开放式光腔与高斯光束
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开放式光腔与高斯光束
损耗的评价：
光子在腔内的平均寿命 R
1、初始光强 I0，往返m 次后的光强：
Im I0 (e2 )m I0e2 m
2、取0 时刻的光强 I0，则到 t 时刻光子往返的次数：
t
m
2L '/ c
3、 t 时刻的光强：I (t)
t
I0e L' / c
t
I0e R
4、光子的平均寿命： R L' / c
1级
0级
-1级
给出不同模式的精细描述, 适用衍射效应明显的场合
几何光学+干涉仪理论:模式按传输方向和谐振频率来区分
(r3,z3)
腔 镜
(r1,z1)
(r2,z2) (r0,z0)
粗略但简单明了
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.1 谐振腔与模式
四、模式表示方法及模式特征参数 TEMmnq－Transverse Electromagnetic wave － 横电磁波
n，
y
kz
q
z
电磁场的解
激光模式
谐振腔
光学谐振腔理论即激光模式理论
处于谐振腔内的电磁场(激光场) (模式基本特征及其与腔结构关系)
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.1 谐振腔与模式
三、光腔分析的两种理论方法
衍射理论: 模式按场分布,损耗,谐振频率来区分,
1级 0级
腔
-1级
镜
q
c 2L
c 2L
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.1 谐振腔与模式
六、横模－具有相同的横向场分布的模式(不同的光斑花样)
(1) x, y 轴对称 TEMmnq (2) 旋转对称 TEMmnq 轴对称和旋转对称分布取决于腔的几何形状 基(横)模 TEM00
§2.7+高斯光束及其传输规律
§2.7 高斯光束及其传输规律
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.7 高斯光束及其传输规律
r2 r2 −1 z −ik z+ −tan − 2 2R( z) f w ( z)
c 自由空间的基 Ψ x, y, z) = e 模 高 斯 光 束 00 ( w( z)
• 情况1：已知w0, w'0, 确定透镜焦距(F)及透镜的距离 l, l'
( l − F ) F2 l′ = F + 2 l − F) + f 2 (
′ w =
2 0
w0 l −F =± F2 − f02 ′ w0 ′ w0 l′ − F = ± F2 − f02 ′ w0
( F −l )
w2 F2 0
1 1 λ = −i 2 定义q 参数 q z R z 高斯光束的复曲率半径) ( ) ( ) πw ( z) (高斯光束的复曲率半径
若已知高斯光束在某一位置的q参数 若已知高斯光束在某一位置的 参数 → w(z), R(z), θ
1 1 = Re , R( z ) q ( z )
3. 光学系统(元件)
r2 A B r 1 球面波 = θ2 C Dθ1
r2 = Ar + Bθ1 1
r2 ≈ R2θ2
r ≈ Rθ1 1 1
θ2 = Cr + D 1 θ 1
R2 =
θ2
r2
=
AR + B 1 CR + D 1
参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同 高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波 的变换相同 参数通过光学系统的变换与球面波
两式相减
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.7 高斯光束及其传输规律
r2 r2 −1 z −ik z+ −tan − 2 2R( z) f w ( z)
c 自由空间的基 Ψ x, y, z) = e 模 高 斯 光 束 00 ( w( z)
• 情况1：已知w0, w'0, 确定透镜焦距(F)及透镜的距离 l, l'
( l − F ) F2 l′ = F + 2 l − F) + f 2 (
′ w =
2 0
w0 l −F =± F2 − f02 ′ w0 ′ w0 l′ − F = ± F2 − f02 ′ w0
( F −l )
w2 F2 0
1 1 λ = −i 2 定义q 参数 q z R z 高斯光束的复曲率半径) ( ) ( ) πw ( z) (高斯光束的复曲率半径
若已知高斯光束在某一位置的q参数 若已知高斯光束在某一位置的 参数 → w(z), R(z), θ
1 1 = Re , R( z ) q ( z )
3. 光学系统(元件)
r2 A B r 1 球面波 = θ2 C Dθ1
r2 = Ar + Bθ1 1
r2 ≈ R2θ2
r ≈ Rθ1 1 1
θ2 = Cr + D 1 θ 1
R2 =
θ2
r2
=
AR + B 1 CR + D 1
参数通过光学系统的变换与球面波R的变换相同 高斯光束 q参数通过光学系统的变换与球面波 的变换相同 参数通过光学系统的变换与球面波
两式相减
激光原理第二章答案解析
第二章 开放式光腔与高斯光束1. 证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为121 00 ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，根据几何关系可知211122, sin sin r r ηθηθ== 傍轴光线sin θθ则1122ηθηθ=，写成矩阵形式2121121 00 r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证 2. 证明光线通过图2.2所示厚度为d 的平行平面介质的光线变换矩阵为1210 1d ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d ，最后经界面2折射后出射。
根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得212121121 0 1 01 0 0 0 1r r d θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 化简后2121121 0 1d r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证。
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，则有12R R L ==将上式代入计算得往返矩阵()()()121010110101n nnn n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中121211,1L Lg g R R =--=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。
第二章 开放式光腔和高斯光束
r: 光线离轴线的距离； ζ :光线与轴线的夹角，规定
光线出射方向, 在腔轴线的上 方时，θ为正，反之θ为负。
傍轴光线、 自由空间的光线矩阵 2.2 共 轴 球 面 腔 的 稳 定 性 条 件 光线传输路径：
M 1 r1 ,1 M 2 r2 , 2
由几何关系： r2 r1 L sin 1 r1 L1 2 1
1 1 t dN t N0 0 N0
N0 t e R
t
R
dt R
这就证明了腔内光子的平均寿命为τR，腔的损耗 愈小，τR就愈大，腔内光子的平均寿命就愈长。
2.无源谐振腔的Q值
谐振腔Q值的普遍定义为：
δ ——储存在腔内的总能量；P——单位时间内损耗的能量， v—— 腔内电感场的振荡频率；W=2л v——场的角频率。
E0 ET
E3
E1=E0e-j
当||1的情况下（往返 传播次数无限多），当 = q2时，ET幅度可 以达到
E4 E3=E2e-j
E2=E1e-j
——腔内纵模需要满足的谐振条件
相长干涉条件：腔中某一点出发的波，经往返一 周回到原来位置时，应与初始出发的波同相位。
开放式光腔
稳定腔——共焦腔模式理论
（损耗小，模体积小）
非稳腔（高损，大功率激光器）
方形镜共焦腔 圆形镜共焦腔 一般稳定球面腔 与共焦腔的等价性 产生激光光束的传输问题 ——高斯光束
2.1光腔理论的一般问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一.光学谐振腔的构成和分类
平行平面腔：最早的光腔法布里－珀罗干涉仪，F-P腔。
共轴球面腔：两块具有公共轴线球面镜构成的谐振腔。
周版激光原理课件第二章
数为：
P
nVd
8 2
c3
Vd
由此关系知，只能压缩V，但是不现实。从而提出开式腔
（无侧壁的封闭腔）。从发散角来看，封闭时为2 ，而
开式时为
a
2
L
压缩倍数为
2
/
a L
2
• 但是，我们知道开式腔是无侧壁的封闭 腔，那么内部会不会有稳定的电磁波存 在？如何求出该电磁波？
§ 2.1光腔理论的一般问题
(t
z
)
A2
A0
cos 2
(t
z
)
总波为二者叠加：
A
A1
A2
2 A0
cos
2
z
cost
稳定波存在必须满足驻波条件：
一维： L q
2
与谐振条件等价
从波动理论知：驻波是稳定存在的波。满足驻波条件的 那些光波称之为光腔的纵模，q为波节数，一般很大。一般 把由整数q所表征的腔内的纵向场分布称为腔的纵模。其特 点是：在腔的横截面内场分布是均匀的，而沿腔的轴线方向 形成驻波，驻波的波节数由q来决定。
共轴
球面 R1
共轴 R2
2. 开放式: 除二镜外其余部分开放 共轴: 二镜共轴 球面腔: 二镜都是球面反射镜(球面镜)
三.光腔按几何损耗(几何反射逸出)的分类:
稳定腔 (光腔中存在着伴轴模,它可在腔内多次传播而不逸出腔外) 光腔 临界腔 (几何光学损耗介乎上二者之间)
非稳腔 (伴轴模在腔内经有限数往返必定由侧面逸出腔外,有很高的
a
在这种条件下，可认为均匀平面波是F-P谐振腔内的最低损 耗模，从而为F-P谐振腔的模式提供一种粗略的，也是有用 的形象。
所以考虑均匀平面波在F-P谐振腔内沿轴线方向往返传播的 情形
第二章开放式光腔与高斯光束1
腔的菲涅耳数为 N a L
2
所以:
1 1 d 2 a N L
' d
几何光学分析方法和衍射理论分析方法
几何光学分析方法：
用矩阵方法处理光腔中光线的传播、腔的 稳定性 、谐振腔的分类等。
衍射理论分析方法： 在菲涅耳－－基尔霍夫衍射积分以及模式 重现概念的基础上，讨论谐振腔模式的形式、 解的存在、模式花样、衍射损耗等。
共焦谐振腔示意图
长半径球面腔
长半径球面谐振腔的性能介于共焦腔与球面腔之间，它的特点 如下： 1） 中等的衍射损耗；2）较易安装调整； 3）模体积很大； 4）腔内没有很高的光辐射聚焦现象；
长半径球面谐振腔适于连续工作的激光器
长半径球面腔示意图
半球型谐振腔 半球型谐振腔的特点： 易于安装调整、衍射损耗低、成本低 半球型谐振腔主要应用于低功率氦氖激光器
（3）腔镜不完全反射引起的损耗 包括反射镜的吸收、散射以及镜的透射损耗。 镜的透射损耗与输出镜的透射率T有关。 （4）材料中非激活吸收、散射，腔内插入物引起的损耗。 激光通过腔内光学元件和反射镜发生非激活吸收、散 射引起的损耗 平均单程损耗因子
I I 0e
2
1 I0 ln 2 I
I1 I 0 r1r2 I 0e 2 r 1 r ln(r1r2 ) 2 r1 1, r2 1 时有
当
1 r [(1 r1 ) (1 r2 )] 2 （2）腔镜倾斜时的几何损耗
设倾角为 ，往返m次后才逸出腔 外，D为腔的横向尺寸。
L 2 L 6 L(2m 1)2 D
§2.1 光腔理论的一般问题
一、光学谐振腔的构成、分类和作用 光学谐振腔的构成 最简单的光学谐振腔是在激活介质两端恰当地 放置两个镀有高反射率的反射镜构成。
第二章开放式光腔和高斯光束2.3
q1
表示入射高斯光束在透镜处的q参数，
1 q1
1 R1
i
2 1
q2 表示出射高斯光束在透镜处的q参数
1 q2
1 R2
i
2 2
1 11 由上面的四个式子可以得到：
q2 q1 F
比较两式： R2 (z) R1z z2 z1 R1z L
qz2 qz1 z2 z1 qz1 L
高斯光束通过薄透镜的变换
w/
当傍轴波面通过焦距为F的透镜时，其
波前曲率半径满足关系式
：
1
R2 z
1
R1z
1 F
出射光束在透镜处的光斑尺寸满足： 1 2
当傍轴波面通过焦距为F的透镜时，其
波前曲率半径满足关系式
：
1
R2 z
1
R1z
1 F
出射光束在透镜处的光斑尺寸满足： 1 2
与轴线相交于z点的高斯光束等
相位面的曲率半径radius of
curvature
高斯光束的共焦 参数
二、基模高斯光束在自由空间的传输规律
1.在横截面内的场振幅分布按高斯函数 规律从中心向外平滑降落。
exp[
r
2
2
(
z
)
]
所描述的
光斑半径随z的变化规律为：
z 0
1 0
2
Rz
z 1
2 0
z
2
0
z1
第二章开放式光腔和高斯光束21教材
R越小，腔内损耗越大，光腔衰减越快
2、无源谐振腔的Q值
定义：
腔内储藏的能量
Q 2 单位时间损耗的能量
Q 2
P
P
Q
R
2
L
dc
腔内损耗越小，Q值越高
3、损耗举例 （1）、由镜反射不完全所引起的损耗 （2）、腔镜倾斜时的几何损耗 （3）、衍射损耗 （ 菲涅尔数N）
r4
4
1 0
Lr3
1
3
TL
r3
3
M1 r11 r1
r44
1 r55
M2 r22 r33
L
• 光线又在M1镜面上发生反射时，有
r5
5
1
2 R1
0 1
r4
4
TR1
（3）腔镜不完全反射引起的损耗 包括反射镜的吸收、散射以及镜的透射损耗。 镜的透射损耗与输出镜的透射率T有关。
（4）材料中非激活吸收、散射，腔内插入物引起 的损耗。
激光通过腔内光学元件和反射镜发生非激活吸 收、散射引起的损耗
引入平均单程损耗因子
定义1： 由
I1 I0e2d
定义2： 2d I0 I1
r2
2
1 0
r1 L 1 x1 11
上述方程可以表示为下列矩阵形式：
r1, 1
r2 2
L=0
L
r2
2
1 0
Lr1
1
1
TL
r1
1
1 L TL 0 1
2、无源谐振腔的Q值
定义：
腔内储藏的能量
Q 2 单位时间损耗的能量
Q 2
P
P
Q
R
2
L
dc
腔内损耗越小，Q值越高
3、损耗举例 （1）、由镜反射不完全所引起的损耗 （2）、腔镜倾斜时的几何损耗 （3）、衍射损耗 （ 菲涅尔数N）
r4
4
1 0
Lr3
1
3
TL
r3
3
M1 r11 r1
r44
1 r55
M2 r22 r33
L
• 光线又在M1镜面上发生反射时，有
r5
5
1
2 R1
0 1
r4
4
TR1
（3）腔镜不完全反射引起的损耗 包括反射镜的吸收、散射以及镜的透射损耗。 镜的透射损耗与输出镜的透射率T有关。
（4）材料中非激活吸收、散射，腔内插入物引起 的损耗。
激光通过腔内光学元件和反射镜发生非激活吸 收、散射引起的损耗
引入平均单程损耗因子
定义1： 由
I1 I0e2d
定义2： 2d I0 I1
r2
2
1 0
r1 L 1 x1 11
上述方程可以表示为下列矩阵形式：
r1, 1
r2 2
L=0
L
r2
2
1 0
Lr1
1
1
TL
r1
1
1 L TL 0 1
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平均单程指数损耗因子：初始光强为I 0 ,在无源腔内往返一次后， 光强衰减为I1，则I1 I 0e
2
1 I0 ln ； 2 I1
1 I 0 I1 有时，定义单程损耗因子 (光强衰减百分数）。 2 I0 1 I 0 I1 1 I 0 I 0e 2 可以证明，在小损耗情况下， 2 I0 2 I0
稳定腔：任何旁轴光线可以在腔内往返无限多次不会 逸出腔外 几何偏折损耗小(低损耗腔)。 非稳腔：旁轴光线有限次反射后便逸出腔外 几何偏折损耗大(高损耗腔)。
两种不同的腔的理论处理方法、设计方法不同。
本节讨论用几何光学中光线矩阵方法来分析腔中的 几何偏折损耗。
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
1、描述光线的参数
1、光子在腔内的平均寿命 R
根据平均单程指数损耗因子 的定义，我们可求得，初始光强 为I 0的光束经过m次往返后，光强会变为 Im I0 e
2
m
I 0e2 m
设t 0时刻光强为I 0，则到t时刻光在腔内往返的次数m应为 m t 0 tc 2 L 2L c
根据Maxwell方程和边界条件，我们可以求出电磁场的具体 解的形式。我们会发现，这些解是分立的。每一个分立的 解就是场的一个本征态，即电磁场的模式。
不管是闭腔或是开腔，只要给定了腔的具体结构，则其中振荡 模的特征也就随之确定下来，此即腔与模的一般联系。
模的基本特征包括： 电磁场分布(横向与纵向)；谐振频率；往返损耗；发散角。
r1,1 r4 ,4 r5 ,5
r2 ,2 r3,3
r1 开 始时 ： 1
r5 r1 T r1T LT r2T L T 1 5
r1 1
r1,1 r4 ,4 r5 ,5
r
r 光线离光轴的距离；
光线与光轴的夹角。 旁轴光线： tan sin
0
0 0
正负号规定：
r移矩阵
r0 ,0
r,
B
r0 A处： 0 r B处：
n n00
5、共轴球面腔往返一次的矩阵表示简称往返矩阵
具体过程：两次自由空间传输； 两次球面镜反射
r1 开 始时 ： 1 r2 r 1 L r1 M2反射前： T L 1 2 1 0 1 1 r3 0 r2 r2 1 M2反射后： T r 2 3 2 2 R2 1 2 r5 r1 T r1T LT r2T L r4 r3 1 L r3 1 5 M1反射前： T L 4 3 0 1 3 r5 0 r4 r4 1 M1反射后： T r 1 5 4 2 R1 1 4
L A r0 L 0 r 0 r0 r A B r0 1 L TL TL C D 0 0 0 1
3、空气与介质界面的折射矩阵
据此，可算出N0个光子的平均寿命为 1 t N0 1 dN t N0
0
R
N0
et R tdt R
2、无源谐振腔的Q值
P P E NhvV 为储存在腔内的总能量， dE P 为单位时间内损耗的能量. dt 谐振腔Q值定义： Q
E
2
E
因此，Q 2
6、共轴球面腔往返n次的矩阵表示 r1 r5 r1 根据上述分析，往返一次为 Tr1T LTr2T L T 1 5 1 2 r r r2 r1 1 2 1 往返两次为 Tr1T LTr2T L Tr1T LTr2T L T 2 1 1 1 n r r rn 1 n 1 以此类推，往返n次为 Tr1T LTr2T L T 1 1 n 按照矩阵理论 Sylvester理论 ，
Chapter 2
开放式光腔与高斯光束
§2.1 光腔理论的一般问题
一、光腔的构成与分类
(a) 腔 闭 稳定腔 (b) 腔 非稳腔 开 临界腔 (c)气体波导腔
另：折叠腔、环形腔、和复合腔 腔内加入其它光学元件
二、模的概念 — 腔与模的一般联系
无论是闭腔或是开腔，都会对腔内的电磁场分布施加限制。
E
P
2
E Nh V 2 dE dN h V
dt dt
N N L 2 2 2 R 2 dN N c dt R
损耗越小，Q值越大。
3、损耗举例
(1)反射不完全损耗
设两个镜面的反射率为r1和r2 ,则初始光强为I 0的光束 往返一次后的光强为 1 I0 1 I1 I 0 r1r 2 r ln ln r1r2 2 I1 2
r0 入射： 0 r 出射：
r, r0 ,0
A
r r0 n 0 0 n
n0
n
r0 1 0 r A B r0 T R T R 0 n n C D 0 0 0 4、球面镜的反射矩阵 r0 ,0 r0 r r, r r0 0 入射： 0 R 0 r R 2 r 出射： 0 0 R r0 r A B r0 1 0 0 2 T r T r C D 0 0 2 R 1 0
代入得 I m vNh I 0e t R vN 0 h e t R N N 0e t R 表明光子数密度也依指数规律减小 N 0 t R 因此，微分得，dN e dt ,
R
可看出，在t t dt间隔内，光子减少- dN 个，它们的寿命为t， 在0 t时间段内存在于光腔内，过dt时刻后就消失了。
纵模间隔：相邻两个纵模的频率之差 q q 1 - q c 。 2 L
q ¸ ² Ú ö ¨½
/2
E 2E0 sin kz sin t
Frequency Comb
三、光腔的损耗
几何偏折损耗 选择损耗 衍射损耗 损耗 反射不完全损耗 非选择损耗 材料吸收损耗
r1 1
A B An Bn n T T r1T LT r2T L C D Cn Dn B sin n 1 A sin n sin n 1 sin C sin n D sin n sin n 1 1 式中 arccos A D 2
利用Fraunhofer衍射，对开腔衍射损耗做粗略估计。根据 Babinet原理，孔径为2a的平面开腔可用下图等效表示。 L
L 2a L
2a
a2 为菲涅耳半波带数目 N L
均匀平面波入射到第一个小孔上，出现第一个极小值的 2a a 假定艾里斑的光强均匀，则可以求出单程损耗因子（用百分数表示） 角位置为
上式表明，L一定的谐振腔只对频率满足 q q 能提供正反馈。 因此， q表示光腔的谐振频率，q c q 称为光腔的谐振波长。 c 的光波才 2 L
c 显然，所有满足式 q q 平面驻波场可称为腔的本征模式。 2 L
特点：横向分布均匀，纵向分布是驻波形式，q表示波节数。 因此，我们将由整数q所表征的腔内纵向场分布称为腔的纵模。 不同的q值对应于不同的纵模。
2 ct 2 L
代入上式，我们得 I m I 0e I 0e
t R
L R c
下面证明，时间常数 R刚好为光子在腔内的平均寿命。
设t时刻腔内光子数密度为N , N与光强I t 的关系为 则 I t vW vNh
3
W 表示能量密度，J / m ，v表示光在谐振腔内的传播速度
r2 ,2 r3,3
1 0 1 L 1 0 1 L A B T Tr1T LTr2T L 2 R 1 2 R1 1 0 1 0 1 C D 2
化简可得： 2L A 1 R2 2 2 2L C 1 R1 R2 R1 L B 2L 1 R2 2L 2L 2L D 1 1 R1 R1 R2
1.22
0.61
艾里斑
a L a 2 2 L 1.22 1 S1 1 d 2 2 d 2 a a S0 S1 a N a L L L
2
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1、什么叫共轴球面腔？ 两反射镜为球面镜，有共同光轴。 规定：凹面镜R 0 凸面镜R 0 平面镜R . ; ; 2、稳定条件 几何偏折损耗
(2)腔镜倾斜时的几何损耗
L 2 L 6 L 2m 1 2 D m D 2 L
8 L6 L2 4 2 L 6
2 L 2 L D 腔内光子的寿命 m c c 2 L 对应的损耗为
L
2D
(3)衍射损耗(diffraction loss)
开腔中傍轴传播模式的谐振条件
均匀平面波旁轴传播时，入射波与反射波发生相长干涉条件： 2 2 L q 2 q为整数，L为腔的光学长度