第1讲 直线的方程
高三数学复习(理)：第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程[学生用书P164]1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l的倾斜角α的取值范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α．(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1．3．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)y－y1＝k(x－x1)不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 (x 1≠x 2，y 1≠y 2)不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2) 截距式 直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，bx a ＋y b ＝1 (a ≠0，b ≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线倾斜角和斜率的关系不是倾斜角越大，斜率k 就越大，因为k ＝tan α，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠π2时就不是了．2．五种特殊位置的直线方程 (1)x 轴：y ＝0. (2)y 轴：x ＝0.(3)平行于x 轴的直线：y ＝b (b ≠0)． (4)平行于y 轴的直线：x ＝a (a ≠0)． (5)过原点且斜率存在的直线：y ＝kx .一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)对倾斜角的概念掌握不牢；(2)由直线方程求斜率的思路不清；(3)忽视直线斜率不存在的情况；(4)忽视截距为0的情况．1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α＝________；若直线y＝2的倾斜角为β，则β＝________．答案：90°0°2．直线l：x sin 30°＋y cos 150°＋a＝0的斜率为________．解析：设直线l的斜率为k，则k＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：3 33．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．解析：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率存在且不为0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－2k，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k＝1，解得k＝12，所以直线m的方程为y－2＝12(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.答案：x－2y＋2＝0或x＝24．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5，所以直线方程为x ＋y －5＝0. 答案：3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0[学生用书P165]直线的倾斜角与斜率(典例迁移)(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0，π B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B.(2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 【答案】 (1)B (2)(]－∞，－3∪[)1，＋∞【迁移探究1】 (变条件)若将本例(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解：因为P (－1，0)，A (2，1)，B (0，3)， 所以k AP ＝1－02－（－1）＝13，k BP ＝3－00－（－1）＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.【迁移探究2】 (变条件)若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围．解：如图，直线P A 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． (2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tanα求斜率；②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．[提醒] 直线倾斜角的范围是[)0，π，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[)0，＋∞；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈()－∞，0.1．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． 解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：42．已知点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．解析：点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ＋1>0，解得－3<a <－1，即直线l 的斜率的范围是(－3，－1)，故其倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4求直线的方程(师生共研)根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5.【解】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)，从而cos α＝±31010，则k＝tan α＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．(3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；(2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.直线方程的综合问题(典例迁移)(一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．【解】方法一：设直线l的方程为xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，将点P(3，2)代入得3 a ＋2b＝1≥26ab，得ab≥24，从而S△AOB＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时等号成立，这时k＝－ba ＝－23，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.所以△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 方法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0，B (0，2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4（－k ） ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4（－k ）＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4（－k ），即k ＝－23时，等号成立．此时直线l 的方程为2x＋3y －12＝0.所以△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 【迁移探究1】 (变问法)若本例条件不变，求|OA |＋|OB |的最小值及此时直线l 的方程．解：方法一：由原例题方法一知3a ＋2b ＝1. 因为|OA |＋|OB |＝a ＋b ，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2a b ≥5＋2 6.当且仅当2a ＝3b ，且3a ＋2b ＝1， 即a ＝3＋6，b ＝2＋6时， |OA |＋|OB |的最小值为5＋2 6. 此时，直线l 的方程为x 3＋6＋y2＋6＝1， 即6x ＋3y －6－36＝0. 方法二：由原例题方法二知|OA |＋|OB |＝3－2k ＋2－3k (k <0) ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋(－3k )≥5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ·（－3k ）＝5＋2 6.当且仅当－2k ＝－3k ，即k ＝－63时， |OA |＋|OB |取最小值5＋2 6.此时直线l 的方程为y －2＝－63(x －3)， 即6x ＋3y －6－36＝0.【迁移探究2】 (变问法)若本例条件不变，求P A →·PB →的最大值及此时直线l 的方程．解：由原例题方法二知A (3－2k ，0)，B (0，2－3k )，P A →·PB →＝(－2k ，－2)·(－3，－3k )＝6k ＋6k ＝－[(－6k )＋(－6k )]≤－2 （－6k ）·（－6k ）＝－12，当且仅当－6k ＝－6k 时，即k ＝－1时等号成立，此时直线l 的方程为x ＋y －5＝0.所以P A →·PB →的最大值为－12，所求直线l 的方程为x ＋y －5＝0.(1)给定条件求直线方程的思路①考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况； ②在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程； ③重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性． (2)与直线有关的最值问题的解题思路①借助直线方程，用y 表示x (或用x 表示y )； ②将问题转化成关于x (或y )的函数；③利用函数的单调性或基本不等式求最值．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．答案：12[学生用书P167]核心素养系列17 直观想象——妙用斜率求解问题一、比较大小已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 的大小关系为________．【解析】作出函数f (x )＝log 2(x ＋1)的大致图象，如图所示，可知当x >0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小，因为a >b >c >0，所以f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c . 【答案】f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c对于函数f(x)图象上的两点(a，f(a))，(b，f(b))，比较f（a）a与f（b）b的大小时，可转化为这两点与原点连线的斜率来比较大小．二、求最值已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求y＋3x＋2的最大值和最小值．【解】如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则y＋3x＋2表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接P A，PB，则k P A ≤k≤k PB.易得A(1，1)，B(－1，5)，所以k P A＝1－（－3）1－（－2）＝43，k PB＝5－（－3）－1－（－2）＝8，所以43≤k≤8，故y＋3x＋2的最大值是8，最小值是43.对于求形如k＝y2－y1x2－x1，y＝c＋dxa＋bx的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解．三、证明不等式已知a，b，m∈(0，＋∞)，且a<b，求证：a＋mb＋m>ab.【证明】如图，设点P，M的坐标分别为(b，a)，(－m，－m)．因为0<a<b，所以点P在第一象限，且位于直线y＝x的下方．又m>0，所以点M在第三象限，且在直线y＝x上．连接OP，PM，则k OP＝ab，k MP＝a＋m b＋m.因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，所以k MP>k OP，即a＋mb＋m > a b.根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜率解题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果．[学生用书P401(单独成册)][A级基础练]1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x－y＋1＝0B．3x－y－3＝0C.3x＋y－3＝0D.3x＋y＋3＝0解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1，0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－cb >0，故ab >0，bc <0.3．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B.直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －ym ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．4．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2， 令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．5．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．所以直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.6.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k 的取值范围是________．解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. 答案：k ＜－1或k >127．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________．解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .所以a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或18．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2，2]． 答案：[－2，2]9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3，4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3，3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6， 所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知射线l 1：y ＝4x (x ≥0)和点P (6，4)，试在l 1上求一点Q 使得PQ 所在直线l 和l 1以及直线y ＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l 的方程．解：设点Q 坐标为(a ，4a )，PQ 与x 轴正半轴相交于M 点． 由题意可得a ＞1，否则不能围成一个三角形． PQ 所在的直线方程为y －4＝4a －4a －6(x －6)，令y ＝0，x ＝5aa －1， 因为a ＞1，所以S △OQM ＝12×4a ×5aa －1，则S △OQM ＝10a 2a －1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2－2a ＋1＋2a －2＋1a －1＝ 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a －1）＋1a －1＋2≥40， 当且仅当(a －1)2＝1时取等号． 所以a ＝2时，Q 点坐标为(2，8)， 所以此时直线l 的方程为x ＋y －10＝0.[B 级 综合练]11．已知直线(a －1)x ＋y －a －3＝0(a >1)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，实数a 的值是( )A ．1B ． 2C ．2D ．3解析：选D.当x ＝0时，y ＝a ＋3，当y ＝0时，x ＝a ＋3a －1，令t ＝a ＋3＋a ＋3a －1＝5＋(a －1)＋4a －1.因为a >1，所以a －1>0.所以t ≥5＋2（a －1）·4（a －1）＝9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，等号成立．12．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k∈R )交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选 B.由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0，2＋4k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4k k <0，2＋4k >0，解得k >0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·（2＋4k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l的方程为x －2y ＋8＝0.13．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )且点Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为________．解析：因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又点Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0，所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12(52＋2c 2a ·2a c )＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号． 答案：9414.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.[C 级 提升练]15．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆的周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( )A ．x ＋(2－1)y －2＝0B ．(1－2)x －y ＋2＝0C ．x －(2＋1)y ＋2＝0D ．(2－1)x －y ＋2＝0解析：选C.如图所示可知A (2，0)，B (1，1)，C (0，2)，D (－1，1)， 所以直线AB ，BC ，CD 的方程分别为y AB ＝1－01－2(x －2)，y BC ＝(1－2)x ＋2， y CD ＝(2－1)x ＋ 2. 整理为一般式即 x ＋(2－1)y －2＝0， (1－2)x －y ＋2＝0， (2－1)x －y ＋2＝0.16．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是____________．解析：设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·yx －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0.要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则Δ＝⎝⎛⎭⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16. 所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞。
2.2.2 直线的方程 第1课时(教学课件)-高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
直线方程：y=kx+b b:截距
函数解析式：y=kx+b b:函数与y轴的交点的纵坐标
关系
(1)k≠0时，斜截式方程就是一次函数的解析式.
(2)斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，即斜率不存在的直线只能用x=x₀表示； 一次函数的表达式既不能表示垂直于x轴的直线，也不能表示垂直于y轴的直线.
O
O
学习目标
O
O
学习目标
新课讲授
O
O
课堂总结
知识点一：直线的方程和方程的直线的概念
思考：设 l₁,l₂ 上是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列 条 件的l₁,l₂ 是否唯一.如果唯一，作出相应的直线，直线上任意一点的坐 标 (x,y) 应满足什么条件.
(1)已知l₁的斜率不存在； (2)已知l₁的斜率不存在且l₁过点A(-2,1).
O
O
学习目标
新课讲授
O
O
课堂总结
从直线的斜截式方程y=kx+b, 可以方便地看出直线的斜率k和截距b.
若(x₁,y₁),(x₂,y₂ 则
)是直线上两个不同的点，
第二式减去第一式可得y₂-y₁=k(x₂-x₁), 因此当x₂-x₁≠0时 有
从而k就是直线的斜率.在方程y=kx+b中，令x=0得y=b, 因此直线与y轴的交 点 为(0,b), 所以b为直线的截距(即直线在y轴上的截距).
点斜式 斜截式
y-yo=k(x-x₀) y=kx+b; (斜率k, 截距b)
设P(x,y) 为平面直角坐标系中任意一点，则P 在直线l 上的充要条件是P₀P 与a 共线，
又因为P₀P=(x-xo,y-y₀), 所 以 y-y₀=k(x-x₀),
高考备考指南文科数学第9章第1讲直线的方程
文科数学
栏目索引
高考备考指南
文科数学
直线方程的综合应用
【考向分析】直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等
式、圆相结合，命题多为客观题．
常见的考向：
(1)与基本不等式相结合的最值问题；
(2)与导数的几何意义相结合的问题；
(3)与圆相结合求直线方程的问题．
栏目索引
2．直线的斜率 (1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝__ta_n__θ_____.
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，栏则目索k＝引 yx22－ －yx11.
第九章 平面解析几何
高考备考指南
文科数学
3．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
条件 斜率k与点(x0，y0)
文科数学
与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件：点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴 的直线；两点式方程不能表示垂直于x轴、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐 标轴和过原点的直线． (2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零．在与截距有关的 问题中，要注意讨论截距是否为零． (3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类栏目讨索引论，即应对 斜率是否存在加以讨论．
文科数学
直线的倾斜角与斜率
(1)直线2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是(
)
A．π6，π3
B．π4，π3
C．π4，π2
D．π4，23π
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段没有公共点，则直线
直线及其方程
直线的斜率：倾斜角不是 的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直
线的斜率，常用 表示，斜率的计算公式：
①
②
直线的方向向量：直线上的向量 及与它平行的向量都称为直线的
方向向量，当直线 的斜率 存在时， 为其方向向量。
（2）直线方程的几种形式
点斜式：y-y0=k(x-x0)（斜率k存在时）
的距离。
知识要点
（1）平行与垂直
①设 ， ，则
②设 ， ，则
或
（2）点到直线的距离
①点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为：
②两平行线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0间的距离公式：
（3）对称问题
中心对称：
①点 关于点 的对称点为 ；
②曲线 关于点 的对称曲线方程为： ；
2．能根据已知条件求圆的方程
知识要点
复习回顾
直线代数化后可得直线方程 。
将圆代数化后将得到什么样的方程？
圆的标准方程已知圆心为点 ，圆半径为 ，求圆的方程。
设所求圆上一点 ,则该圆的方程
即是 、 满足的一个代数关系式。
由圆的定义知 ，即 。
圆心为点 ，半径为 的圆的标准方程为： 。
圆的一般方程将 展开整理，则得到
轴对称：
①点 关于 轴的对称点为 ；
②点 关于 轴的对称点为 ；
③点 关于直线 的对称点为 ；
④点 关于直线 的对称点为 ；
⑤设点 关于直线 的对称点为 ，
则求 可以由方程组： 来确定。
直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题
典型例题分析
第一讲：求直线和圆的方程方法总结
第一讲 求直线和圆的方程方法总结※求直线方程的若干方法：直线是数学中最常见的图形,直线方程数学中最常用方程,该知识点与其他知识点的融合是最紧密的,考查的题型和方法也多样，这里总结复习几种不同的求直线方程的方法. 【关健词】直线方程 方法 一、知识要点概述:1、直线的方程、方程的直线概念；2、直线方程形式（1）点斜式：直线过点00(,)x y 斜率为k ，直线方程：00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴直线； （2）斜截式：直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，直线方程：y kx b =+,它不包括垂直于x 轴直线； （3）两点式：直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，直线方程：121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线；（4）截距式：直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,直线方程：1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)的形式. 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 二、解题方法指导:1、求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解直接写出直线方程 设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.（6）经过两条直线0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A 的交点的直线系方程为：λ+++111C y B x A 0)(222=++C y B x A （λ为参数）.2、具体方法有：⑴利用公式求直线方程；⑵通过直线系求直线方程；⑶借助相关点求直线方程——轨迹法； ⑷利用参数求直线方程；⑸通过分析结构求直线方程. 三、范例剖析 1、直接法例1、直线l 在y 轴上的截距为3，且倾斜角α的正弦值为45，求直线l 的方程.解：4sin 5α=，3cos 5α=±，∴直线的斜率43k =±故所求直线的方程为433y x =±+，即4390x y -+=或4390x y +-= 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法.同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在[0,)π内，从而cos α有两个解. 2、待定系数法（公式法）例2、过点P (2，1）作直线l 交y x ,正半轴于AB 两点，当||||PB PA ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.解法1：设直线l 的方程为：)0(),2(1≠-=-k x k y令y ＝0解得kx 12-=；令x ＝0，解得k y 21-=，∴A （k 12-，0），B （0，k 21-），∴||||PB PA ⋅＝)4)(11(22k k ++4248)1(4822=⨯+≥++=kk当且仅当12=k 即1±=k 时，||||PB PA ⋅取到最小值.又根据题意0<k ，∴1-=k 所以直线l 的方程为：03=-+y x方法2：由题设，可令直线l 为：1(2)y k x -=-，分别令y =0和x =0 可得21(,0)k A k-，B （0，1-2k ）.∴2221||||1(2)4(121)k PA PB k k-⋅=+-+-- 442)2(2)1(22222222==≥+=k k k k k k当且仅当12=k 即1k =±时，||PA PB ⋅取最小值4.又0k >∴k =-1，这时直线l 的方程是x +y -3=0.方法3：设直线l 方程为1=+b y a x ，l 过（2，1）点∴112=+b a ∴2-=a ab∴22||||(2)14(1)PA PB a b ⋅=-++-8)2(4)2(428)2(4)2(42222+--≥+-+-=a a a a 488=+=（以下略）.评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k ＝1的情形.引申1：过点P （2，1）作直线l 交x 轴、y 轴正方向于A 、B ，求使∆A O B 的面积最小时的直线l 的方程.yBP(2,1)O A解：设所求直线方程为x a y b +=1，则由直线l 过点P （2，1），得21100a ba b +=>>()，即b aa =-2，由b >0，得a >2， 所以S a b a a a A O B∆==⋅-12122221442(2)22a a a a -+==⋅--14(2)22a a =++- 14[(2)4]22a a =-++-14]42≥= 当且仅当a a -=-242，即a b ==42，时，S AOB ∆取得最小值为4 此时所求直线方程为x y421+=，即x y +-=240 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法.这里选择了截距式方程.引申2：在本例条件下，求求直线l 在两坐标轴截距之和的最小值及其此时直线l 的方程. （参考数学试题精编P 54） 3、直线系法：直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程.例3. 求过02321=+-y x l ：与l x y 23420：--=交点且与直线440x y +-=平行的直线方程. 解：设l 1与l 2交点的直线方程为：(*)0)243()232(=--++-y x y x λ即022)43()32(=-+--++λλλy x 因为所求直线与044=-+y x 平行，所以143432λλ--=+，解得λ=-1419 将λ=-1419代入(*)，得:所求直线方程为4660x y +-= 4、相关点法:利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法.例4、 求直线l x y '：--=20关于直线l x y ：330-+=的对称直线方程. 解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x ，y ）关于直线l 的对称点为()x y 00，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=++-+⋅13032230000x x yy y y x x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-=53545359535400y x y y x x ，因为()x y 00，在直线x y --=20上 所以x y 0020--=，()()-+--++-=45359535453520x y x y ，即7220x y ++=5、参数法例5、直线l 经过M （0，1），且被直线1l ：x -3y +10=0和2l ：2x +y -8=0所截得的线段恰以M 为中点，求直线l 的方程．解法1.：过点M 且与x 轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y =kx +1,与已知直线1l ，2l 交于A ，B 两点，联立方程组：{{()11()3100280y kx y kx I II x y x y =+=+-+=+-=，由（I ）解得A x =731k -，由（II ）解得B x =72k +，点A 平分线段AB ， 2A B M x x x ∴+=即：731k -+72k +=0，解得14k =-，故所求直线的方程为：x +4y -4=0.解法2：设l 交1l 于A （3t -10，t ），l 交2l 于B （u ，8－2u ），利用中点坐标公式得： ∴31002822t u t t u -+=⎧⇒=⎨+-=⎩ , ∴A （-4，2） 由直线方程的两点式可得，直线l 的方程为：102140y x --=---，即x +4y -4=0. 解法3：设l 与已知直线1l ，2l 交于A ，B 两点，点 A （3t -10，t ）在直线1l 上，则由中点坐标公式得A 关于M （0，1）的对称点B （10-3t ，2- t ），点B 在直线2l 上，∴2(103)(2)802t t t -+--=⇒=， 以下同解法2，此处略. 解法4. 设所求直线方程为y =kx +1,代入方程（x -3y +10）·（ 2x +y -8）=0得：()()22253287490k k x k --++-=，同解法1设所求直线与已知直线1l ，2l交于A ，B 两点，由题意：2287253A B k x x k k++=---=2M x =0，可得：14k =-，故所求直线的方程为：x +4y -4=0. 注意：本题所求直线过点M （0，1），故只要设出直线方程的点斜式，由题中另一条件即可确定斜率，思路顺理成章.但是想在解题过程中不断地提高自己的逻辑思维能力以及分析问题，解决问题的能力，还应联系题中已知条件和相关知识，看能否找到新的解法，如解法2，解法3，而解法4在学习了后续知识后会有更深刻的体会. 6、结构分析法：例6、已知两直线l 1:a 1x +b 1y +1=0和l 2：a 2x +b 2y +1=0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1）、Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.解：∵P （2，3）在已知直线上，2a 1+3b 1+1=0，2a 2+3b 2+1=0.∴2（a 1－a 2）+3（b 1－b 2）=0，即2121a a b b --=－32.∴所求直线方程为y －b 1=－32（x －a 1），∴2x +3y －（2a 1+3b 1）=0，即2x +3y +1=0. 评述：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.解法2：将l 1与l 2的交点P （2，3）代入l 1与l 2的方程，得11222310,230a b a b ++=+=，根据以上两式的结构特点易知：点与Ba b ()22，的坐标都适合方程2x +3y +1=0故经过点A 、B 的直线l 的方程为x y +=23练习：若两条直线33222111=+=+y b x a l y b x a l ：，：相交于点P （1，2），试求经过点Aa b ()11，与)(22b a B ，的直线方程.解：将l 1与l 2的交点P （1，2）代入l 1与l 2的方程，得3211=+b a ，a b 2223+=根据以上两式的结构特点易知：点与Ba b ()22，的坐标都适合方程xy +=23 故经过点A 、B 的直线l 的方程为x y +=23巩固练习：1、过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l x y 1220：--=和l x y 230：++=之间的线段AB 恰被P 点平分，求此直线方程.解：设所求直线分别与l l 12、交于A 、B ，因为A 在l 1直线上，故可设A t t ()，22- 又P （3，0）为AB 的中点，由中点坐标公式，得B t t ()622--， 由B 在l 2上，得03)22()6(=+-+-t t ，解得，即A ()113163， 由两点式得所求直线方程为0248=--y x .2、一直线被两直线1l ：064=++y x ，2l ：0653=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.解：设所求直线与1l ，2l 的交点分别是A 、B ，设A (00,y x ），则B 点坐标为(00,y x --)因为A 、B 分别在1l ，2l 上，所以⎩⎨⎧=-+-=++06530640000y x y x ②①①＋②得：0600=+y x ，即点A 在直线06=+y x 上，又直线06=+y x 过原点，所以直线l 的方程为06=+y x .3、求过点P （2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3x －2y ＝0 若截距不为0，则设直线方程为ay a x +＝1 将点P （2，3）代入得aa 32+＝1，解得a ＝5 ∴直线方程为55yx +＝1，即x ＋y ＝5. 4、直线方程0=++C By Ax 的系数A 、B 、C 满足什么关系时，这条直线有以下性质? (1)与两条坐标轴都相交；(2)只与x 轴相交;(3)只与y 轴相交； (4)是x 轴所在直线；(5)是y 轴所在直线.答：(1)当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交. (2)当A ≠0，B =0时，直线只与x 轴相交. (3)当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.(4)当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线. (5)当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.5、求与直线l ：5x -12y +6=0平行且到l 的距离为2的直线的方程.解：设所求直线的方程为5x -12y +c =0.在直线5x -12y +6=0上取一点P 0（0，21），点P 0到直线5x -12y +c =0的距离为：d =136)12(5211222-=-++⨯-c c ，由题意得136-c =2.所以c =32或c =-20.所以所求直线的方程为5x -12y +32=0和5x -12y -20=0. ※求圆方程的若干方法 一、知识要点总结： 1、圆的方程形式：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=>＋－， ⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤.⑷()()1122,,,A x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--= 2方法总结：求圆方程的主要方法是待定系数法，也经常数形结合来确定.例1、圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________ （答：22(1)1x y ++=）；例2、圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ）；例3（以下各题参考数学精编p 63）求过两圆22(3)13x y ++=和22(3)37x y ++=交点，且圆心在直线y =x -4上的圆的方程.例4、求圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点A （2，-1）的圆的方程.例5、圆心在直线y =2x -7上的圆C 与y 轴交于点A （0，-4），B （0，-2），求圆的方程.例6、半径为1的圆分别与y 轴正半轴和射线()30y x =≥相切，求圆的方程.例7、设圆方程满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1；③圆心到直线l：x-2y=0，求该圆的方程.。
数学(理科) 第七章 第1讲 直线的方程
5.线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 的
x1＋x2
x _____2______,
中点 M 的坐标为(x，y)，则
y1＋y2
y ____2_______ .
1.(教材改编题)直线 x＋ 3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( C )
(4)由题意可设直线方程为3xa＋ay＝1， 又∵直线过点 A(4,2)，∴34a＋2a＝1.解得 a＝130. ∴方程为 x＋3y－10＝0. 综上所述，直线 l 的方程为 x＋3y－10＝0. (5)设直线 l 的方程为ax＋by＝1，
由题意，得4a＋2b＝1， a＋b＝12.
∴4b＋2a＝ab.即 4(12－a)＋2a＝a(12－a). ∴a2－14a＋48＝0.解得 a＝6 或 a＝8. 因此ab＝ ＝66， ， 或ab＝ ＝84， . ∴直线 l 的方程为 x＋y－6＝0 或 x＋2y－8＝0. 【规律方法】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距 相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标 轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍(m＞0)”等条件时，可 采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况.
3.直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
方程 y－y1＝k(x－x1) ____y＝__k_x_＋__b____
适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线
两点式 yy2－－yy11＝xx2－－xx11(x1≠x2，y1≠y2) 不含垂直于坐标轴的直线
截距式
ax＋by＝1(ab≠0)
【互动探究】 1.已知直线 x＋2y＝2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A，B 两点，
[原创]2012年《高考风向标》高考文科数学一轮复习 第十一章 第1讲 直线的方程 [配套课件]
![[原创]2012年《高考风向标》高考文科数学一轮复习 第十一章 第1讲 直线的方程 [配套课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/780649e9e009581b6bd9eb40.png)
综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
方法二：由题意知，所求直线的斜率 k 存在且 k≠0， 设直线方程为 y－2＝k(x－3)， 2 令 y＝0，得 x＝3－k ，令 x＝0，得 y＝2－3k， 2 2 由已知 3－ k＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝3，
2 ∴直线 l 的方程为：y－2＝－(x－3)或 y－2＝3(x－3)，
4 1－5 1 α 1－cosα 于是 tan2＝ sinα ＝ 3 ＝3， 5 3 2×4 2tanα 24 tan2α＝ ＝ ＝7， 32 1－tan2α 1－4 1 所以所求直线 l1 的方程为 y－6＝3(x－8)， 即 x－3y＋10＝0， 24 l3 的方程为 y－6＝ 7 (x－8)，即 24x－7y－150＝0.
2．直线方程的五种形式 y－y0＝k(x－x0) (1) 点斜式方程是 __________________. 不能表示的直线为 垂直于 x 轴的直线 ___________________. y＝kx＋b (2) 斜截式方程为___________________.不能表示的直线为 垂直于 x 轴的直线 __________________. y－y1 x－x1 ＝ y2 －y1 x2 －x1 (3) 两 点 式 方 程 为 ______________. 不 能 表 示 的 直 线 为 垂直于坐标轴的直线 ___________________．
第 1 讲
直线的方程
1．直线的倾斜角与斜率 把 x 轴绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线 [0°，180°) 重合时，所转的最小正角．倾斜角的取值范围是____________.直线 的倾斜角α与斜率 k 的关系：当α≠90°时，k 与α的关系是_______； k＝tanα α＝90°时，直线斜率不存在；经过两点 P1 (x1 ，y1 )，P2 (x2，y2)(x1≠x2) y2－y1 ______ k＝x2－x1 的直线的斜率公式是__________.
直线的方程(高三一轮复习)
— 10 —
3．已知直线l的斜率为2，且经过点A(1,2)，那么直线l的方程为( D ) A．x＋4y－11＝0 B．3x＋y－15＝0 C．x－7y＋5＝0 D．2x－y＝0 解析 依题意，直线l的斜率为2，且经过点A(1,2)，所以直线l的方程为y－2＝ 2(x－1)，即2x－y＝0.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 4．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 7 __y_－__y_0＝__k_(_x_－__x_0)___________ 不含直线x＝x0
斜截式 8 __y_＝__k_x_＋__b_________
不含垂直于x轴的直线
— 5—
两点式
9 yy2－－yy11＝xx2－－xx11 (x1≠x2，y1≠y2)
π 4
时，斜率为－1，倾斜角为
3π 4
≠α，故B不正确；对于C，平行于x轴的直线的倾斜角
为0°，故C不正确；对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90°，故D正
确．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 12 —
5．(易错题) 已知两点A(1，－2)，B(2,1)，直线l过点P(0，－1)且与线段AB有交
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 22 —
Байду номын сангаас
(2)(多选)过点(－3,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是( AB )
A．x＋3y＝0
B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0
D．x－3y＝0
解析 (1)解法一：因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以直线l的斜率k＝ 32，故直线l的方程为y－3＝32(x＋4)．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1讲直线的方程【2013年高考会这样考】1．考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式．2．求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)．3．直线常与圆锥曲线结合，属中高档题．【复习指导】1．本讲是解析几何的基础，复习时要掌握直线方程的几种形式及相互转化的关系，会根据已知条件求直线方程．2．在本讲的复习中，注意熟练地画出图形，抓住图形的特征量，利用该特征量解决问题往往能达到事半功倍的效果．基础梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的取值范围：[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：当α≠90°时，一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在．(2)经过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式y －y 1＝k (x －x 1)不含垂直于x 轴的直线斜截式 y ＝kx ＋b不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 不含垂直于坐标轴的直线截距式x a ＋yb ＝1(ab ≠0)不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)平面直角坐标系内的直线都适用4.过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1. (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1. (3)若x 1≠x 2，且y 1≠y 2时，方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 5．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．一条规律直线的倾斜角与斜率的关系：斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率． 两种方法求直线方程的方法：(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程；(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程． 两个注意(1)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．(2)在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( )． A.23 B.32 C ．－23 D ．－32 解析 k ＝0－23－0＝－23.答案 C2．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )． A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析 直线的斜率为：k ＝tan α＝3，又∵α∈[0，π)∴α＝60°. 答案 B3．(2011·龙岩月考)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为( )．A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0. 答案 A4．(2012·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )． A ．x －y －3＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x ＋y ＋3＝0 D ．x －y ＋3＝0解析 由两点式得：y －31－3＝x －02－0，即x ＋y －3＝0. 答案 B5．(2012·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3. 由于A 、B 、C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 4考向一 直线的倾斜角与斜率【例1】►若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 [审题视点] 确定直线l 过定点(0，－3)，结合图象求得．解析 由题意，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B求直线的倾斜角与斜率常运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y ＝tan α的单调性求k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．【训练1】 (2012·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )． A ．－1＜k ＜15 B ．k ＞1或k ＜12 C ．k ＞15或k ＜1D ．k ＞12或k ＜－1解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解不等式可得．也可以利用数形结合． 答案 D考向二 求直线的方程【例2】►求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5. [审题视点] 选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可．解 (1)法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1， ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ，令x ＝0，得y ＝2－3k ， 由已知3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23， ∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)， 即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)， 即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1. 解方程组⎩⎨⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)， 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2. 由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．【训练2】 (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程． (2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解 (1)设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－4×13＝－43. 又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)， 即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12， 此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0. 当直线过原点时，斜率k ＝－25， 直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0，综上可知，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.考向三 直线方程的应用【例3】►已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如右图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．[审题视点] 设直线l 的方程为截距式，利用基本不等式可求． 解 设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b ＝1. ∴1＝3a ＋2b ≥26ab ，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4. △ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为：x 6＋y4＝1. 即2x ＋3y －12＝0.求直线方程最常用的方法是待定系数法．若题中直线过定点，一般设直线方程的点斜式，也可以设截距式．注意在利用基本不等式求最值时，斜率k 的符号．【训练3】 在本例条件下，求l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程． 解 设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，令x ＝0得B (0,2－3k )，令y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0，∴l 在两轴上的截距之和为2－3k ＋3－2k ＝5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－3k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ≥5＋26，(当且仅当k ＝－63时，等号成立)， ∴k ＝－63时，l 在两轴上截距之和最小， 此时l 的方程为6x ＋3y －36－6＝0.难点突破18——直线的倾斜角和斜率的范围问题从近两年新课标高考试题可以看出高考对直线的倾斜角和斜率的考查一般不单独命题，常和导数、圆、椭圆等内容结合命题，难度中档偏上，考生往往对直线的倾斜角和斜率之间的关系弄不清而出错．【示例1】► (2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π【示例2】► (2011·济南一模)直线l 过点(－2,0)，l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )． A.()－22，22 B ．(－2，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，18。