x+)=f(x—).则f(6)= （）A. -2B. -1C. 0D. 210.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）A. y=sin xB. y=ln xC. y=e xD. y=x3二、填空题（本大题共5小题，每小题____分，共____分。
）11.执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为_______．12.观察下列等式：；；；；……照此规律，_________．13.已知向量a=(1,–1)，b=(6,–4)．若a⊥(ta+b)，则实数t的值为________．14.已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．15.已知函数f(x)=其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是_______．三、简答题（综合题）（本大题共6小题，每小题____分，共____分。
【山东省济南】2017届高三上学年期期末数学年(理科)试题
山东省济南市2017届高三上学期期末（理科）数学试卷答 案1~5．CDDAB 6~10．ADCAB 11．1- 12．43 13．5 14．2 15．(],1∞-16．解：（1）∵2sin cos A a B =，sin sin A Ba b=，b =∴2sin B B ，即tan B =∴sin B =∵2c =，∴csin 2sin 3B C b ==． （2）由（1）得2cos 3B =，∴2242523343a c ac ac ac ac =+≥-=-，即有152ac ≤，可得：ABC △面积的最大值为：11522⨯=． 17．证明：（1）在梯形ABCD 中，∵AD DC CB a ===，60ABC ︒∠=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，且30DCA DAC ︒∠=∠=，120DCB ∠= ∴90ACB ∠=，∴AC BC ⊥又∵平面ACF ⊥平面ABCD ，交线为AC ， ∴BC ⊥平面ACFE ．解：（2）设AC 与BD 交点为O ，连结FO ， 过C 作CG FO ⊥，G 为垂足，连结BG ，由（1）得BC ⊥平面ACEF ，则BGC ∠为所求二面角的平面角，在Rt ABC △中，BC a =，60ABC ︒∠=，则2AB a =，AC =，∵//AB DC ，CD a =，∴12CD CO AB AO ==，则2AO CO =， ∵AE CF a ==，∴FO =，则2CF CO a CG FO ==， ∴tan 2BC BGC CG∠==，∴sin BGC ∠=．∴平面BDF 与平面ACFE ．18．解：（1）∵12n +，n S ，a 成等差数列()*n ∈N ．∴122n n S a +=+， 当1n =时，124a a =+，当2n ≥时，112n n n n a S S -==-﹣． ∵数列{}n a 是等比数列，∴11a =，则42a +=，解得2a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）由（1）得()()()()211log 2121n n n n b a a a n n +=-=+-，∴()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和11122111111233521n n n T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎛⎫- ⎪-+⎝⎭+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=21nn +． 19．解：（Ⅰ）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3．()124236115C C P Cξ===；()214236325C C P C ξ===；()304236135C C P C ξ===； 考生甲正确完成题数ξ的分布列为1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．…设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3．…()1027P η==；()121321613327P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211223327P C η⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3283327P η⎛⎫===⎪⎝⎭． 考生乙正确完成题数η的分布列为：16120123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=．… （Ⅱ）因为()()()22213121222325555D ξ=-⨯+-⨯+-=，23D npq η==．所以D D ξη<．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大． 20．解：（1）()()11,0ax f x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 在()0,+∞递减，0a >时，由()0f x '>，得：1x a>，由()0f x '<得10x a <<，∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；（2）∵对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈， 使得()()120f x g x +=， ∴对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使得()()21g x f x =-， 设()()h x f x =-在()1,2上的值域是A ， 函数()g x 在()1,2上的值域是B ，则A B ⊆， 当()1,2x ∈时，()10xh x x-'=<， 即函数()h x 在()1,2上递减， ∴()()ln 22,1h x ∈--，()()()211g x bx b b x x '==+--，①当0b <时，()g x 在()1,2是减函数，此时，()g x 的值域是22,33B b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵A B ⊆，又2013b -≥>-，∴2ln 223b ≤-， 即3ln 232b ≤-，②当0b >时，()g x 在()1,2上是指数，此时，()g x 的值域是22,33B b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵A B ⊆，∴2ln 223b -≤-，∴()33ln 223ln 222b ≥--=-，综上可得b 的范围是33,ln 33ln 2,22⎛⎤⎡⎫∞---+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭-． 21．解：（1）设1PF m =，2PF n =． ∵212PF F F ⊥，1232a PF PF -=， ∴2224m n c =+，32am n -=，2m n a +=，225a c =+，解得：220a =，215c =．∴椭圆G 的方程为221205x y +=．（2）（i ）把4x =代入椭圆方程可得：221165x y +=，解得1y =±，则()4,1C ．设直线l 的方程为：y x m =+，1CM k k =，2CN k k =，()11,M x y ，()22,N x y ．联立221205y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：22584200x mx m -++=，()2264204200m m ∆=-->，解得55m -<<．1285m x x +=-，2124205m x x -=．()()()()()()1221121212121414114444y x y x y y k k x x x x --+----+=+=----， 分子()()()()()()()1221121214142581x m x x m x x x m x x m =+-++-=++-+---=()()242082581055m m m m -⎛⎫⨯+-⨯-+-= ⎪⎝⎭． ∴120k k +=，∴直线CM 与CN 关于直线4x =对称．（ii ）2BF M △与2N BF △的面积的比值为2，可得：∴122F M F M =，即122y y =﹣，①，当直线l 为x轴时，不和题意，舍去． 当直线l 的斜率存在时，设方程为x k=()22450k y --+=，∴12y y +=，②12254y k y -=+，③由①②③联立解得2423k =，即k =∴存在直线l的方程为：0x y ±=，使得2BF M △与2N BF △的面积的比值为2．山东省济南市2017届高三上学期期末（理科）数学试卷解析1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+4）＜0，解得：﹣4＜x＜﹣1，即A=（﹣4，﹣1），∵B=（﹣∞，﹣2），∴∁R B=[﹣2，+∞），则A∩（∁R B）=[﹣2，﹣1），故选：C．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z=的实部为0．故选：D．3．【考点】系统抽样方法．【分析】求出系统抽样间隔，即可得出结论．【解答】解：从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样，间隔相同，故选D．4．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由于f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），据此可求出f（﹣1），可得结论．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=x•2x+a﹣1，∴f（1）=21+a﹣1，又∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣21+a+1=，∴a=﹣3．故选：A．5．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半球与半圆柱的组合体．【解答】解：由三视图可知几何体半球与半圆柱的组合体，半球的半径为1，半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=+=．故选B．6．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为y=2sin（2x﹣+φ），又∵所得图象经过点（，﹣），即：﹣=2sin（﹣+φ），可得：sin（﹣+φ）=﹣，∴解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，或φ=2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=﹣．故选：A．7．【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定．【分析】由已知中的原命题，结合特称命题否定的定义，可得￢p．再由绝对值三角不等式，可得答案．【解答】解：∵命题p：∃x∈（﹣2，2），|x﹣1|+|x+2|≥6，∴￢p为：∀x∈（﹣2，2），|x﹣1|+|x+2|＜6，故A，B，C全错误；根据|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）+（﹣x﹣2）|=3，故￢p为真命题，故D正确；故选：D8．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，在可行域中找出最优点，然后求解即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组，不是的可行域如图：3（x﹣a）+2（y+1）=3x+2y+2﹣3a的最大值为：5，由可行域可知z=3x+2y+2﹣3a，经过A时，z取得最大值，由，可得A（1，3）可得3+6+2﹣3a=5，解得a=2．故选：C．9．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B到直线AF的距离为BC=，求出cos∠BAF=，设F到AB的距离为AD，则|AD|=|AF|cos∠BAF=3，即可得出结论．【解答】解：设B到直线AF的距离为BC=，由|AF|=|AB|=4，可得sin∠BAF=，∴cos∠BAF=，设F到AB的距离为AD，则|AD|=|AF|cos∠BAF=3，∴p+|AD|=4，∴p=1，∴此抛物线的方程为y2=2x．故选A．10．【考点】函数的图象；指数函数的图象与性质．【分析】在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象，数形结合可得满足条件的m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=e|x|，∴f（x﹣2）=e|x﹣2|，在同一坐标系中作出函数f（x）和函数g（x）的图象如下图所示：由图可得：当x=1时，f（x﹣2）=g（x）=e，当x=4时，f（x﹣2）=e2＜g（x）=4e，当x＞4时，由f（x﹣2）=e x﹣2≤g（x）=4e5﹣x得：e2x﹣7≤4，解得：x≤ln2+，对任意的x∈[1，m]（m＞1），都有f（x﹣2）≤g（x），则m∈（1， +ln2]，故选：B11．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，求得m的值．【解答】解：∵向量=（3，m），=（1，﹣2），若•=2，则3﹣2m=5，∴m=﹣1，故答案为：﹣1．12．【考点】二项式系数的性质．【分析】（1﹣）5的展开式中通项公式T k+1==（﹣2）k，令﹣=0，或﹣1，解得k 即可得出．【解答】解：（1﹣）5的展开式中通项公式T k+1==（﹣2）k，令﹣=0，或﹣1，解得k=0，或2．∴（x+3）（1﹣）5的展开式中常数项=3+=43．故答案为：43．13．【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，S=1时，n=1；S=2时，n=2；S=时，n=4；S=＞10，n=5；终止循环，输出n=5．故答案为：5．14．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设直线l的方程为y=（x﹣a），利用圆F被直线l所截得的弦长为c，可得圆心F到直线l的距离为=，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：设直线l的方程为y=（x﹣a），即ax﹣by﹣=0．∵圆F被直线l所截得的弦长为c，∴圆心F到直线l的距离为=，∴=，∴（c﹣a）（c﹣2a）=0，∴c =2a ，∴e =2， 故答案为2．15．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令f ′（x ）≥0在[1，e ]上恒成立，对b 进行讨论得出b 的范围． 【解答】解：f ′（x ）=lnx +=lnx ﹣+1，∵f （x ）在[1，e ]上单调递增，∴f ′（x ）≥0在[1，e ]上恒成立， 若b ≤0，显然f ′（x ）＞0恒成立，符合题意， 若b ＞0，则f ′′（x ）=+＞0，∴f ′（x ）=lnx ﹣+1在[1，e ]上是增函数，∴f ′（x ）≥f ′（1）≥0，即﹣b +1≥0，解得0＜b ≤1， 综上，b 的范围是（﹣∞，1]． 故答案为（﹣∞，1]． 16．【考点】正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可求2sinB =cosB ，利用同角三角函数基本关系式可求tanB ，进而可求sinB ，由正弦定理即可求得sinC 的值．（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosB ，利用余弦定理，基本不等式可求ac ≤，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵2sin cos A a B =，sin sin A Ba b=，b =∴2sin B B ，即tan B =∴sin B =∵2c =，∴csin 2sin 3B C b ==． （2）由（1）得2cos 3B =，∴2242523343a c ac ac ac ac =+≥-=-，即有152ac ≤，可得：ABC △面积的最大值为：11522⨯=．17．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AC ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面ACFE ．（2）设AC 与BD 交点为O ，连结FO ，过C 作CG ⊥FO ，G 为垂足，连结BG ，则∠BGC 为所求二面角的平面角，则平面BDF 与平面ACFE 所成角的正弦值．【解答】证明：（1）在梯形ABCD 中，∵AD DC CB a ===，60ABC ︒∠=，∴四边形ABCD 是等腰梯形，且30DCA DAC ︒∠=∠=，120DCB ∠=∴90ACB ∠=，∴AC BC ⊥又∵平面ACF ⊥平面ABCD ，交线为AC ，∴BC ⊥平面ACFE ．解：（2）设AC 与BD 交点为O ，连结FO ，过C 作CG FO ⊥，G 为垂足，连结BG ，由（1）得BC ⊥平面ACEF ，则BGC ∠为所求二面角的平面角，在Rt ABC △中，BC a =，60ABC ︒∠=，则2AB a =，AC =，∵//AB DC ，CD a =，∴12CD CO AB AO ==，则2AO CO =， ∵AE CF a ==，∴FO =，则2CF CO a CG FO ∙==，∴tan 2BC BGC CG ∠==，∴sin BGC ∠=．∴平面BDF 与平面ACFE ．18．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）利用数列递推公式、等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）得b n =（1﹣an ）log 2（a n a n +1）=（2n +1）（2n ﹣1），可得==，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵12n +，n S ，a 成等差数列()*n ∈N ．∴122n n S a +=+， 当1n =时，124a a =+，当2n ≥时，112n n n n a S S -==-﹣．∵数列{}n a 是等比数列，∴11a =，则42a +=，解得2a =-，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）由（1）得()()()()211log 2121n n n n b a a a n n +=-=+-， ∴()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和11122111111233521n n n T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎛⎫- ⎪-+⎝⎭+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ =21n n +． 19．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（Ⅰ）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其数学期望；（Ⅱ）确定Dξ＜Dη，即可比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大．【解答】解：（Ⅰ）设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3．…()124236115C C P C ξ===；()214236325C C P C ξ===；()304236135C C P C ξ===； … 考生甲正确完成题数ξ的分布列为1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=．… 设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3．…()1027P η==；()121321613327P C η⎛⎫⎛⎫==∙∙= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()223211223327P C η⎛⎫⎛⎫==∙∙= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3283327P η⎛⎫=== ⎪⎝⎭．… 考生乙正确完成题数η的分布列为：0123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=．…（Ⅱ）因为()()()22213121222325555D ξ=-⨯+-⨯+-=， (23)D npq η==．… 所以D D ξη<．综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；从做对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大．…20．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）设h （x ）=﹣f （x ）在（1，2）上的值域是A ，函数g （x ）在（1，2）上的值域是B ，则A ⊆B ，根据函数的单调性分别求出集合A 、B ，从而求出b 的范围即可．【解答】解：（1）()()11,0ax f x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 在()0,+∞递减，0a >时，由()0f x '>，得：1x a>，由()0f x '<得10x a <<， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增； （2）∵对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使得()()120f x g x +=，∴对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使得()()21g x f x =-，设()()h x f x =-在()1,2上的值域是A ，函数()g x 在()1,2上的值域是B ，则A B ⊆，当()1,2x ∈时，()10x h x x-'=<， 即函数()h x 在()1,2上递减，∴()()ln 22,1h x ∈--，()()()211g x bx b b x x '==+--，① 当0b <时，()g x 在()1,2是减函数，此时，()g x 的值域是22,33B b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵A B ⊆，又2013b -≥>-， ∴2ln 223b ≤-， 即3ln 232b ≤-， ② 当0b >时，()g x 在()1,2上是指数，此时，()g x 的值域是22,33B b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵A B ⊆， ∴2ln 223b -≤-， ∴()33ln 223ln 222b ≥--=-， 综上可得b 的范围是33,ln 33ln 2,22⎛⎤⎡⎫∞---+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭-． 21．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．由PF 2⊥F 1F 2，|PF 1|﹣|PF 2|=，可得m 2=n 2+4c 2，m ﹣n =，m +n =2a ，又a 2=5+c 2，解出即可得出．（2）（i ）把x =4代入椭圆方程可得： =1，解得y ，可得C （4，1）．设直线l 的方程为：y =x +m ，k CM =k 1，k CN =k 2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．直线方程与椭圆方程联立化为：5x 2+8mx +4m 2﹣20=0，△＞0，k 1+k 2=+=，把根与系数的关系代入分子=0．即可证明．（ii ）△BF 2M 与△BF 2N 的面积的比值为2，可得：|F 1M |=2|F 2M |，即y 1=﹣2y 2，①，当直线l 为x 轴时，不和题意，舍去．当直线l 的斜率存在时，设方程为x =k +，代入椭圆方程化为：（k 2=4）y 2+2ky ﹣5=0，可得y 1+y 2=，②y 1•y 2=，③由①②③联立解出即可得出．【解答】解：（1）设1PF m =，2PF n =． ∵212PF F F ⊥，1232a PF PF -=，∴2224m n c =+，32a m n -=，2m n a +=，225a c =+， 解得：220a =，215c =． ∴椭圆G 的方程为221205x y +=． （2）（i ）把4x =代入椭圆方程可得：221165x y +=，解得1y =±，则()4,1C ． 设直线l 的方程为：y x m =+，1CM k k =，2CN k k =，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立221205y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：22584-200x mx m ++=，()2264204200m m ∆=-->，解得55m -<<． 1285m x x +=-，2124205m x x ∙-=． ()()()()()()1221121212121414114444y x y x y y k k x x x x --+----+=+=----， 分子()()()()()()()1221121214142?581x m x x m x x x m x x m =+-++-+-+-+-=- =()()242082581055m m m m -⎛⎫⨯+-⨯-+-= ⎪⎝⎭． ∴120k k +=，∴直线CM 与CN 关于直线4x =对称．（ii ）2BF M △与2N BF △的面积的比值为2，可得： ∴122F M F M =，即122y y =﹣，①，当直线l 为x 轴时，不和题意，舍去． 当直线l的斜率存在时，设方程为x k =()22450k y --+=，∴12y y +=，②12254y k y -=+∙，③由①②③联立解得2423k =，即k = ∴存在直线l的方程为：0x y ±=，使得2BF M △与2N BF △的面积的比值为2． 天津市南开区2016-2017学年高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案1~5．ABADC6~8．BAC9．2710．72911．()1,20,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭--12． 13．4314．231,⎤⎥⎦15．解：（Ⅰ） ()π2cos sin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2cos sin cos cos sin 33x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin cos x x x =1sin22x x =+πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…5分 2ππ2T ∴==，…6分 ∴令π2π3x k +=，k ∈Z ，解得：ππ26k x =-，k ∈Z ，即函数的对称中心为：ππ,026k ⎛⎫ ⎪⎝⎭-，k ∈Z …7分 （Ⅱ）ππ,3x ⎡⎥∈⎤⎢⎣⎦， ()f x ∴在区间7π12π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在区间7π12,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， πsin π03f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，7π3πsin 1122f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()ππsin 3f ==，∴函数()f x 在区间π,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为1,⎡-⎢⎣⎦…13分16．解：（1）πtan 24C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1tan 21tan C C -∴=+（2分）tan C ∴在ABC △中，0πC <<π3C ∴= （2）2222cos c a b ab C =-+ ()22273253a b ab a b ab ab ∴=+=+=---（8分）6ab ∴=1sin 2ABC S ab C ∴==△12分） 17．解：（Ⅰ）依题意Rt ABC Rt ADC △≌△，BAC DAC ∠=∠，ABO ADO △≌△， AC BD ∴⊥．而PA ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，又PA AC A =，所以BD ⊥面PAC ， 又BD ⊂面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示坐标系，则1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,0D，)0C，设()0,0,P λ，所以1,63G λ⎫⎪⎪⎝⎭，31,2PB λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，由AG PB ⊥得， 311,,0632AG PB λλ⎛⎫⎫∙=∙--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得212λ=，所以λ=． P ∴点坐标为0,0,2⎛ ⎝⎭， 面PBD的一个法向量为(63,1,m AG ==， 设面PCD 的一个法向量为()(),,,3,0,0,0,1,2n x y zCD PD ⎛==-=- ⎝⎭ 00n PD n CD ⎧∙=⎪∴⎨∙=⎪⎩即00z-==⎪⎩，(0,1,2n ∴=，0,1,cos ,n mn m n m ∙∙===， 所以二面角B PD C --18．（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 依题意，112b =，2112d b +=，31212d b +=， 123164b b b =， 112611112222d d ++∴∙∙=， ()()11126d d ∴++++=，解得：1d =，()11n a n n ∴=+-=；（Ⅱ）证明：n a n =，12n nb ∴=， 12n n na b n =∙， 记11222311111232232n n n n T a b a b a b n =++⋯+=∙+∙+∙++∙， 则()2311111112122222n n n T n n +∙=∙+∙++-∙+∙， 两式相减得：231111*********n n n T n +∙=++++-∙ 11111221212nn n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-∙- 111122n n n +=--∙， 111112122222n n n n n n T n +-⎛⎫∴=--∙=-- ⎪⎝⎭，112222n nn ---<， 11222n n a b a b a b ∴++⋯<+． 19．解：（1）椭圆()222210x ya b a b +=>>椭圆上的一点A 到两焦点的距离之和为4，e 224c a a ⎧==⎪∴⎨⎪=⎩，解得2a =，b∴椭圆的方程为22142x y +=． （2）过圆222x y t +=上一点(2,M 处切线方程为260x -=， 令()111,Q x y ，()222,Q x y ， 则22226022x x y b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 化为225243620x x b -+-=，由0∆>，得b >， 12245x x +=，2123625b x x -= ()212121218426185b y y x x x x -=++=-， 由12OQ OQ ⊥，知12120x x y y +=， 解得29b =，即3b =±，310b > 3b ∴=．20．解：（Ⅰ）由()e x f x ax =-得()e x f x a '=-．又()011f a '=-=-，2a ∴=，()e 2x f x x ∴=-，()e 2x f x '=-．由()0f x '=得ln 2x =，当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴当ln 2x =时，()f x 有极小值为()ln 2ln 22ln 22ln 4f e -==-． ()f x 无极大值．（Ⅱ）令()2e x g x x =-，则()e 2x g x x '=-，由（1）得，()()()ln 2ln 22ln 22ln 40g x f x f e -'=≥==->，即()0g x '>，∴当0x >时，()()00g x g >>，即2e <x x ；（ III ）对任意给定的正数c ，取00x =>，由（ II ）知，当0x >时，2e x x >， 2222e e e 22x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=∙>∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0x x >时，2222224e e e 222x x x x x x x c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙>∙>∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当()0,x x ∈+∞时，恒有2e x x c <．天津市南开区2016-2017学年高三（上）期末数学试卷（理科）解析1.【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合M和N，由此能求出M∩N的值．【解答】解：∵集合M={x|1+x≥0}={x|x≥﹣1}，N={x|＞0}={x|x＜1}，∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}．故选：A．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵ =，∴复数的虚部是1．故选：B．3.【考点】复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出．【解答】解：∵命题“￢（p∧q）”为假命题，∴命题“p∧q”为真命题，∴命题p、q均为真命题．故选：A．4．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm的半球，据此可计算出体积．【解答】解：由三视图可知，此几何体为底面半径为1cm、高为3cm的圆柱上部去掉一个半径为1cm 的半球，所以其体积为V=πr2h﹣πr3=3π﹣π=π（cm3）．故选D．5.【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．6.【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B7.【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，然后根据积分的几何意义求积分，利用积分函数即可S的最小值．【解答】解：∵y=f（x）=x2，∴f'（x）=2x，即切线l在P处的斜率k=f'（t）=2t，∴切线方程为y﹣t2=2t（x﹣t）=2tx﹣2t2，即y﹣t2=2t（x﹣t）=2tx﹣2t2，y=2tx﹣t2，作出对应的图象，则曲线围成的面积S====，∵0＜t＜1，∴当t=时，面积取的最小值为．故选：A．8.【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用已知条件求出f（1﹣x）的表达式，利用函数的图象，求解两个函数图象交点个数即可．【解答】解：函数f（x）=，f（1﹣x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数，就是y=f（1﹣x）与y=1交点个数，如图：可知两个函数的图象由三个交点，函数g（x）=f（1﹣x）﹣1的零点个数为3．故选：C．9.【考点】用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．【分析】根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38，这是频率，频数和样本容量之间的关系．【解答】解：由频率分布直方图知，成绩在[14，16）内的人数为50×0.16+50×0.38=27（人）∴该班成绩良好的人数为27人．故答案为：27．10.【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S =9×9×9的值．【解答】解：分析框图可得该程序的作用是计算并输出S =9×9×9的值．∵S =9×9×9=729故答案为：72911.【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇函数．【分析】设x ＜0，则﹣x ＞0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x ＜0时的解析式，再对x 分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起．【解答】解：设x ＜0，则﹣x ＞0，∵当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=log 2x ，∴f （﹣x ）=log 2（﹣x ），∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）=﹣f （﹣x ）=﹣log 2（﹣x ），①当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＜﹣1，即log 2x ＜﹣1=，解得0＜x ＜，②当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＜﹣1，即﹣log 2（﹣x ）＜﹣1，则log 2（﹣x ）＞1=log 22，解得x ＜﹣2，综上，不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．故答案为：()1,20,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭--． 12.【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆心C 的坐标和圆的半径，根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式列式=1，解得k =，再根据切点在第四象限加以检验，可得答案．【解答】解：∵圆C ：x 2+y 2﹣6x +8=0的圆心为（3，0），半径r =1∴当直线y =kx 与圆C 相切时，点C （3，0）到直线的距离等于1，即=1，解之得k=∵切点在第四象限，∴当直线的斜率k=时，切点在第一象限，不符合题意直线的斜率k=﹣时，切点在第四象限．因此，k=﹣故答案为：13.【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】设=， =，则=+， =+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，利用平面向量基本定理，建立方程，求出λ，μ，即可得出结论．【解答】解：设=， =，则=+， =+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，∴λ+μ=1，且λ+μ=1，解得λ=μ=，∴λ+μ=，故答案为：43．14.【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，结合图象可知，关键求当a+b=1时和当a﹣b=1时的最值，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当a+b=1时， +b才有可能取到最大值，即+1﹣a ≤+1﹣=，当a ﹣b =1时，+b 才有可能取到最小值， 即+a ﹣1≥2﹣1=﹣1， （当且仅当=a ，即a =时，等号成立）， 结合图象可知，+b 的取值范围是2231,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 15.【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f （x ）=sin （2x +），利用三角函数周期公式可求T ，令2x +=k π，k ∈Z ，解得函数的对称中心． （Ⅱ）由范围x ∈[，π]，利用正弦函数的图象和性质即可得解函数的取值范围．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ） ()π2cos sin 3f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππ2cos sin cos cos sin 33x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin cos x x x =1sin22x x =+πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…5分 2ππ2T ∴==，…6分 ∴令π2π3x k +=，k ∈Z ，解得：ππ26k x =-，k ∈Z ，即函数的对称中心为：ππ,026k ⎛⎫ ⎪⎝⎭-，k ∈Z …7分 （Ⅱ）ππ,3x ⎡⎥∈⎤⎢⎣⎦， ()f x ∴在区间7π12π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在区间7π12,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，πsin π03f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，7π3πsin 1122f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()ππsin 3f ==，∴函数()f x 在区间π,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为1,2⎡-⎢⎣⎦…13分 16.【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（1）利用两角和与差的正切函数，求出tanC 的值，即可求出∠C ；（2）先利用c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，求出ab ，然后根据△ABC 的面积公式absinC ，求出面积．【解答】解：（1）πtan 24C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1tan 21tan C C -∴=+（2分）tan C ∴在ABC △中，0πC <<π3C ∴= （2）2222cos c a b ab C =-+ ()22273253a b ab a b ab ab ∴=+=+=---（8分）6ab ∴=1sin 2ABC S ab C ∴==△12分） 17.【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】第（1）问，要证平面PBD ⊥平面PAC ，只需证平面PBD 经过平面PAC 的一条垂线，观察可看出应选直线BD 作为平面PAC 的垂线，由PA 垂直于底面可得PA 垂直于BD ，再根据底面ABCD 中已知条件借助三角形全等可证AC 垂直AC ，则第一问可证；第（2）问，先确定P 点位置，利用几何法不容易分析，因此考虑建立空间直角坐标系，将之转化为坐标计算问题，通过解方程求出P 点坐标，然后再利用向量法求二面角的大小．【解答】解：（Ⅰ）依题意Rt ABC Rt ADC △≌△，BAC DAC ∠=∠，ABO ADO △≌△，AC BD ∴⊥．而PA ⊥平面ABCD ，PA BD ⊥，又PA AC A =，所以BD ⊥面PAC ，又BD ⊂面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图所示坐标系，则1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,1,0D ，)0C ，设()0,0,P λ，所以1,63G λ⎫⎪⎪⎝⎭，31,2PB λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 由AG PB ⊥得，311,,0632AG PBλλ⎛⎫⎫∙=∙--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得212λ=，所以2λ=． P ∴点坐标为0,0,⎛ ⎝⎭， 面PBD的一个法向量为(63,1,m AG ==， 设面PCD 的一个法向量为()(),,,3,0,0,0,1,n x y z CDPD ⎛==-= ⎝⎭ 00n PD n CD ⎧∙=⎪∴⎨∙=⎪⎩即00z -==⎪⎩，(0,1,2n ∴=，0,1,cos ,n mn m n m ∙∙===， 所以二面角B PD C --18.【考点】数列的求和；等差数列的性质． 【分析】（I ）通过b 1=、b 2=、b 3=，利用b 1b 2b 3=计算即得结论； （Ⅱ）通过a n =n 可知a n b n =n •，利用错位相减法计算即得结论． 【解答】（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意，112b =，2112d b +=，31212d b +=， 123164b b b =，112611112222d d ++∴∙∙=， ()()11126d d ∴++++=，解得：1d =，()11n a n n ∴=+-=；（Ⅱ）证明：n a n =，12n nb ∴=， 12n n na b n =∙， 记11222311111232232n n n n T a b a b a b n =++⋯+=∙+∙+∙++∙， 则()2311111112122222n n n T n n +∙=∙+∙++-∙+∙， 两式相减得：231111*********n n n T n +∙=++++-∙ 11111221212nn n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-∙- 111122n n n +=--∙， 111112122222n n n n n n T n +-⎛⎫∴=--∙=-- ⎪⎝⎭， 112222n nn ---<， 11222n n a b a b a b ∴++⋯<+． 19.【考点】椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知得，由此能求出椭圆的方程． （2）过圆x 2+y 2=t 2上一点M （2，）处切线方程为，令Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），则，化为5x 2﹣24x +36﹣2b 2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出b的值．【解答】解：（1）椭圆()222210x y a b a b +=>> 椭圆上的一点A 到两焦点的距离之和为4，e 224c a a ⎧==⎪∴⎨⎪=⎩，解得2a =，b∴椭圆的方程为22142x y +=． （2）过圆222x y t +=上一点(2,M处切线方程为260x +-=，令()111,Q x y ，()222,Q x y ，则22226022x x y b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩， 化为225243620x x b -+-=，由0∆>，得b >， 12245x x +=，2123625b x x -= ()212121218426185b y y x x x x -=++=-， 由12OQ OQ ⊥，知12120x x y y +=， 解得29b =，即3b =±，310b > 3b ∴=．20【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求得a ，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（Ⅱ）构造函数g （x ）=e x ﹣x 2，求出导数，利用（Ⅰ）问结论可得到函数的符号，从而判断g （x ）的单调性，即可得出结论；（Ⅲ）令x 0=，利用（Ⅱ）的结论，即得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）由()e x f x ax =-得()e x f x a '=-．又()011f a '=-=-，2a ∴=，()e 2x f x x ∴=-，()e 2x f x '=-．由()0f x '=得ln 2x =，当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；31 / 31当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴当ln 2x =时，()f x 有极小值为()ln 2ln 22ln 22ln 4f e -==-． ()f x 无极大值．（Ⅱ）令()2e x g x x =-，则()e 2x g x x '=-，由（1）得，()()()ln 2ln 22ln 22ln 40g x f x f e -'=≥==->，即()0g x '>，∴当0x >时，()()00g x g >>，即2e <x x ；（ III ）对任意给定的正数c，取00x =>，由（ II ）知，当0x >时，2e x x >， 2222e e e 22x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=∙>∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0x x >时，2222224e e e 222x x x x x x x c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙>∙>∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当()0,x x ∈+∞时，恒有2e x x c <．。
济南大学高数试题及答案
济南大学高数试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分值是：A. 0.5B. 1C. 0D. 22. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 以下哪个选项是二阶可导的？A. f(x) = |x|B. f(x) = x^(1/3)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 以下哪个级数收敛？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 2 + 3 + 4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x+3的反函数是______。
2. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。
3. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。
4. 曲线y=x^2在点(2,4)处的法线方程是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。
2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。
3. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
4. 证明函数f(x)=x^2-2x在区间[1,2]上是增函数。
5. 求曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程。
答案：一、选择题1. A2. B3. B4. C5. C6. C二、填空题1. f^(-1)(x) = (x-3)/22. 0.53. x=34. y=-x+6三、解答题1. 最大值：f(3)=2，最小值：f(1)=-22. ∫(0到π/2) sin(x) dx = 13. 单调递增区间：(2,+∞)，单调递减区间：(-∞,2)4. 证明略5. 切线方程：y=2x-5。
2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试〔山东卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 〔1〕【2016年山东，理1，5分】假设复数z 满足232i z z +=-，其中i 为虚数为单位，则z =〔 〕〔A 〕12i + 〔B 〕12i - 〔C 〕12i -+ 〔D 〕12i -- 【答案】B【解析】设(),,z a bi a b R =+∈，则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-，所以1,2a b ==-，故选B ． 【点评】此题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力． 〔2〕【2016年山东，理2，5分】已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<，则A B =〔 〕〔A 〕()1,1- 〔B 〕()0,1 〔C 〕()1,-+∞ 〔D 〕()0,+∞【答案】C【解析】由题意()0,A =+∞，()1,1B =-，所以()1,AB =-+∞，故选C ．【点评】此题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题． 〔3〕【2016年山东，理3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕，制成了如下图的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5，[]27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是〔 〕〔A 〕56 〔B 〕60 〔C 〕120 〔D 〕140 【答案】D【解析】由图可知组距为，每周的自习时间少于小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=， 所以，每周自习时间不少于小时的人数是()20010.30140⨯-=人，故选D ．【点评】此题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．〔4〕【2016年山东，理4，5分】假设变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值是〔 〕〔A 〕4 〔B 〕9 〔C 〕10 〔D 〕12 【答案】C【解析】由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--，所以()3,1-是最优解，22x y +的最大值是10，故选C ．【点评】此题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题． 〔5〕【2016年山东，理5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为〔 〕〔A 〕1233+π 〔B 〕1233+π 〔C 〕1236+π 〔D 〕216+π【答案】C【解析】由三视图可知，半球的体积为26π，四棱锥的体积为13，所以该几何体的体积为1236+π，故选C ．【点评】此题考查的知识点是由三视图，求体积和外表积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．〔6〕【2016年山东，理6，5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的〔 〕〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线a 和直线b 相交，可知平面αβ、有公共点，所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交，直线a 和直线b 不一定相交，故选A ．【点评】此题考查的知识点是充要条件，空间直线与平面的位置关系，难度不大，属于基础题． 〔7〕【2016年山东，理7，5分】函数()()()3sin cos 3cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是〔 〕〔A 〕2π〔B 〕π 〔C 〕32π 〔D 〕2π【答案】B【解析】由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，最小正周期是π，故选B ．【点评】此题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．〔8〕【2016年山东，理8，5分】已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n =<>= ，假设()n tm n ⊥+则实数t 的值为〔 〕〔A 〕4 〔B 〕4- 〔C 〕94 〔D 〕94-【答案】B【解析】因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=，由()n tm n ⊥+，有()20n tm n tmn n +=+=，即2104t n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4t =-，故选B ．【点评】此题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题． 〔9〕【2016年山东，理9，5分】已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =〔 〕〔A 〕2- 〔B 〕1- 〔C 〕0 〔D 〕2 【答案】D【解析】由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知当12x >时，()f x 的周期为1，所以()()61f f =．又当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦，故选D ．【点评】此题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题． 〔10〕【2016年山东，理10，5分】假设函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．以下函数具有T 性质的是〔 〕〔A 〕sin y x = 〔B 〕ln y x = 〔C 〕x y e = 〔D 〕3y x = 【答案】A【解析】因为函数ln y x =，x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质，故选A ．【点评】此题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分 〔11〕【2016年山东，理11，5分】执行右边的程序框图，假设输入的的值分别为0和9，则输出i 的值为 ． 【答案】3【解析】i 1=时，执行循环体后1,8a b ==，a b >不成立；i 2=时，执行循环体后3,6a b ==，a b >不成立；i 3=时，执行循环体后6,3a b ==，a b >成立；所以i 3=，故填 3.【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．〔12〕【2016年山东，理12，5分】假设52ax ⎛+ ⎝的展开式中5x 的系数是80-，则实数a = ．【答案】2-【解析】由()2322235555C C 80ax a x x ==-，得2a =-，所以应填2-．【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．〔13〕【2016年山东，理13，5分】已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>，假设矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率为 ．【答案】2【解析】由题意BC 2c =，所以2AB 3BC =，于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c a b -=，在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．【点评】此题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．〔14〕【2016年山东，理14，5分】在[]1,1-上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为 ．【答案】34【解析】首先k 的取值空间的长度为2，由直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交，得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，其长度为32，所以所求概率为33224=． 【点评】此题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．〔15〕【2016年山东，理15，5分】在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，其中0m >，假设存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是 ．【答案】()3,+∞【解析】因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =，所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增，只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时，关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤，0m >时，存在实数b ，使方程()f x b =在x m ≤时有两个根，只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可，解之，注意0m >，得3m >，故填()3+∞，． 【点评】此题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到24m m m -<是难点，属于中档题．三、解答题：本大题共6题，共75分．〔16〕【2016年山东，理16，12分】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+． 〔1〕证明：2a b c +=； 〔2〕求cos C 的最小值．解：〔1〕由()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+，2sin sin sin C B C =+， 由正弦定理，得2a b c +=．〔2〕由()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==222333111122222c c ab a b =-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭．所以cos C 的最小值为12．【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式222a b ab +≥的应用，不等式的性质．〔17〕【2016年山东，理17，12分】在如下图的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线．〔1〕已知,G H 分别为,EC FB 的中点，求证：//GH 平面ABC ；〔2〕已知123,2EF FB AC AB BC ====，求二面角F BC A --的余弦值．解：〔1〕连结FC ，取FC 的中点M ，连结,GM HM ，因为//GM EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内，所以//GM 上底面，所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ，BC ⊂平 面ABC ，MH ⊄平面ABC ，所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ，由GH ⊂平面GHM ，所以//GH 平面ABC ．〔2〕连结OB ，AB BC =OA OB ∴⊥，以为O 原点，分别以,,OA OB OO '为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．123,2EF FB AC AB BC ====，22()3OO BF BO FO '=--=，于是有()23,0,0A ，()23,0,0C -，()0,23,0B ，()0,3,3F ，可得平面FBC 中的向量()0,3,3BF =-， ()23,23,0CB =，于是得平面FBC 的一个法向量为()13,3,1n =-，又平面ABC 的 一个法向量为()20,0,1n =，设二面角F BC A --为θ， 则121217cos 77n n n n θ⋅===⋅．二面角F BC A --的余弦值为77． 【点评】此题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．〔18〕【2016年山东，理18，12分】已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．〔1〕求数列{}n b 的通项公式；〔2〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：〔1〕因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，所以111a =，当2n ≥时，221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，又65n a n =+对1n =也成立，所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时，1211b d =-；当2n =时，2217b d =-，解得3d =，所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+． 〔2〕由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++，于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅，两边同乘以２，得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅，两式相减，得2341262323232(33)2n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅22232(12)32(33)212n n n +⋅-=⋅+-+⋅-2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．【点评】此题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．〔19〕【2016年山东，理19，12分】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求： 〔1〕“星队”至少猜对3个成语的概率；〔2〕“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ． 解：〔1〕“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”．设“至少猜对3个成语”为事件A ；“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，则1122332131225()4433443312P B C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=；33221()44334P C =⋅⋅⋅=．所以512()()()1243P A P B P C =+=+=．〔2〕“星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，于是11111(0)4343144P X ==⋅⋅⋅=；112212*********(1)4343434314472P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==； 1211223311132125(2)443344334433144P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；123211121(3)434314412P X C ==⋅⋅⋅==； 12321231605(4)()43434314412P X C ==⋅⋅⋅+⋅==；3232361(6)43431444P X ==⋅⋅⋅==； XX 的数学期望01234614472144121241446EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． 【点评】此题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．〔20〕【2016年山东，理20，13分】已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈．〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． 解：〔1〕求导数3122()(1)x f x a x x'=－－－23(1)(2x ax x =－－)，当0a ≤时，x ∈(0,1)，()0f x '>，()f x单调递增， x +∞∈(1,)，()0f x '<，()f x 单调递减当0a >时，()()()233112()a x x x x ax f x x x⎛-+ --⎝⎭⎝⎭'== ①当02a <<1>，x ∈(0,1)或x ⎫+∞⎪⎪⎭∈，()0f x '>，()f x单调递增，x ⎛ ⎝∈，()0f x '<，、()f x 单调递减；②当a =２1=， x ∈+∞(0,)，()0f x '≥，()f x 单调递增， ③当a >２时，01<，x ⎛∈ ⎝或()x ∈+∞1,，()0f x '>，()f x 单调递增，x ⎫∈⎪⎪⎭1，()0f x '<， ()f x 单调递减．〔2〕当1a =时，221()ln x f x x x x=+－－，2323(1)(212()1x x f x x x x x '==+－－)2－－， 于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x '=++－2－－－(－－23312ln 1x x x x x =--++-，[1,2]x ∈令()g ln x x x =-，2332h()x x x x=-++-11，[1,2]x ∈，于是()()g(()f x f x x h x '-=+）， 1g ()10x x x x-'=-=≥1，()g x 的最小值为()11g =；又22344326326()x x h x x x x x --+'=--+=，设()2326x x x θ=--+，[1,2]x ∈，因为()11θ=，()210θ=-，所以必有0[1,2]x ∈，使得()00x θ=，且01x x <<时，()0x θ>，()h x 单调递增；02x x <<时，()0x θ<，()h x 单调递减；又()11h =，()122h =，所以()h x 的最小值为()122h =．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '=+>+=+=））－． 即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． 【点评】此题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题．〔21〕【2016年山东，理21，14分】平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点． 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． 〔i 〕求证：点M 在定直线上；〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12SS 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．解：〔1，有224a b =，又抛物线22x y =的焦点坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12b =，于是1a =，所以椭圆C 的方程为2241x y +=．〔2〕〔i 〕设P 点坐标为()2,02m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y =得y x '=，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为22m y mx =-，设()()1122,,,A x y B x y ，()00,D x y ，将22m y mx =-代入2241x y +=，得()223214410m x m x m +-+-=．于是3122414m x x m +=+，312022214x x m x m +==+， 又()220022214m m y mx m -=-=+，于是直线OD 的方程为14y x m =-． 联立方程14y x m =-与x m =，得M 的坐标为1,4M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以点M 在定直线14y =-上．〔ii 〕在切线l 的方程为22m y mx =-中，令0x =，得22m y =-，即点G 的坐标为20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以211(1)24m m S m GF +=⨯=；再由()32222,41241m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，得 ()()22232222112122441841m m m m m S m m +++=⨯⨯=++于是有 ()()()221222241121m m S S m ++=+．令221t m =+， 得()12221211122t t S S t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==+-，当112t =时，即2t =时，12S S 取得最大值94．此时212m =，2m =，所以P点的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭．所以12S S 的最大值为94，取得最大值时点P的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭． 【点评】此题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．。
济南大学大一上学期高等数学试题
济南大学大一上学期高等数学试题高等数学（上）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是； 2、设函数20() 0x x f x a x x ?<=?+≥?在点0x =连续，则a = ；3、曲线45y x=-在（-1，-4）处的切线方程是； 4、已知3()f x dx x C =+?，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ；8、曲线x y xe =的拐点是；9、201x dx -?= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+r r r r r r r r ，且a b ⊥r r ，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim x x x -→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e = 。
二、计算下列各题（每题5分，共20分） 1、011lim()ln(1)x x x →-+2、y =y '；3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定，求0x dy =；4、已知cos sin cos x t y t t t =??=-?，求dy dx 。
三、求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +?2、2sec x xdx ?3、40?4、2201dx a x +四、求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>- （本题8分）2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是； 2、设函数sin 0()20x x f x x a x x ?3、曲线34y x =-在(1,5)--处的切线方程是；4、已知2()f x dx x C =+?，则()f x = ；5、31lim(1)x x x →∞+= ；6、函数32()1f x x x =-+的极大点是；7、设()(1)(2)1000)f x x x x x =---……(，则'(0)f = ；8、曲线x y xe =的拐点是；9、302x dx -?= ； 10、设2,22a i j k b i j k λ=--=-++r r r r r r r r ，且a b r r P ，则λ= ；12、311lim x x x -→= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；13、设()f x 可微，则()(2)f x d = 。
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题 (文科)解析版
绝密★启用前本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()UA B =（ ）（A ）{2,6} （B ）{3,6} （C ）{1,3,4,5} （D ）{1,2,4,6}【答案】A 【解析】试题分析：由已知，{13,5}{3,4,5}{1,3,4,5}A B ⋃=⋃=，，所以(){1,3,4,5}{2,6}U U C A B C ⋃==，选A.考点：集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一. （2）若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i【答案】B考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140【答案】D 【解析】试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时的有200(0.160.080.04) 2.5140⨯++⨯=，选D. 考点：频率分布直方图【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如图所示，点31A -（，）到原点距离最大，所以 22max ()10x y +=，选C.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.5. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）12+π33（B ）12+π33 （C ）12+π36 （D ）21+π6 【答案】C考点：1.三视图；2.几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等.（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面相交”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：“直线a 和直线b 相交”⇒“平面α和平面β相交”，但 “平面α和平面β相交”⇒“直线a 和直线b 相交”，所以“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等. （7）已知圆M ：2220(0)x y ay a 截直线0x y 所得线段的长度是22M 与圆N ：22(1)1x y （-1）的位置关系是（ ）（A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）相离 【答案】B 【解析】 试题分析：由2220x y ay +-=（0a >）得()222x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是22222222211a ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以()()2201212MN =-+-=123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r -<MN <+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. （8）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )bc a b A ,则A =（ ）（A ）3π4 （B ）π3 （C ）π4 （D ）π6【答案】C 考点：余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.(9) 已知函数f(x )的定义域为R.当x ＜0时，f(x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x )= —f(x )；当x ＞12时，f(x +12)=f(x —12).则f(6)= （ ） （A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）2【答案】D 【解析】试题分析： 当12x >时，11()()22f x f x +=-，所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又因为当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.（10）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ） （A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A 【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当sin y x =时，cos y x '=，有cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A. 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(山东卷,解析版)
2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷）一、选择题1．若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z= （A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i -- 【答案】B【解析】试题分析：设bi a z +=，则i bi a z z 2332-=+=+，故2,1-==b a ，则i z 21-=，选B ．【考点】注意共轭复数的概念．2．设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B = （A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞ 【答案】C【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则}1|{->=x x B A ，选C ．【考点】本题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算． 3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] ．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）140 【答案】D【解析】试题分析：自习时间不少于22．5小时为后三组，其频率和为7.05.2)04.008.016.0(=⨯++，故人数为1407.0200=⨯人，选D ．【考点】频率分布直方图4．若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A （0,-3）,B （0,2）,C （3,-1）为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值210OC=,故选C ．【考点】线性规划求最值5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+ 【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知,上面是半径为2的半球,体积为311423V π=⨯⨯=⎝⎭,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积2111133V =⨯⨯=,故选C ．【考点】根据三视图求体积． 6．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a,b 可能相交，也可能平行,故选A ．【考点】直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断．7．函数f （x ）=）–sinx ）的最小正周期是 （A ）2π （B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B ． 【考点】三角函数化简求值，周期公式8．已知非零向量m ，n 满足4│m│=3│n│，cos<m ，n>=13．若n ⊥（tm+n ），则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4 （C ）94 （D ）–94【答案】B【解析】试题分析：由43m n = ，可设3,4(0)m k n k k ==> ，又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm m n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+= 所以4t =-，故选B ．【考点】平面向量的数量积9．已知函数f （x ）的定义域为R ．当x<0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- ．则f （6）= （A ）−2 （B ）−1 （C ）0 （D ）2【答案】D【解析】试题分析：当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又因为函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D ．【考点】本题考查了函数的周期性、奇偶性，灵活变换求得函数性质是解题的关键．10．若函数y=f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f （x ）具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（A ）y=sinx （B ）y=lnx （C ）y=e x （D ）y=x 3【答案】A【解析】试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A ．【考点】本题注意实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1．二、填空题 11．执行右边的程序框图，若输入的a,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．【答案】3【解析】试题分析：第一次循环：a 1,b 8==；第二次循环：a 3,b 6==；第三次循环：a 6,b 3==；满足条件，结束循环，此时，i 3=． 【考点】循环结构抓住结束点是关键． 12．若（ax 2）3的展开式中x 3的系数是—80，则实数a=_______． 【答案】-2【解析】试题分析：因为5102552155()rr rrr rr T C ax C ax---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=-【考点】二项展开式13．已知双曲线E 1：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E 的离心率是_______． 【答案】2【解析】试题分析：易得2b A(c,)a ，2b B(c,)a -，所以22b |AB |a=，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1e 2=-（舍去），所以离心率为2． 【考点】把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键．14．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 ． 【答案】34【解析】试题分析：直线y=kx 与圆22(5)9x y -+=相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，d 3=<，解得33k 44-<<，而[1,]k ?，所以发生的概率33224=．【考点】直线与圆位置关系；几何概型概率15．已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________． 【答案】(3,)+∞【解析】试题分析：由题意画出函数图像为图时才符合，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根应24m m m -<解得m 3>，即(3,)+∞．【考点】能够准确画出函数的图像是解决本题的关键．三、解答题16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC 的最小值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明； （Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cosC 的最小值． 试题解析：（Ⅰ）由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+， 即()2sin sin sin A B A B +=+． 因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=． 从而sin sin =2sin A B C +． 由正弦定理得2a b c +=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知2a bc +=,所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立． 故 cos C 的最小值为12． 【考点】两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理、基本不等式．17．在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线．（Ⅰ）已知G,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （Ⅱ）已知EF=FB=12AC=．求二面角F BC A --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）7【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线面平行找到平面ABC 内与GH 平行的直线即可； （Ⅱ）解法（1）建立空间直角坐标系求解；（2）找到FNM ∠为二面角F BC A --的平面角直接求解．试题解析：（Ⅰ）证明：设FC 的中点为I ,连接,GI HI , 在CEF ∆,因为G 是CE 的中点， 所以,GI F //E又,F E //OB 所以,GI //OB在CFB ∆中，因为H 是FB 的中点，所以//HI BC 又HI GI I ⋂=,所以平面//GHI 平面ABC ， 因为GH ⊂平面GHI 所以//GH 平面ABC ．（Ⅱ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥ 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题意得B，(C -，过点F 作FM OB ⊥于点M ，所以3,FM ==可得F故((0,BC BF =--=． 设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量．由0,0m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得0,30z ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩ 可得平面BCF的一个法向量(m =-因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n =所以cos ,||||m n m n m n ⋅<>==，所以二面角F BC A --．解法二：连接'OO ，过点F 作FM OB ⊥于点M ， 则有//'FM OO ,又'OO ⊥平面ABC ，可得3,FM ==过点M 作MN BC ⊥于N ，连接FN ， 可得FN BC ⊥,从而FNM ∠为二面角F BC A --的平面角． 又AB BC =,AC 是圆O 的直径，所以0sin 45MN BM ==从而FN =，可得cos FNM ∠= 所以二面角F BC A --． 【考点】空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 18．已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n ． 【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T ．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据1--=n n n S S a 即等差数列的通项公式求解； （Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列{{}n c }的通项公式，再用错位相减法求其前n 项和．试题解析：（Ⅰ）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ；设数列的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，解之得3,41==d b ，所以13+=n b n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知112)1(3)33()66(=-⋅+=++=n nn n n n n c ，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321， 即]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ， 所以]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ， 以上两式两边相减得222143223]2)1(12)12(44[3]2)1(22222[3++++⋅-=+---+=+-+⋅⋅⋅+++⨯=-n n n n n n n n n T。
《高等数学》 2016-2017学年第一学期期末试卷A卷
河海大学2016—2017学年第一学期 《高等数学》 期末试卷（A ）一、选择题（每小题3分，共15分） 1．设函数xxx f g x x f -+=-=-11))((,1)2(，则)3(g 等于（ A ）。
A ．3- B ．2- C ．0 D ．1 2．设x x x x y ++-=，则y 是x 的（ A ）阶无穷小。
A ．81B ．41C ．21D ．13．点0=x 是函数xe xf 111)(+=的（ C ）。
A ．振荡间断点 B ．可去间断点 C ．跳跃间断点 D ．无穷间断点 4．下列条件中,（ C ）是函数)(x f 在0x 处有导数的充分必要条件。
A ．hh x f h x f h 2)()(lim000--+→存在 B ．)(lim 0x f x x '→存在C ．)(x f 在0x 处可微D ．)(x f 在0x 处连续 5．设)(u f 可微,则)(sin x f y =的微分=dy （ B ）。
A ．dx x f )(sin 'B ．xdx x f cos )(sin 'C ．()x d x f sin )(sin 'D ．xdx x f sin )(sin '二、填空题（每小题3分，共15分）： 1. 函数[]x x y -=的最小正周期是1。
2．设)0(003cos )(>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≤+=a x x a x a x x xx f ,当=a 49时, 0=x 是)(x f的连续点。
3．⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim )(2nx nx x f n 的间断点是=x ,且是第二类间断点。
4．设12)(-=x e x f ，则()=)0(2008f 120082-e 。
5．设方程0arctan =+-y y x 确定的函数)(x y y =,求=dxdy221y y +。
三、（6分）叙述∞=→)(lim 0x f x 的定义,并用定义证明定义∞=+→xx x 12lim0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
济南大学2016～2017学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 高等数学（一） 考试时间 2017 年 1 月 3 日
………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………
一、选择题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x
x x )sin(lim (A) 1-. (B) 0. (C) 1. (D) ∞.
(2) 设2cos 1)(x
x x f -=，则0=x 是函数)(x f 的 (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点.
(3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是
(A))1ln(x -. (B) 11-+x . (C) x cos . (D)1e -x .
(4) 设x x x x f 93)(23--=，下列命题中正确的是
(A) )1(-f 是极大值，)3(f 是极大值. (B) )1(-f 是极小值，)3(f 是极小值.
(C))1(-f 是极大值，)3(f 是极小值. (D) )1(-f 是极小值，)3(f 是极大值.
(5) 设⎰++=1
0d 1)1ln(x x x I k
k （3,2,1=k ），则有 (A) 321I I I ≤≤. (B) 123I I I ≤≤. (C) 312I I I ≤≤. (D) 213I I I ≤≤. 二、填空题（每小题2分，共10分） (1) =+→x x x 1
)21(lim ． (2) 函数x x y arctan 2=的微分=y d ．
(3) 曲线1015623-+-=x x x y 的拐点是. (4) =+⎰∞
+12d 11x x
． (5) 微分方程02=+'-''y y y 的通解为_______________.
三、计算题（每小题6分，共18分） (1) 4
586lim 224+-+-→x x x x x . (2) 求曲线x x y xy =-+)ln()sin(在点)1,0(处的切线方程.
(3) 设函数)(x y y =由参数方程⎩
⎨⎧-=-=221t t y t x 所确定，求x y d d 和22d d x y .
四、计算题（每小题8分，共32分） (1)⎰+x x x d 232
. (2)⎰x x x d ln 2. (3)⎰-1022d 4x x x .
(4)求微分方程)1(2d d -=y xy x
y 满足初值条件1|0-==x y 的特解. 五、综合题（每小题10分，共20分）
(1) 已知函数
⎪⎩⎪⎨⎧=<<+=⎰0,
,2||0,d 2cos 1)(0x a x t t t x x f x
在0=x 点可导，求数a 并求)0(f '.
(2) 设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内大于零，并满足23)()(x x f x f x +='，又曲线)(x f y =与1=x ，0=y 所围成的图形的面积为2，求函数)(x f .
六、证明题（10分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且有0)0(=f ，21d )(10=⎰x x f . 证明：(Ⅰ) 存在一点)1,0(∈c ，使得c c f =)(；
(Ⅱ) 存在一点)1,0(∈ξ，使得1)()(+-='ξξξf f .。