圆锥曲线基础测试题及答案
圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)
圆锥曲线练习题含答案(很基础,很好的题)1.抛物线y=10x的焦点到准线的距离是（）2答案：52.若抛物线y=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）。
答案：(7,±14)3.以椭圆x^2/25+y^2/16=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是（）。
答案：x^2/9 - y^2/16 = 14.F1,F2是椭圆x^2/16+y^2/27=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45，则ΔAF1F2的面积（）。
答案：75.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x^2+y^2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）。
答案：y=3x或y=-3x6.若抛物线y=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（）。
答案：(±1/4.1/8)7.椭圆x^2/48+y^2/27=1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）。
答案：288.若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y=2x的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MF+MA取得最小值的M的坐标为（）。
答案：(2/5.4/5)9.与椭圆4x^2+y^2=1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是（）。
答案：x^2/3 - y^2/4 = 110.若椭圆x/√3 + y/√2 = 1的离心率为2/3，则它的长半轴长为_______________。
答案：√611.双曲线的渐近线方程为x±2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为______________。
答案：x^2/4 - y^2/36 = 112.抛物线y=6x的准线方程为y=3，焦点为(0,3)。
13.椭圆5x^2+k^2y^2=5的一个焦点是(0,2)，那么k=____________。
答案：√314.椭圆kx^2+8y^2=9的离心率为2/3，则k的值为____________。
答案：7/315.根据双曲线的定义，其焦点到准线的距离等于其焦距的一半，因此该双曲线的焦距为3.又根据双曲线的标准方程，8kx-ky=8，将焦点代入方程可得8k(0)-3k=8，解得k=-8/3.16.将直线x-y=2代入抛物线y=4x中，得到交点为(2,8)和(-1,-5)。
圆锥曲线测试题及答案
圆锥曲线测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 椭圆的离心率定义为：A. 长轴与短轴的比值B. 长轴的一半与焦距的比值C. 焦距与长轴的比值D. 焦距与长轴的一半的比值2. 抛物线的标准方程是：A. \( x^2 = 4py \)B. \( y^2 = 4px \)C. \( x^2 = 2py \)D. \( y^2 = 2px \)3. 双曲线的渐近线方程是：A. \( y = \pm \frac{b}{a}x \)B. \( y = \pm \frac{a}{b}x \)C. \( x = \pm \frac{a}{b}y \)D. \( x = \pm \frac{b}{a}y \)4. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是：A. 长轴的长度B. 短轴的长度C. 焦距的两倍D. 不确定5. 对于双曲线，如果 \( a > b \)，则它是：A. 垂直轴双曲线B. 水平轴双曲线C. 焦点在x轴上D. 焦点在y轴上二、填空题（每题2分，共10分）6. 椭圆的方程 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 中，\( a \) 和 \( b \) 分别代表______和______。
7. 抛物线 \( y^2 = 4px \) 的焦点坐标是______。
8. 双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 的焦距是______。
9. 椭圆 \( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \) 的离心率是______。
10. 如果一个点 \( P(x, y) \) 在双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1 \) 上，那么 \( x \) 和 \( y \) 满足的关系是______。
三、简答题（每题5分，共20分）11. 描述椭圆的基本性质。
圆锥曲线基础题(附答案)
1．已知椭圆的离心率为 12，焦点是(－3,0)，(3,0)，则椭圆方程为______________． 2．抛物线y 2＝4x 的焦点到准线的距离是__________．3．当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是__________________．4．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________________．5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________．6．若直线mx －ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是________．7．虚半轴长为2，离心率e ＝3的双曲线两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线左支于A 、B 两点，且AB ＝8，则△ABF 2的周长为________．8．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2 (c,0)，则△ABF 2的最大面积是______．9．双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线，求双曲线C 的方程．10．已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积．11．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；(2)若OA →⊥OB →，求k 的值．1.x 236＋y 227＝1 2．23．y 2＝32x 或x 2＝－12y 4．x 216＋y 212＝1 5.336．27.16＋2 28.bc9. 解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1. 由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)， ∴对于双曲线C ：c ＝2. 又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴b a＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.10.解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以k PF1·k PF2＝－1，即43＋c ·43－c ＝－1， 解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1. 因为点P(3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1. 解得a 2＝45或a 2＝5. 又因为a>c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝65，①又PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝100，②①2－②得2PF 1·PF 2＝80，所以S △PF1F2＝12PF 1·PF 2＝20. 11.－2(x －p 2)． 20．解 (1)设P(x ，y)，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0.其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0， 化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.。
高二圆锥曲线基础练习题及答案
高二圆锥曲线基础练习题及答案一、选择题1. 下列关于椭圆的说法，正确的是：A. 所有椭圆都是对称图形。
B. 椭圆的离心率大于1。
C. 椭圆的长轴和短轴相等。
D. 椭圆的焦点个数与离心率有关。
答案：D2. 设椭圆的长轴长度为10，短轴长度为6，则该椭圆的离心率为：A. 3/5B. 1/2C. 2/3D. 5/6答案：C3. 下列关于双曲线的说法，正确的是：A. 所有双曲线都是开口向上的图形。
B. 双曲线的离心率等于1。
C. 双曲线的长轴和短轴相等。
D. 双曲线的焦点个数与离心率有关。
答案：D4. 设双曲线的长轴长度为8，短轴长度为4，则该双曲线的离心率为：A. 2B. 3/2C. 4/3D. 5/4答案：B5. 下列关于抛物线的说法，正确的是：A. 抛物线的焦点位于抛物线的顶点上。
B. 抛物线的离心率等于1。
C. 抛物线的长轴和短轴相等。
D. 抛物线的焦点个数与离心率有关。
答案：A二、填空题1. 设椭圆的长轴长度为12，短轴长度为8，则该椭圆的离心率为__________。
答案：2/32. 设直角双曲线的焦点到中心的距离为3，焦点到顶点的距离为5，则该直角双曲线的离心率为__________。
答案：4/53. 设抛物线的焦距为6，顶点到焦点的距离为4，则该抛物线的离心率为__________。
答案：3/2三、解答题1. 某椭圆的长轴长度为10，焦距为6，求离心率和短轴的长度。
解：设椭圆的离心率为e，短轴长度为b。
根据椭圆的定义，焦距的长度为ae，即6 = ae。
由此可以解得椭圆的离心率为e = 6/a。
又已知长轴长度为10，即2a = 10，解得a = 5。
将a = 5代入离心率的公式，可得e = 6/5。
由椭圆的定义可知，离心率e = √(1 - b²/a²)，代入已知的离心率和a的值，可得√(1 - b²/25) = 6/5。
将等式两边平方化简，得到1 - b²/25 = 36/25，即1 - b² = 36，解得b = √(1 - 36) = √(-35)。
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
圆锥曲线基础训练题及答案
圆锥曲线基础训练题姓名____________分数______________一、选择题1 ．抛物线y 2=ax 的焦点坐标为(-2,0),则抛物线方程为（ ）A ．y 2=-4x B ．y 2=4x C ．y 2=-8x D ．y 2=8x2 ．如果椭圆的两个焦点三等分它所在的准线间的垂线段，那么椭圆的离心率为 （ ）A ．23 B ．33 C ．36 D ．66 3 ．双曲线191622=-y x 的渐近线方程为 （ ）A ． x y 34±= B ．x y 45±= C ．x y 35±= D ．x y 43±= 4 ．抛物线 x y 42= 的焦点坐标是（ ）A ．（－1，0）B ．（1，0）C ．（0，－1）D ．（0，1）5 ．双曲线221916y x -=的准线方程是 （ ） A 165x =±B 95x =±C 95y =±D 165y =± 6 ．双曲线221169x y -=上的点P 到点(5,0)的距离是15,则P 到点(-5,0)的距离是 （ ）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或237 ．双曲线1322=-y x 的两条渐近线方程是 （ ）A ．03=±y xB ．03=±y xC ．03=±y xD ．03=±y x8 ．以椭圆的焦点为圆心，以焦距为半径的圆过椭圆的两个顶点，则椭圆的离心率为 （ ）A ．43)D (23)C (22)B (219 ．抛物线y x 42=上一点A 纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．抛物线()042<=a ax y 的焦点坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，a B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1610，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1610，D ．⎪⎭⎫⎝⎛0161，a 11．椭圆2x 2=1-3y 2的顶点坐标为（ ）A ．(±3，0)，(0，±2)B ．(±2，0)，(0，±3)C ．(±22，0)，(0，±33) D ．(±12，0)，(0，±13) 12．焦距是10，虚轴长是8，经过点(23, 4)的双曲线的标准方程是（ ）A ．116922=-y x B ．116922=-x y C ．1643622=-y x D ．1643622=-x y 13．双曲线22124x y -=-的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．x =C ．12y x =±D ．12x y =±14．已知椭圆方程为1322=+y x ，那么左焦点到左准线的距离为 （ ）A ．22 B ．223 C ．2D ．2315．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 （ ）A ．y 2=16xB ．y 2=12xC ．y 2= -16xD ．y 2= -12x16．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B ．3C ．12 D ．217．下列表示的焦点在y 轴上的双曲线方程是（ ）A ．13422=+y xB ．14322=+y xC ．13422=-y xD ．13422=-x y 18．抛物线y =2px 2(p ≠0)的焦点坐标为（ ）A ．(0，p )B ．(10,4p ) C ．(10,8p) D ．(10,8p±) 19．与椭圆205422=+y x 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．x y 42=B ．x y 42±=C ．y x 42=D ．y y 42±=20．已知双曲线的渐近线方程为x y43±=，则此双曲线的（ ）A ．焦距为10B ．实轴和虚轴长分别是8和6C ．离心率是45或35 D ．离心率不确定21．双曲线122=-y x 的渐近线方程是（ ）A ．±=x 1B ．y =C ．x y ±=D ．x y 22±= 22．若命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解”是正确的，则以下命题中正确的是（ ）A ．方程(x ，y)=0的曲线是CB ．坐标满足方程f(x ，y)=0的点都在曲线C 上 C ．曲线C 是方程f(x ，y)=0的轨迹D ．方程f(x ，y)=0的曲线不一定是C23．双曲线221916y x -=的准线方程是 （ ）A ．165x =±B ．95x =±C ．95y =±D ．165y =±24．双曲线191622=-x y 的焦点坐标是 （ ）A ．()0,5和()0,5-B ．()5,0和()5,0-C ．()0,7和()0,7- D ．()7,0和()7,0-25．已知抛物线的焦点坐标为(－3,0),准线方程为x =3,则抛物线方程是（ ）A ．y 2+6x =0B ．y 2+12x =0C ．y +6x 2=0D ．y +12x 2=0 26．双曲线 191622=-y x 的渐近线的方程是（ ）A ．x y 43±= B ．x y 34±= C ．x y 169±= D ．x y 916±= 27．对抛物线24y x =,下列描述正确的是（ ）A ．开口向上,焦点为(0,1)B ．开口向上,焦点为1(0,)16 C ．开口向右,焦点为(1,0)D ．开口向右,焦点为1(0,)1628．双曲线2y 2-x 2=4的一个焦点坐标是（ ）A ．(0,-)6B ．(6,0)C ．(0,-2)D ．(2,0)29．若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 （ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．430．到直线x=－2与定点P （2，0）距离相等的点的轨迹是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线二、填空题31．(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是 32．与两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是________________________33．椭圆4422=+y x 的焦点坐标为___________，__________． 34．抛物线x y 42=的准线方程为______ 35．到x 轴,y 轴距离相等的点的轨迹方程_________.36．已知两个定点1(4,0)F -,2(4,0)F ,动点P 到12,F F 的距离的差的绝对值等于6,则点P 的轨迹方程是 ;37．若双曲线22145x y -=上一点P 到右焦点的距离为8，则P 到左准线的距离为38．若定点(1,2)A 与动点(),Px y 满足，4OP OA ⋅=则点P 的轨迹方程是39．已知双曲线的离心率为2，则它的实轴长和虚轴长的比为 。
圆锥曲线基础练习与答案
直线与圆一、考点容1、求直线斜率方法（1）知直线l 倾斜角)1800(00<≤αα，则斜率090(tan ≠=ααk 即倾斜角为090的直线没有斜率（2）知直线l 过两点),(11y x A ，),(22y x B ，则斜率___________=k )(21x x ≠ （3）知直线l 一般式方程0y x =++C B A ，则斜率________=k 知直线l 斜截式方程b kx y +=，可以直接写出斜率 2、求直线方程方法——点斜式知直线l 过点),(b a ，斜率为k ，则直线方程为__________________，化简即可！ 特别在求曲线在点))(,(a f a 处切线方程，往往用点斜式！ 4、平行与垂直问题若21//l l ，则1k ______2k ；若21l l ⊥，则1k =2k _________ 5、距离问题（1）两点间距离公式若点),(21x x A 、),(22y x B ，则=||AB _________________ （2）点到直线距离公式点),(n m 到直线0y x =++C B A 距离=d _________________ 注意：直线必须化为一般式方程！ （3）两平行线间距离公式两平行线0y x 0y x 21=++=++C B A C B A 与的距离=d _________________ 注意：两平行线必须把x 与y 系数化为一样！ 6、圆与方程（1）标准方程222)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为__________，半径为______（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x ，条件0422>-+F E D圆心坐标为__________，半径为____________ 7、直线与圆位置关系（1）相离：公共点个数为_____个，此时d ______ r (d 为圆心到直线距离)（2）相切：公共点个数为_____个，此时d ______r (圆心与切点连线垂直于切线) （3）相交：公共点个数为_____个，此时d ______r (弦长=L _________)二、课堂练习1．原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1B ．3C ．2D ．52．经过圆x 2+2x +y 2=0的圆心G ，且与直线x +y =0垂直的直线方程是（ C ）A .x -y +1=0B .x -y -1=0C .x +y -1=0D .x +y +1=03．经过圆0222=+-y x x的圆心且与直线02=+y x 平行的直线方程是（ A ）A ．012=-+y xB ．220x yC ．210x yD ．022=++y x 4.以) 0 , 1 (为圆心，且与直线03=+-y x 相切的圆的方程是( A ) A ．8)1(22=+-y x B ．8)1(22=++y x C ．16)1(22=+-y x D ．16)1(22=++y x5．已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是（ C ）A ．1710B ．8C ．2D ．1756.直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是（ A ）A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心7.圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ B ）A 、 2B 、21+C 、221+D 、221+ 8.圆心在原点,并与直线3x-4y-l0=0相切的圆的方程为___422=+y x _________.9．直线y x =被圆22(2)(4)10x y -+-=所截得的弦长等于.<十>圆锥曲线[椭圆]一、考点容:1、椭圆的定义: 12||||2MF MF a +=2、椭圆的简单几何性质:离心率(0,1)ce a=∈．,,a b c 间的关系 222a b c =+（0a b >>，0a c >>）二、基础练习:1 ．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于21,则C 的方程是（ D ） A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 2.已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. 则椭圆C 的离心率为_____22____ 3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．求椭圆的方程；（x 24＋y 23＝1.）4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2，0)，离心率为63.求椭圆C 的标准方程；（x 26＋y 22＝1.）5．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O,焦点在x 轴上,短轴长为2,离心率为22,求椭圆C 的方程.6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4,且过点(23)P ，.求椭圆C 的方程;22184x y +=7.椭圆C:=1(a>b>0)的离心率,a+b=3(1) 求椭圆C 的方程;2214x C y ∴+=椭圆的方程为：[双曲线] 一、考点容:（1）双曲线定义：a PF PF 2|||-|||21=（2）标准方程： 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上焦点坐标为：_______________________ ____________________________ 顶点坐标为：_______________________ ____________________________渐近线方程：_______________________ ____________________________ （3）性质：离心率_______=e )1(>e(4),,a b c 间的关系: ____________________________ 二、基础练习:1．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( D )A ．2 B.62 C.52D ．1 2.已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>5则C 的渐近线方程为（ C ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±1 ．双曲线122=-y x的顶点到其渐近线的距离等于（ B ）A ．21 B ．22 C ．1D ．24．双曲线221y x m-=2的充分必要条件是 （ C ） A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m >5.已知双曲线22x a-25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于( C )A14C 32D 436.双曲线 x 24－y 2＝1的离心率等于___52_____．7．双曲线221169x y -=的离心率为___45_____.8.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x ym m -=+m 的值为2．9.设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为___ x 2－y 2＝1_____．[抛物线]（1）定义：抛物线上任意一点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离. （2）标准方程与性质二、基础练习:1． 抛物线y ＝14x 2的准线方程是( A )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－22．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( C )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－123 ．抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（ D ）A ．B ．2C D ．12．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)则p =_2___;准线方程为_1x =-____.5.抛物线y 2＝4x 的准线方程为_____ x ＝－1___．6．已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为___2213y x -=___.7. 已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为2,求抛物线C 的方程; 24x y =。
圆锥曲线专题20题练习含答案
1．如图，曲线22:1(0,0)x y E m n m n+=>>与正方形L（1）求m n +的值； （2）设直线:l y x b =+交曲线E 于A ，B ，交L 于C ，D ，是否存在这AB 成等差数列？若存在，求出实数b样的曲线E ，使得CA ，的取值范围；若不存在，请说明理由．2.已知点1(0,)2F ，直线l ：12y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为'l 的方程．3．已知圆22:4O x y +=，点(F ，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，记点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若()11,A x y ，()22,B x y 为曲线C ，且⊥m n ，试问AOB △的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．4.（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆22:12x T y +=的一个焦点重合，点()0,2M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点.（1）求抛物线C 的标准方程以及MF 的值.（2）记抛物线的准线l x '与轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得AF FB λ= ，且22854HA HB +=都成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.5．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=.（1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围.6. 已知抛物线的焦点为，为轴上的点.2:4E x y =F (),0P a x（1）当时，过点作直线与相切，求切线的方程；（2）存在过点且倾斜角互补的两条直线，，若，与分别交于，和，四点，且与的面积相等，求实数的取值范围.7.设点A 为圆C ：224x y +=上的动点，点A 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足2MQ AQ =，动点M 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）设E 与y 轴正半轴的交点为B ，过点B 的直线l 的斜率为k （0k ≠），l 与E 交于另一点为P ，若以点B 为圆心，以线段BP 长为半径的圆与E 有4个公共点，求k 的取值范围．8．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点1F 与抛物线24y x =-的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点()3,04M m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭作斜率不为0的直线，交椭圆E 于,A B 两点，点5,04P ⎛⎫⎪⎝⎭，且PA PB ⋅ 为定值．（1）求椭圆E 的方程； （2）求OAB △面积的最大值．9．已知椭圆1C ，抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，从1C ，2C 上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：12（2）若直线():0l y kx m k =+≠与椭圆1C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线过定点1,08G ⎛⎫⎪⎝⎭，求实数的取值范围． 10.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，内切圆的半径为.(1)求椭圆的方程；0a ≠P l E l P 1l 2l 1l 2l E A B C D FAB ∆FCD ∆a(2)已知直线与椭圆相较于两点，且，当直线的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.11. 已知抛物线2:C y x =-，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为12-，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间（不包括点A ，点B ），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . （1）求直线AP 斜率k 的取值范围； （2）求|||PA PQ ⋅的最大值.12. 如图，分别过椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>左、右焦点12,F F 的动直线12,l l 相交于P 点，与椭圆E 分别交于,A B 与,C D 不同四点，直线,,,OA OB OC OD 的斜率1234,,,k k k k 满足1234k k k k +=+．已知当1l 与x 轴重合时，AB =CD =（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在定点,M N ，使得PM PN +为定值？若存在，求出,M N 点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．13.(本小题满分12分）已知椭圆C: 12222=+by a x (a>b>0)的离心率为22，过右焦点F 且与长轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，0为坐标原点. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设经过点M(0,2)作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求△AOB 面积的最大值及相应的直线l 的方程.1．【答案】（1）16m n +=；（2【解析】（1，得()28160n m x mx m mn +-+-=，有()()2644160m m n m mn ∆=-+-=，···········2分 化简的()4640mn m n mn +-=．又0m >，0n >，所以0mn >从而有16m n +=；···········4分 （2）由2AB CA BD =+，AB =···········5分 ，得()2220n m x bmx mb mn +++-=， 由2224440nmb n m m n ∆=-++>可得216b m n <+=，且122bmx x n m-+=+，212mb mn x x n m -=+，···········7分···········8分 323=，···········10分符合216b m n <+=，故当实数b 时，存在直线和曲线E ，使得CA ，AB ，BD 成等差数列．···········12分 2.解：（1）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=--1(,)2PF x y =-- ，(,2)PH PF x y +=-- ，()0HF PH PF += ，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =.（II ）法一：显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+，由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x kx x +=⎧∴⎨⋅=-⎩，112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+ MA MB ⊥ ，0MA MB ∴= ，即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=，22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -，∴212|||2(1)AB x x k =-==+，∴1(,)2M k -到直线l '的距离2d ==，3221||(1)2MABS AB d k ∆==+=，解得1k =±， ∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=． 法2：（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为()00,y x E则211121212120212222()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩ 直线'l 的方程为012y x x =+， 过点A,B 分别作1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥，因为,⊥MA MB E 为AB 的中点，所以在Rt AMB 中，11111||||(||||)(||||)222==+=+EM AB AF BF AA BB 故EM 是直角梯形11A B BA 的中位线，可得⊥EM l ，从而01(,)2M x -点M 到直线'l的距离为：2d ==因为E 点在直线'l 上，所以有20012y x =+，从而21200||1212(1)AB y y y x =++=+=+由2011||2(22MAB S AB d x ==⨯+= 01x =± 所以直线'l 的方程为12y x =+或12y x =-+．3．【答案】（1）2214y x +=；（2）答案见解析．【解析】（1）取(0,F '，连结PF '，设动圆的圆心为M ， ∵两圆相内切，∴122OM FP =-，又12OM PF ='，∴4PF PF FF +=>=''，···········3分∴点P 的轨迹是以F ，F '为焦点的椭圆，其中24a =，2c =，∴2a =，c =，∴2221b a c =-=，∴C 的轨迹方程为2214y x +=．···········5分（2）当AB x ⊥轴时，有12x x =，12y y =-，由⊥m n ，得112y x =，又221114y x +=，∴1x =1y =∴11112122AOB S x y ∆=⨯⨯=⨯=．···········7分 当AB 与轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()2224240k x kmx m +++-=， 则12224kmx x k -+=+，212244m x x k -=+，···········9分由0⋅=m n ，得121240y y x x +=，∴()()121240kx m kx m x x +++=， 整理得()()22121240k x x km x x m ++++=，···········10分 ∴2224m k =+，12m21m==，综上所述，AOB △的面积为定值．···········12分5.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a ac b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ，由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （）∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵Q F P F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk . ∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(kk ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616kk -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得，=2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 6.解：（1）设切点为则. ∴点处的切线方程为. ∵过点，∴，解得或. 当时，切线的方程为或. （2）设直线的方程为，代入得， ①，得， ②由题意得，直线的方程为， 同理可得，即， ③ ②×③得，∴.④设，，则，.∴.点到的距离为，200,3x Q x ⎛⎫⎪⎝⎭002x x l x yk ===Q ()200042x x y x x -=-l P ()200042x x a x -=-02x a =00x =0a ≠l 0y =20ax y a --=1l ()y k x a =-24x y =2440x kx ka -+=216160k ka ∆=->()0k k a ->2l ()y k x a =--()0k k a --->()0k k a +>()2220k k a ->22a k <()11,A x y ()22,B x y 224x x k +=224x x ka=AB =FAB d =∴的面积为同理的面积为由已知得，化简得， ⑤欲使⑤有解：则，∴.又，得，∴. 综上，的取值范围为或或.7.解：（1）设点(,)M x y ，由2MQ AQ =，得(,2)A x y ，由于点A 在圆C ：224x y +=上，则2244x y +=，即点M 的轨迹E 的方程为2214x y +=． （2）由（1）知，E的方程为2214x y +=， 因为E 与y 轴的正半轴的交点为B ，所以(0,1)B ，所以故B 且斜率为k 的直线l 的方程为1y kx =+（0k ≠）．由221,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(14)80k x kx ++=， 设11(,)B x y ，22(,)P x y ，因此10x =，22814kx k =-+，12|||BP x x =-=由于圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设在y 轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P ，T ，满足||||BP BP =，此时直线BP 斜率0k >，FAB ∆41S =+FCD ∆41S =-4141+=-()2221a k -=22a <a <22212a k k=-<21k ≠21a ≠a 1a <<-11a -<<1a <<设直线BT 的斜率为1k ，且10k >，1k k ≠，则||BT ==10-=，即221(14(14k k +=+所以222222111()(18)0k k k k k k -++-=， 由于12k k ≠，因此222211180k k k k ++-=，故22122111198188(81)k k k k +==+--． 因为20k >，所以21810k ->，因此22119188(81)8k k =+>-，又因为0k >，所以k >， 又因为1k k ≠，所以2222180k k k k ++-≠，所以428210k k --≠，又因为0k >，解得2k ≠，所以)k ∈+∞ ， 综上所述，k的取值范围为(,()-∞+∞ ．8．（本小题满分12分）【答案】（1）2212x y +=；（2）． 【解析】（1）设1(,0)F c ，∵抛物线24y x =﹣的焦点坐标为(1,0)-，且椭圆E 的左焦点1F 与抛物线24y x =﹣的焦点重合，∴1c =，···········2分 又椭圆Ea =···········3分 于是有2221b ac ==﹣．故椭圆E 的标准方程为：2212x y +=．···········4分 （2）设11,A x y （），22,B x y （），直线的方程为：x ty m =+， 由2222x ty m x y =+⎧⎨+=⎩整理得2222220t y tmy m +++=（）﹣ 12222tm y y t -+=+，212222m y y t -=+，···········6分 115(,)4PA x y =- ，225(,)4PB x y =- ， 121255()()44PA PB x x y y ⋅=--+ 2212125525(1)()()4216t y y tm t y y m m =++-++-+222225(2)(2)5722216m m t m m m t -+-+-=+--+．···········8分 要使PA PB ⋅ 为定值，则22522212m m m -+--=，解得1m =或23m =（舍）， ···········9分当1m =时，2122|)2t AB y y t +==+﹣，···········10分点O 到直线AB的距离d =，···········11分OAB △面积1s ==． ∴当0t =，OAB △··········12分 9．【答案】（1）1C ：22143x y +=．22:4C y x =；（2）,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】（1）设抛物线()22:20C y px p =≠，则有()220y p x x =≠，据此验证4个点知(3,-，()4,4-在抛物线上，易求22:4C y x =．·········2分 设()2222:10x y C a b a b +=>>，把点()2,0-，⎭代入得： 222412614⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩=a ab ，解得2243==⎧⎨⎩a b ，所以1C 的方程为22143x y +=．·········5分 （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程，消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()()22284344120km k m ∆=-+->，即2243m k <+．① 由根与系数关系得122834km x x k+=-+，则122634m y y k +=+，·········7分 所以线段MN 的中点P 的坐标为2243,3434km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．·········8分 又线段MN 的垂直平分线的方程为118y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，·········9 由点P 在直线上，得22314134348m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭， 即24830k km ++=，所以()21438m k k =-+，·········10分 由①得()2222434364k k k +<+，所以2120k >，即k <或k >，所以实数的取值范围是,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．·········12分 10.(1)依题意： PF 1 + PF 2 − F 1F 2 2=r ,则 PF 1 + PF 2 − F 1F 2 =4−2 3，即2a −2c =4−2 3又c a = 32,联立解得：a =2,c = 3，故b =1，所以椭圆的方程为x 24+y 2=1 (2)设, 联立直线和椭圆的方程得：, 当时有： 由得：,即, 整理得：,所以, 化简整理得：，代入得：, 解之得：或, 点到直线的距离, 设，易得或，则, 当时；当时，, 若，则；若，则，当时， 综上所述：，故点到直线的距离没有最大值.11.（1）由题可知11(,)24A --，39(,)24B -，设2(,)p p P x x -，1322p x -<<，所以 21412p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-，故直线AP 斜率k 的取值范围是(1,1)-.（2）直线11:24AP y kx k =+-，直线93:042BQ x ky k ++-=，联立直线AP ，BQ 方程可知点Q 的横坐标为223422Q k k x k --=+，||PQ =()Q p x x -22341()222k k k k --=+-+2=1||)2p PA x =+)k =-，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+，令3()(1)(1)f x x x =-+，11x -<<，则2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+，当112x -<<-时'()0f x >，当112x -<<时'()0f x <，故()f x 在1(1,)2--上单调递增，在1(,1)2-上单调递减. 故max 127()()216f x f =-=，即||||PA PQ ⋅的最大值为2716. 12.解：（Ⅰ）当1l 与x 轴重合时，1230k k k k +=+=，即34k k =-2l ∴垂直于x轴，得2AB a ==，223b CD a ==得a b =，∴椭圆E 的方程为：22132x y +=． （Ⅱ）焦点12,F F 坐标分别为()()1,0,1,0-当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为()1,0-或()1,0当直线1l 、2l 斜率存在时，设斜率分别为12,m m ，设()()1122,,,A x y B x y ， 由()2211321x y y m x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()2222111236360m x m x m +++-= 由求根公式并化简得：211221623m x x m +=-+或2112213623m x x m -⋅=+ 121212112112121212111422y y x x x x m k k m m x x x x x x m ⎛⎫⎛⎫++++=+=+=+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 同理：2342242m k k m +=--．1234k k k k +=+ ，()()1212212212442022m m m m m m m m -=-⇒⋅+-=--，由题意知：210m m -≠，1220m m ∴⋅+=． 设(),P x y ，则+2=01+1y y x x ⋅-，即()22112y x x +=≠± 当直线1l 或2l 斜率不存在时，P 点坐标为()1,0-或()1,0，也满足此方程，所以点P 在椭圆()22112y x x +=≠±上，存在点()0,1M -和()0,1N ，使得PM PN +为定值，定值为。
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圆锥曲线基础测试
1． 已知椭圆116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7
A ．116922=+y x
B ．1162522=+y x
C ．1162522=+y x 或125
162
2=+y x D ．以上都不对 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ）
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线
4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
5．抛物线x y 102
=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．
25 B ．5 C ．2
15 D ．10 6．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ）
A ．(7,
B ．(14,
C ．(7,±
D ．(7,-±
7．若椭圆22
1x my +=的离心率为2
，则它的长半轴长为_______________. 8．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。
9．若曲线22
141x y k k
+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。
10．抛物线x y 62=的准线方程为 .
11．椭圆552
2=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
12．k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22236x y +=有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
13．在抛物线24y x =上求一点，使这点到直线45y x =-的距离最短。
14．双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点， 求渐近线与椭圆的方程。
15．若动点(,)P x y 在曲线22
21(0)4x y b b
+=>上变化，则22x y +的最大值为多少？
参考答案
1．D 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a =-=
2．C 2222218,9,26,3,9,1a b a b c c c a b a b +=+====-=-=
得5,4a b ==，2212516x y ∴+=或125
162
2=+y x 3．D 2,2PM PN MN -==而，P ∴在线段MN 的延长线上
4．
C 22
22222,2,2,a c c c a e e c a =====5．B 210,5p p ==，而焦点到准线的距离是p
6．C 点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-
的距离，得7,P p x y ==±
7．1,2或 当1m >时，22
1,111
x y a m
+==； 当01m <<时，22222223111,1,,4,21144y x a b e m m a a a m
m
-+===-===== 8．22
1205
x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠，焦距2210,25c c == 当0λ>时，2
21,25,2044x y λλλλλ
-=+==； 当0λ<时，221,()25,2044
y x λλλλλ-=-+-==--- 9．(,4)(1,)-∞-+∞U (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或
10．32x =- 326,3,22
p p p x ===-=- 11．1 焦点在y 轴上，则22251,14,151y x c k k
k
+==-== 12．解：由222236
y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得2223(2)6x kx ++=，即22(23)1260k x kx +++= 22214424(23)7248k k k ∆=-+=-
当272480k ∆=->
，即k k ><或 当272480k ∆=-=
，即k k =
=或 当272480k ∆=-<
，即k << 13．解：设点2(,4)P t t ，距离为d
，2d =
= 当12t =时，d 取得最小值，此时1(,1)2
P 为所求的点。
14．解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为22
22125
y x a a +=-； 双曲线方程为2222125y x b b +=-，点(3,4)P 在椭圆上，2221691,4025
a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P
的渐近线为y x =
，即243,16b == 所以椭圆方程为2214015y x +=；双曲线方程为22
1169
y x += 15．解：设点(2cos ,sin )P b θθ，22224cos 2sin 4sin 2sin 4x y b b θθθθ+=+=-++ 令22,sin ,(11)T x y t t θ=+=-≤≤，2424,(0)T t bt b =-++>，对称轴4
b t = 当1,44b b >>即时，max 1|2t T T b ===；当01,044b b <≤<≤即时， 2max 4|
44b t b T T ===+ 22max 4,04(2)42,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩。