线性规划_应用题
l 时，直线经过可行域上的点 M ，
且与原点距离最大，此时 Z 2 x 3 y取得最大值．
x 2 y 8, 解方程组 得 M 2,3. 3 x y 9,
答：每天应生产 A型桌子2张， B型桌子3张才能 获最大利润．
小结
1．解线性规划实际问题的一般步骤； 2．线性规划问题的二类题型．
解：
x 2 y 8, 3 x y 9, 获利润为 Z 千元，则 x 0, y 0.
目标函数为 Z 2 x 3 y .
设每天生产 A 型桌子 x 张， B型桌子 y 张，每天所
如图，作出可行域，把直线 上方平移至的位置
'
2 x 3 y 0 向右 l：
10 x 4 y 300 , 5 x 4 y 200 , 4 x 9 y 360 , x 0, y 0.
求 , y 取何值时，目标函数 Z 600 t 1000 y 取得最大值．
x
④求解：
采用上节课所讲的图解法求出最大值．
360 1000 34.4 x 12.4， y 29 29
然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数， 最后用图解法求解．
解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为s百万元
则约束条件为
目标函数为
S 3x 2 y
2 x 3 y 14 2 x y 9 x 0 y 0
作出可行域（如图）， 3 3 S 将目标函数变形为 y x ，它表示斜率为 2 ，在 y 2 2 S 轴上截距为 的直线，平移直线 y 3 x S 2 2 2 13 5 当它经过直线 2 x y 9 和 2 x 3 y 14 的交点( , )时，
解：
演示课件
作出一组与直线
l 平行的直线 x y t 中
（ t 为参数）经过可行域内的点且和原点距离最近的
直线，此直线经过直线 x 3 y 27和直线 2 x y 15 57 18 39 的交点 A( , ) ，直线方程为 x y ． 5 5 5
18 39 由于 和 都不是整数，而最优解 ( x, y ) 中， 5 5
2．第二类问题实例
例3 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C 三种规格， 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的决数如下表所示：
规格类型 钢板类型
A 规格
B 规格
C 规格
第一种钢板
第二种钢板
2
1
1
2
1
3
今需要A，B，C 三种规格的成品分别为15，18，27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且 使所用钢板张数最少．
3．研究性题： 有一批钢管，长度都是4000 mm，要截成500 mm 和 600 mm 两种毛坯，且这两种毛坯数量比按大于 问怎样截最合理？
1 配套， 3
A配件 （个） B配件 （个） 耗时（h)
甲产品 乙产品 限 制
4 4 16 12
1
2 8
设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可 得二元一次不等式组
x＋2y 8 4x 16 4y 12 x 0 y 0
x 2 y 8 x 4 y 3 x 0 y 0
18 39 x、y必须都是整数，所以，可行域内的点 ( , )不是最 5 5
优解．经过可行域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的
点）且与原点距离最近的直线是 x y 12 ，经过的整点
是 B(3,9) 和C (4,8) ，它们是最优解．
课堂练习
某工厂家具车间造型两类桌子，每张桌子需木工 和漆工两道工序完成．已知木工做一张型桌子分别需 要1小时和2小时，漆工油漆一张型桌子分别需要3小时 和1 小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小 时和9小时，而工厂一张型桌子分别获利润2千元和3千 元，试问工厂每天应生产型桌子各多少张，才能获利 润最大？
布置作业
1．课本作业 P65 ，习题7.4，第3、4题．
2．思考题： 某工厂生产 A 和 B 两种产品，按计划每天生产 A,B 产 品各不得小于10t，已知生产 A产品1t 需用煤 9t，电4度， 劳动力3个（按工作日计算）；生产 B 产品 1t 需用煤 4t ， 电5度，劳动力10个．如果 A产品每吨价值7万元，B产品 每吨价值12万元，而且每天用煤不超过300 t，用电不超过 200度，劳动力最多只有300个．每天应安排生产两种 A,B 产品各多少，才能既保证完成生产计划，又能为国家创造 最多的产值？
例1：投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元， 需场地200m2,可获利300万元；投资生产B产品时，每 生产100m需要资金300万元，需场地100m2,可获利200 万元.现某单位可使用资金1400万元，场地900m2,问： 应作怎样的组合投资，可使获利最大？ 分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据 整理成表格，以方便理解题意：
的截距，当截距最 小时，z的值最小。
z 21 是直线在y轴上
5/7
M
3/7
如图可见，当直线 z＝28x＋21y 经过可 行域上的点M时，截距 最小，即z最小。
o
3/7
5/7
6/7 x
M点是两条直线的交点，解方程组 7 x 7 y 5 14 x 7为： y 4 7
第二类问题 即给定一项任务，如何合理安排和规划，能 以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任 务
例3、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的 脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质， 0.14kg脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105kg碳水化 合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足 营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要 同时食用食物A和食物B多少kg？
S 13 5 最大，即s最大．此时 S 3 2 14.75 2 4 2
4 2
因此，生产A产品325吨，生产B产品250米时，利润最 大为1475万元
例 2 某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产 品 1t 需耗 A 种矿石 10t 、 B 种矿石 5t 、煤 4t ；生产乙种 产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t．每1t甲种 产品的利润是 600 元，每 1t 乙种产品的利润是 1000 元．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿 石不超过300 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过360 t．甲、乙两种产品各生产多少（精确到1 t），能使 利润总额达到最大？
分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A B
0.105 0.105
0.07 0.14
0.14 0.07
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成 本为z，那么
0.105 x＋0.105 y 0.075 0.07 x＋0.14 y 0.06 0.14 x 0.07 y 0.06 x 0 y 0
y
4 3
M（4, 2）
o
4
8
x
设需截第一种钢板
x 张，第二种钢板 y 张，由题
2 x y 15, x 2 y 18, 中表格得 x 3 y 27, x 0, y 0. 试求满足上述约束条件的 x, y，且使目标函数
Z x y 取得最小值（其中 x 、 y 均为正整数）．
A配件 （个）
B配件 （个）
耗时（h) 利润（万元）
甲产品 乙产品 限 制
4 4 16 12
1 2 8
2万元 3万元
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
2 它表示斜率为 3 在y z
y
2 z x 3 3
轴上的截距为 线。
3
的直
y
4 3
当z变化时，可以得 到一族互相平行的 直线。 令z=0,作直线2x+3y=0
数学模型 实际问题
抽象概括
推 理 演 算
数学模型的解 实际问题的解
还原说明
在科学研究、工程设计、经济管理等方面， 我们经常会碰到最优化决策的实际问题，而解 决这类问题的理论基础是线性规划．利用线性 规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第 一种类型是给定一定数量的人力、物力资源， 问怎样安排动用这些资源，能使完成的任务量 最大，收到的效益最大；第二种类型是给定一 项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务 的人力、物力资源量最小．本节课主要研究这 两类问题．
（3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
一、实际问题
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算， 该厂所有可能的日生产安排是什么？
依据题中已知条件，列表如下：
消耗品 资源 A种矿石（t） B种矿石（t） 10 5 4 4 300 200 产品
甲产品（1t）
乙产品（1t） 资源限额（t）
煤（t）
利润（元）
4
600
9
1000
360
③建立数学模型：
已知变量 x ,
y 满足约束条件
A种矿石资源约束 B种矿石资源约束 煤资源约束 变量x非负约束 变量y非负约束
M
o 2x+3y=0
4
8
x
由上图可以看出，当经过直线x=4与直线x+2y-8=0的 z 交点 M （4 ，2 ）时，截距 的值最大，最大值为 ， 3 14 ( Zmax=2x+3y=2×4+3×2=14 )
线性规划例题
线性规划例题考虑以下线性规划问题:假设一家工厂生产两种产品，分别为A和B。
每个单位的产品A的利润为3美元，产品B的利润为5美元。
工厂有两个生产部门，分别为部门X和部门Y。
部门X每天能够生产100个单位的产品A和200个单位的产品B，而部门Y每天能够生产150个单位的产品A和100个单位的产品B。
另外，市场对产品A和产品B的需求分别为每天400个单位和300个单位。
问题是，工厂应该如何安排生产以最大化利润？首先，我们可以定义两个变量，x和y，分别表示部门X和部门Y每天生产的产品数量（单位）。
由于工厂要最大化利润，我们的目标是最大化3x+5y（即3美元/单位的产品A的利润加上5美元/单位的产品B的利润）。
其次，我们可以设置以下约束条件：1. 部门X生产的产品A和产品B的总量不能超过市场对产品A和产品B的需求：x ≤ 100，y ≤ 200。
2. 部门Y生产的产品A和产品B的总量不能超过市场对产品A和产品B的需求：x ≤ 150，y ≤ 100。
3. 工厂需要满足市场对产品A和产品B的需求量：x + y ≥ 400，x + y ≥ 300。
根据以上信息，我们可以得到以下线性规划模型：最大化 3x + 5y约束条件：x ≤ 100y ≤ 200x ≤ 150y ≤ 100x + y ≥ 400x + y ≥ 300我们可以使用线性规划软件（如Lingo或Excel的求解器）来求解该问题。
求解结果将给出最佳的生产量，以及对应的最大利润。
这个例子展示了一个简单的线性规划问题，其中涉及到生产和需求的限制。
通过最大化利润，工厂可以合理地安排生产，满足市场需求并最大化利润。
线性规划题及答案
线性规划题及答案线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优解。
在实际应用中，线性规划可以用于解决各种决策问题，如生产计划、资源分配、投资组合等。
以下是一个线性规划问题的示例：问题描述：某工厂生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每件需要2小时的加工时间，产品B每件需要3小时的加工时间。
每天的加工时间总共有16个小时。
产品A的利润为100元/件，产品B的利润为150元/件。
工厂的目标是最大化每天的总利润。
解决步骤：1. 定义变量：设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 建立目标函数：目标函数是每天的总利润，即：Z = 100x + 150y。
3. 建立约束条件：a) 加工时间约束：2x + 3y ≤ 16，表示每天的加工时间不能超过16小时。
b) 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0，表示产品的生产数量不能为负数。
4. 求解最优解：将目标函数和约束条件带入线性规划模型，使用线性规划算法求解最优解。
最优解及分析：经过计算，得到最优解为x = 4，y = 4，此时总利润最大为100 * 4 + 150 * 4 = 1000元。
通过最优解的分析可知，工厂每天应生产4件产品A和4件产品B，才能达到每天最大利润1000元。
同时，由于加工时间约束，每天的加工时间不能超过16小时，这也是生产数量的限制条件。
此外，也可以通过灵敏度分析来了解生产数量的变化对最优解的影响。
例如，如果产品A的利润提高到120元/件，而产品B的利润保持不变，那么最优解会发生变化。
在这种情况下，最优解为x = 6，y = 2，总利润为120 * 6 + 150 * 2 = 960元。
这表明，产品A的利润提高会促使工厂增加产品A的生产数量，减少产品B 的生产数量，以获得更高的总利润。
总结：线性规划是一种重要的数学优化方法，可以用于解决各种实际问题。
通过建立目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为数学模型，并通过线性规划算法求解最优解。
线性规划的应用习题
线性规划的应用习题1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？2．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下：每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12，15，17块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小．3．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小．4．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，问两种车各租多少辆时，可全部运完黄瓜，且动费最低．并求出最低运费．5．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要两种木料．生产一只圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润60元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利润100元，木器厂在现有木料情况下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使所获利润最多．线性规划的应用习题答案1．设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量，目标函数z=200x＋240y，线性约束条件：作出可行域．z最大=200×4＋240×8=2720答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．2．设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积zm2．目标函数z=x＋2y，线性约束条件：作出可行域．作一组平行直线x＋2y=t．的整点中，点(4，8)使z取得最小值．答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小．3．设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=3x＋2y，线性约束条件，作出可行域．作一组平等直线3x＋2y=t．A不是整点，A不是最优解．在可行域内的整点中，点B(1，1)使z取得最小值．z最小=3×1＋2×1=5，答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5m2．4．设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．z=960x＋360y．线性约束条件是：作出可行域．作直线960x＋360y=0．即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．z最小=960×10＋360×8=12480答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．5．设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x ＋10y．作出可行域．即M(350，100)．当直线6x＋10y=0即3x＋5y=0平移到经过点M(350，100)时，z=6x ＋10y最大．答：圆桌和衣柜应分别生产350件、100件时，才能获得最大利润．。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每种产品分别需要使用两种原材料X和Y。
已知每种产品的利润和原材料的用量，求解最大利润的生产方案。
二、数据分析1. 产品A的利润为每单位100元，产品B的利润为每单位150元。
2. 产品A每单位需要用2单位的原材料X和1单位的原材料Y；产品B每单位需要用1单位的原材料X和3单位的原材料Y。
3. 公司每天可用的原材料X和Y的数量分别为10单位和15单位。
三、数学建模设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
目标函数：最大化利润，即最大化目标函数Z = 100x + 150y。
约束条件：1. 原材料X的用量约束：2x + y ≤ 10。
2. 原材料Y的用量约束：x + 3y ≤ 15。
3. 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。
四、求解过程1. 构建线性规划模型：最大化目标函数 Z = 100x + 150y约束条件：2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法（如单纯形法）求解最优解。
五、最优解分析经过计算，得到最优解为：x = 5，y = 3，Z = 100*5 + 150*3 = 950。
六、结论为了实现最大利润，公司应生产5个单位的产品A和3个单位的产品B，此时可以获得最大利润950元。
七、敏感性分析通过敏感性分析可以了解目标函数和约束条件的变化对最优解的影响程度。
1. 原材料X的用量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：增加100元。
- 产品A的生产数量：不变。
- 产品B的生产数量：不变。
2. 原材料Y的用量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：增加150元。
- 产品A的生产数量：不变。
- 产品B的生产数量：不变。
3. 公司每天可用的原材料X的数量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：不变。
- 产品A的生产数量：不变。
- 产品B的生产数量：不变。
4. 公司每天可用的原材料Y的数量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：不变。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
线性规划习题及答案
线性规划习题及答案线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要用于解决资源分配问题，以达到最大化或最小化目标函数。
下面是一个线性规划的习题及答案：习题：某工厂生产两种产品A和B，每种产品都需要使用机器时间和劳动力。
产品A每件需要3小时的机器时间和2小时的劳动力，产品B每件需要2小时的机器时间和3小时的劳动力。
工厂每天有24小时的机器时间和18小时的劳动力。
设生产产品A的数量为x，生产产品B的数量为y。
1. 建立目标函数和约束条件。
2. 求解线性规划问题，找出最优生产计划。
答案：1. 目标函数：设目标是最大化利润，产品A的利润为40元/件，产品B的利润为30元/件。
因此，目标函数为：\[ \text{Maximize } P = 40x + 30y \]2. 约束条件：- 机器时间约束：\[ 3x + 2y \leq 24 \]- 劳动力时间约束：\[ 2x + 3y \leq 18 \]- 非负约束：\[ x \geq 0, y \geq 0 \]3. 图解法求解：- 首先在坐标系中画出约束条件所形成的可行域。
- 可行域的顶点坐标为：(0,0), (0,6), (4,2), (8,0)。
- 将这些点代入目标函数计算利润：- P(0,0) = 40*0 + 30*0 = 0- P(0,6) = 40*0 + 30*6 = 180- P(4,2) = 40*4 + 30*2 = 200- P(8,0) = 40*8 + 30*0 = 3204. 最优解：- 通过比较各点的利润，发现当生产8件产品A和0件产品B时，利润最大，为320元。
5. 结论：- 工厂应该生产8件产品A和0件产品B，以实现最大利润320元。
注意：本题答案仅为示例，实际解题时需要根据具体题目条件进行分析和计算。
线性规划应用题精选 苏教版
例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一例2、某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的51.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg ,问饲料怎样混合,才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料x kg ,动物饲料y kg ,每周总的饲料费用为z 元,那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥≥+05000005135000y x xy y x ,而z =0.28x +0.9y 如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x +0.9y =t ,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x +y =35000和直线x y 51=的交点)317500,387500(A ,即387500=x ,317500=y 时,饲料费用最低.所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.(例3图) (例4图)例3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 的含量及成本:营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A 不少于4400单位,维生素B 不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?解:设所购甲、乙两种食物分别为x 千克、y 千克,则丙种食物为(10-x -y )千克.x 、y 应满足线性条件为⎩⎨⎧≥--++≥--++4800)10(4002008004400)10(400600400y x y x y x y x ,化简得⎩⎨⎧≥-≥422y x y 作出可行域如上图中阴影部分目标函数为z =7x +6y +5(10-x -y )=2x +y +50,令m =2x +y ,作直线l :2x +y =0,则直线2x +y =m 经过可行域中A(3,2)时,m 最小,即m min =2⨯3+2=8，∴z min =m min +50=58答: 甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元.指出:本题可以不用图解法来解,比如,由⎩⎨⎧≥-≥422y x y 得z =2x +y +50=(2x -y )+2y +50≥4+2⨯2+50=58,当且仅当y =2,x =3时取等号 总结：(1)设出决策变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数;(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).2.线性规划问题的一般数学模型是:已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++nm nm n n m m m m b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********(这n 个式子中的“≤”也可以是“≥”或“=”号)其中a ij (i =1,2,…,n , j =1,2,…,m ),b i (i =1,2,…,n )都是常量,x j (j =1,2,…,m ) 是非负变量,求z =c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m 的最大值或最小值,这里c j (j =1,2,…,m )是常量.(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.线性规划中整点最优解的求解策略在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。
线性规划应用题
1. A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．【解析】 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤11，x ＋3y ≤9，x ∈N ，y ∈N ，生产利润为z ＝300x ＋400y ．画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，则z max ＝300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．【答案】1 7002. 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300．(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300． 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．3. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．【答案】274. 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：为________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x －1.2x )＋(0.3×6y －0.9y )＝x ＋0.9y ．线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋3y ≤180，x ≥0，y ≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋0．9y ＝0，向上平移至过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，解得A (30,20)． 【答案】305. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.6. 投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨) 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据所以不难看出，x ≥0，y ≥0,200x ＋300y ≤1 400,200x ＋100y ≤900.7. 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图阴影部分所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元． 8. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 答案 216 000解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．9. 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A ．1 800元 B ．2 400元 C ．2 800元 D ．3 100元答案 C解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶， 则根据题意得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .设获利z 元，则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图阴影部分．画出直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0. 平移直线l ，从图中可知， 当直线l 过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)，∴z max＝300×4＋400×4＝2 800(元)．故选C.。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。
现在公司希望通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。
已知产品A每个单位的利润为10元，产品B每个单位的利润为15元。
同时，产品A每个单位需要消耗2个资源X和3个资源Y，产品B每个单位需要消耗4个资源X和1个资源Y。
公司总共有40个资源X和30个资源Y可供使用。
二、数学建模1. 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 目标函数：最大化利润。
利润可以表示为10x + 15y。
3. 约束条件：a) 资源X的约束条件：2x + 4y ≤ 40b) 资源Y的约束条件：3x + y ≤ 30c) 非负约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0三、求解过程1. 根据数学建模中的目标函数和约束条件，可以得到如下线性规划模型：最大化：10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 403x + y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法，可以得到最优解。
通过计算，得到最优解为x = 6，y = 6，利润最大化为180元。
四、结果分析根据最优解，可以得知最大利润为180元，其中产品A的生产数量为6个，产品B的生产数量为6个。
同时，资源X还剩余28个，资源Y还剩余24个。
五、灵敏度分析对于线性规划问题，灵敏度分析可以帮助我们了解目标函数系数和约束条件右端项的变化对最优解的影响。
1. 目标函数系数的变化：a) 如果产品A的利润提高到12元，产品B的利润保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
新的最优解为x = 8，y = 4，利润最大化为168元。
b) 如果产品A的利润保持不变，产品B的利润提高到20元，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
新的最优解为x = 4，y = 7，利润最大化为190元。
2. 约束条件右端项的变化：a) 如果资源X的数量增加到50个，资源Y的数量保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
线性规划应用题精选
型机器y台
y
②列 ---生产产值z=4x+3y,x、y
的约束条件是 2x+3y≤12
4x+3y=0 o
A(3,2)
30x+20y≤130
x、y∈N ③解 ---用图解法找出最优整点
所以当x=3、y=2时,z取得最大值 ④答 ---A型机器配3台,B型机器 x 配2台时,这个车间小组每天的产 值最大
30x+20y=130 2x+3y=12
❖ 如图：作直线，即．
❖ 平移直线，从图中可知，当直线过点时，
❖ 目标函数取得最大值． ……………11分 ❖ 联立解得．
❖ 点的坐标为．……………13分 ❖ 答: 公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为
100分钟 ❖ 和200分钟，总收益为70万元。……………14分
❖[例1] 某校食堂以面食和米食为 主，面食每百克含蛋白质6个单位 ，含淀粉4个单位，售价0.5元； 米食每百克含蛋白质3个单位，含 淀粉7个单位，售价0.4元．学校
要给学生配制成盒饭，每盒至少 有8个单位的蛋白质和10个单位的
淀粉，应如何配制盒饭，才既科 学又使费用最少？
解：设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，费用z元。 目标函数为：z＝0.5x＋0.4y
广告时间，才能使公司的收益最大，最 大收益是多少万元？
❖ 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别 为分钟和分钟，总收益为元，……1分 由题意得 ……………4分
❖ 目标函数为．……………5分 ❖ 二元一次不等式组等价于……………6分 ❖ 作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可
行域．(图占3分)0100200300100200300400500yxlM