辽宁省大连市2019-2020学年高一上学期期末考试 数学(含答案)
log2
1 2
d
log2
x
d
log2
8
育学院 1 d x d 8 教2
大连 院
育学 为
®x ¯
1 2
d
x
d
½
8¾ ¿
…..4
分
大连教 （Ⅱ） f x
log2
2a x
x log2 8
(log2 2a log2 x)(log2 x log2 8)
育学院 (log2 x a)(log2 x 3)
大连 中抽出 20 人，打分 小于 4 的人数为 4 人， 作 A, B,C, D .
大连教育学院 在 6 人中任意抽取两人，所得样本空 为：
: {ab, aA, aB, aC, aD,bA,bB,bC,bD, AB, AC, AD,BC,BD,CD} ，共 包含 15 个样本点. …..9 分
把两人性别恰好 同 个事件 作 M ，
大 院 3
3
教育学 AF AB BF AB 3 BC a 3 b …..6 分
大连 4
4
大连教育学院 （Ⅱ）因为
AD AO OD AO DO y AF xDE
§ ¨©
y
2 3
x
· ¸¹
a
§ ¨©
3 4
y
x
·¸¹ b
b . …..9 分
y
§ ¨©
a
3 4
b
· ¸¹
x
§ ¨©
大连教 院 log2 x 2 a 3 log2 x 3a …..6
x
ª «¬
1 4
,
8º»¼
，所以
u
>2,
3@
大连教育学院 求
f
x
在
x
ª «¬
1 4
, 8º»¼
上的最小值即求函数
g
u
u2 a 3 u 3a 在
u >2,3@上的最小值，
做到 一 应得 加分数．
大 学院 四、 择 和填 育 二 2 分．
均 5 分，其中（14） 一 3 分，
大连教 ． 择 :
（1）A；（2）D；（3）C； （4）B； （5）B； （6）D；
学院 （7）A；（8）A；（9）B； （10）C；（11）D； （12）A 连教育 二. 填空 : 大 学院 （13） (3, 2) ； （14）89 , 87； （15） 1 ； （16） (0,1) 3, 4@．
min
综上，当 a d 3时， f x 的最小值为 0；
由 率分布直方图可以看出，男性消
分的中位数在区 [2,3) 内，
女性消
学院 数大.
分的中位数在区 [1, 2) 内，所以男性消
分的中位
教育 由图估 男性消
分的方差小.…..6 分
大连 学院 （Ⅱ） 用分层抽样的方法从 1000 名男消 中抽出 20 人，打分 小 教育 于 4 的人数为 2 人， 作 a,b ； 用分层抽样的方法从 1000 名女消
2019～2020 学年度第 学期期末考
大连教育学院 一数学参
与分准
明：
一、本
出了一 或几
供参 ，如
不同，可 据
主
内容
分 准制 应
与本 分 则．
二、对
，当
在一出
时，如 后 分
未改变
内容和 度，可 影响 度决定后 分 分，
院 但不得
分
应得分数 一半；如 后 分
有
育学 严
，就不再 分．
连教 三、 右 所 分数，
a
b
c
大连教 当且仅当 a 1， b 2 ， c 3时，等号成立. …..10 分
不 a 4 b 9 c 1 12 矛盾，因此假
院 b c a 学 中， 少有 个 小于 4. …..12 分
成立，从
三个数
连教育 19. ：（Ⅰ） DE AE AD 2 AB AD 2 a b …..3 分
育 16 大连教 三． 答 ：
大连教育学院 17. :因为 x A是 x B 的必
真子 …..2 分
充分条件，所以
等式| x a | 1，得 1 a x 1 a ，所以
A ^x 1 a x 1 a`，…..4 分
合B是
合A的
等式 x2 3x 2 d 0，得1 d x d 2 ，
院 所以 a 4 b 9 c 1 12 …..2 分 学 b c a
教育 因为 a ， b ， c 均大于 0，根据均值 等式有，
大连 学院 a 4 b 9 c 1 (a 1) (b 4) (c 9) t 12 ，…..8 分
育 b c a
g u
u2 a 3 u 3a
§¨© u
3a 2
·2 ¸¹
a
3 2
4
，u >2,3@ …..8
分
4
当 3 a t 3 时，即 a d 3时， 2
大连教育学院 易知函数 g u 在>2,3@ 为减函数，所以 g u g(3) 0 ； min
当 2 3 a 3时，即 3 a 7 时， 2
2 3
a
b
· ¸¹
即
§ ¨©
y
2 3
x
· ¸¹
a
§ ¨©
3 4
y
x
1·¸¹
b
0
2
大连教育学院 因为a 不b
共线，从
°°®
y
2 3
x
0
° °¯
3 4
y
x
1
， 0
得 °°®x °°¯ y
2 3 .…..12 分 4 9
20. ：（Ⅰ） 率分布直方图如下图所示，
大连教育学院
男性
大连女教性 育学院…..4 分
则 M {aA, aB, aC, aD,bA,bB,bC,bD}，共包含 8 个样本点.
3
∴ P(M ) 8 .…..12 分 15
21.
大连教育学院 ：（Ⅰ）由 意可得 log2 2 log2 x log2 x log2 8 d 0
log2 x 1 log2 x 3 d 0
易知函数
g
u
在
ª«¬2,
3
2
a
º »¼
为减函数，在
ª «¬
3
2
a
,
º 3»¼
为增函数，所以
院 g u
g(3 a) a 3 2 ；
学 min
2
4
连教育 当 3 a d 2 即 a t 7 时， 大 院 2
育学 易知函数 g u 在>2,3@ 为增函数，
大连教 g u g 2 10 5a .…..11 分
1
所以 B ^x 1 d x d 2` ，…...6 分
1 a 1
大连教育学院 因为
合B是
合 A 的真子
，所以
® ¯1
a
!
2
，…...8 分
即1 a 2.…..10 分
18. 明:假 三个数 小于 4，即 a 4 4 ，b 9 4 ，c 1 4 ，
b
c
a
辽宁省大连市2022-2023学年高一上册12月期末考试数学试卷(含解析)
辽宁省大连市2022-2023学年高一上册12月期末考试数学试卷（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}1,2,3,4A =，集合()(){}130B x x x =+-<，则A B = （）A.{}1,0,1,2,3- B.{}1,2,3 C.{}1,2 D.{}2【答案】C2.已知向量()1,2a =r ，(),4b x =- ，且//a b r r，则实数x =（）A.2B.1C.1- D.2-【答案】D3.若1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则131x +，231x +，…，1031x +的方差是（）A.18B.7C.6D.2【答案】A4.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕．党的二十大报告鼓舞人心，内涵丰富．某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（）A.120 B.35C.310D.910【答案】B5.下列函数中，其图像如图所示的函数为（）A.13y x-= B.23y x=C.13y x = D.23y x -=【答案】A6.“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P （单位：mg L ）与时间t （单位：天）间的关系为：0ektP P -=⋅，其中0P 表示初始含量，k 为正常数．令2121P P t t μ-=-为[]12,t t 之间海水稀释效率，其中1P ，2P 分别表示当时间为1t 和2t 时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即(]0,5，(]5,10，(]10,15，(]15,20分别记为Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，则下列哪个时期的稀释效率最高（）．A.Ⅰ期B.Ⅲ期C.Ⅲ期D.Ⅳ期【答案】A7.已知0x >，0y >，且满足20x y xy +-=，则92x y+的最大值为（）A.9 B.6 C.4D.1【答案】D8.已知定义域为D 的函数()f x ，若1x D ∀∈，都2x D ∃∈，满足()122x f x a +=，则称函数()f x 具有性质()P a ．若函数()f x 具有性质()1P ，则“()f x 存在零点”是“2D ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，R c ∈，则下列命题正确的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若a b >，01c <<，则a bc c <C.若1a b >>，1c >，则log log a b c c<D.若1a b <<-，0c >，则c ca b b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD10.同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B 表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C 表示“两枚骰子的点数相同”，事件D 表示“至少一枚骰子的点数是奇数”，则（）A.A 与C 互斥B.B 与D 对立C.A 与D 相互独立D.B 与C 相互独立【答案】AD11.已知点P 为ABC 所在平面内一点，且230PA PB PC ++=，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是（）A.向量PA 与PC可能平行B.点P 在线段EF 上C.:2:1PE PF =D.::1:2:3PAB PAC PBC S S S =△△△【答案】BC12.已知函数()()21350f x x x x =+->，()22e2xf x x =+-，()3ln 24f x x x =+-的零点分别为1x ，2x ，3x ，则下列结论正确的是（）A.123x x x <<B.232x x +=C.()310f x <D.()()3223f x f x =【答案】BC第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题功4小题，每小题5分，共20分．）13.2log 522log 4+=______．【答案】714.已知向量a ，b满足()1,2a =- ，(),1b x =r ，3a b += ，则实数x =______．【答案】115.在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法抽取男生24人，女生16人，得到了男生的平均身高是170cm ，女生的平均身高是165cm ，则估计该校全体学生的平均身高是______cm ．【答案】16816.函数()()()224f x xxax b =-++满足：x ∀∈R ，都有()()20222024f x f x -=-，则函数()f x 的最大值为______．【答案】16四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图所示，在ABC 中，D 为BC 边上一点，且2BD DC =．过D 点的直线EF 与直线AB 相交于E 点，与直线AC 相交于F 点（E ，F 两点不重合）．（1）用AB，AC 表示AD；（2）若AE AB λ=，AF AC μ=，求12λμ+的值．【答案】（1）1233AD AB AC=+（2）3.【解析】【小问1详解】在ABD △中，由AD AB BD =+,又2BD DC =，所以23BD BC =，所以23AD AB BD AB BC=+=+ ()23AC ABAB =+- 2233AB ACAB =-+ 1233AB AC =+【小问2详解】因为1233AD AB AC =+ ，又AE AB λ= ，AF ACμ=所以1AB AE λ= ，1AC AF μ=，所以3231A E D A A F μλ=+，又,,D E F 三点共线，且A 在线外，所以有：12133λμ+=，即123λμ+=.18.已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{}22,R B x m x m m =-≤≤+∈．（1）若{}03A B x x ⋂=≤≤，求实数m 的值；（2）若:p x A ∈，R :q x B ∈ð，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2m =（2）{5m m >或}3m <-．【解析】【小问1详解】因为{}03A B x x ⋂=≤≤，所以2023m m -=⎧⎨+≥⎩，所以21m m =⎧⎨≥⎩，所以2m =；【小问2详解】{R 2B x x m =<-ð或}2x m >+，:p x A ∈，R :q x B ∈ð，且p 是q 的充分条件由已知可得R A B ⊆ð，所以23m ->或21m +<-，所以5m >或3m <-，故实数m 的取值范围为{5m m >或}3m <-．19.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形式．某直播平台800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图1所示．（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2所示．请根据频率分布直方图计算下面的问题；（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同一组中的数据用该组区间的中点値作代表）；（ⅱ）若将平均日利润超过420元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个数．【答案】（1）小吃类16家，玩具类4家；（2）（i ）中位数为342.9，平均数为352.5；（2）128.【解析】【小问1详解】()40125%15%10%5%5%16⨯-----=，4010%4⨯=，所以应抽取小吃类16家，玩具类4家.【小问2详解】（i ）根据题意可得()0.00130.0030.0050.007501a ⨯++++⨯=，解得0.002a =，设中位数为x ，因为()0.0010.003500.2+⨯=，()0.0010.0030.007500.55++⨯=，所以()3000.0070.20.5x -⨯+=，解得342.9x ≈，平均数为()2250.0012750.0033250.0073750.0054250.0024750.0015250.00150352.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5.（ii ）4504200.0020.0010.0015080012850-⎛⎫⨯++⨯⨯=⎪⎝⎭,所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为128.20.第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．（1）已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；（2）已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时乙得分的概率为12，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．【答案】（1）925；（2）49.【解析】【小问1详解】设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件A ，若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，所以()3395525P A =⨯=；【小问2详解】设“该局比赛甲得11分获胜”为事件B ，甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲11:8获胜；甲得3分，乙得1分，则甲11:9获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，所以()22112112111221143323322332233229P B =⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.21.已知函数()14xb f x a =++的定义域为R ，其图像关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称．（1）求实数a ，b 的值；（2）求122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；（3）若函数()412log 22xg x f x x+⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，判断函数()g x 的单调性（不必写出证明过程），并解关于t 的不等式()()2121g t g t -++>．【答案】（1）2,2a b ==-（2）1011（3）103t -<<【解析】【小问1详解】有条件可知函数()f x 经过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()112210122f f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭∴⎨⎪+=⨯⎪⎩，即12112411114b a b b aa ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+++=⎪++⎩，解得：2,2a b ==-，()2414242xx xf x -=+=++；【小问2详解】由于120222************1,1,,1202320232023202320232023+=+=+= ，1202222021101110121,1,,1202320232023202320232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问3详解】由于42log 2x y x +=-是奇函数，根据函数平移规则，()()12h x g x =-也是奇函数，并且由于()f x 是增函数，42log 2xy x+=-也是增函数，()h x ∴也是增函数，定义域为()2,2-不等式()()2121g t g t -++>等价于()()11212022g t g t --++->，即()()2120h t h t -++>，()()()2122h t h t h t ->-+=--，由于()h x 是增函数，2122212222t t t t ->--⎧⎪∴-<-<⎨⎪-<+<⎩，解得103t -<<；综上，（1）2,2a b ==-；（2）1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）103t -<<.22.已知函数()f x 的图像与函数()31xg x =-的图像关于直线y x =对称，函数()()9log 1h x x a =-+．（1）若4a =，求()()()F x f x h x =⋅在[]0,4x ∈上的最大值；（2）设()()(){}max ,2H x f x h x =，[]0,4x ∈，求()H x 的最小值，其中{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩．【答案】（1）()F x 在[]0,4x ∈上的最大值为12（2）()H x 的最小值()()()3min 33log 1,0log 1,082log 3,8a a a H x a a a ⎧-≤⎪⎪⎛⎫=+<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎩【解析】【小问1详解】解：因为函数()f x 的图像与函数()31xg x =-的图像关于直线y x =对称，即()f x 与()g x 互为反函数，所以()()3log 1f x x =+当4a =，有()()9log 41h x x =-+，则()()()()()3939log 1log 41log 1log 5F x x x x x =+⋅-+=+⋅-()()331log 1log 52x x =+⋅-，又[]0,4x ∈时，[][]11,5,51,5x x +∈-∈，所以()()33log 10,log 50x x +≥-≥，所以()()()()()()()()2233223333log 1log 511111log 1log 5log 15log 29222882x x F x x x x x x ⎛⎫++-⎡⎤=+⋅-≤=+-=--+≤ ⎪⎣⎦⎝⎭，当且仅当()()33log 1log 52x x x ⎧+=-⎨=⎩，即2x =时等号同时成立，所以()F x 在[]0,4x ∈上的最大值为12；【小问2详解】解：()()()9322log 1log 1h x x a x a =-+=-+，()()2f x h x <等价于11x x a +<-+，即x x a <-，因为[]0,4x ∈，当0a ≤时，x a x a x -=-≥恒成立，所以()()2f x h x ≤，则()()3log 1H x x a =-+，所以()H x 在[]0,4x ∈上单调递增，所以()()()min 30log 1H x H a ==-；当04a <<时，[)[],0,,,4a x x a x a x a x a ⎧-∈⎪-=⎨-∈⎪⎩，此时当0,2a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x h x <，当,42a x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()2f x h x >，所以()()()33log 1,0,2log 1,42a a x x H x a x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，()H x 在0,2a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,42a x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()min 3log 122a a H x H ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当4a ≥时，x a a x -=-，当48a ≤<时，()H x 与上一种情况相同，所以()min 3log 122a a H x H ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当8a ≥时，x a a x x -=-≥恒成立，所以()()2f x h x <，则()()3log 1H x a x =-+，所以()H x 在[]0,4x ∈上单调递减，所以()()()min 34log 3H x H a ==-；综上，()H x 的最小值()()()3min 33log 1,0log 1,082log 3,8a a a H x a a a ⎧-≤⎪⎪⎛⎫=+<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎩.。
辽宁省大连市20192020学年高数学上学期期末考试试题无
大连市 2018-019 学年度第一学期期末考试一试卷高一数学注意事项 :1.请在答题纸上作答 , 在试卷上作答无效；2.本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分 , 共 150 分 , 考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷一、选择题 ( 本大题共12 小题 , 每题 5 分 , 共 60 分 , 在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项切合题目要求的)1.设会合 A 1，2 ， B 2，3，4 ，则正确的选项是A. A B 1，3，4B. A B 2，3，4C. 1 AD.1 A2. 命题 P: “x R， x22x m＞0 ”的否认为A.x R， x22x m＞0B.x R， x22x m 0C.x R， x22x m＜0D.x R， x22x m 03. 以下函数在0，上是增函数的是11 x3A. y x2B.C. y log 0. 5 xD.y y3 x4. 函数f x lg x 22x 3 的单一递减区间为A.， 1B.，1C.1，D.3，5. 某企业 10 位职工的月薪资 ( 单位 : 元 ) 为，，，， 2x1 x2 x10其均匀值和方差分别为x 和 s ，若从A. x ， s 2 1002B.x 100，s 2 1002 C. x 100，s 2D.x ， s 26. 函数 f xln x x 3 2 的零点所在的区间为A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2 17. 已知 alog 3 6， b 1 3 log 3 e ，c，则 a 、 b 、c 的大小关系为3A. a ＞b ＞cB. a ＞c ＞bC.c ＞b ＞ a D. b ＞a ＞c8. 函数 f xxlg x 的图象可能是9. 从含有两件正品和一件次品的 3 件产品中每次任取 1 件 , 每次拿出后放回 , 连续取两次 , 则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是A.1B.2 C.4 D.5 239910. 设 a 、 b 是实数 , 则“ a ＞b ”是“ a 2＞b 2 ”的A. 充分而不用要条件B. 必需而不充分条件C. 充分必需条件D. 既不充分也不用要条件2 a x， ＜ 21x，上的值域为 R, 则 a 的取值范围是11. 已知函数 f x2 在 xa x 1，x5 B.0，C.1，2D.5 ，A. 1，23312. 已知 与分别是函数f x 2xx5 与 g x log 8 x 3 x5 的零点 , 则 2 log 2 的值为A. 4log 2 3B. 2log 2 3C.4D. 5第Ⅱ卷二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 5 分 , 共 20 分 , 把答案填在答卷纸的相应地点上)13. 已知4a2，lg x a，则 x_______.14. 甲乙两套设施生产的同种类产品共4800 件 , 采纳分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行质量检测. 若样本中有50 件产品由甲设施生产, 则乙设施生产的产品总数为____ 件。
辽宁省大连市高一上学期期末考试数学试题(原卷版)
6.根据天气预报，某一天A城市和B城市降雨的概率均为0.6，假定这一天两城市是否降雨相互之间没有影响，则该天这两个城市中，至少有一个城市降雨的概率为（）
A. 0.16B. 0.48C. 0.52D. 0.84
7.函数 的图像大致为（）
A. B.
C D.
8.关于频率和概率，下列说法正确的是（）
13.已知 ， ，则 ________.
14.现统计出甲、乙两人在8次测验中的数学成绩如下（其中乙的一个成绩被污损）：
甲：86，79，82，91，83，89，94， 89
乙：90，92， ，80，84，95，94，90
已知乙成绩的平均数恰好等于甲成绩的60%分位数，则乙成绩的平均数为________， 的值为________.
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
A.②④B.①④C.①②D.②③
9.已知平面上的非零向量 ， ， ，下列说法中正确的是（）
①若 ， ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ， ；
④若 ，则一定存在唯一的实数 ，使得 .
A ①③B. ①④C. ②③D. ②④
10.已知定义在R上的函数 ，下列说法中正确的个数是（）
1.已知集合 ， 则 （）
A. B. C. D.
2.已知命题 ， ，则 为（）
A. ， B. ，
C. ，. B. C. D.
4.如果 平均数 ，方差 ，则 的平均数和方差分别为（）
A.5，5B.5，4C.4，3D.4，2
5.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （）
男性：
评分结果
频数
50
200
350
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
2021-2022学年辽宁省大连市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年辽宁省大连市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数，其中是虚数单位，则的共轭复数是（ ）()i 12i z =-i z A ．B ．C ．D ．2i -2i+12i+12i-A【分析】结合复数乘法、共轭复数等知识求得正确答案.【详解】.()2i 12i i,2iz z =+==--故选：A 2．若，且为第四象限角，则的值为（ ）12cos 13α=αtan αA ．B ．C ．D ．125125-512512-D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于，且为第四象限角，12cos 13α=α所以，5sin 13α==-.sin 5tan cos 12ααα==-故选：D3．若、是空间中两条不同的直线，则的充分条件是（ ）a b a b ∥A ．直线、都垂直于直线B ．直线、都垂直于平面a b l a b αC ．直线、都与直线成角D ．直线、都与平面成角a b l 30°a b α60︒B【分析】根据线线平行、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，都与垂直，可能，A 选项错误.,a b l a b ⊥B 选项，都垂直于平面，则，B 选项正确.,a b αa b ∥C 选项，都与成角，可能相交，C 选项错误.,a b l 30°,a bD 选项，都与平面成角，可能异面，D 选项错误.,a b α60︒,a b 故选：B4．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径，16cm AB =圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（ ）8cm BC =6cm CD =A ．B ．C ．D ．2192πcm 2208πcm 2272πcm 2336πcm C【分析】结合组合体表面积的计算方法计算出正确答案.【详解】圆柱、圆锥的底面半径为，8cm，10cm =所以陀螺的表面积是.22π82π88π810272πcm ⨯+⨯⨯+⨯⨯=故选：C5．如图，小明同学为测量某建筑物的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，CD AB 高为，在地面上的点（，，三点共线）测得楼顶、建筑物顶部的仰12m M B M D A C 角分别为和，在楼顶处测得建筑物顶部的仰角为，则小明测得建筑物15︒60︒A C 30°的高度为（ ）（精确到CD 1m 1.414≈ 1.732≈A ．B ．C ．D ．42m 45m 51m 57mD【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，进而求得.AM CM CD 【详解】在直角三角形中，，ABM 1212sin15,sin15AM AM ︒==︒在三角形中，，ACM 301545,1806015105CAM CMA ∠=︒+︒=︒∠=︒-︒-︒=︒，1801054530ACM ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理得,sin 45sin 45sin 30sin 30CM AM AM CM ==⋅︒=︒︒︒在直角三角形中，CDM sin60,sin60CDCD CMCM︒==⋅︒======.363612 1.73257m=+=+⨯≈故选：D6．设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是A B C D，，，A．若与共面，则与共面AC BD AD BCB．若与是异面直线，则与是异面直线AC BD AD BCC．若==，则AB AC DB，DC AD BC⊥D．若==，则=AB AC DB，DC AD BCD【分析】由空间四点共面的判断可是A,B正确，；C,D画出图形，可以判定AD与BC不一定相等，证明BC与AD一定垂直．【详解】对于选项A，若与共面，则与共AC BD A B C D AD，，，是四点共面，则BC面，正确；对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面AC BD,,,A B C D AD BC直线，正确；如图，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，∴D错误；对于C,当四点共面时显然成立，A B C D，，，当四点不共面时，取BC的中点M，连接,,,A B C DAM、DM，AM⊥BC，DM⊥BC，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∴C正确；本题通过命题真假的判定，考查了空间中的直线共面与异面以及垂直问题，是综合题．7．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，sin 2y x =ϕcos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则的值可以是（ ）ϕA ．B ．C ．D ．12π6π3π23πD【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的ϕ等式，即可得出结果.【详解】因为，2cos 2sin 2sin 26623y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数sin 2y x =ϕ的图象，()()sin 2sin 22y x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦由题意可得，可得，当时，，()2223k k ππϕ=-∈Z ()3k k πϕπ=-∈Z 1k =23ϕπ=故选：D.8．已知圆台上下底面半径分别为3、4，圆台的母线与底面所成的角为．且该圆台45︒上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．100π5003π200π7003πB【分析】根据圆台轴截面及已知求圆台的高，再根据球体半径与圆台上下底面半径的几何关系列方程求出球体半径，进而求球体的体积.【详解】由题意，轴截面如下图示，1AE DE ==若球体半径为R ，则，可得.229(1R -=5R =所以该球体积为.3450033R ππ=故选：B 二、多选题9．设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出1z 2z 1OZ 2OZ的是（ ）12OZ OZ ⊥A ．B ．C ．D ．12i z z =122z z =12=z z 1212z z z z +=-AD【分析】A 根据的几何意义判断；B 由即可判断；C 由12i z z =122OZ OZ =即可判断；D 由并结合向量数量积的运算律即可12||||OZ OZ = 1212OZ OZ OZ OZ +=- 判断.【详解】A ：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符12i z z =2OZ 90︒1OZ 12OZ OZ ⊥合；B ：等价于，即共线，不符合；122z z =122OZ OZ =12,OZ OZ C ：等价于，但不一定有，不符合；12=z z 12||||OZ OZ =12OZ OZ ⊥ D ：等价于，两边平方并应用数量积的运算律1212z z z z +=-1212OZ OZ OZ OZ +=-可得，即，符合.120OZ OZ ⋅=12OZ OZ ⊥ 故选：AD10．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）A．B．C．D．ABC【分析】根据正方体截面过外接球球心，讨论截面是否过顶点及所过顶点个数、是否与侧面平行，即可判断截面图形的元素.【详解】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A；当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C；当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B正确，D错误.故选：ABC11．下列各式正确的是（）A．B．()()1tan11tan442+︒+︒=12sin10-=︒C．D．23sin7022cos10-=-︒︒)tan70cos102012︒⋅︒︒-=AC【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，()tan1tan44tan45tan144,11tan1tan44︒+︒︒=︒+︒=-︒⋅︒，tan1tan441tan1tan44︒+︒=-︒⋅︒所以()()1tan11tan441tan1tan44tan1tan44+︒+︒=+︒+︒+︒⋅︒，A选项正确.tan1tan44tan1t211an44︒⋅︒+︒⋅+-︒==B选项，1sin10=︒()()2cos60cos10sin60sin102cos601011sin20sin2022︒︒-︒︒︒+︒==︒︒，B选项错误.cos70sin20444sin20sin20︒︒=⋅=⋅=︒︒C 选项，，C 选项正确.23sin 703cos 203cos 2021cos 203cos 202cos 10222--︒-︒===+︒-︒-︒-︒D选项，)sin 70tan 70cos10201cos101cos 70⎫︒︒⋅︒⋅︒-=⋅︒⋅⎪⎪︒⎭cos 20cos10sin 20︒=⋅︒cos10︒，D 选项错误.()sin 20301sin10︒-︒===-︒故选：AC12．已知函数在区间上单调，且满足()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭有下列结论正确的有( )73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若，则函数的最小正周期为；()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x πC ．关于x 的方程在区间上最多有4个不相等的实数解()1f x =[0,2)πD ．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ω8,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ABD【分析】A ：在上单调，，，故()f x 73,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73212423πππ+=；203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭56x π=23x π=2x π=()f x 上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭知是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭512x π=倍即可求出ω，从而求出其周期；()214k k +∈Z C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D ：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在203f π⎛⎫=⎪⎝⎭23π()f x 23π⎡⎢⎣136π⎫⎪⎭()f x 区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13252632T T ππ<- 【详解】A ，∵，∴在上单调，又7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 73,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴，故A 正确；73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73212423πππ+=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，区间右端点关于的对称点为，∵，f (x )在75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭56x π=23x π=2x π=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭为的最小正周期，即3，又，∴.若512(62322T T ππππω-==⋅ ()f x )ω0>ω03ω< ，则的图象关于直线对称，结合，得()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 512x π=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即，故()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ()42k k ω=+∈Z k ＝0，，故B 正确.2,T ωπ==C ，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而03ω< 23T π()f x [)0,2π在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多()1f x =x ()1f x =[)0,2π有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在203f π⎛⎫=⎪⎝⎭23π()f x 23π⎡⎢⎣136π⎫⎪⎭()f x 区间上恰有5个零点，则，结合，得，213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13252632T T ππ<- 2T πω=81033ω< 又，∴的取值范围为，故D 正确.03ω< ω8,33⎛⎤⎥⎝⎦故选：ABD.本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，()()()sin 0f x x ωϕω=+>解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.()214k k +∈Z 三、填空题13．函数的最小正周期为___________.()tan2xf x =2π直接由正切函数的周期公式可得答案.【详解】.212T ππ==故答案为.2π14．如图，在正四棱柱中，，是棱的中点，异面直1111ABCD A B C D-1AB =E BC 线与所成角的余弦值为，则______．1AB 1CE m m=127-【分析】作辅助线，根据异面直线的定义找到与所成角，解三角形即可求得1AB 1C E 答案.【详解】在正四棱柱中，连接 ,1111ABCD A B C D-1DC 则由于四边形是平行四边形，故 ,1111,AD B C AD B C =∥11AB C D 11AB DC ∥故异面直线与所成角即为与所成角,1AB 1C E 1DC 1C E 即即为异面直线与所成角或其补角，1DC E ∠1AB 1C E 设,则所以 ,12AA=1AB ==112,4CC DC ====1DE C E ===所以,1cos DC E ∠==故异面直线与所成角的余弦值为，则1AB 1C E m m =15．已知函数不是常数函数，且函数满足：定义域为，的图象关于()f x ()f x R ()f x 直线对称，的图象也关于点对称．写出一个满足条件的函数2x =()f x ()1,0______．（写出满足条件的一个即可）()f x （答案不唯一）()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭【分析】根据对称性确定正确答案.【详解】依题意，不是常数函数，定义域为，()f x R 图象关于直线对称，也关于点对称，2x =()1,0所以符合题意.()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭故（答案不唯一）()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭16．如图，四边形为正方形，平面，，若ABCD AG ⊥ABCD ////AG DF CE ，，，则______．3AG AB ==2DF =1CE =:B EGD G BEF V V --=22:1【分析】将几何体补全为正方体，由、G BEF ABCD GIHJ G HEBJ G HIFE B CDFE B DFGA V V V V V V ------=----求出体积，即可得结果.B EGD ABCD GIHJ G HEBJ G HIDE E BCD G ABD V V V V V V ------=----【详解】将几何体补全为正方体，如下图示，G BEF ABCD GIHJ G HEBJ G HIFE B CDFE B DFGAV V V V V V ------=----111111112735333333335332323232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯.3=B EGD ABCD GIHJ G HEBJ G HIDE E BCD G ABDV V V V V V ------=----111111112735335313333332323232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯.6=所以.:2:1B EGD G BEF V V --=故2:1四、解答题17．已知向量，．()1,2a =(),3b x =(1)若，求的值；()3a b b -⊥ x (2)若向量，夹角为锐角，求的取值范围．a b x(1)；x =(2)或.362x -<<32x >【分析】（1）应用向量线性运算坐标表示可得，根据向量垂直的坐标3(3,3)a b x -=- 表示即可求参数值；（2）由题设有，注意排除，同向共线时对应x 值即可.60a b x ⋅=+> a b【详解】(1)由题设，，又，3(3,3)a b x -=- ()3a b b-⊥ 所以，即，(3)90x x -+=2390x x --=可得.x =(2)由题设，，即，60a b x ⋅=+>6x >-当，同向共线时，有且，此时，可得，不满足，夹角a b a b λ= 0λ>132x λλ=⎧⎨=⎩32x =a b 为锐角，综上，或.362x -<<32x >18．如图1，菱形中，，，垂足为点，将沿翻折ABCD 60A ∠=︒DE AB ⊥E AED DE 到，使，如图2．A ED ' A E BE '⊥(1)求证：平面；A E '⊥EBD (2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存A D 'F EF ∥A BC 'DFFA '在，说明理由．(1)证明见解析；(2)存在，.1DFFA ='【分析】（1）推导出，由此能证明平面.,,DE AE A E DE A E BE ⊥⊥⊥''A E '⊥BCDE（2）分别取的中点，连接，推导出四边形是平行,A D A C '',F M ,,EF FM BM EBMF 四边形，，从而在线段上存在一点，使平面，且.//EF BM A D 'F //EF A BC '1DFFA ='【详解】(1)在菱形中，，ABCD ,DE AB DE AE ⊥∴⊥ ，,,A E DE A E BE DE BE E ''∴⊥⊥⋂= 平面.A E '∴⊥EBD (2)在线段上存在一点，使平面.A D 'F EF //A BC '理由如下：分别取的中点，连接，,A D A C '',F M ,,EF FM BM 为的中位线，，且，FM A DC 'FM DC ∴∥12FM DC =在菱形中，，且，ABCD EB DC ∥12EB DC=，且四边形是平行四边形，，FM EB ∴∥,FM EB =∴EBMF EF BM ∴∥平面平面，EF ⊄ ,A BC BM '⊂A BC '平面，EF ∴ A BC '为中点，F A D '.1DFFA ∴'=19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数O ()sin cos f x a x b x =+(),a M b O =的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．()f x ()f x OM (1)若向量为的相伴特征向量，求实数的值；()2,2m =()sin 4h x x πλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭λ(2)记向量的相伴函数是，求在的值域．()5,12m =()f x ()f x 20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(1)(2)⎤⎥⎦【分析】（1）根据已知相伴特征向量的定义可得，即可求解；()2sin 2cos h x x x =+（2）根据相伴函数的定义结合三角恒等变换得到函数的解析式，利用正弦型函数()f x 的性质求解值域即可.【详解】(1)解：因为向量为的相伴特征向量，()2,2m =()sin 4h x x πλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则，()sin 2sin 2cos 44h x x x x x ππλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得.λ=(2)解：因为向量的相伴函数是()5,12m =，()5125sin 12cos 13sin cos 1313f x x x x x ⎛⎫=+=⨯+ ⎪⎝⎭设，则，512cos ,sin 1313θθ==sin 1θ<<32ππθ<<所以，()13sin()f x x θ=+当时，，20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,3x πϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦当时，函数有最大值为13，2x πϕ+=()f x 当时，即，函数有最小值为23x πϕϕ+=+23x π=()f x，222()5sin 12cos 333f πππ=⨯+⨯=故函数的值域为.()f x ⎤⎥⎦20．如图，在直三棱柱中，，且111ABC A B C -AC BC ⊥AC ==BC ，是棱的中点，是棱上的点，满足．12AA AB=D 1BB E 1CC 15CE EC =(1)证明：平面；AD ⊥1A DE (2)求直线与平面所成角的正弦值．AE 1ABB (1)证明见解析【分析】（1）先根据数量关系证明线线垂直，然后可得线面垂直；（2）先求解到平面的距离，然后根据线面角的定义求解正弦值.E 11ABB A【详解】(1)证明：因为，且;AC BC ⊥AC ==BC 3AB =因为，所以；12AA AB =16AA =因为是棱的中点，所以，D 1BB 1AD A D ==因为，所以；22211AD A D AA +=1AD A D ⊥因为，，所以；15CE EC =16AA =11,5C E CE ==在直角梯形中，，所以.11C B DE 11B C =13B D =DE =在直角三角形中，，所以ACE AC ==5CE AE 因为，所以.222AD DE AE +=AD DE ⊥由，，且，所以平面.1AD A D ⊥AD DE ⊥1=A D DE D ⋂AD ⊥1A DE (2)在直角三角形中，作于，如图，ACB CH AB ⊥H由等面积法可得；CH 由直棱柱的性质可得，所以平面;1AA CH ⊥CH ⊥11ABB A因为平面，所以到平面，1//CC 11ABB A E 11ABBA 设直线与平面所成角为，则AE 1ABB θsinθ==21．已知平面四边形中，，，．ABCD AB AD =AB AD ⊥AC =1BC =(1)若，求四边形的面积；56ACB π∠=ABCD (2)若记，．()0ACB θθπ∠=<<()CD f θ=①求的解析式；()f θ②求的最小值及此时角的值．CD θ(2)①②，此时．()f θ=CD 14πθ=【分析】（1）由余弦定理求得，，继而得，，根据三AB =cos CAB ∠sin DAC ∠AD 角形的面积公式可求得答案；（2）①由余弦定理求得，再由正弦定理求得，继而得，AB sin CAB ∠cos DAC ∠，根据余弦定理可求得；AD ()f θ②由角的范围和正弦函数的性质可求得的最小值及此时角的值．CD θ【详解】(1)在中，，，所 以ABCAC=1BC =56ACB π∠=，222+2cos AB AC CB AC BCACB =-⋅∠即，所以2225+11cos6AB π=-⨯AB =所以，222cos 2CA AB BCCABCA AB +-∠===⋅又，，所以AB AD =AB AD ⊥sin DAC ∠=AD AB ==所以，151sin 26ABC S π=⨯=19sin 24ADC S DAC =∠= 所以四边形ABCD (2)①在中，，，所 以ABC AC =1BC =ACB θ∠=，222+2cos AB AC CB AC BC θ=-⋅即，所以，222+11cos AB θ=-⨯24AB θ=-又，所以sin sin AB CB CAB θ=∠sinCAB ∠=又，，所以AB AD =AB AD⊥co s DAC ∠=，224A AB D θ=-=所以2222+cos AD AC CD AD AC DAC-⋅=∠4+3θ=--，7+4πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以；()CD f θ==②因为，所以，0θπ<<5444πππθ<<+所以当，即时，，42ππθ=+4πθ=min 14CD f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以，此时．CD 14πθ=关键点睛：本题主要考查运用正弦定理、余弦定理解三角形，关键在于运用正弦定理 、余弦定理表示其边和角得的解析式.()f θ22．如图，在四棱锥中，，底面为正方形．记直线S ABCD -SAB SAD∠=∠π2≤ABCD 与平面所成的角为．SA ABCD θ(1)求证：平面平面；SAC ⊥SBD (2)若二面角的大小为，求的值；B SA D --2π3cos θ(3)当时，、中点为，，点为线段上的动点（包括端点），π2θ=SB BC M N P CD ，二面角的大小记为，求的取值范围．2SA AB =M NP A --αtan α(1)证明详见解析(3)2⎤⎦【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.BD ⊥SAC SAC ⊥SBD （2）判断出直线与平面所成的角，解直角三角形求得.SA ABCD θcos θ（3）作出二面角的平面角，结合三角函数值域的求法，求得的取值M NP A --tan α范围.【详解】(1)连接，交点设为，连接.,AC BD O SO 依题意可知，所以，SAB SAD ≅ AB SD =所以三角形中，，SBD SO BD ⊥由于，,BD AC AC SO O ⊥⋂=所以平面，BD ⊥SAC 由于平面，BD ⊂SBD 所以平面平面.SAC ⊥SBD (2)过作，垂足为，连接，B BK SA ⊥K DK 由已知，得，SAB SAD ≅ DK SA ⊥所以是二面角的平面角，BKD ∠B SA D --所以.2π3BKD ∠=设正方形的边长为，则，ABCD a BD =所以，,BK DK AK ===由于，,,DK SA BK SA DK BD K ⊥⊥⋂=所以平面，则.SA ⊥DKB SA KO ⊥过作，垂足为，S SE AC ⊥E 由于平面，所以，BD ⊥SAC BD SE ⊥由于，所以平面，AC BD O = SE ⊥ABCD 所以，即是直线与平面所成角.SAC θ∠=SAC ∠SA ABCD 在中，，Rt AKOAO =所以cos AK AO θ==(3)取中点，过作，垂足为，连接，AB Q Q QR NP ⊥R ,MQ MR 则为二面角的平面角，即，MRQ ∠M NP A --MRQ α∠=则，tan MQ QR α=由已知，设正方形的边长为，则，=MQ AB ABCD a MQ AB a ==在正方形中，设，ABCD PNC β∠=，当时，在三角形中，QN =π,arc tan 24PNC β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦QNR ，3π3ππarc tan 2,442QNR β⎡⎤∠=-∈-⎢⎥⎣⎦()()3π3π3πsin arc tan 2sin cos arc tan 2cos sin arc tan 2444⎛⎫-=- ⎪⎝⎭==，3πsin 4β⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦.3πsin 4QR QN β⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.tan MQ QRα==当时，在三角形中，，π0,4PNC β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦QNR πππ,442QNR β⎡⎤∠=+∈⎢⎥⎣⎦，.πsin 4β⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦πsin 4QR QN β⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭.tan 2MQQRα⎤==⎦综上所述，的取值范围是.tanα2⎤⎦。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
2022-2023学年辽宁省大连市第二十四中学高一上数学期末达标检测试题含解析
（1）DE∥平面 PBC； （2）CD⊥平面 PAB 19．已知函数 f (x) lg(2 x) x 1 的定义域为 A . （1）求 A ；
（2）设集合 B {x a2x7 a4xa (a 0,且a 1)}，若 A B ，求实数 a 的取值范围.
20．已知集合 A
x
a
x a3
，集合 B
x
x 1 x5
0 ，集合 C
x 6x2 7x 2 0
.
（1）若 A B B ，求实数 a 的取值范围；
（2）命题 p : x A，命题 q : x C ，若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.
21．已知函数 g(x) loga (x a)(a 0，a 1) .
f x 的图象如图所示，由二次函数的对称性，可得 x3 x4 4 ．因为1 2x1 2x2 1，
2x1 2x2 1
所以 2x1 2x2 2 ，故
x3 x4
2
故选：D
二、填空题（本大题共 5 小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、 2 3
【解析】利用指数的运算法则和对数的运算法则即求.
故答案为 3 17 17
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义是解决本题的关键．三角函数的定义将角的终边上的
点的坐标和角的三角函数值联系到一起， sin a
1．在平面直角坐标系中，动点 M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12 分钟转动一周.若 M 的初始位置坐
标为 (1 ， 3 ) ，则运动到 3 分钟时， M 的位置坐标是 （ ）
22
A ( 3 ，1) 22
B. ( 3 ， 1) 22
C. ( 1 ， 3 ) 22
辽宁省大连市高一上学期期末数学试卷
辽宁省大连市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） (共10题；共20分)1. （2分）集合{1，2}的真子集有（）个．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）已知直线的斜率是2，在y轴上的截距是﹣3，则此直线方程是（）A . 2x﹣y﹣3=0B . 2x﹣y+3=0C . 2x+y+3=0D . 2x+y﹣3=03. （2分） (2017高一上·嘉兴月考) 若下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高一上·上饶月考) 设，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·龙江期中) 如果函数且的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有（）A . 且B . 且C . 且D . 且6. （2分）两平行线3x﹣4y﹣12=0与6x+ay+16=0间的距离是（）A .B . 4C .D .7. （2分） (2018高一下·重庆期末) 已知，是圆上两点，点，且，则的最小值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三上·东莞期末) 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A .B . 1C .D . 29. （2分）(2019·湖南模拟) 已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高三上·廊坊期末) 已知函数f（x）= ，设a＞b≥0，若f（a）=f（b），则b•f（a）的取值范围是（）A . （0，）B . （，2]C . [0，）D . （，2）二、填空题 (共4题；共5分)11. （1分） (2017高一上·鞍山期末) 函数y= 的定义域是________．12. （2分） (2019高三上·浙江月考) 若，则的值为________；若（且），则实数的取值范围为________.13. （1分） (2019高二上·江西月考) 圆C的方程为：，点，O为坐标原点，若C上存在点P，使得，则a的取值范围是________.14. （1分） (2020高一下·开鲁期末) 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：①若，则；②若，且，则；③若，则；④ ，则 .其中真命题是________.三、解答题 (共5题；共50分)15. （10分） (2019高一上·石家庄月考) 已知集合 , .（1），；（2） .16. （15分） (2016高一上·晋江期中) 已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）判断并证明f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；（3）若对任意实数t∈R，不等式f（kt2﹣kt）+f（2﹣kt）＜0恒成立，求k的取值范围．17. （10分） (2016高二上·重庆期中) 已知一个动点P在圆x2+y2=36上移动，它与定点Q（4，0）所连线段的中点为M．（1）求点M的轨迹方程．（2）过定点（0，﹣3）的直线l与点M的轨迹交于不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）且满足 + = ，求直线l的方程．18. （5分）(2017·泉州模拟) 如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，∠CBD=60°，BD=2BC=4，点E在CD上，DE=2EC．（Ⅰ）求证：AC⊥BE；（Ⅱ）若二面角E﹣BA﹣D的余弦值为，求三棱锥A﹣BCD的体积．19. （10分） (2016高一上·安庆期中) 已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]，上是减函数，且对任意的x1 ，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） (共10题；共20分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题；共50分)15-1、15-2、16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、19-1、19-2、。
辽宁省大连市2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含解析
2023-2024学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷（答案在最后）注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集U =R ，集合{}10,1,2,3,4,5,6A =-，，{}N |4B x x =∈<，则A B = （）A.{}10,1,23-，，B.{}1,23，C .{}0,1,2,3 D.{}10,1,2,3,4,5,6-，2.命题“0x ∀>，2320x x +->”的否定是（）A.0x ∃≤，2320x x +-≤B.0x ∃>，2320x x +-≤C.0x ∀≤，2320x x +-> D.0x ∀>，2320x x +-≤3.已知函数(32)f x +的定义域为()0,1，则函数()21f x -的定义域为（）A.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,63⎛⎫⎪⎝⎭ D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭4.“x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立”的一个必要不充分条件是（）A.04a ≤<B.04a ≤≤C.04a <≤ D.04a <<5.函数()21x f x x -=的图像为（）A. B.C. D.6.已知()f x 是定义在()0,∞+上的函数，()()g x xf x =，则“()f x 为增函数”是“()g x 为增函数”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.“若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+>恒成立”是真命题，则实数λ可能取值是（）A. B. C.4 D.58.设函数()(0)2a x f x a a x -=≠+，若()()120232g x f x =-+是奇函数，则()2023f =（）A.14- B.15 C.14 D.13-二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在下列四组函数中，()f x 与()g x 不表示同一函数的是（）A.21()1()1,x f x x g x x -=-=+B.()1f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C.0()1,()(1)f x g x x ==+D.2(),()f x x g x ==10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.a<0B.0b <C.0c >D.20a b c ++<11.已知函数()y f x =是定义在[0,2]上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若(0)f M =，(2)f N =（0M >，0N >），那么对上述常数,M N ，下列选项正确的是（）A.一定存在[0,2]x ∈，使得()2M N f x +=B.一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =C.不一定存在[0,2]x ∈，使得2()11f x M N=+D.不一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =12.已知函数221()1x x f x x x +=++，则下列结论正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 值域为(,2][2,)-∞-+∞ C.若12120,0,x x x x >>≠，且12()()f x f x =，则122x x +>D.当0x >时，恒有5()2f x x ≥成立第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为______.14.若函数()3,11,1x x f x ax x +≥⎧=⎨+<⎩在R 上为单调函数，则实数a 的取值范围为_______.15.已知正数,x y 满足2(43)3x y x y +=，则23x y +的最小值为____________.16.若定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为偶函数；②对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()222121210x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式()()2242(2)f x f x x --<+的解集为_________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集为R ，{}2R 2320A x x x =-->ð．（1）求集合A ；（2）设不等式220x ax a -+≤的解集为C ，若C ≠∅且“x C ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求实数a 的取值范围.18.设2()(1)f x ax a x a =+++．（1）若不等式()0f x ≥有实数解，试求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，试解关于x 的不等式()1f x a <-.19.已知函数()22x x m f x x-+=.（1）若()()2g x f x =+，判断()g x 的奇偶性并加以证明.（2）若1[,1]4x ∈时，不等式()22f x m >-恒成立，试求实数m 的取值范围.20.已知函数()f x x m =+，()22232m g x x mx m =-++-，（1）若()212m g x <+的解集为()1,a ，求a 的值；（2）试问是否存在实数m ，使得对于12[0,1],[1,2]x x ∀∈∀∈时，不等式12()()f x g x >恒成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数()2(2)4f x x a x =--+，()232x b g x ax +-=+.（1）若函数()f x 在2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦上为偶函数，试求实数b 的值；（2）在（1）的条件下，当()g x 的定义域为()1,1-时，解答以下两个问题：①判断函数()g x 在定义域上的单调性并加以证明；②若()()120g t g t -+<，试求实数t 的取值范围.22.设函数()f x 的定义域为D ，对于区间[],I a b =（a b <，I D ⊆），若满足以下两条性质之一，则称I为()f x 的一个“美好区间”.性质①：对任意x I ∈，有()f x I ∈；性质②：对任意x I ∈，有()f x I ∉.（1）判断并证明区间[]1,2是否为函数3y x =-的“美好区间”；（2）若[]0,m （0m >）是函数()22f x x x =-+的“美好区间”，试求实数m 的取值范围；（3）已知定义在R 上，且图像连续不断的函数()f x 满足：对任意,R a b ∈（a b <），有()()f a f b b a ->-.求证：()f x 存在“美好区间”，且存在0R x ∈，使得0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”.2023-2024学年度上学期期中考试高一年级数学科试卷注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集U =R ，集合{}10,1,2,3,4,5,6A =-，，{}N |4B x x =∈<，则A B = （）A.{}10,1,23-，， B.{}1,23，C.{}0,1,2,3 D.{}10,1,2,3,4,5,6-，【答案】C【解析】【分析】确定{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}N |40,1,2,3B x x =∈<=，{}10,1,2,3,4,5,6A =-，，故{}0,1,2,3A B = .故选：C.2.命题“0x ∀>，2320x x +->”的否定是（）A.0x ∃≤，2320x x +-≤ B.0x ∃>，2320x x +-≤C.0x ∀≤，2320x x +-> D.0x ∀>，2320x x +-≤【答案】B【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】命题“0x ∀>，2320x x +->”为全称量词命题，其否定为：0x ∃>，2320x x +-≤.故选：B3.已知函数(32)f x +的定义域为()0,1，则函数()21f x -的定义域为（）A .3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.75,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】由(32)f x +的定义域求出32x +，再令2215x <-<，解得即可.【详解】函数(32)f x +的定义域为()0,1，即01x <<，所以2325x <+<，令2215x <-<，解得332x <<，所以函数()21f x -的定义域为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A4.“x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立”的一个必要不充分条件是（）A.04a ≤< B.04a ≤≤C.04a <≤ D.04a <<【答案】B【解析】【分析】首先求出不等式恒成立时参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可.【详解】因为对x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立，当0a =时10>恒成立，符合题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；综上可得04a ≤<.因为[)0,4[]0,4，所以“x ∀∈R ，关于x 的不等式210ax ax -+>恒成立”的一个必要不充分条件可以是04a ≤≤.故选：B5.函数()21x f x x -=的图像为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0∞-上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数()21x f x x-=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x x x ----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x -=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x x x x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D.6.已知()f x 是定义在()0,∞+上的函数，()()g x xf x =，则“()f x 为增函数”是“()g x 为增函数”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】取特殊函数分别按照充分和必要条件判断即可.【详解】取()21(0)f x x x =->，则()3g x x x =-在()0,∞+不单调；取()1(0)g x x x =+>单调递增，但()11,(0)f x x x=+>单调递减，故“()f x 为增函数”是“()g x 为增函数”的既不充分也不必要条件.故选：D.7.“若1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+>恒成立”是真命题，则实数λ可能取值是（）A.B. C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由题得到13x x λ<+恒成立，求出min 13x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可得到答案.【详解】1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2310x x λ-+>，即13x x λ<+恒成立，13x x +≥=13x x =，即33x =时等号成立，故λ<对比选项知A 满足.故选：A8.设函数()(0)2a x f x a a x -=≠+，若()()120232g x f x =-+是奇函数，则()2023f =（）A.14- B.15 C.14 D.13-【答案】C【解析】【分析】首先得到()g x 的解析式，再根据()g x 为奇函数求出参数a 的值，即可得到()f x 的解析式，最后代入计算可得.【详解】因为()(0)2a x f x a a x-=≠+，所以()()()()20231202322202123x g x a f a x x -=-+=--++432023204624046202322a x a x a a a x x ++-=+-=+-+-，因为()()120232g x f x =-+是奇函数，所以()()g x g x -=-，即63432240624042a a ax a x =--+-+-，又0a ≠，所以280920a -=，解得4046a =，所以4046()40462x f x x -=+，所以()40462023120234046220234f -==+⨯.故选：C二、选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.在下列四组函数中，()f x 与()g x 不表示同一函数的是（）A.21()1()1,x f x x g x x -=-=+B.()1f x x =+，1,1()1,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C.0()1,()(1)f x g x x ==+D.2(),()f x x g x ==【答案】ACD【解析】【分析】通过函数的定义域，对应法则是否一致进行判断.【详解】对于A ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为{}1x x ≠-，所以不是同一函数；对于B ，因为1x ≥-时，()1f x x =+；1x <-时，()1f x x =--；所以(),()f x g x 表示同一函数；对于C ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为{}1x x ≠-，所以不是同一函数；对于D ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为{}0x x ≥，所以不是同一函数；故选：ACD.10.已知不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.a<0B.0b <C.0c >D.20a b c ++<【答案】AC 【解析】【分析】根据不等式性质确定a<0且32b ac a⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，再依次判断每个选项得到答案.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故a<0且122122b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，即32b a c a ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，对选项A ：a<0，正确；对选项B ：302b a =->，错误；对选项C ：0c a =->，正确；对选项D ：3522022a b c a a a a ++=--=->，错误；故选：AC11.已知函数()y f x =是定义在[0,2]上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若(0)f M =，(2)f N =（0M >，0N >），那么对上述常数,M N ，下列选项正确的是（）A.一定存在[0,2]x ∈，使得()2M Nf x +=B.一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =C.不一定存在[0,2]x ∈，使得2()11f x M N =+D.不一定存在[0,2]x ∈，使得()f x =【答案】AB 【解析】【分析】取M N λ<<，构造函数()()g x f x λ=-，确定函数单调递增，根据零点存在定理得到存在()01,2x ∈使得()0f x λ=，再依次判断每个选项得到答案.【详解】函数()y f x =是定义在[0,2]上的增函数，故0M N <<，对任意值λ，M N λ<<，考虑()()g x f x λ=-，函数单调递增，则()()110g f M λλ=-=-<，()()220g f N λλ=-=->，故存在()01,2x ∈使得()()000g x f x λ=-=，即()0f x λ=，对选项A ：2M N M N +<<，存在[0,2]x ∈，使得()2M Nf x +=，正确；对选项B：M N <<，存在[0,2]x ∈，使得()f x =对选项C ：211M NM N <<+，存在[0,2]x ∈，使得2()11f x M N=+，错误；对选项D：M N <<，存在[0,2]x ∈，使得()f x =故选：AB.12.已知函数221()1x xf x x x +=++，则下列结论正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 值域为(,2][2,)-∞-+∞ C.若12120,0,x x x x >>≠，且12()()f x f x =，则122x x +>D.当0x >时，恒有5()2f x x ≥成立【答案】AC 【解析】【分析】应用奇偶性定义判断A ；在,()0x ∈+∞上，令211x t x x x+==+研究其单调性和值域，再判断()f x 的区间单调性和值域判断B ；利用解析式推出1()()f f x x=，根据已知得到211x x =，再应用基本不等式判断C ；特殊值法，将2x =代入判断D.【详解】由解析式知：函数定义域为{|0}x x ≠，且2222()11()()()()11x x x xf x f x x x x x -+-+-=+=-+=---++，所以()f x 为奇函数，A 对；当,()0x ∈+∞时，令2112x t x x x +==+≥=，当且仅当1x =时等号成立，由对勾函数性质知：1t x x=+在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，且值域为[2,)t ∈+∞，而1()f x t t =+在[2,)t ∈+∞上递增，故()f x 在(0,1)x ∈上递减，在(1,)x ∈+∞上递增，且5()[,)2f x ∈+∞，由奇函数的对称性知：()f x 在(,1)x ∈-∞-上递增，在(1,0)x ∈-上递减，且5()(,2f x ∈-∞，所以()f x 值域为55(,[,)22-∞-+∞ ，B 错；由222211()111()()111()1x x x x f f x x x x x x++=+=+=++，若12120,0,x x x x >>≠且12()()f x f x =，所以211x x =，故121112x x x x +=+≥=，当且仅当11x =时等号成立，而11x =时211x x ==，故等号不成立，所以122x x +>，C 对；由412295(2)25241102f +=+=<⨯=+，即2x =时5()2f x x <，D 错；故选：AC【点睛】关键点点睛：对于C 选项，根据解析式推导出1(()f f x x=，进而得到211x x =为关键.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为______.【答案】0或15【解析】【分析】依题意可得B A ⊆，分B =∅和{}5B =两种情况讨论.【详解】因为{}{}505A x x =-==，又A B B = ，所以B A ⊆，当0a =时{}10B x ax =-==∅，符合题意；当{}5B =，则510a -=，解得15a =，综上可得0a =或15a =.故答案为：0或1514.若函数()3,11,1x x f x ax x +≥⎧=⎨+<⎩在R 上为单调函数，则实数a 的取值范围为_______.【答案】(]0,3【解析】【分析】确定函数单调递增，得到0a >且131a +≥+，解得答案.【详解】()3,11,1x x f x ax x +≥⎧=⎨+<⎩在R 上为单调函数，3y x =+，1x ≥为单调递增函数，故1y ax =+，1x <单调递增，0a >，且131a +≥+，即3a ≤，故03a <≤.故答案为：(]0,315.已知正数,x y 满足2(43)3x y x y +=，则23x y +的最小值为____________.【答案】【解析】【分析】令23t x y =+，则0t >且23t x y -=，即可得到22294t x x=+，再利用基本不等式求出2t 的最小值，即可求出t 的最小值.【详解】因为0x >，0y >，令23t x y =+，则0t >且23t xy -=，因为2(43)3x y x y +=，所以22243333t x t x x x --⎛⎫⋅+⨯= ⎪⎝⎭，所以()()2922t x t x x -+=，即22294t x x -=，所以22294t x x =+，又2229412t x x =+≥=，当且仅当2294x x =，即2x =时取等号，所以t ≥或t ≤-，所以23x y +的最小值为2x =、3y =时取等号.故答案为：16.若定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 同时满足：①()f x 为偶函数；②对任意的()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()222121210x f x x f x x x -<-，则称函数()f x 具有性质P ．已知函数()f x 具有性质P ，则不等式()()2242(2)f x f x x --<+的解集为_________.【答案】()()3,22,1--⋃--【解析】【分析】构造函数()()2f xg x x=，由题意可以推出函数()()2f xg x x=的奇偶性、单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】不妨设120x x <<，则120x x -<，由()()222121210x f x x f x x x -<-，得()()2221120x f x x f x ->，则()()122212f x f x xx>，构造函数()()2f xg x x=，则120x x <<，()()12g x g x >，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递减，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，则()()()()()22f x f xg x xx g x --==-=，所以函数()g x 为偶函数，且函数()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，由()()2242(2)f x f x x --<+，得()()()()22224224f x f x x x--<--，即()()224g x g x -<-，所以22242040x x x x ⎧->-⎪⎪-≠⎨⎪-≠⎪⎩，解得31x -<<-且2x ≠-，所以不等式()()2242(2)f x f x x --<+的解集为()()3,22,1--⋃--.故答案为：()()3,22,1--⋃--.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由已知条件去构造函数()()2f xg x x=.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集为R ，{}2R 2320A x x x =-->ð．（1）求集合A ；（2）设不等式220x ax a -+≤的解集为C ，若C ≠∅且“x C ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭（2）14[,0][1,]83- 【解析】【分析】（1）依题意可得{}22320A x x x =--≤，再解一元二次不等式即可；（2）依题意可得220x ax a -+≤的解集非空且是122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭的真子集，设2()2f x x ax a =-+，即可得到Δ01221()02(2)0a f f ≥⎧⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩，解得即可.【小问1详解】由{}2R 2320A x x x =-->ð，得{}22320A x x x =--≤，由22320x x --≤，得()1202x x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，解得122x -≤≤，故122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】因为C ≠∅且“x C ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，所以220x ax a -+≤的解集非空且是122A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭的真子集，设2()2f x x ax a =-+，则Δ01221(02(2)0a f f ≥⎧⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩，即2440122104440a a a a a a a ⎧-≥⎪⎪-≤≤⎪⎨⎪++≥⎪⎪-+≥⎩，解得108a -≤≤或413a ≤≤，当18a =-时不等式220x ax a -+≤的解集为11,24C ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，符合题意；当43a =时不等式220x ax a -+≤的解集为2,23C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，符合题意；综上，实数a 的取值范围为14[,0][1,83- ．18.设2()(1)f x ax a x a =+++．（1）若不等式()0f x ≥有实数解，试求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，试解关于x 的不等式()1f x a <-.【答案】（1）13a ≥-（2）答案见解析【解析】【分析】（1）依题意不等式()210ax a x a +++≥有实数解，分0a =、0a >、a<0三种情况讨论，当a<0时需0∆≥，即可求出参数的取值范围；（2）原不等式可化为()110x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，再分1a =、01a <<、1a >三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【小问1详解】依题意，()0f x ≥有实数解，即不等式()210ax a x a +++≥有实数解，当0a =时，0x ≥有实数解，则0a =符合题意.当0a >时，取0x =，则()210ax a x a a +++=>成立，符合题意.当a<0时，二次函数()21y ax a x a =+-+的图像开口向下，要0y ≥有解，当且仅当()22114013a a a ∆=+-≥⇔-≤≤，所以103a -≤<.综上，实数a 的取值范围是13a ≥-.【小问2详解】不等式()()21110f x a ax a x <-⇔+++<，因为0a >，所以不等式可化为()110x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，当11a -=-，即1a =时，不等式()()110x x ++<无解；当11-<-a ，即01a <<时，11x a-<<-；当11a ->-，即1a >时，11x a-<<-；综上，当01a <<时，原不等式的解集为1(,1)a--，当1a =时，原不等式的解集为∅，当1a >时，原不等式的解集为1(1,)a--．19.已知函数()22x x mf x x-+=.（1）若()()2g x f x =+，判断()g x 的奇偶性并加以证明.（2）若1[,1]4x ∈时，不等式()22f x m >-恒成立，试求实数m 的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）1,18⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）首先求出()g x 的解析式，再根据奇偶性的定义证明即可；（2）设()mh x x x =+（1[,1]4x ∈），依题意只需min ()2h x m >，再分0m ≤、m 1≥、1016m <≤、1116m <<四种情况讨论，求出()h x 的最小值，从而求出m 的取值范围.【小问1详解】()g x 为奇函数，证明如下：因为()22x x m f x x -+=，所以()()2222x x m mx x xg x f x -+=+=+=+，则()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()mg x x g x x-=--=-，所以()g x 为奇函数.【小问2详解】1[,1]4x ∈ 时，不等式()22f x m >-恒成立，2mx m x ∴+>对1[,1]4x ∈恒成立.设()mh x x x =+（1[,1]4x ∈），则只需min ()2h x m >即可.当0m ≤时，则()h x 在1[,1]4单调递增，所以min 11()()4244h x h m m ==+>，解得18m >-，所以108m -<≤；当0m >时，因为()h x 在单调递减，)+∞单调递增.1≥，即m 1≥时，()h x 在1[,1]4单调递减，所以min ()(1)12h x h m m ==+>，解得1m <，舍去；14≤，即1016m <≤时，()h x 在1[,1]4单调递增，所以min 11()()4244h x h m m ==+>，解得18m >-，所以此时1016m <≤；③当114<<，即1116m <<时，min ()2h x h m ==，解得01m <<，所以此时1116m <<；综上，实数m 的取值范围为1,18⎛⎫- ⎪⎝⎭.20.已知函数()f x x m =+，()22232m g x x mx m =-++-，（1）若()212m g x <+的解集为()1,a ，求a 的值；（2）试问是否存在实数m ，使得对于12[0,1],[1,2]x x ∀∈∀∈时，不等式12()()f x g x >恒成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）代入数据得到2240x mx m -+-<，根据不等式与方程的关系确定3m =，代入计算得到答案.（2）题目转化为min max ()()f x g x >，根据单调性计算()min f x m =，根据二次函数性质考虑322m ≤和322m >两种情况，计算最值得到答案.【小问1详解】()212m g x <+，即()22223122m m g x x mx m =-++-<+，整理得到2240x mx m -+-<，不等式2240x mx m -+-<的解集为()1,a ，故1x =为方程2240x mx m -+-=的根，即1240m m -+-=，解得3m =，故2320x x -+<，解得12x <<，则2a =.【小问2详解】对[]10,1x ∀∈，2[1,2]x ∈，()()12f x g x >恒成立，只需min max ()()f x g x >.()f x x m =+在[]0,1上单调递增，因此()()min 0f x f m ==；()22232m g x x mx m =-++-的对称轴为02m x =.当322m ≤，即3m ≤时，2max ()(2)12m g x g ==+，故212m m >+，即2220m m -+<，无解，舍；当322m >，即3m >时，2max ()(1)22m g x g m ==+-，故222m m m >+-，解得22m -<<，舍.综上所述：不存在实数m 符合题意.21.已知函数()2(2)4f x x a x =--+，()232x b g x ax +-=+.（1）若函数()f x 在2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦上为偶函数，试求实数b 的值；（2）在（1）的条件下，当()g x 的定义域为()1,1-时，解答以下两个问题：①判断函数()g x 在定义域上的单调性并加以证明；②若()()120g t g t -+<，试求实数t 的取值范围.【答案】（1）3b =（2）①()g x 在()1,1-上单调递增，证明见解析；②10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据偶函数确定2a =且230b b b -+--=，解得答案.（2）任取12,x x 满足1211x x -<<<，计算()()12g x g x <得到函数单调递增，变换()()21g t g t <-，考虑函数的单调性结合函数定义域计算得到答案.【小问1详解】()2(2)4f x x a x =--+在2,3b b b ⎡⎤---⎣⎦上为偶函数，故2a =，230b b b -+--=，即()()310b b -+=，解得3b =或1b =-，由区间定义可知23b b b -<--，即23b >，1b =-不满足，所以3b =.【小问2详解】①函数()g x 在()1,1-上单调递增；证明如下：()222x g x x =+，()1,1x ∈-，任取12,x x 满足1211x x -<<<，()()()()()()122112122222121212222211x x x x x x g x g x x x x x ---=-=++++，由于1211x x -<<<，故121x x <，210x x ->，于是()()()()()()122112*********x x x x g x g x x x ---=<++，则()()12g x g x <，则()g x 在()1,1-上单调递增.②函数()g x 的定义域为()1,1-，关于原点对称，()()222x g x g x x --==-+，则()g x 为奇函数，由(1)(2)0g t g t -+<，即()()21g t g t <-，又因为()g x 在()1,1-上单调递增，则12111121t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪<-⎩，解得103t <<，所以实数t 的取值范围是10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.设函数()f x 的定义域为D ，对于区间[],I a b =（a b <，I D ⊆），若满足以下两条性质之一，则称I 为()f x 的一个“美好区间”.性质①：对任意x I ∈，有()f x I ∈；性质②：对任意x I ∈，有()f x I ∉.（1）判断并证明区间[]1,2是否为函数3y x =-的“美好区间”；（2）若[]0,m （0m >）是函数()22f x x x =-+的“美好区间”，试求实数m 的取值范围；（3）已知定义在R 上，且图像连续不断的函数()f x 满足：对任意,R a b ∈（a b <），有()()f a f b b a ->-.求证：()f x 存在“美好区间”，且存在0R x ∈，使得0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”.【答案】（1）是，证明见解析（2）[]1,2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题设中的新定义，结合函数3y x =-，进行判定，即可求解；（2）若I 为()f x 的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即S I ⊆，由()22f x x x =-+，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解；（3）对于任意区间[],I a b =，记{()|}S f x x I =∈，根据单调性得到()(),S f b f a =⎡⎤⎣⎦，若I 为()f x 的“美好区间”，必满足性质②，转化为()f a a <或()f b b >，得出()f x 一定存在“美好区间”，记()()g x f x x =-，结合函数的单调性和零点的存在性定理，得到存在()0,0x t ∈，使得()00g x =，即可求解.【小问1详解】函数3y x =-，当[1,2]x ∈时，可得[]1,2y ∈，所以区间[]1,2是函数3y x =-的一个“美好区间”.【小问2详解】记[]0,I m =，{()|}S f x x I =∈，可得()[]000,f m =∈，故若I 为()f x 的“美好区间”，则不满足性质②，必满足性质①，即S I ⊆；由()()22211f x x x x =-+=--+，当01m <<时，()f x 在[]0,m 上单调递增，且()()2210f m m m m m m m -=-+-=-->，即()f m m >，所以()0,S f m =⎡⎤⎣⎦不包含于[]0,I m =，不合题意；当12m ≤≤时，()()[][]0,10,10,S f f m I ==⊆=⎡⎤⎣⎦，符合题意；当m>2时，()()()220f m f f <==，所以()f m I ∉，不合题意；综上可知，12m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]1,2.【小问3详解】对于任意区间[](),I a b a b =<，记{()|}S f x x I =∈，由已知得()f x 在I 上单调递减，故()(),S f b f a =⎡⎤⎣⎦，因为()()f a f b b a ->-，即S 的长度大于I 的长度，故不满足性质①，所以若I 为()f x 的“美好区间”，必满足性质②，这只需S I =∅ ，即只需()f a a <或()f b b >，由()f x x =显然不恒成立，所以存在常数c 使得()f c c ≠.如()f c c <，取a c =，区间[](),I a b a b =<满足性质②；如()f c c >，取b c =，区间[](),I a b a b =<满足性质②；综上，函数()f x 一定存在“美好区间”；记()()g x f x x =-，则()g x 图象连续不断，下证明()g x 有零点：因为()f x 在R 上是减函数，所以()g x 在R 上是减函数，记()0f t =；若0=t ，则00x =是()g x 的零点，若0t >，则()()0f t f t <=，即()00g >，()0g t <，由零点存在性定理，可知存在()00,x t ∈，使得()00g x =，若0t <，则()()0f t f t >=，即()0g t >，()00g <，由零点存在性定理，可知存在()0,0x t ∈，使得()00g x =，综上，()g x 有零点0x ，即()00f x x =，因为()f x 的所有“美好区间”I 都满足性质②，故0x I ∉.（否则()00f x x I =∈，与性质②不符），即0x 不属于()f x 的任意一个“美好区间”，证毕.【点睛】关键点睛：对于新定义问题关键是理解所给定义及限制条件，再利用相应的数学知识解答.。
辽宁省大连市2019-2020学年高一上学期期中考试试题 数学【含答案】
辽宁省大连市2019-2020学年高一上学期期中考试试题数学第Ⅰ卷一、 选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-10小题为单选题，只有一个选项符合题意；11，12题为多选题，只有两个选项是对的，选对一个得3分，两个都对得5分，多选和选错都不得分)1.已知集合{}28120A x x x =-+≤,{}5B x x =≥，则A B =（ ） A.(),5-∞ B.[)2,5 C.[]2,5 D. []5,62.已知命题:p n N ∀∈，2n n >p ⌝是（ ） A.n ∀∈N ，2n n ≤B.n ∀∈N ，2n n <C.n N ∃∈，2n n ≤D.n N ∃∈，2n n >3.函数()y f x =的定义域关于原点对称是函数()y f x =具有奇偶性的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A. 22a b < B.2ab b < C.0a b +< D.a b a b +>+5.已知一元二次方程2230x mx ++=配方后为()222x n +=，那么一元二次方程2230x nx --=配方后为( )A ．()2528x +=B ．()2519x +=或()2519x -=C ．()2519x +=D ．()2528x +=或()2528x -=6.函数()35-+=x x x f 的实数解落在区间是（ ） A.[]0,1 B.[]1,2 C.[]2,3 D.[]4,37.下列四个函数中，在(],0-∞上为减函数的是（ ）A. ()22f x x x =-B. ()2f x x =-C. ()1f x x =+D. ()1f x x= 8.已知)12fx x x =+()f x =( ) A.()211x x -≥ B.21x - C.()211x x +≥ D.21x + 9.如果偶函数()f x 在[)0,+∞上是增函数且最小值是2，那么()f x 在(],0-∞上是（ ）A.减函数且最小值是2B.减函数且最大值是2C.增函数且最小值是2D.增函数且最大值是210.已知函数()21x f x x=+，则不等式()()10f x f x -+>的解集是（ ） A. {2}x x > B. {1}x x < C. 1{}2x x > D. {0}x x >11.（多选）关于函数()223f x x x =-++ ）A. 定义域、值域分别是[]1,3-,[)0,+∞B.单调增区间是(],1-∞C.定义域、值域分别是[]1,3-,[]0,2D. 单调增区间是[]1,1-12.（多选）下列判断不正确的是（ ）A.函数()1f x x=在定义域内是减函数. B.()g x 奇函数，则一定有()00g =.C.已知0x >，0y >，且111x y+=，若23x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是()4,1-. D.已知25(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数，则a 的取值范围是[]3,2--.第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题两空，第一空2分，第二空3分）13.方程组202x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是________ . 14.已知0x <，则94x x+的最大值是 .15.已知函数()221f x x ax =++有两个零点，在区间()1,1-上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，实数a 的取值范围是 . 16.设实数,a b 是方程220140x x +-=的两个根，则22a b ab ++= ， 22a a b ++= .三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题10分）已知全集为R ,函数()11f x x =-的定义域为集合A ,集合13{|}22B x x =-≥. （1）求A B ；（2）若{|1}C x m x m =-<<, ()C R CB C =,求实数 m 的取值范围. 18.（本小题12分）已知{}2320P x x x =-+≤，{}11S x m x m =-≤≤+.(1)是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件？若存在，求出m 的取值范围.(2)是否存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的必要不充分条件？若存在，求出m 的取值范围.19.（本小题12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，2()2f x x x =+现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)画出函数()f x 在y 轴右侧的图象，并写出函数()f x 在R 上的单调区间；(2)求函数()f x 在R 上的解析式．20.（本小题12分）选用恰当的证明方法，证明下列不等式.（167225（2）设,,a b c 都是正数，求证：bc ac ab a b c a b c++≥++.21.（本小题12分）某纪念章从2018年10月1日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价（单位：y 元）与上市时间（单位：x 天）的数据如下： 上市时间x 天4 10 36 市场价y 元 90 51 90 （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①y ax b =+；②2y ax bx c =++；③a y b x=+． （2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．22.（本小题12分）已知函数2()(,,)1mx n f x m n R x R x +=∈∈+为奇函数，且1(1)2f =. （1）判断()f x 在1（，）+∞的单调性，并用定义证明； （2）求函数()f x 在区间1,(0)2k k k ⎡⎤+≥⎢⎥⎣⎦上的最大值()g k .答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-10小题为单选题，只有一个选项符合题意；11，12题为多选题，只有两个选项是对的，选对一个得3分，两个都对得5分，多选和选错都不得分) 1-5.DCADD 6-10.BAAAC 11-12. CD 、AB第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题两空，第一空2分，第二空3分）13、{(1,1)，(－2，－2)} 14、-3 15、()(),11,-∞-+∞ 16、2015，2013三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 解：（1）{}1A x x =>，{}1,x 2B x x =≤≥，[)2,AB =+∞----3分 （2）①1,m 2C =∅≤------5分②1,22C m ≠∅<<------8分 综上2m <-----10分18. 解：P ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}.---------------1分(1)要使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝1，1＋m ＝2，此方程组无解，则不存在实数m ，使x ∈P是x ∈S 的充要条件。