高考文科数学解析几何练习题
高考数学《解析几何》专项训练及答案解析
高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。
高考数学分类练习 H单元 解析几何(文科)含答案4
H 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程22．H1、H2、H7 如图1－6，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．图1－622．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )，由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2. 故k ·2m ＝1.所以直线AB 方程为y －m ＝12m(x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2＞0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则 d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2.由Δ＝4m －4m 2＞0，得0＜m ＜1. 令u ＝m －m 2，0＜u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)，设S (u )＝u (1－2u 2)，0＜u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0得u ＝66∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以 S (u )max ＝S ⎝⎛⎭⎪⎫66＝69. 故△ABP 面积的最大值为69.17．H1、H7 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.17． 94本题在新定义背景下考查直线、圆和抛物线的方程，一、二次曲线之间的位置关系与导数几何意义等基础知识，考查学生综合运用知识的能力和学情，考查函数方程和数形结合的数学思想．求出曲线C 1到直线l 的距离和曲线C 2到直线l 的距离，建立等式，求出参数a的值. 曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为圆心到直线的距离与圆的半径之差，即d －r ＝|－4|2－2＝2，由y ＝x 2＋a 可得y ′＝2x ，令y ′＝2x ＝1，则x ＝12，在曲线C 1上对应的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋a ，所以曲线C 1到直线l 的距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋a 到直线l 的距离，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－a 2，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－a 2＝2，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＝2，a ＝－74或a ＝94，当a ＝－74时，曲线C 1：y ＝x 2－74与直线l ：y ＝x 相交，两者距离为0，不合题意，故a ＝94.4．H1、F1 若d ＝(2,1)是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．4．arctan 12 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求出直线的斜率．由已知可得直线的斜率k ＝12，k ＝tan α，所以直线的倾斜角α＝arctan 12.20．H5、F1、H1 已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．20．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2，又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .H2 两直线的位置关系与点到直线的距离22．H1、H2、H7 如图1－6，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值．图1－622．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )，由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2. 故k ·2m ＝1.所以直线AB 方程为y －m ＝12m(x －m )， 即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2＞0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m . 从而|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则 d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2.由Δ＝4m －4m 2＞0，得0＜m ＜1. 令u ＝m －m 2，0＜u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)，设S (u )＝u (1－2u 2)，0＜u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0得u ＝66∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以S (u )max ＝S ⎝⎛⎭⎪⎫66＝69. 故△ABP 面积的最大值为69.H3 圆的方程20．H3、H7、H8 设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．20．解：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝2p . 由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝－2(舍去)，p ＝2. 所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°. 由抛物线定义知 |AD |＝|FA |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0.解得b ＝－p6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.21．H3、H7、H8 如图1－4所示，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)上．图1－4(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．21．解：解法一：(1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°. 设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin30°＝43，y ＝|OB |cos30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.假设以PQ 为直径的圆恒过定点M ，由图形的对称性知M 必在y 轴上，设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1. 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0.即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)． 解法二： (1)同解法一．(2)由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x ，设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)或M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于M 3(0,1)或M 4⎝⎛⎭⎪⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)． 以下证明点M (0,1)就是所要求的点． 因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2， MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M .21．H3、H5、H8 设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．21．解：(1)如图(1)，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)， 可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)； 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．(2)方法1：如图(2)、(3)，对任意k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得(m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 21－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得 －x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x 1m 2＋4k 2. 因为点H 在直线QN 上， 所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x 1m 2＋4k 2.于是PQ →＝(－2x 1，－2kx 1)，PH →＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2x 1m 2＋4k 2，2km 2x 1m 2＋4k 2.而PQ ⊥PH 等价于PQ →·PH →＝42－m 2k 2x 21m 2＋4k 2＝0，即2－m 2＝0，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0都有PQ ⊥PH .方法2：如图(2)、(3)，对任意x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)，因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2x 21＋y 21＝m 2，m 2x 22＋y 22＝m 2，两式相减可得m 2(x 21－x 22)＋(y 21－y 22)＝0.③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0.于是由③式可得y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 2.④又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即2y 1x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2.于是由④式可得k PQ ·k PH ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝12·y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 22，而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即－m 22＝－1，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .H4 直线与圆、圆与圆的位置关系6．H4 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能6．A 本小题主要考查直线与圆的位置关系，解题的突破口为熟练掌握判断直线与圆位置关系的方法．x 2＋y 2－4x ＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P (3,0)到圆心的距离为d ＝3－22＋0－02＝1<2，点P (3,0)恒在圆内，过点P (3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.7．H4 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝07．C 本小题主要考查直线与圆的位置关系．解题的突破口为弄清平分线的实质是过圆心的直线，即圆心符合直线方程．圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4，所以圆心为(1,2)，把点(1,2)代人A 、B 、C 、D ，不难得出选项C 符合要求．5．H4 过点P (1,1)的直线，将圆形区域{}x ，y |x 2＋y 2≤4分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝05．A 要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，通过观察图形，显然只需该直线与直线OP 垂直即可，又已知P (1,1)，则所求直线的斜率为－1，又该直线过点P (1,1)，易求得该直线的方程为x ＋y －2＝0.故选A.8．H4 在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．18．B 考查直线与圆相交求弦长，突破口是“弦心距、半径、弦长之半构成直角三角形”，利用勾股定理计算．由点到直线的距离得，弦心距d ＝|5|32＋42＝1，所以弦长AB ＝222－1＝23，所以选择B.9．H4 直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________．9．2 2 本题考查直线和圆的位置关系、考查简单的平面几何知识．法一：几何法：圆心到直线的距离为d ＝|0－2|2＝2，圆的半径r ＝2，所以弦长为l＝2×r 2－d 2＝24－2＝22；法二：代数法：联立直线和圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y －22＝4，消去y 可得x 2－2x ＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为22－02＝2 2.9．H4 若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ． B ．C ．D ．(－∞，－3]∪ 因为直线x －y ＋1＝0与圆()x －a 2＋y 2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d ＝||a －0＋12≤r ＝2，可得||a ＋1≤2，即a ∈[]－3，1.7．H4 直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．17．B 根据圆的方程知，圆的圆心为(0,0)，半径R ＝2，弦心距d ＝|－2|3＋1＝1，所以弦长|AB |＝222－1＝23，所以选择B.12．H4 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．12.43 本题考查用几何方法判定两圆的位置关系．解题突破口为设出圆的圆心坐标． 圆C 方程可化为(x －4)2＋y 2＝1圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y ＝kx －2上至少存在一点(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，因为两个圆有公共点，故x －42＋kx －22≤2，整理得(k 2＋1)x 2－(8＋4k )x ＋16≤0，此不等式有解的条件是Δ＝(8＋4k )2－64(k 2＋1)≥0，解之得0≤k ≤43，故最大值为43.14．H4 过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．14．(2，2) 设切点为A ，B ，设P (x,22－x )，连结PA ，PB ，PO ，则|PO |＝2|OA |＝2，即x 2＋(22－x )2＝4，整理得x 2－22x ＋2＝0，解得x ＝2，故P 的坐标为(2，2)．22．H6、H4 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1. (1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若|MF |＝22，求点M 的坐标； (2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |＜2)的直线l 交C 于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .22．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋222， 由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62， 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫62，±2. (2)左顶点A ⎝⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)证明：设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1(*)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k2，x 1x 2＝－1－b22－k2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以 OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝1＋k2－1－b 22－k2＋2k 2b 22－k 2＋b 2＝－1＋b 2－k 22－k2. 由(*)知，OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .20．H4、H5 如图1－7，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．图1－720．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209，从而 x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94，当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)． ① 直线A 2B 的方程为 y ＝－y 0x 0－3(x －3)． ② 由①②得y 2＝－y 2x 20－9(x 2－9) ③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209. ④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．3．H4 设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．23．D 因为圆x 2＋y 2＝1的圆心(0,0)在直线AB 上，所以AB 为圆的直径，所以|AB |＝2×1＝2.9．H4 圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离9．B 本题考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，推理能力，容易题． ∵两圆的圆心距为2＋22＋1－02＝17，又∵3－2<17<3＋2，∴两圆相交．12．H4 设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．12．3 直线mx ＋ny －1＝0与两坐标轴的交点坐标分为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，1n ，又∵直线l被圆x 2＋y 2＝4截得弦长为2 ，由垂径定理得，⎝⎛⎭⎪⎫1m 2＋n 22＋12＝22，即1m 2＋n 2＝3，∴S △OAB ＝12×1|m |×1|n |≥1m 2＋n2＝3.4．A2、H2 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．C 本题考查了简易逻辑、两直线平行等基础知识，考查了学生简单的逻辑推理能力．若a ＝1，则直线l 1：ax ＋2y －1＝0与l 2：x ＋2y ＋4＝0平行；若直线l 1：ax ＋2y －1＝0与l 2：x ＋2y ＋4＝0平行，则2a －2＝0即a ＝1.∴“a ＝1”是“l 1：ax ＋2y －1＝0与l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的充要条件．H5 椭圆及其几何性质21．H5、H8、F3 如图，设椭圆的中点为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．21．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|， 即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)、B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此 y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2. 当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0， 故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910.综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.8．H5、H6 如图1－3，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )图1－3A ．3B ．2 C. 3 D. 28．B 本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质，考查了学生对书本知识掌握的熟练程度，属于送分题．设椭圆、双曲线的方程分别为x 2a 21 ＋ y 2b 21＝ 1(a 1>b 1>0)，x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，由题意知c 1＝c 2且a 1＝2a 2，则e 1e 2＝c 1a 1c 2a 2＝a 2a 1＝2. 19．H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．19．解：(1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58，于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64. (2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx .设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b 2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得，(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5.所以直线OQ 的斜率k ＝± 5.4．H5 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.454．C 根据题意直线PF 2的倾斜角是π3，所以32a －c ＝12|PF 2|＝12|F 1F 2|＝12×2c ，解得e＝34.故选C. 16．A2、H5 对于常数m 、n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件16．B 考查充分条件和必要条件，以及椭圆方程．判断充分条件和必要条件，首先要确定条件与结论．条件是“mn >0”，结论是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”， 方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，可以得出mn >0，且m >0，n >0，m ≠n ，而由条件“mn >0”推不出“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”．所以为必要不充分条件，选B.20．H5、F1 已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．20．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2，又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .21．H3、H5、H8 设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．21．解：(1)如图(1)，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)， 可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)； 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．(2)方法1：如图(2)、(3)，对任意k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得(m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 21－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得 －x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x 1m 2＋4k 2. 因为点H 在直线QN 上， 所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x 1m 2＋4k 2.于是PQ →＝(－2x 1，－2kx 1)，PH →＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2x 1m 2＋4k 2，2km 2x 1m 2＋4k 2.而PQ ⊥PH 等价于PQ →·PH →＝42－m 2k 2x 21m 2＋4k 2＝0，即2－m 2＝0，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0都有PQ ⊥PH .方法2：如图(2)、(3)，对任意x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)，因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2x 21＋y 21＝m 2，m 2x 22＋y 22＝m 2，两式相减可得m 2(x 21－x 22)＋(y 21－y 22)＝0.③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0.于是由③式可得y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 2.④又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即2y 1x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2.于是由④式可得k PQ ·k PH ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝12·y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝－m 22，而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即－m 22＝－1，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .21．H5、H8 如图1－7所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线x ＝±a和y ＝±b 所围成的矩形ABCD 的面积为8.图1－7(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m (m ∈R )与椭圆M 有两个不同的交点P ，Q ，l 与矩形ABCD 有两个不同的交点S ，T .求|PQ ||ST |的最大值及取得最大值时m 的值．21．解：(1)设椭圆M 的半焦距为c ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，4ab ＝8，所以a ＝2，b ＝1，因此椭圆M 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，由Δ＝64m 2－80(m 2－1)＝80－16m 2>0. 得－5<m < 5.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－15.所以|PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝4525－m2(－5<m <5)．线段CD 的方程为y ＝1(－2≤x ≤2)，线段AD 的方程为x ＝－2(－1≤y ≤1)． ①不妨设点S 在AD 边上，T 在CD 边上，可知1≤m <5，S (－2，m －2)，D (－2,1)， 所以|ST |＝2|SD |＝2＝2(3－m )， 因此|PQ ||ST |＝455－m 23－m2.令t ＝3－m (1≤m <5)， 则m ＝3－t ，t ∈(3－5，2]． 所以|PQ ||ST |＝455－3－t2t2＝45－4t 2＋6t －1＝45－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋54， 由于t ∈(3－5，2]． 所以1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，3＋54.因此当1t ＝34，即t ＝43时，|PQ ||ST |取得最大值255，此时m ＝53.②不妨设点S 在AB 边上，T 在CD 边上，此时－1≤m ≤1， 因此|ST |＝2|AD |＝22，此时|PQ ||ST |＝255－m 2.所以当m ＝0时，|PQ ||ST |取得最大值255.③不妨设点S 在AB 边上，T 在BC 边上，－5<m ≤－1. 由椭圆和矩形的对称性知|PQ ||ST |的最大值为255，此时m ＝－53.综上所述m ＝±53或m ＝0时，|PQ ||ST |取得最大值255.20．H5、H8 如图1－4，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．图1－420．解： (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)( 方法一)a 2＝4c 2，b 2＝3c 2. 直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2， 得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c .由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403， 解得a ＝10，b ＝5 3. (方法二)设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.5．H5 椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1C.x 28＋y 24＝1D.x 212＋y 24＝15．C 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质．解题的突破口为焦距、准线与a 、b 、c 的关系．∵焦距为4，一条准线为x ＝－4，∴c ＝2，a 2c ＝4，∴a 2＝8，b 2＝4，故选C.20．H5、H7、H8 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．20．解：(1)由C 1的左焦点F 1的坐标为(－1,0)知c ＝1. 因为点P (0,1)在C 1上，所以b ＝1. 于是a ＝ 2.故C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题设l 同时与C 1和C 2相切，设切点分别为A 和B ，点B 的坐标为(x 0，y 0)，显然x 0>0.当点B 在第一象限时，点B 的坐标为(x 0,2x 0)．考虑抛物线C 2在第一象限的方程y ＝2x ，x >0.因为y ′＝1x，所以l 的斜率为1x 0，从而l 的方程为：y ＝xx 0＋x 0. 由假设直线l 与椭圆C 1相切，因此方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xx 0＋x 0， ①x 22＋y 2＝1， ②有唯一解，将①代入②并整理得： (x 0＋2)x 2＋4x 0x ＋2x 0(x 0－1)＝0， 所以Δ＝16x 20－8(x 0＋2)x 0(x 0－1) ＝－8x 0(x 0＋1)(x 0－2)＝0. 因为x 0>0，所以x 0＝2.当x 0＝2时，直线l 的方程为：y ＝22x ＋ 2. 易验证l 是C 1的切线．由对称性，当切点B 在第四象限时，可得l 的方程为：y ＝－22x － 2. 综上所述，同时与C 1和C 2相切的直线方程为：y ＝22x ＋2，或y ＝－22x － 2. 21．H5、H10 在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C相切时，求P 的坐标．21．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得|2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝ 2.即k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0. 同理可得k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0.从而k 1，k 2是方程k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根．于是⎩⎪⎨⎪⎧2－x 02－2≠0，Δ＝8[2－x 02＋y 20－2]＞0，①且k 1k 2＝y 20－22－x 02－2＝12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2016＋y 212＝1，y 2－22－x 02－2＝12得5x 20－8x 0－36＝0.解得x 0＝－2，或x 0＝185.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式．故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，575，或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，－575.8．H5 椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12 D.5－28．B 由椭圆的定义知，|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c .∵|AF 1|，|F 1F 2|，|BF 1|成等比数列，因此4c 2＝(a －c )(a ＋c )，整理得5c 2＝a 2，两边同除以a 2得5e 2＝1，解得e ＝55.故选B. 20．H4、H5 如图1－7，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．图1－720．解：(1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209，从而 x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94，当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)． ① 直线A 2B 的方程为 y ＝－y 0x 0－3(x －3)． ② 由①②得y 2＝－y 2x 20－9(x 2－9) ③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209. ④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．15．H5 椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．15.23 如图，设椭圆右焦点为F ′，直线x ＝m 与x 轴相交于C ， 由椭圆第一定义，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a ， 而|AB |＝|AC |＋|BC |≤|AF ′|＋|BF ′|， ∴当且仅当AB 过F ′时，△ABF 周长最大． 此时，由|AF |＋|AB |＋|BF |＝4a ＝12， 得a ＝3，进而c ＝32－5＝2，∴椭圆离心率为e ＝c a ＝23.H6 双曲线及其几何性质11．H6 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.11．1 2 ∵双曲线C 1与C 2有共同的渐近线，∴b 2＝4a 2.① 又∵a 2＋b 2＝5, ② 联立①②得，a ＝1，b ＝2.15．H6 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．15．2 3 本小题主要考查双曲线的定义以及性质．解题的突破口为正确应用双曲线的定义．不妨假设点P 位于双曲线的右分支上，故而|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝(2a )2＝4⇒|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝8，所以2|PF 1||PF 2|＝4，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝12，即|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.5．H6 已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414 B.324C.32D.435．C 因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，所以c ＝3，b 2＝5，则a 2＝c 2－b 2＝9－5＝4，所以a ＝2，所以e ＝c a ＝32.10．H6 已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.4510．C 本小题主要考查双曲线的定义及余弦定理的应用，解题的突破口为运用双曲线的定义求出PF 1和PF 2的长，再用余弦定理即可求．由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22，∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422·42·22＝34，故选C. 8．H5、H6 如图1－3，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )图1－3A ．3B ．2 C. 3 D. 28．B 本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质，考查了学生对书本知识掌握的熟练程度，属于送分题．设椭圆、双曲线的方程分别为x 2a 21 ＋ y 2b 21＝ 1(a 1>b 1>0)，x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，由题意知c 1＝c 2且a 1＝2a 2，则e 1e 2＝c 1a 1c 2a 2＝a 2a 1＝2. 6．H6 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 6．A 本题考查双曲线方程和渐近线方程，意在考查考生对双曲线方程和其性质的掌握；解题思路：首先由a ，b ，c 的关系，排除C ，D ，再由渐近线方程得答案A.由已知可得双曲线的焦距，2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，排除C ，D ，又由渐近线方程为y ＝b a x ＝12x ，得12＝b a，解得a 2＝20，b 2＝5，所以选A. 本题易错一：对双曲线的几何性质不清，错以为c ＝10，错选C ；易错二：渐近线求解错误，错解成12＝ab，从而错选B.8．H6 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．8．2 本题考查双曲线离心率的求解．解题突破口是明确焦点所在轴．根据双曲线方程可得：m >0，所以e ＝m ＋m 2＋4m＝5，解之得m ＝2.22．H6、H4 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1. (1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若|MF |＝22，求点M 的坐标； (2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k (|k |＜2)的直线l 交C 于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .22．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋222， 由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62， 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫62，±2. (2)左顶点A ⎝⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为。
高考数学分类练习 H单元 解析几何(文科)含答案1
数 学H 单元 解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. 19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率．(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.(i)求λ的值；(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程．19．解：(1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c . 又因为B (0，b )，F (－c ，0)，所以直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc＝2.(2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )．(i)由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c 3.因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c ，与椭圆方程联立，消去y ，整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c 21.又因为λ＝|PM ||MQ |，且x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78.(ii)由(i)知|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝157|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝759，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ，所以|BP |＝0＋5c 32＋2c ＋4c 32＝553c ，因此553c ＝553，得c ＝1，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.12．H1、H4 若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．12．x ＋2y －5＝0 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.H2 两直线的位置关系与点到直线的距离H3 圆的方程20．H3，H4，H9 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．16．H3、H4 如图13，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B在A 的上方)，且|AB |＝2.图13(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 16．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)对于圆C 的方程，令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)．令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.7．H3 已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.437．B 由已知可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2，所以△ABC 是等边三角形，所以其外接圆圆心即三角形的重心，坐标为1＋0＋23，0＋3＋33，即1，233，圆心到原点的距离为12＋2332＝213.2．H3 圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝22．D 根据题意知圆的半径r ＝（1－0）2＋（1－0）2＝2，所以以(1，1)为圆心且过原点的圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D.H4 直线与圆、圆与圆的位置关系8．H4 直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或128．D 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离d ＝|3＋4－b |32＋42＝1，即|b －7|＝5，解得b ＝12或b ＝2，选D. 20．H3，H4，H9 已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．16．H3、H4 如图13，圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.图13(1)圆C 的标准方程为________；(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 16．(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1(1)由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫||AB 22＋12＝2，解得r ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)对于圆C 的方程，令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1)．又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1)．令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.20．H1、H3、H4 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 20．解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k <4＋73， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.13．H4 若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________．13．2 圆心为原点，原点(0，0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|0－0＋5|32＋（－4）2＝1，又△OAB 中点O 到AB 边的距离d ＝r sin 30°＝r2＝1，所以r ＝2.13．H4、F3 过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝________．13.32 如图所示，|PA |＝|PB |＝3，|OP |＝2，|OA |＝1，且PA ⊥OA ，∴∠APO ＝π6，即∠APB ＝π3，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos ∠APB ＝3×3×cos π3＝32.10．H4，H8 设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)10．D 不妨设直线l ：x ＝ty ＋m ，代入抛物线方程有y 2－4ty －4m ＝0，则Δ＝16t 2＋16m ＞0.又中点M (2t 2＋m ，2t )，圆心C (5，0)，k MC k l ＝－1，所以m ＝3－2t 2，当t ＝0时，对于0<r <5，满足条件的直线有2条，当t ≠0时， 代入Δ＝16t 2＋16m ，可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得r ＝|5－m |1＋t2＝2＋2t21＋t2＝21＋t 2.由0＜t 2＜3，可得r ∈(2，4)．5．H4、H6 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝15．D 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，所以a 2＋b 2＝4①.其渐近线方程为y ＝±b ax ，且渐近线与圆相切，所以|2b |a 2＋b2＝3②.联立①②，解得b ＝3，a＝1，所以所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.14．H4，E5 已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．14．15 方法一：当x ，y 满足x 2＋y 2≤1时，2x ＋y －4<0，6－x －3y >0，设z ＝|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |，则z ＝－2x －y ＋4＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10，即3x ＋4y ＋z －10＝0.由题意可知，|z －10|5≤1，即|z －10|≤5，所以5≤z ≤15，故所求最大值为15.方法二：坐标原点到直线2x ＋y －4＝0和6－x －3y ＝0的距离分别是45，610，均大于1，在x ，y 满足x 2＋y 2≤1的条件下，2x ＋y －4≤0，6－x －3y ≥0恒成立．故在x 2＋y 2≤1下，|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－(2x ＋y －4)＋(6－x －3y )＝－3x －4y ＋10，令m ＝－3x －4y ，则y ＝－34x －m 4，m 的几何意义是直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距的－4倍，若m 最大，则需要直线m ＝－3x －4y 在y 轴上的截距最小．故只有当直线m ＝－3x －4y 与单位圆x 2＋y 2＝1相切于第三象限时，m 取得最大值．此时可求得切点坐标为－35，－45，故m max ＝－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝5，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝－3x －4y ＋10的最大值为15.12．H1、H4 若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．12．x ＋2y －5＝0 由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.10．H4 在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．10．(x －1)2＋y 2＝2 由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.H5 椭圆及其几何性质20．H5 设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .20．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，所以b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2，所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB .8．H5 已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．98．B 由题意得，m 2＝25－42＝9，因为m >0，所以m ＝3，故选B.22．H5、H8、H9、H10 一种画椭圆的工具如图15所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图16所示的平面直角坐标系．(1)求椭圆C 的方程．(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．图15图1622．解：(1)由题知|OM |≤|MN |＋|NO |＝3＋1＝4，当M ，N 在x 轴上时，等号成立； 同理|OM |≥|MN |－|NO |＝3－1＝2，当D ，O 重合，即MN ⊥x 轴时，等号成立． 所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为x 216＋y 24＝1.(2)(i)当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠±12. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16，消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0，即m 2＝16k 2＋4. ①又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0，可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离d ＝|m |1＋k2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12|m |2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝2m21－4k 2. ②将①代入②得，S △OPQ ＝2m 21－4k 2＝84k 2＋14k 2－1. 当k 2>14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8·4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2.因为0≤k 2<14，所以0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8， 当且仅当k ＝0时取等号，所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合(i)(ii)可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.5．H5、H7 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．125．B 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2，即椭圆的半焦距c ＝2.又离心率e ＝c a ＝2a ＝12，所以a ＝4，于是b 2＝12，则椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.A ，B 是C的准线x ＝－2与E 的两个交点，把x ＝－2代入椭圆方程得y ＝±3，所以|AB |＝6.20．H5、H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．20．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．20．H5，H8 已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．20．解：(1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1.所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63. (2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)， 直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)．令x ＝3，得M (3，2－y 1)． 所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行．证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1. 又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE . 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)． 令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k （x －1），得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0.所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2.直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2.因为k BM －1＝k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2）（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3]（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2）＝0，所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE . 综上可知，直线BM 与直线DE 平行．11．H5 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A ．0，32 B ．0，34 C.32，1 D.34，1 11．A 因为直线l 过原点，不妨设A 在第一象限，左焦点为F ′，由对称性可知四边形AF ′BF 为平行四边形，所以|AF |＋|BF |＝|AF ′|＋|AF |＝2a ＝4，所以a ＝2，点M (0，b )到直线l 的距离d ＝|0－4b |5≥45且b <a ，所以1≤b <2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b2a ＝4－b 22∈0，32. 20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. 21．H5、H8 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且点⎝⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(i)求|OQ ||OP |的值；(ii)求△ABQ 面积的最大值．21．解：(1)由题意知3a 2＋14b 2＝1，又a 2－b 2a ＝32，解得a 2＝4，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(i)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知，Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 2＝1，且（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2，所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m21＋4k2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， 所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2（16k 2＋4－m 2）m21＋4k 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 21＋4k2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.②由①②可知，0<t ≤1，因此S ＝2（4－t ）t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤23， 当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值23， 由(i)知，△ABQ 的面积为3S ， 所以△ABQ 面积的最大值为6 3.20．H5、H8 如图16，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.图1620．解：(1)由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由已知得Δ>0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.20．F3，H5，H8 如图13，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程．(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．图1320．解：(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0，1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.19．H1、H5、H8 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为55.(1)求直线BF 的斜率．(2)设直线BF 与椭圆交于点P (P 异于点B )，过点B 且垂直于BP 的直线与椭圆交于点Q (Q 异于点B )，直线PQ 与y 轴交于点M ，|PM |＝λ|MQ |.(i)求λ的值；(ii)若|PM |sin ∠BQP ＝759，求椭圆的方程．19．解：(1)设F (－c ，0)．由已知离心率c a ＝55及a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5c ，b ＝2c . 又因为B (0，b )，F (－c ，0)，所以直线BF 的斜率k ＝b －00－（－c ）＝2cc＝2.(2)设点P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，M (x M ，y M )．(i)由(1)可得椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c2＝1，直线BF 的方程为y ＝2x ＋2c .将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，整理得3x 2＋5cx ＝0，解得x P ＝－5c 3.因为BQ ⊥BP ，所以直线BQ 的方程为y ＝－12x ＋2c ，与椭圆方程联立，消去y ，整理得21x 2－40cx ＝0，解得x Q ＝40c 21.又因为λ＝|PM ||MQ |，且x M ＝0，可得λ＝|x M －x P ||x Q －x M |＝|x P ||x Q |＝78.(ii)由(i)知|PM ||MQ |＝78，所以|PM ||PM |＋|MQ |＝77＋8＝715，即|PQ |＝157|PM |.又因为|PM |sin ∠BQP ＝759，所以|BP |＝|PQ |sin ∠BQP ＝157|PM |sin ∠BQP ＝553.又因为y P ＝2x P ＋2c ＝－43c ，所以|BP |＝0＋5c 32＋2c ＋4c 32＝553c ，因此553c ＝553，得c ＝1，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.7．H5 如图13，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是( )图13A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支7．C 射线AP 以AB 为旋转轴，∠PAB ＝30°为定值，旋转一周，构成斜放的圆锥，故可知，点P 的轨迹为椭圆．15．H5 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．15.22设FQ 的中点为A ，椭圆的左焦点为F ′，连接QF ′.因为点F 和Q 关于直线y ＝b c x 对称，所以点A 在直线y ＝b cx 上，且OA ⊥QF ，又OA ∥QF ′，所以F ′Q ⊥QF .在直角三角形OAF 中，tan ∠AOF ＝b c ，又a 2＝b 2＋c 2，故sin ∠AOF ＝b a ，cos ∠AOF ＝c a ，则|OA |＝c 2a，|AF |＝cb a ，|QF ′|＝2c 2a ，|QF |＝2cb a ，所以2a ＝|QF ′|＋|QF |＝2c 2a ＋2cb a，即a 2＝c 2＋cb ，又a 2＝c 2＋b 2，所以c ＝b ，故e ＝ca ＝22. 21．H5、H8 如图15，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．图1521．解：(1)由椭圆的定义，得2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)如图所示，连接F 1Q ，由PF 1⊥PQ ，|PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF 1|2＋|PQ |2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，进而|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a ， 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ，解得|PF 1|＝4a 1＋λ＋1＋λ2， 故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ2. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a （λ＋1＋λ2－1）1＋λ＋1＋λ22＝4c 2， 两边除以4a 2，得4（1＋λ＋1＋λ2）2＋（λ＋1＋λ2－1）2（1＋λ＋1＋λ2）2＝e 2. 若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成e 2＝4＋（t －2）2t 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －142＋12.由34≤λ<43，得3≤t <4，即14<1t ≤13. 进而12<e 2≤59，即22<e ≤53.18．H5、H10 如图14，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．图1418．解：(1)由题意，得c a ＝22，且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k2，C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意， 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2，解得k ＝±1， 此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.H6 双曲线及其几何性质6．H6 下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝16．A A 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ；C中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .故选A. 9．H6 将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 29．D e 1＝1＋b 2a 2，e 2＝1＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2.不妨令e 1<e 2，化简得b a <b ＋ma ＋m (m >0)，得bm <am ，得b <a .所以当b >a 时，有b a >b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋ma ＋m，即e 1<e 2.故选D.16．H6 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66) ，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．16．12 6 由已知得a ＝1，c ＝3，则F (3，0)，|AF |＝15.设F 1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义有|PF |－|PF 1|＝2，所以|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF 1|＋2≥|AF 1|＋2＝17，即点P 是线段AF 1与双曲线的交点时，|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF 1|＋2最小，即△APF 周长最小，此时，sin ∠OAF ＝15，cos ∠PAF ＝1－2sin 2∠OAF ＝2325，即有sin ∠PAF ＝4625.由余弦定理得|PF |2＝|PA |2＋|AF |2－2|PA ||AF |cos ∠PAF ，即(17－|PA |)2＝|PA |2＋152－2|PA |×15×2325，解得|PA |＝10，于是S △APF ＝12|PA |·|AF |·sin ∠PAF ＝12×10×15×4625＝12 6.15．H6 已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．15.x 24－y 2＝1 根据双曲线的渐近线方程y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，将点(4，3)的坐标代入得λ＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.12．H6 已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________．12. 3 因为(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，所以1＋b 2＝22，又因为b >0，所以b ＝ 3.6．H6 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.536．D 由已知可得双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，点(3，－4)在渐近线上，故b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2，∴c 2＝a 2＋169a 2＝259a 2，∴e ＝c a ＝53，选D.15．H6 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．15．2＋ 3 过右焦点且与渐近线平行的一条直线不妨设为y ＝ba(x －c )，∵该直线与双曲线交点的横坐标为2a ，∴有（2a ）2a 2－y2b2＝1，解得y ＝－3b (y ＝3b 舍去)，∴－3b ＝b a(2a －c )，整理得c ＝(2＋3)a ，即双曲线的离心率e ＝2＋ 3.7．H6，H8 过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.4 33B ．2 3C ．6D ．4 3 7．D 由题意得，a ＝1，b ＝3，故c ＝2，渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝2代入渐近线方程，得y ＝2 3或y ＝－2 3，故|AB |＝4 3.5．H4、H6 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 5．D 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2，0)，所以a 2＋b 2＝4①.其渐近线方程为y ＝±b ax ，且渐近线与圆相切，所以|2b |a 2＋b 2＝3②.联立①②，解得b ＝3，a＝1，所以所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.9．H6 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A ．±12B ．±22C ．±1D ．± 29．C 由题设，得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，F (c ，0)．将x ＝c 代入双曲线方程，解得y＝±b 2a .不妨设Bc ，b 2a ，Cc ，－b 2a ，则kA 1B ＝b 2ac ＋a ，kA 2C ＝－b 2a c －a ，根据题意，有b 2a c ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得b a＝1，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，故选C.12．H6、H10 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．12.22不妨设点P (x 0，x 20－1)(x 0≥1)，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝||x 0－x 20－1＋12.令u (x )＝x －x 2－1＝1x ＋x 2－1，则u (x )是单调递减函数，且u (x )>0.当x →＋∞时，u (x )→0，所以d >22，故c max ＝22.H7 抛物线及其几何性质5．H5、H7 已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．125．B 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x ＝－2，即椭圆的半焦距c ＝2.又离心率e ＝c a ＝2a ＝12，所以a ＝4，于是b 2＝12，则椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.A ，B 是C的准线x ＝－2与E 的两个交点，把x ＝－2代入椭圆方程得y ＝±3，所以|AB |＝6.19．H7、H10 已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．图1419．解：方法一：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，所以2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设A (2，2 2)． 由A (2，2 2)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B 12，－ 2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝ 2 2－02－（－1）＝2 23，k GB ＝－2－012－（－1）＝－2 23，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．方法二：(1)同方法一．(2)证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设A (2，2 2)， 由A (2，2 2)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝2 2(x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B 12，－ 2.又G (－1，0)，故直线GA 的方程为2 2x －3y ＋2 2＝0， 从而r ＝|2 2＋2 2|8＋9＝4 217.又直线GB 的方程为2 2x ＋3y ＋2 2＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|2 2＋2 2|8＋9＝4 217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．20．H1、H5、H7、H8 已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．20．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0，1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8. 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤ 将④⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2（9＋8k 2）2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9（k 2＋1）（9＋8k 2）2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. 3．H7 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(0，－1)D ．(0，1)3．B 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，由已知得－p 2＝－1，所以p2＝1，故其焦点坐标为(1，0)．19．H7，H10 如图15，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t ，0)(t >0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．图1519．解：(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －t ），y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由直线PA 与抛物线相切,得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0，1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)，由题意知，点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t 21＋t2， 因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知|AP |＝t ·1＋t 2，和直线PA 的方程tx －y －t 2＝0. 点B 到直线PA 的距离d ＝t 21＋t2.设△PAB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AP |·d ＝t32.H8 直线与圆锥曲线（AB 课时作业）。
高考文科数学二轮专项训练专题：08 解析几何
16．(2018 天津)已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,
b
0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双
曲线交于 A ， B 两点．设 A ， B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2 ，且 d1 d2 6 ，则
双曲线的方程为
A． x2 y2 1 B． x2 y2 1
x2 3
y2 9
1，故选 A．
17．已知 F 是双曲线 C ： x2 y2 1的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 3
(1,3) ．则 APF 的面积为
1
A．
3
1
B．
2
2
C．
3
3
D．
2
D【解析】由 c2 a2 b2 4 得 c 2 ，所以 F (2, 0) ，将 x 2 代入 x2 y2 1， 3
2．圆 (x 1)2 y2 2 的圆心到直线 y x 3 的距离为
A．1
B．2
C． 2
D．2 2
C【解析】圆心坐标为 (1, 0) ，由点到直线的距离公式可知 d | 1 0 3 | 2 ，故选 C. 2
3．已知圆 M： x2 + y2 - 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2 2 ，则圆 M 与圆 N：
线，点 N 在 l 上且 MN ⊥ l ，则 M 到直线 NF 的距离为
A． 5
B． 2 2
C． 2 3
D． 3 3
C【解析】由题意可知，如图 MFx 60 ，又抛物线的定义得 MF MN ，所以 MNF 为等边三角 形，在三角形 NFH 中， FH 2 ， FH cos 60 ，得 NF 4 ，所以 M 到 NF 的距离为等边三 NF 角形 MNF 中 NF 边上的高，易知为 3 NF 2 3 ．选 C． 2
「精品」人教版高考文科数学解析几何练习题及参考答案-学习专用
解析几何单元易错题练习(附参考答案)一．考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+b x a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a ce =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数a ce =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即c a y 2±=. 3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为exa MF +=1，exa MF -=2.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、a ce =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b=；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+b y a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 5.椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>.6. 椭圆的切线方程椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.。
【2020最新】人教版最新高考文科数学解析几何练习题及参考答案
教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学解析几何练习题及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案)一．考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.二．考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.三．基础知识:椭圆及其标准方程椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.⑴范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. ⑵对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.说明⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆的参数方程是.5.椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6. 椭圆的切线方程椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.双曲线的简单几何性质双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式，.双曲线的内外部点在双曲线的内部.点在双曲线的外部.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.若渐近线方程为双曲线可设为.若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.双曲线的切线方程双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
高考数学分类练习 H单元 解析几何(文科) Word版含答案
数 学H 单元 解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程15．H1、H4 已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________．15．4 联立⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3.不妨设A (－3，3)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217. 19．H1、H7、H8 如图16，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．图1619．解：(1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，所以可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1，消去x 得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以B （1t 2，－2t）.又直线AB 的斜率为2t t 2－1，所以直线FN 的斜率为－t 2－12t.从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N （t 2＋3t 2－1，－2t）.设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得 2t t 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．H2 两直线的位置关系与点到直线的距离5．H2，H5 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.345．B 不妨设直线l 经过椭圆的焦点F (c ，0)和顶点(0，b )，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，椭圆中心到直线l 的距离为|－bc |b 2＋c 2＝14×2b .又a 2＝b 2＋c 2，所以离心率e ＝c a ＝12.15．H2，H3，H4 设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．15．4π x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a )．又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2，所以（232）2＋（|0－a ＋2a |2）2＝a 2＋2，得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.12．H2、H3 已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为______________．12．(x －2)2＋y 2＝9 设圆心的坐标为(a ，0)(a >0)，根据题意得|2a |5＝455，解得a＝2(a ＝－2舍去)，所以圆的半径r ＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，所以圆的方程为(x －2)2＋y 2＝9.3．H2 已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________．3.255 由两平行线间距离公式得，l 1与l 2的距离d ＝|－1－1|22＋12＝255. 12．E5、H2 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．12.45，13 可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即|－2|52＝45，最大值为OB 2＝22＋32＝13.H3 圆的方程15．H2，H3，H4 设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．15．4π x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a )．又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2，所以（232）2＋（|0－a ＋2a |2）2＝a 2＋2，得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.10．H3 已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．10．(－2，－4) 5 由题意知a 2＝a ＋2，则a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程为4x2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0⇒（x ＋12）2＋(y ＋1)2＝－54，不能表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所以圆心坐标是(－2，－4)，半径是5.12．H2、H3 已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为______________．12．(x －2)2＋y 2＝9 设圆心的坐标为(a ，0)(a >0)，根据题意得|2a |5＝455，解得a＝2(a ＝－2舍去)，所以圆的半径r ＝（2－0）2＋（0－5）2＝3，所以圆的方程为(x －2)2＋y 2＝9.18．H3、H4 如图16，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．图1618．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋BC 22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是．H4 直线与圆、圆与圆的位置关系6．H4 圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43 B ．－34C. 3 D ．26．A 由题意可知，圆心为(1，4)，所以圆心到直线的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43.7．H4 已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 7．B 由垂径定理得（a2）2＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4，∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝（0－1）2＋（2－1）2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交．5．H4 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．2 25．C 根据点到直线的距离公式，得d ＝|－1＋3|12＋（－1）2＝ 2.15．H2，H3，H4 设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．15．4π x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a )．又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2，所以（232）2＋（|0－a ＋2a |2）2＝a 2＋2，得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.15．H1、H4 已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________．15．4 联立⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得 y 2－33y ＋6＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3.不妨设A (－3，3)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.13．H4 如图14，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE ＝2AE ＝2，BD ＝ED ，则线段CE 的长为________．图1413.233 记圆心为O ，连接OD ，AC ，易得BO ＝32，△BOD ∽△BDE ，∴BD BO ＝BE BD ，∴BD2＝BO ·BE ＝3，∴BD ＝DE ＝ 3.又△AEC ∽△DEB ，∴AE DE ＝CE BE ，即13＝EC 2，∴EC ＝233.15．B14，H4 在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′（y x 2＋y2，－xx 2＋y 2）；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．15．②③ ①设点A 的坐标为(x ，y )，则“伴随点”A ′的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，则点A ′的“伴随点”的横坐标为－x x 2＋y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x x 2＋y 22＝－x ，同理可得其纵坐标为－y ，故点A ′的“伴随点”的坐标为(－x ，－y )，故①错误；②设单位圆上的点P 的坐标为(cos θ，sin θ)，则点P 的“伴随点”P ′的坐标为(sin θ，－cos θ)，所以点P ′也在单位圆上，故②正确；③设点A 的坐标为(x ，y )，其关于x 轴对称的点为A 1(x ，－y )，又点A 的“伴随点”A ′的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，点A 1的“伴随点”A 1′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2，所以A ′与A ′1两点关于y 轴对称，故③正确；④反例：设A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)，则这三个点的“伴随点”分别是A ′(1，0)，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，C ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15，－25，此时A ′，B ′，C ′三个点不在同一条直线上，故④错误．18．H3、H4 如图16，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程；(3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．图1618．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5. (1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，于是圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋BC 22，所以25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2，4)，T (t ，0)，TA →＋TP →＝TQ →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4.①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25.② 将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221. 因此，实数t 的取值范围是． H5 椭圆及其几何性质5．H2，H5 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.345．B 不妨设直线l 经过椭圆的焦点F (c ，0)和顶点(0，b )，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，椭圆中心到直线l 的距离为|－bc |b 2＋c 2＝14×2b .又a 2＝b 2＋c 2，所以离心率e ＝c a ＝12.12．H5 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.3412．A 设M (－c ，y 0)，则AM 所在直线方程为y ＝y 0－c ＋a(x ＋a )，令x ＝0，得E （0，ay 0－c ＋a ）.BM 所在直线方程为y ＝y 0－c －a (x －a )，令x ＝0，得y ＝－ay 0－c －a .由题意得－ay 0－c －a＝12×ay 0－c ＋a ，解得a ＝3c ，即e ＝c a ＝13.10．H5，H8 如图12，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．图1210.63 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 2，x 2a2＋y2b2＝1，可得B (－32a ，b 2)，C （32a ，b2）.又由F (c ，0)，得FB →＝(－32a －c ，b 2)，FC →＝(32a －c ，b 2).又∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.方法二：同方法一可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b2)，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ， 又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2，即(a ＋e ·32a )2＋(a －e ·32a )2＝(3a )2， 式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.19．H5，H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．19．解：(1)由题意得，a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3， 所以离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2，0)，B (0，1)，所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2.x 0令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12(2＋x 0y 0－1)(1＋2y 0x 0－2) ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．21．H5、H8、H10 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程．(2)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .图16(i)设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k为定值； (ii)求直线AB 的斜率的最小值． 21．解：(1)设椭圆的半焦距为c ， 由题意知2a ＝4，2c ＝22，所以a ＝2，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)(i)设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)．由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m )，x 0x 0直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0.此时k ′k ＝－3，所以k ′k为定值－3. (ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线PA 的方程为y ＝kx ＋m ，直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0， 所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m . 同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m . 所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0. 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14（6k ＋1k）.由m >0，x 0>0，可知k >0，所以6k ＋1k ≥26，等号当且仅当k ＝66时取得．此时m4－8m2＝66，即m ＝147，符合题意， 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 19．H5、H8 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率．19．解：(1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝(9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3).由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k. 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912（k 2＋1）＝1，解得k ＝－64或k ＝64， 所以直线l 的斜率为－64或64.20．H5 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P （3，12）在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.20．解：(1)由已知得，a ＝2b .又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P （3，12），故34b 2＋14b2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆E 的方程是x 24＋y 2＝1，(2)证明：设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①方程①的判别式Δ＝4(2－m 2)，由Δ>0，即2－m 2>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，所以M 点坐标为（－m ，m 2），直线OM 的方程为y ＝－12x .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－12x及对称性，得C （－2，22），D （2，－22）， 所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)． 又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14＝516＝516＝54(2－m 2)． 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.H6 双曲线及其几何性质4．H6 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y220＝1 4．A 根据题意，得b a ＝12，2c ＝25，又a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝1，所以所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.13．H6 设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．13．(27，8) 由已知得a ＝1，b ＝3，c ＝2.当∠F 1F 2P ＝π2时，|PF 2|＝3，|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝5，则|PF 1|＋|PF 2|＝8；当∠F 1PF 2＝π2时，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝（2c ）2＝16，而(m －n )2＝4＝m 2＋n 2－2mn ＝16－2mn ，所以mn ＝6，则(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ＝28，则m ＋n ＝27.又△F 1PF 2为锐角三角形，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是(27，8)．12．H6 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________．12．1 2 根据题意得b a＝2，c ＝5，即a 2＋b 2＝5，所以a ＝1，b ＝2. 3．H6 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．3．210 由题目所给方程可得a 2＝7，b 2＝3，故c 2＝10，所以焦距为210.14．H6 已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．14．2 将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴|AB |＝2b2a.又∵2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，整理得2c 2－2a 2－3ac ＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍)． 21．H6，H8 双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且|AB |＝4，求l 的斜率． 21．解：(1)设A (x A ，y A )．由题意得，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4. 因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |， 即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2.故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . (2)由已知得，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k （x －2）得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0. 因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 由x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，得(x 1－x 2)2＝36（k 2＋1）（k 2－3）2，故|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝6（k 2＋1）|k 2－3|＝4，解得k 2＝35， 故l 的斜率为±155. 19．D2，D4，H6 已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n .19．解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列， 从而a n ＝qn －1.由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，a n ＝qn －1，所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2（n －1）.由e 2＝1＋q 2＝2，解得q ＝3，所以e 21＋e 22＋…＋e 2n ＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋＝n ＋＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12(3n－1)．H7 抛物线及其几何性质5．H7 设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 5．D 易知F (1，0)，因为曲线y ＝k x (k >0)与抛物线C 交于点P ，且PF ⊥x 轴，所以k1＝2，所以k ＝2.3．H7 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0，2) B ．(0，1) C ．(2，0) D ．(1，0)3．D 由已知得2p ＝4，故p ＝2，故该抛物线的焦点坐标为(1，0)．20．H7，H8 在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．20．解：(1)由已知得M (0，t )，P (t 22p，t ).又N 为M 关于点P 的对称点，故N (t 2p ，t )，则直线ON 的方程为y ＝p tx ，代入y 2＝2px整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H (2t2p，2t )，所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )，代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．20．H7、H9 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．20．解：由题可知F （12，0）.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A （a 22，a ），B （b22，b ），P （－12，a ），Q （－12，b ），R （－12，a ＋b2）.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，所以1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2， 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217. 19．H1、H7、H8 如图16，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．图1619．解：(1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，所以可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1，消去x 得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以B （1t 2，－2t）.又直线AB 的斜率为2t t 2－1，所以直线FN 的斜率为－t 2－12t.从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N （t 2＋3t 2－1，－2t）.设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得 2t t 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．20．H7 有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等．现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1，0)，如图14.(1)求菜地内的分界线C 的方程．(2)菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于S 1面积的“经验值”．图1420．解：(1)因为C 上的点到直线EH 与到点F 的距离相等，所以C 是以F 为焦点、以ΕΗ为准线的抛物线在正方形EFGH 内的部分，其方程为y 2＝4x (0<y <2)．(2)依题意得，点Μ的坐标为(14，1)，所求的矩形面积为52，而所求的五边形面积为114.矩形面积与“经验值”之差的绝对值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－83＝16，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪114－83＝112，所以五边形面积更接近于S 1面积的“经验值”．22．H7、H8 如图18，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程． (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．图1822．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为p2，0，由点p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0. 方程(*)的两根为y 1，2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围为(0，43).H8 直线与圆锥曲线（AB 课时作业）10．H5，H8 如图12，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．图1210.63 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 2，x 2a 2＋y2b 2＝1，可得B (－32a ，b 2)，C （32a ，b2）.又由F (c ，0)，得FB →＝(－32a －c ，b 2)，FC →＝(32a －c ，b 2).又∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，化简可得2a 2＝3c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，故e ＝63.方法二：同方法一可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b2)，所以BC ＝3a ，由椭圆的焦半径公式得BF ＝a －ex B ＝a ＋e ·32a ，CF ＝a －ex C ＝a －e ·32a ， 又∠BFC ＝90°，所以BF 2＋CF 2＝BC 2，即(a ＋e ·32a )2＋(a －e ·32a )2＝(3a )2， 式子两边同除以a 2可得e 2＝23，即e ＝63.20．H7，H8 在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．20．解：(1)由已知得M (0，t )，P (t 22p，t ).又N 为M 关于点P 的对称点，故N (t 2p ，t )，则直线ON 的方程为y ＝p tx ，代入y 2＝2px整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p .因此H (2t2p，2t )，所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )，代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．21．H8 已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2. 21．解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.又A (－2，0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0.解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明：将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2（3－4k 2）3＋4k 2， 故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k23＋4k2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k(x ＋2)．故同理可得|AN |＝12k 1＋k23k 2＋4. 由2|AM |＝|AN |得23＋4k 2＝k 3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0. 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点．f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217. 19．H1、H7、H8 如图16，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．图1619．解：(1)由题意可得，抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x ＝－1的距离，由抛物线的定义得p2＝1，即p ＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y 2＝4x ，F (1，0)，可设A (t 2，2t )，t ≠0，t ≠±1. 因为AF 不垂直于y 轴，所以可设直线AF ：x ＝sy ＋1(s ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝sy ＋1，消去x 得y 2－4sy －4＝0， 故y 1y 2＝－4，所以B （1t 2，－2t）.又直线AB 的斜率为2t t 2－1，所以直线FN 的斜率为－t 2－12t.从而得直线FN ：y ＝－t 2－12t (x －1)，直线BN ：y ＝－2t ，所以N （t 2＋3t 2－1，－2t）.设M (m ，0)，由A ，M ，N 三点共线得 2t t 2－m＝2t ＋2tt 2－t 2＋3t 2－1，于是m ＝2t2t 2－1，所以m ＜0或m ＞2.经检验，m ＜0或m ＞2满足题意．综上，点M 的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．19．H5，H8 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．19．解：(1)由题意得，a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.又c ＝a 2－b 2＝3， 所以离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 20＝4. 又A (2，0)，B (0，1)，所以直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)．令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2.x 0令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1. 所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN |·|BM |＝12(2＋x 0y 0－1)(1＋2y 0x 0－2) ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．21．H5、H8、H10 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程．(2)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .图16(i)设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k为定值； (ii)求直线AB 的斜率的最小值． 21．解：(1)设椭圆的半焦距为c ， 由题意知2a ＝4，2c ＝22，所以a ＝2，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)(i)设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)．由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m )，x 0x 0直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0.此时k ′k ＝－3，所以k ′k为定值－3. (ii)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线PA 的方程为y ＝kx ＋m ，直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0， 所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m . 同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m . 所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m ＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0. 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14（6k ＋1k）.由m >0，x 0>0，可知k >0，所以6k ＋1k ≥26，等号当且仅当k ＝66时取得．此时m4－8m2＝66，即m ＝147，符合题意， 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 21．H6，H8 双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且|AB |＝4，求l 的斜率．21．解：(1)设A (x A ，y A )．由题意得，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，y 2A ＝b 2(c 2－1)＝b 4. 因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |， 即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2. 故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . (2)由已知得，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k （x －2）得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0. 因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 由x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，得(x 1－x 2)2＝36（k 2＋1）（k 2－3）2，故|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝6（k 2＋1）|k 2－3|＝4，解得k 2＝35， 故l 的斜率为±155.22．H7、H8 如图18，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程． (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．图1822．解：(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为p2，0，由点p 2，0在直线l ：x －y －2＝0上，得p2－0－2＝0，即p ＝4.所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点M (x 0，y 0)，因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ，于是直线PQ 的斜率为－1，则可设其方程为y ＝－x ＋b .①证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－x ＋b 消去x 得y 2＋2py －2pb ＝0.(*)因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以y 1≠y 2， 从而Δ＝(2p )2－4×(－2pb )>0，化简得p ＋2b >0. 方程(*)的两根为y 1，2＝－p ±p 2＋2pb ，从而y 0＝y 1＋y 22＝－p .因为M (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝2－p . 因此，线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )． ②因为M (2－p ，－p )在直线y ＝－x ＋b 上， 所以－p ＝－(2－p )＋b ，即b ＝2－2p .由①知p ＋2b >0，于是p ＋2(2－2p )>0，所以p <43.因此，p 的取值范围为(0，43).19．H5、H8 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率．19．解：(1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2.又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝(9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3).由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k. 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912（k 2＋1）＝1，解得k ＝－64或k ＝64， 所以直线l 的斜率为－64或64. H9 曲线与方程20．H7、H9 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．20．解：由题可知F （12，0）.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A （a 22，a ），B （b22，b ），P （－12，a ），Q （－12，b ），R （－12，a ＋b2）.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，所以1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2， 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.由题设可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．。
高考文科数学练习测试题第八章 解析几何
第八章 解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程对应学生用书P115基础盘查一 直线的倾斜角与斜率 (一)循纲忆知1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素(定点、斜率、倾斜角)．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． (二)小题查验 1．判断正误(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°( ) (3)倾斜角越大，斜率越大( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．(人教A 版教材习题改编)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________.答案：－23．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 解析：设直线的倾斜角为θ，依题意知， k ＝－33cos α； ∵cos α∈[－1,1]，∴k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33， 即tan θ∈⎣⎡⎦⎤－33，33. 又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π基础盘查二 直线的方程 (一)循纲忆知掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．(二)小题查验 1．判断正误(1)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示( )(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离( )(4)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋yn ＝1( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×2．(人教A 版教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________．答案：x ＋13y ＋5＝03．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0对应学生用书P115考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角． (2)范围：[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)范围：全体实数R .(3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为kP 1P 2＝y 2－y 1x 2－x 1.[提醒] (1)任意一条直线都有倾斜角，但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率． (2)α＝0时k ＝0；α是锐角时k >0；α是钝角时k <0.(3)已知倾斜角θ的范围，求斜率k 的范围时注意下列图象的应用： 当k ＝tan α，α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π时的图象如图：[题组练透]1．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2解析：选B 由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3.2．(2015·常州模拟)若ab <0，则过点P ⎝⎛⎭⎫0，－1b 与Q ⎝⎛⎭⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．解析：k PQ ＝－1b －00－1a ＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π2，π.答案：⎝⎛⎭⎫π2，π3．(2015·沈阳联考)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k P A ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎡⎦⎤－23，12 [类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．点斜式过点(x 0，y 0)，斜率为k 的直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 局限性：不含垂直于x 轴的直线． 2．斜截式斜率为k ，纵截距为b 的直线方程为y ＝kx ＋b . 局限性：不含垂直于x 轴的直线． 3．两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1.局限性：不含垂直于坐标轴的直线． 4．截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程为x a ＋yb ＝1.局限性：不含垂直于坐标轴和过原点的直线． 5．一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．[提醒] 当直线与x 轴不垂直时，设直线的斜率为k ，则方程为y ＝kx ＋b ；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为ky ＋x ＋b ＝0.[典题例析]已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.[类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用．[演练冲关]求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程．解：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，适合题意； 当斜率存在时，设斜率为k ， 则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.考点三 直线方程的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B (0,1－k ), 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2 ＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4， 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y－2＝0.角度二：与导数几何意义相结合的问题2．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x (e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，所以e x ＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：12[类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.对应A 本课时跟踪检测(四十五)一、选择题1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .∴a ＋2a＝a ＋2， 解得a ＝－2或a ＝1.4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析：选A 取特殊值法或排除法，可知A 正确．5．(2015·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.6．(2014·安徽高考)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎤0，π3 C.⎣⎡⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 解析：选D 法一：如图，过点P 作圆的切线P A ，PB ，切点为A ，B .由题意知OP ＝2，OA ＝1，则sin α＝12，所以α＝30°，∠BP A ＝60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3.选D. 法二：设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1，解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3. 二、填空题7．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0. 根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：168．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]． 答案：[－2,2]9．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎦⎤π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是________________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎡⎦⎤π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π ∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎡⎦⎤33，110．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为______________________________________．解：设直线的斜率为k (k ≠0)， 则直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k .由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA |·|MB |取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0， 直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.故|MA |·|MB |＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号， 此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.第二节两直线的位置关系对应学生用书P117基础盘查一两直线平行与垂直(一)循纲忆知能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(二)小题查验1．判断正误(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1()(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0()答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教B版教材习题改编)过点(1,2)与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为____________．答案：x－2y＋3＝0基础盘查二两直线的交点(一)循纲忆知能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(二)小题查验1．判断正误(1)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，当k1≠k2时，l1与l2相交()(2)过l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)()答案：(1)√(2)×2．(人教A版教材习题改编)经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为____________．答案：4x－3y－6＝0基础盘查三距离公式(一)循纲忆知掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．(二)小题查验 1．判断正误(1)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2( )(2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( )(3)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB的中点在直线l 上( )答案：(1)× (2)√ (3)√2．(北师大版教材习题改编)两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)，B (0,5)，若l 1与l 2的距离为5，则l 1与l 2的方程分别为l 1：________________，l 2：________________.答案：y ＝0或5x －12y －5＝0 y ＝5或5x －12y ＋60＝0对应学生用书P117考点一 两直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．判定两直线平行的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论： 设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0. 2．判定两直线垂直的方法(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.3．求两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的交点可由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解． [题组练透]1．(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，则实数m 的取值为( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2解析：选A 因为直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：mx －y ＝0平行，所以m 1＝－12≠0，解得m ＝－12，故选A.2．(2015·浙江名校联考)已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若a ＝－1，则l 1：x －3y －2＝0，l 2：－3x －y －1＝0，显然两条直线垂直；若l 1⊥l 2，则(a －2)＋a (a －2)＝0，∴a ＝－1或a ＝2，因此，“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.3．(2015·浙江温州十校联考)过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________．解析： 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －5＝0，x ＋y ＋2＝0，得交点P (1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案：3x ＋y ＝0[类题通法]1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．两直线交点的求法求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．3．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 2．点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.[提醒] 在解题过程中，易忽略点到直线与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式，导致出现错解．特别是两平行直线间的距离公式中，两直线方程的一般式中的x ，y 的系数要对应相等．[典题例析]已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2. 由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．[类题通法]解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．[演练冲关]已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0考点三 对称问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．中心对称(1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)与N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解． (2)直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l 1∥l 2，由点斜式得到所求的直线方程．2．轴对称(1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，A (y 1－y 2)＝B (x 1－x 2)，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)．特别地，若直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0满足|A |＝|B |，则P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1＋By 2＋C ＝0，Ax 2＋By 1＋C ＝0. (2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[多角探明]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．归纳起来常见的命题角度有：(1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用. 角度一：点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二：点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 角度三：线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四：对称问题的应用4．已知光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．对应B 本课时跟踪检测(四十六)一、选择题1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．3．(2015·广元模拟)若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．∴m ＋n ＝0.4．(2015·济南模拟)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.5．(2015·云南统考)已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10.6．已知曲线|x |2－|y |3＝1与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－4,4)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,3)解析：选A 曲线|x |2－|y |3＝1的草图如图所示．由该曲线与直线y ＝2x ＋m 有两个交点，可得m >4或m <－4.二、填空题7．(2015·重庆检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为________．解析：直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32.答案：328．(2015·河北秦皇岛检测)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1，解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)， ∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k －1＝0. 在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝09．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________．解析：因为原点到点P 的距离为2，所以过点P 与原点的距离都不大于2，故d ∈(0,2)．答案：(0,2)10．如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)，∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >k A 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞) 三、解答题11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值：(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)．∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b ，④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.12．(2015·东营模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．解：(1)当直线l 经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a ＋2＝0，解得a ＝－2，此时直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0； 当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时， 由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋a a ＋1＝2＋a ，解得a ＝0，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 所以直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. (2)由直线方程可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0，N (0,2＋a )，因为a >－1，所以S △OMN ＝12×2＋a a ＋1×(2＋a )＝12×[(a ＋1)＋1]2a ＋1＝12⎣⎡⎦⎤(a ＋1)＋1a ＋1＋2≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(a ＋1)·1a ＋1＋2＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第三节圆的方程对应学生用书P120基础盘查一 圆的定义及标准方程 (一)循纲忆知1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 2．初步了解用代数方法处理几何问题． (二)小题查验 1．判断正误(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．(人教A 版教材例题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝253. (2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，且AB ＝3，则该圆的标准方程是____________________．解析：依题可设圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝1(b ＞0)，且⎝⎛⎭⎫322＋b 2＝1，可解得b ＝12，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 基础盘查二 点与圆的位置关系 (一)循纲忆知了解点与圆的位置关系(点在圆上、点在圆内、点在圆外)． (二)小题查验 1．判断正误(1)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0( )(2)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条( ) 答案：(1)√ (2)×2．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4. 即a 2<1，故－1<a <1. 答案：(－1,1)对应学生用书P120考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其中(a ，b )为圆心，r 为半径． 2．圆的一般方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.当D 2＋E 2－4F >0时表示圆，其中⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径． [提醒] 方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF >0.[题组练透]1．(2015·潍坊一模)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4解析：选D 因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(1－2)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.2．(2015·温州十校联考)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的方程为( )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝3 B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝12D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 如图，连接AC ，BD ，由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，12，而|F A |＝|AD |＝|FB |为圆的半径r ，于是A ⎝⎛⎭⎫32r ，12＋12r ，而A 在抛物线上，故⎝⎛⎭⎫32r 2＝2⎝⎛⎭⎫12＋12r ，∴r ＝2，故选B. 3．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，则圆C 的方程为______________．解析：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则k,2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根，∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ， 又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0， 圆心坐标为⎝⎛⎭⎫k ＋22，2k ＋12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k ，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0. 答案：x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0[类题通法]解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的一般方程．考点二 与圆有关的最值、范围问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．与圆的几何性质有关的最值(1)记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离最小为|AO |－r ，最大为|AO |＋r ； (2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；(3)记圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r ；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆． 2．与圆上点(x ，y )有关的最值(1)形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[多角探明]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．归纳起来常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题；(4)利用对称性求最值、范围等； (5)建立目标函数求最值问题. 角度一：斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .如图所示，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，。
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解析几何单元易错题练习含答案一．考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+b x a y （a ＞b ＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+b y a x （a ＞b ＞0）.⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）.线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a ce =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义⑴ 定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数a ce =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵ 准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+b x a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即c a y 2±=. 3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为exa MF +=1，exa MF -=2.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、a ce =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b=；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+b y a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 5.椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>.6. 椭圆的切线方程椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.（3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹. 若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.双曲线的简单几何性质双曲线12222=-b y a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大. 双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a by ±=或表示为02222=-b y a x .若已知双曲线的渐近线方程是x n my ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是c a x 2-=和c a x 2=.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c =-.双曲线的内外部点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. 点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b y ±=. 若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y轴上）.双曲线的切线方程双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
这个定点F 叫抛物线的焦点，这条定直线l 叫抛物线的准线。
需强调的是，点F 不在直线l 上，否则轨迹是过点F 且与l 垂直的直线，而不是抛物线。
2．抛物线的方程有四种类型：px y 22=、px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x 轴或y 轴的负方向。
3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px 为例 （1）范围：x ≥0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出； （3）顶点：O （0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e 是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p 决定的；（5）准线方程2p x =-；（6）焦半径公式：抛物线上一点P （x1，y1），F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p ＞0）：221122112:;2:222:;2:22pp y px PF x y px PF x ppx py PF y x py PF y ==+=-=-+==+=-=-+（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。
设过抛物线y2=2px （p ＞O ）的焦点F 的弦为AB ，A （x1，y1），B （x2，y2），AB 的倾斜角为α，则有①|AB|=x 1+x 2+p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。
（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x 2+bx+c=0，当a ≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。