新人教版高中数学必修一《补集及集合运算的综合应用》学案

第2课时补集及集合运算的综合应用
课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算．
1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为________，通常记作________．
2．补集
自然
语言
对于一个集合A，由全集U中________________的所有元素组成的集合称为集合A
相对于全集U的补集，记作________
符号
语言
∁U A＝____________
图形
语言
(1)∁U U＝____；(2)∁U∅＝____；(3)∁U(∁U A)＝____；(4)A∪(∁U A)＝____；(5)A∩(∁U A)＝____.
一、选择题
1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A等于()
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于()
A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}
3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(∁U B)等于()
A．{2} B．{2,3}
C．{3} D．{1,3}
4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是()
A．A＝∁U P B．A＝P
C．A P D．A P
5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()
A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S
6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是() A．A∪B B．A∩B
C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)
题号12345 6
答案
二、填空题
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.
8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________________，∁U B＝________________，∁B A＝____________.
9．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．
三、解答题
10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．
11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.
能力提升
12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A 等于()
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？
1．全集与补集的互相依存关系
(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．
(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想
做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.
第2课时 补集及综合应用
知识梳理
1．全集 U 2.不属于集合A ∁U A {x |x ∈U ，且x ∉A }
3．(1)∅ (2)U (3)A (4)U (5)∅
作业设计
1．D [在集合U 中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A .]
2．C [∵M ＝{x |－2≤x ≤2}，
∴∁U M ＝{x |x <－2或x >2}．]
3．D [由B ＝{2,5}，知∁U B ＝{1,3,4}．
A ∩(∁U
B )＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]
4．B [由A ＝∁U B ，得∁U A ＝B .
又∵B ＝∁U P ，∴∁U P ＝∁U A .
即P ＝A ，故选B.]
5．C [依题意，由图知，阴影部分对应的元素a 具有性质a ∈M ，a ∈P ，a ∈∁I S ，所以阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S ，故选C.]
6．D [由A ∪B ＝{1,3,4,5,6}，
得∁U (A ∪B )＝{2,7}，故选D.]
7．－3
解析 ∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，故m ＝－3.
8．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5}
解析 由题意得U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn 图表示出U ，A ，B ，易得∁U A ＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B ＝{7,8}，∁B A ＝{0,1,3,5}．
9．∁U B ∁U A
解析 画Venn 图，观察可知∁U B
∁U A .
10．解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .
又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋2a －3＝5，
b ＝3.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－4，
b ＝3经检验都符合题意． 11．解 因为B ∪(∁U B )＝A ，
所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x .
①若x 2＝3，则x ＝±3. 当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}； 当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}． ②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.
当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；
当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，
U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}．
综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．
12．D [借助于Venn 图解，因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又因为(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，所以选D.]
13.
解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .
根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，
a ＋
b ＋x ＝30－4.
解得x ＝5，即两项都参加的有5人．。