投资组合管理第2章-Markowitz

两基金分离定律 SEPARATION THEOREM



两共同基金分离现象：如果投资者偏好前沿证券组合，他们只需持 有两共同基金(前沿证券组合)的线性组合。对给定任意可行的证券组 合，存在由两共同基金组成的证券组合使得该投资者对后者的偏好 程度不会低于原证券组合。 N 定义：称资产集 rj 表现两基金分离性，如果存在两个共同基金 α1和 1 α2，使得对于任意证券q，可以找到实数 （与q有关）满足： E[u(r1 (1 )r 2 )] E[u(rq )] ，对所有凹效用函数u(.)。 性质1：两个分离的共同基金α1和α2一定都是前沿证券组合 N r 性质2：如果 j 1 表现两基金分离性，则任意两个不相同的前沿证券可 作为两分离基金α1和α2。特别的，可以任取前沿证券p！=MVP和其 0协方差组合zc(p)作为两分离基金。
（1）只要N 不小于3，可行集对应 于均值-标方差平面上的区域为 二维的。 （2）可行集的左边向左凸。

rP

可行集
P
三种证券形成可行集的例子
rP
B D
C
A
P

三点形成地区域
求解证券组合前沿(PORTFOLIO FRONTIER)

给定r, E(r), VC, N，不考虑无风险资产



(1)可行集
(3)最优投资组合的确定
B 资产组合分析 2.有效集的形状
严格的数学推导可以证明有效集是向上倾斜且下凹的 (positively sloped and concave) 这意味着投资者的无差异曲线与有效集只有一个切点


下面以N=2为例来说明为什么有效集的形状是向上倾斜且 下凹的

一个投资组合的预期收益率向量(portfolio expected return vector)可定义如下：
r1 r2 E (r ) r rN

其中， ri 代表第i种证券的预期收益率

一个投资组合的权重向量(portfolio weight vector) 可定义如下：

A 资产组合选择问题 4. 无差异曲线
每一条无差异曲线上的所有投资组合的效用相同 不满足和风险厌恶这两个假设导致无差异曲线是向上 倾斜且下凸的(positively sloped and convex) r 思考：风险中性？风险偏好？

r2
r1 r2 2
B
1 2 r1 r2 , 2 2


X1
财富
CE E(X)
X2

风险偏好
U X1 (1 ) X 2 U X1 (1 )U X 2

U X1 (1 ) X 2 U X1 (1 )U X 2
风险中性
确定性等价 风险溢价： 为了补偿该投资的风险所 要求的末期预期财富(r)的 增加

关于性质5

关于性质5

关于定理：资产定价
B 资产组合分析 3.市场模型

(4) 投资组合的多样化
C 无风险借贷

(2) 投资于无风险资产和风险资产组合

切点存在的条件：rf
rMVP
T
A C
MVP
rf
1
C
求解存在无风险资产时的证券组合前沿

非满足性=》边际效用为正
U (W ) 0

风险厌恶=》边际效用递减
U ' ' (W ) 0
U ( E ( X )) E (U ( X ))
U X 1 (1 ) X 2 U X 1 (1 )U X 2

效用
U(E(X)) E(U(X))
求解过程 图形表示 资产定价

存在无风险证券时的风险厌恶者的最优投资策略：分离性质 分离性质：无论投资者的风险厌恶如何，他们选择相同的风 险资产投资组合

最优资产组合选择过程可以分成两步：
决定最优风险资产组合 依据风险厌恶的程度在无风险资产和风险资产之间配置资本。

不满足是指给定两个风险相同的组合，投资者总是选 择预期收益率较高的那个组合

风险厌恶是指给定两个预期收益率相同的组合，投资 者总是选择标准差较小的那个组合

风险厌恶也指投资者不会选择fair game，fair game指预 期回报率为0的赌博
A 资产组合选择问题 3. 效用
Markowitz的资产组合选择问题表述为最大化投资者 末期财富的期望效用 效用财富函数

求解MVP（最小方差证券组合）

给定r，E(r), VC, N
证券组合前沿及证券组合有效前沿的性质
性质1：向量g，g+h分别是0期望收益率和期望收益率为1的 两个前沿证券组合(Frontier portfolio) 性质2：证券组合前沿可以由前沿证券g, g+h组合得到


推论：证券前沿可以由任意两个不相同的前沿证券进行组合得到 两基金分离定理


a limited number of portfolios may be sufficient to serve the demands of a wide range of investors, this is the theoretical basis of the mutual fund industry. This result makes professional management more efficient and hence less costly. One management firm can serve any number of clients with relatively small incremental administrative costs.

情形3：ρ=0


证券组合(X1, X2)的期望回报率 rP X 1r1 X 2 r2 2 标准差为 P 2 X 12 12 X 2 2 2 通过找出 rP 与 P 之间的关系


rP r2 2 2 r1 rP 2 2 2 1 2 P 2 2 r1 r2 r1 r2
第二章 现代投资组合理论
本章结构
A 资产组合选择问题 B 资产组合分析 C 无风险借贷

A 资产组合选择问题

投资者面临的资产组合选择问题：

从所有可行的投资组合里选择最优的投资组合

Markowitz的资产组合选择理论




1952年，Harry M. Markowitz发表了一篇里程碑性的论文， 被公认为“现代投资组合理论”的开端 假设投资者有一笔资金在现时进行投资，这笔资金要投资一段 特定的时期，即所谓投资者的持有期。在持有期的期末，投资 者将卖掉在期初购买的所有证券，然后将所得收入用于消费或 者再投资。 投资者仅仅根据预期收益率和标准差来进行他们的组合的决策 。这就是说，投资者将估计出每一组合的预期收益率和标准差 ，并基于这两个参数的相对大小来选择“最好的”一个。 预期收益率可视为任一组合的潜在回报强度的度量，而标准差 可视为任一组合的风险的度量。
情形3：ρ=0 例子：A(5%, 20%), G(15%, 40%)

可行集的方程

得到
2 P
0.08

2 rP 0.04
0.002
1
为一双曲线
rP
P

最小方差证券组合MVP(minimum-variance portfolio)
P 0 X 1
2 2 P 400 X 1600 X 1 2 1600 X 1 X 2
证券组合前沿(Portfolio Frontier)的回报率的期望和 标准差满足如下方程：
rp A P C 1 1 D 2 C C
2
2
证券组合前沿为双曲线的一支 有效集(有效证券组合前沿-Efficient Frontier)为证 券组合前沿上MVP以上的部分 前沿证券组合 v.s.有效前沿证券组合
X 2 1 X1

当两个证券的相关系数介于-1和1之间时，其所有组 合将处于一条向左弯曲的曲线上

MVP的上方，可行集是下凹的

MVP的下方，可行集是上凸的


当两个证券的相关系数介于-1和1之间时，其所有组 合将处于一条向左弯曲的曲线上
三种以上证券形成的可行集

可行集的两个重要性质
2, r2
C
r1
1, r1
A
1
1 2
2
2

虽然我们假设所有投资者都是风险厌恶的，但并未假 设他们有相同的风险厌恶程度 风险厌恶程度越高的投资者无差异曲线越陡


无差异曲线不能相交
X
B 资产组合分析
B 资产组合分析 1.有效集定理
有效集类似资本预算线 注：满足2）的组合被称为前沿证券组合(frontier portfolio)，其构成的集合成为frontier

X1 X X 2 ,且 XN
X
i 1
N
i
1

其中，X i代表投资于第i种证券的资金比重

一个投资组合的收益率(portfolio return)， rp, 可通 过下式计算：

A 资产组合选择问题 2. 不满足与风险厌恶(NONSATIATION AND RISK AVERSION)

性质3：cov(rp, rMVP)=var(rMVP)=1/C 性质4：有效证券组合前沿是凸集 性质5：对于除MVP之外的任一有效前沿证券p，必定存在 唯一前沿证券zc(p)，使得cov(rp, rzc(p))=0。该证券组合称为 p的零协方差前沿证券组合 定理：任意证券组合q的期望收益率可以表示成任一前沿证 券组合（除MVP外）与其对应的零协方差前沿证券组合 zc(p)的期望收益率的组合，即：