18第十八讲 常用模拟低通滤波器的设计方法
模拟低通滤波器的设计原理
模拟低通滤波器的设计原理低通滤波器是一种常见的信号处理器件，它可以将高频信号滤除，只保留低频信号。
在电子工程、通信工程、音频处理等领域都有广泛的应用。
本文将介绍低通滤波器的设计原理。
低通滤波器的设计原理基于RC电路的特性。
RC电路是由电阻和电容器组成的电路，它可以对信号进行滤波。
当电容器充电时，电容器的电压会逐渐增加，直到与电源电压相等。
当电容器放电时，电容器的电压会逐渐降低，直到与地电压相等。
因此，RC电路可以将高频信号滤除，只保留低频信号。
低通滤波器的设计需要确定两个参数：截止频率和阻抗。
截止频率是指滤波器开始滤除高频信号的频率，通常用赫兹（Hz）表示。
阻抗是指电路对信号的阻力，通常用欧姆（Ω）表示。
在设计低通滤波器时，需要选择合适的电容器和电阻。
电容器的容值越大，滤波器的截止频率越低。
电阻的阻值越大，滤波器的阻抗越大。
因此，可以通过选择不同的电容器和电阻来调整滤波器的截止频率和阻抗。
低通滤波器的设计可以采用两种方法：一阶滤波器和二阶滤波器。
一阶滤波器只包含一个电容器和一个电阻，可以实现简单的滤波功能。
二阶滤波器包含两个电容器和两个电阻，可以实现更复杂的滤波功能。
在实际应用中，低通滤波器可以用于去除噪声、滤除高频干扰、调整音频频率等。
例如，在音频处理中，低通滤波器可以用于调整低音频率，使音乐更加柔和。
在通信工程中，低通滤波器可以用于滤除高频噪声，提高通信质量。
低通滤波器是一种重要的信号处理器件，它可以将高频信号滤除，只保留低频信号。
在设计低通滤波器时，需要确定截止频率和阻抗，并选择合适的电容器和电阻。
低通滤波器在电子工程、通信工程、音频处理等领域都有广泛的应用。
18第十八讲常用模拟低通滤波器的设计方法
18第十八讲常用模拟低通滤波器的设计方法模拟低通滤波器是一类引入或阻抗变化的电子元件,用来抑制输入信号中的高频分量而通过低频分量。
有两种常用的模拟低通滤波器的设计方法，即线性电路设计方法和非线性电路设计方法。
一、线性电路设计方法
本质上，线性电路设计方法是集成电路设计方法，其原理是使用电特性来实现低通滤波器。
考虑到精度和稳定性的要求，这种方法一般采用技术设计或组合设计等方法，构成特定的电路并采用相应的电路元件实现。
1.电容-电感式低通滤波器
电容-电感式低通滤波器是由电容和电感构成，其中电容用于截止高频分量，而电感则用于把低频分量通过。
因此，电容-电感式低通滤波器的频率特性是一条以角频率ωc为截止频率的定常带阻特性曲线。
2.电容-回路式低通滤波器
电容-回路式低通滤波器是由两个电容构成，其中一个电容与电阻构成一个回路，另一个电容用于把低频信号传递给输出端。
在这种结构中，电阻与电容的关系决定了滤波器的截止频率。
另外，电容-回路式低通滤波器的频率特性可以通过更改各元件来改变。
3.电容-变压器式低通滤波器
电容-变压器式低通滤波器是由电容、变压器、电抗器和直流电源构成的一种滤波器。
低通模拟滤波器的设计和应用
目录摘要 (1)1 设计原理介绍 (1)1.1 引言 (1)1.2 设计指标简介 (1)1.3 巴特沃思滤波器设计原理 (2)1.3.1 设计原理 (2)1.3.2 巴特沃思滤波器参数的确定 (4)1.3.3 巴特沃思滤波器的设计步骤 (6)1.4 切比雪夫滤波器的设计原理 (6)1.4.1 设计原理 (6)1.4.2 切比雪夫滤波器参数的确定 (7)1.4.3 切比学夫滤波器的设计步骤 (9)2 低通模拟滤波器的设计 (10)2.1 巴特沃思滤波器的设计 (10)2.2 切比学夫滤波器的设计 (13)2.3 滤波器的应用 (16)3 低通滤波器的比较和扩展 (19)3.1 对两种滤波器的比较 (19)3.2 低通滤波器的扩展 (19)3.2.1 模拟低通到高通的转换 (22)3.2.2 模拟低通到带通的转换 (24)3.2.3 模拟低通到带阻的转换 (26)3.2.4 模拟低通到低通 (29)结论 (30)致谢语 (30)参考文献 (31)英文译文 (31)附录 (32)2010届电子信息工程专业毕业设计低通模拟滤波器的设计和应用摘要：本文首先介绍了两种设计低通模拟滤波器的方法，然后通过对具体例子应用两种方法进行滤波器的设计，根据设计方法的不同，对得出的结果作比较，总结两种方法各自的特点。
最后通过两个小例子,低通与高通、带通、带阻的转换关系来体现滤波器的应用。
设计主要以巴特沃思原理和切比雪夫原理为基础，以Matlab软件为设计工具，在Matlab 中编程设计出滤波器，并进行幅频特性、相频特性、衰减特性的分析。
Matlab为设计提供了强大的函数库和绘图功能，在应用中同样用Matlab编程实现滤波。
关键词：巴特沃思切比雪夫低通模拟滤波器1 设计原理介绍1.1 引言这个项目主要从以巴特沃思原理和切比雪夫原理为基础，根据技术指标设计出相应的滤波器，通过两种不同的设计方法来达到同样的目标，从设计过程中来比较两种设计方法各自的优势，可以为满足不用的设计要求提供参考。
Butterworth模拟低通滤波器设计
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB 。
%determine the DF filter [numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs); %plot the frequency response w=linspace(0,pi,1024); h=freqz(numd,dend,w); norm=max(abs(h)); numd=numd/norm; plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm))); xlabel('Normalized frequency'); ylabel('Gain,dB'); %computer Ap As of the designed filter w=[Wp Ws]; h=freqz(numd,dend,w); fprintf('Ap= %.4f\n',-20*log10( abs(h(1)))); fprintf('As= %.4f\n',-20*log10( abs(h(2))));
Ap=1.00dB, As=40dB
模拟高通滤波器的设计
MATLAB实现 [numt,dent] = lp2hp(num,den,W0)
例： 设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器 fp=5kHz, fs=1kHz, Ap1dB, As 40dB。
%高通滤波器的设计 wp=1/(2*pi*5000);ws=1/(2*pi*1000);Ap=1;As=40; [N,Wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); [num,den] = butter(N,Wc,'s'); disp('LP 分子多项式'); fprintf('%.4e\n',num); disp('LP 分母多项式'); fprintf('%.4e\n',den); [numt,dent] = lp2hp(num,den,1); disp('HP 分子多项式'); fprintf('%.4e\n',numt); disp('HP 分母多项式'); fprintf(‘%.4e\n’,dent);
低通模拟滤波器的设计方案
[导读]模拟滤波器集分为无源滤波器和有源滤波器组成，其中无源滤波器由R、L、C组成，有源滤波器由集成运放和R、C组成，不需要使用电感。
集成运放的开环电压增益和输入阻抗均很高，输出电阻小，构成有源滤波电路后还具有一定的电压放大和缓冲作用几乎所有电子电路中都能看到有源模拟滤波器的身影。
音频系统使用滤波器进行频带限制和平衡。
通信系统设计师使用滤波器调谐特定频率并消除其它频率。
为了使高频信号衰减，所有数据采集系统都在模数转换器（ADC）前面有一个抗锯齿（低通）滤波器，或者在数模转换器（DAC）后面有一个抗镜像（低通）滤波器。
这种模拟滤波还可以在信号到达ADC之前或者离开DAC之后，消除叠加在信号上面的高频噪声。
如果ADC的输入信号超出转换器采样频率的一半，则该信号的大小被可靠地转换；但是，在其变回数字输出时，频率也发生改变。
利用TI的WEBENCH 滤波器设计器软件，可以高效地设计出低通、高通、带通或者带阻滤波器。
这种应用程序替代了TI的FiLTErPro 和以前国家半导体的WEBENCH有源滤波器设计器软件。
在生成有源滤波器时，它使用这些程序和公式。
但是，它允许深度调节各种滤波器变量，优化滤波器，为滤波器电路寻找到正确的TI运算放大器（op amp），并具有SPICE模拟功能，比上面两个程序更加强大。
低通模拟滤波器的重要设计参数低通模拟滤波器的频域规范包括4个基础参数：fc，即滤波器的-3-dB截止频率Ao，即滤波器的增益Asb，即阻带衰减fs，即阻带衰减的中断频率图1所示WEBENCH滤波器设计器的滤波器类型窗口列出了这些参数。
DC到截止频率（fc）的频率范围为带通区域。
图1中Ao为带通响应量级。
使用巴特沃兹（Butterworth）或者贝塞尔（Bessel）滤波器时，带通响应可以为扁平，并且无纹波。
相反，一直到截止频率，切比雪夫（Chebyshev）滤波器都有纹波。
切比雪夫滤波器的纹波误差量级为2△AMAX.图1 WEBENCH 滤波器设计器重要模拟滤波器参数滤波器响应超出fc时，它会通过过渡带降至阻带区域。
模拟滤波器设计.
[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp) [num,den]=cheby1(N,Rp,Wn,’s’) [num,den]=cheby1(N,Rp,Wn,’type’,’s’)
[N,Wn]=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s,’)
切比雪夫II型滤波器
[z,p,k]=cheb2ap(N,Rp) [num,den]=cheby2(N,Rp,Wn,’s’) [num,den]=cheby2(N,Rp,Wn,’type’,’s’)
[N,Wn]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s,’)
29
椭圆滤波器
[z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs) [num,den]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,’s’) [num,den]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,’type’,’s’) [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,’s,’)
, pl l jl , l 1,2,, N .
l , l ,
s l l 2 l 2
1) 1) l p sin[ ( 2l2N ], l p si 1 2
,
(1) 确定 和A, 1 10 log 1, 2 1 由此可得：
2 0.25895.
同样由下式可求得A, 1 10 log 2 40, A A2 10, 000。 1/k1 196.51334， 1/ k 5000 /1000 5 cosh 1 (1/ k1 ) N 2.60591 3 1 cosh (1/ k )
(1)
H a ( j s )
2
1 1 2 2 , 2N 2 1 ( s / c ) A
模拟低通滤波器设计
模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器指标：由参数A p 、A s 、Ωs （阻带截止频率），和Ωp(通带截止频率)给出 (Ωs=2πfs Ωp=2πfp ) 设计目标：确定滤波器阶次N 和截止频率Ωc 。
要求： （1） 在 Ω=Ωp ，-10lg|H a(j Ω)|2=A p, 或（2） 在Ω=Ωs ，-10lg|H a(j Ω)|2=A s,或解出N ：（N 四舍五入）为了在Ωp 精确地满足指标要求， 要求：或者在Ωs 精确地满足指标要求，要求：巴特沃斯滤波器的设计:巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数定义为式中，N 为正整数，代表滤波器的阶数。
注：巴特沃斯低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特性。
随着Ω由0增大，|H a(j Ω)|2单调减小，N 越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄。
在幅度平方函数式中代入Ω=s/j, 可得H a(s )H a(-s )的极点为 k =1, 2, …, 2N⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΩΩ+-=N c p p A 2)/(11lg 10⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΩΩ+-=N c s s A 2)/(11lg 10[]⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡ΩΩ--=)/lg(2)110/()110(lg 10/10/s p A A spN c ΩΩ=cΩΩ=Nc a j H 22)/(11|)(|ΩΩ+=ΩNc aa j s s H s H 211)()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω+=-π⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+Ω=Ω-=N k jc c N k ej s 2122121)()1(为形成稳定的滤波器，H a(s )H a(-s )的2N 个极点中只取S 左半平面的N 个极点为H a(s )的极点，而右半平面的N 个极点构成H a(-s )的极点。
H a(s )的表示式为【例 1】 设计一个模拟低通巴特沃斯滤波器，指标如下：(1) 通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：A p=7 dB 。
(2) 阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：A s=16dB 。
18第十八讲常用模拟低通滤波器的设计方法
18第十八讲常用模拟低通滤波器的设计方法常用模拟低通滤波器的设计方法主要包括巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器等。
下面将对这几种滤波器的设计方法进行详细介绍。
首先是巴特沃斯滤波器。
巴特沃斯滤波器是一种最常用的模拟滤波器，它的特点是频率响应均匀平滑，衰减特性好。
巴特沃斯滤波器的设计方法如下：1.确定滤波器的通频带和阻带的边界频率，通常可以根据系统要求和需要滤除的杂波来确定。
2.根据所给的过渡带宽、通频带和阻带的边界频率，计算滤波器的阶数。
阶数决定了滤波器的衰减特性。
3.根据阶数和通频带的边界频率，利用巴特沃斯滤波器的公式计算传递函数的极点位置。
4.根据极点位置，可以得到滤波器的巴特沃斯极点多项式。
将极点多项式进行因式分解，得到滤波器的一阶和二阶段落。
5.根据极点多项式和传递函数的分子多项式可以得到滤波器的巴特沃斯传递函数。
接下来是切比雪夫滤波器。
切比雪夫滤波器是一种具有等纹波特性的滤波器，可以在通频带和阻带中具有更高的衰减，但通频带的幅频响应会有一定的波动。
切比雪夫滤波器的设计方法如下：1.确定滤波器的通频带和阻带的边界频率，根据系统要求和滤除杂波的需求进行选择。
2.根据通频带和阻带的边界频率，计算滤波器的阶数和切比雪夫滤波器的波动因子。
3.根据阶数和波动因子，利用切比雪夫滤波器的公式计算传递函数的极点位置。
4.根据极点位置，可以得到滤波器的切比雪夫极点多项式。
将极点多项式进行因式分解，得到滤波器的一阶和二阶段落。
5.根据极点多项式和传递函数的分子多项式可以得到滤波器的切比雪夫传递函数。
最后是椭圆滤波器。
椭圆滤波器是一种具有等纹波和等延迟特性的滤波器，可以在通频带和阻带中具有更高的衰减。
椭圆滤波器的设计方法如下：1.确定滤波器的通频带和阻带的边界频率，根据系统要求和滤除杂波的需求进行选择。
2.根据通频带和阻带的边界频率，计算滤波器的阶数和椭圆滤波器的波动因子。
3.根据阶数和波动因子，利用椭圆滤波器的公式计算传递函数的极点和零点位置。
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因Ha ( j)
ha
(t
)e
jt
dt
| Ha ( j) |2 Ha ( j)Ha ( j) Ha (s)Ha (s) |s j
式中，Ha(s)是模拟滤波器的系统函数，它是s的有理函数; Ha(jΩ) 是滤波器的频率响应特性； |Ha(jΩ)|是滤波器的幅度特性。
(
j)
|2
1
1 (
/
2)6
令Ω2=-s2即s=jΩ，则有
H
a
(
s)
H
a
(
s)
1
1 (s6
/
26
)
各极点满足式（5-10）
s 2e j
1 2
2k 1 6
k
k=1, 2, …, 6
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
而按式（5-12），前面三个sk（k=1, 2, 3）就是Ha(s)的极点。
现在的问题是要由已知的|Ha(jΩ)|2求得Ha(s)。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
j
S平 面
设 Ha(s) 有 一 个 极 点 （ 或 零 点 ） 位 于 s=s0处，由于冲激响应ha(t)为实函数， 则极点（或零点）必以共轭对形式出
现 ， 因 而 s=s 0* 处 也 一 定 有 一 极 点
Ha(0)=1，可求得分子系数为ΩcN），而sk为
s ej
1 2
22kN1
k
c
k=1, 2, …, N （5-12）
一般模拟低通滤波器的设计指标由参数Ωp, Ap，Ωs和As给出， 因此对于巴特沃思滤波器情况下, 设计的实质就是为了求得由这
些参数所决定的滤波器阶次N和截止频率Ωc。 我们要求： （1） 在 Ω=Ωp, -10lg|Ha(jΩ)|2=Ap,
c
0.3
6 101.6 1
0.5122
现在在上面两个数之间可任选Ωc值。现选Ωc=0.5，这样就必 须设计一个N=3和Ωc=0.5 的巴特沃思滤波器，模拟滤波器Ha(s)的 设计类似于例5-2。最后可得
Ha (s)
(s
0.125 0.5)( s2 0.5s
0.25)
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
Ha ( jΩ)
1 12
o
c
5-5
N＝ 2 N＝ 4 N＝ 8
巴特沃思低通滤波器在通带
内有最大平坦的幅度特性，即N阶 巴特沃思低通滤波器在Ω＝0处幅 度 平 方 函 数 |Ha(jΩ)|2 的 前 (2N-1) 阶 导数为零，因而巴特沃思滤波器
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
模拟滤波器的设计思路：
指标要求
Ha(s)
H(z)
滤波器的指标要求是给定的，即事先知道的，是已知条件： 1.由指标要求确定滤波器的频率特性Ha(jΩ) 2.由H(jΩ)来求模拟滤波器的系统函数Ha(s) 问题转化为如何由Ha(jΩ)来确定Ha(s)
又称为最平幅度特性滤波器。随
着Ω由0增大，|Ha(jΩ)|2单调减小， N越大，通带内特性越平坦， 过 渡 带 越 窄 。 当 Ω ＝ Ωst ， 即 频 率 为 阻 带 截 止 频 率 时 ， 衰 减 为 As=20lg|Ha(jΩs)|, As为阻带最小衰减。 对确定的As, N越大，Ωs距Ωc 越 近，即过渡带越窄。
（或零点），所以与之对应Ha(-s)在
o
s=-s0和-s0*处必有极点（或零点）， Ha(s)Ha(-s)在虚轴上的零点（或极点）
（对临界稳定情况，才会出现虚轴的
极点）一定是二阶的， 因为冲激响
应ha(t)是实的，因而Ha(s)的极点（或
5-4 零点）必成共轭对出现。Ha(s)Ha(-s)
| Ha ( j) |2 Ha (s)Ha(s) |s j 的极点、零点分布是成象限对称的。
c
2N
p 10Ap /10
1
(5-16)
或者在Ωs精确地满足指标要求，则由式（5-14）可得
c
2N
s 10 As /10
1
(5-17)
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
令HaN(s)代表归一化系统的系统函数，Ha(s)代表截止频率为 Ωc′ 的 低 通 系 统 的 传 递 函 数 ， 那 么 归 一 化 系 统 函 数 中 的 变 量 s 用
|
H
a
(
j)
|2
1
(
1 / c
)
2
N
式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。当Ω=0时，|Ha(j0)|=1； 当 Ω=Ωc时，|Ha(jΩc)|=1/ =0.2707，20lg|Ha(j0)/Ha(jΩc)|=3 dB， Ωc为 3 dB截止频率。当Ω=Ωc时，不管N为多少，所有的特性曲线都通 过－3 dB点，或者说衰减为 3 dB。
Ha
(s)
(s
3c s1)(s s2
)(s
s3 )
8
s3 4s2 8s 8
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
例 5-2 设计一个满足下面要求的模拟低通巴特沃思滤波器：
(1) 通带截止频率：Ωp=0.2π；通带最大衰减：Ap=7 dB。 (2) 阻带截止频率：Ωs=0.3π；阻带最小衰减：As=16dB。 解 由式（5-15b）
N lg[(10Ap /10 1) /(10As /10 1)] 2 lg(p / s )
(5-15a)
一般来说，上面求出的N不会是一个整数，要求N是一个整数且
满足指标要求，就必须选
N
lg
(10Ap /10 1) /(10As /10 2 lg( p / s )
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
切比雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中（通带或阻 带）具有这种等波纹特性。幅度特性在通带中是等波纹的，在 阻带中是单调的，称为切比雪夫Ⅰ型。幅度特性在通带内是单 调下降的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫Ⅱ型。由应用 的要求来确定采用哪种形式的切比雪夫滤波器。图5-7、图5-8分 别画出了N为奇数与N为偶数的切比雪夫Ⅰ，Ⅱ型低通滤波器的 幅度特性。
或
Ap
10lg 1
1 (p / c )2N
（5-13）
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
（2） 在Ω=Ωs, -10lg|Ha(jΩ)|2=As,
或
As
10 lg 1
1 (s / c )2N
(5-14)
由式（5-13）和式（5-14）解出N和Ωc，有
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第十八讲 常用模拟低通滤波器的设计方法
5.3 常用模拟低通滤波器的设计方法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.3 常用模拟低通滤波器的设计方法
常用的模拟原型滤波器有巴特沃思（Butterworth）滤波器、 切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Ellipse）滤波器、贝塞尔 （Bessel）滤波器等。这些滤波器都有严格的设计公式，现成的曲 线和图表供设计人员使用。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃 思滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性 在通带或者在阻带有波动，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带 内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最 好的, 但在通带和阻带内均为等波纹幅频特性。这样根据具体要求 可以选用不同类型的滤波器。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.3.1 由幅度平方函数来确定系统函数
模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数|Ha(jΩ)|2来表示，即
|
H
a
(
j)
|2
Ha
(
j)
H
* a
(
j)
由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而Ha(jΩ)满足
所以
H
* a
(
j)
Ha
(
j)
5.3.3 切比雪夫低通逼近 巴特沃思滤波器的频率特性无论在通带与阻带都随频率变换
而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会 有富裕量，也就会超过指标的要求，因而并不经济。所以，更有 效的办法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内， 或均匀地分 布在阻带内，或同时均匀地分布在通带与阻带内。这样，在同样 通带、 阻带性能要求下，就可设计出阶数较低的滤波器。这种精 度均匀分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来实现。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
任何实际可实现的滤波器都是稳定的，因此, 其系统函数 Ha(s)的极点一定落在s的左半平面，所以左半平面的极点一定属 于Ha(s)，则右半平面的极点必属于Ha(-s)。
零点的分布则无此限制，只和滤波器的相位特征有关。如果 要求最小的相位延时特性，则Ha(s)应取左半平面零点。如果有特 殊要求，则按这种要求来考虑零点的分配；如无特殊要求，则可 将对称零点的任一半（应为共轭对）取为Ha(s)的零点。
最后, 按照Ha(jΩ)与Ｈa(s)的低频特性或高频特性的对比确定
出增益常数。由求出的Ha(s)的零点、极点及增益常数，则可完全 确定系统函数Ha(s)。