那么称为矩阵的最高阶非零子式
秩的一些相关公式
秩的一些相关公式在线性代数这门学科里，秩是非常关键也是常用的一个工具，要深刻理解和掌握秩这个武器，必须还要熟记与秩有关的一些公式，这样才能在考试中得心应手，下面对秩的公式进行了总结，也方便同学们掌握这部分内容。
1.()()()T r r r k ==A A A ，0k ≠；前一篇笔者讲到了，矩阵的秩等于其行秩也等于其列秩，所以将矩阵转置了之后秩是没有改变的，数乘也是不改变秩的。
2.()min{,}m n r m n ⨯≤A ；矩阵形式：结合矩阵秩的概念，非零子式的最高阶数即为矩阵的秩，矩阵最高阶子式为min{,}m n ，故其非零子式最高阶应小于等于min{,}m n ；向量形式：若将矩阵m n ⨯A 写成向量组的形式，即1[,...,]m n n αα⨯=A ，矩阵的秩等于向量组的秩，则有的向量组的秩1(,...,)min{,}n r m n αα≤。
3.若向量组1,...,n αα可由向量组1,...,m ββ表出，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ<。
这个推导过程上一篇文章笔者已经介绍了，就不在这介绍过多了，若将向量组组成矩阵的形式，有()m i n {(),()}r r r ≤A B A B ，这个矩阵形式的公式是最常用的，关于这个公式还有如下几点推论： 推论1：若n n ⨯P 可逆，则()()r r =AP A , ()()r r =PB B ；这条推论的用法就是乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩，那么可逆矩阵的本质就是若干个初等矩阵相乘，乘以可逆矩阵相当于做了若干次初等变换，初等变换是不改变秩的。
推论2：若m n m n ⨯⨯≅A B ，等价于()()m n m n r r ⨯⨯=A B ；两个同型矩阵等价的充要条件是其秩相同。
推论3：若向量组1,...,n αα与向量组1,...,m ββ等价，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ=，这条推论两个向量组等价的必要条件是这两个向量组的秩相同，这只是一个必要条件，而非充要条件，要和推论2区别开。
2021考研数学线性代数公式详解-矩阵
B
＝
l l I
．．．
l l －
BS
R叮 E
···
』 E 』
E
BE SE
则
B A 「
I
土
A
＋－
B
I
－－
l l
···
B A －
±
－
i
B R A A S r l ，， ＋····E寸－ V S F －BEll－－l
(2) 数与分块矩阵的乘法
II A11 A=I :
IIAsl
… AIr II
Il λ’＂A ·－11
k个
矩阵的事满足下列运算规律
AkAt=Ak+t ,(Ak)1=A*1
5. 矩阵的转盟
(1 ）定义 6
设
A
、EF＝ ，，．飞 G HYH m x n
r
t
t
－t t
t
nm向 ． ．．
12 a22 …
t t
am
am2 …
称
α 1 「
B I
n 叫
1
叫
2
－A Ta
，．‘、 a Hf－ 、‘，， n x m
＝t t t
(2）运算规律
1)结合律 λ（µ｝A=（λµ. ）A
2）分配律（λ ＋µ）A ＝ λA+µA ，λ（A+B）＝λA＋λB
3.矩阵与矩阵的乘法 (1）定义
设 A＝（马）时’B=(bij txn 则矩阵 A. B的乘积为AB=C=(cij)mxn ， 其
中cij=ail bli+ai2b2i ＋ … ＋%鸟 （i=I,2,··,m;j=1,2,···,n)
A n E’
1 I
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-矩阵的初等变
第3章矩阵的初等变换与线性方程组[视频讲解]3.1本章要点详解本章要点■初等变换的概念与性质■矩阵之间的等价关系■初等变换与矩阵乘法的关系■初等变换的应用■矩阵的秩■线性方程组的解重难点导学一、矩阵的初等变换1．初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换：(1)对调两行（对调i，j两行，记作r i↔r j）；(2)以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为r i×k）；(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作r i＋kr j）．把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换．2．矩阵等价(1)定义①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．（2）矩阵之间的等价关系的性质①反身性A～A；②对称性若A～B，则B～A；③传递性若A～B，B～C，则A～C．（3）矩阵的类型①两个矩阵，矩阵B4和B5都称为行阶梯形矩阵.行阶梯形矩阵B5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零元所在的列的其他元素都为0．结论：对于任何非零矩阵A m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．②标准形矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有与A 等价的矩阵组成一个集合，标准形F 是这个集合中形状最简单的矩阵．3．初等变换与矩阵乘法的关系（1）定理设A 与B 为m ×n 矩阵，则：①的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P ，使PA ＝B ；②的充分必要条件是存在n 阶可逆矩阵Q ，使AQ ＝B ；③A ～B 的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ,使PAQ ＝B ．（2）初等矩阵由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（3）性质①设A 是一个m ×n 矩阵，对A 施行一次初等行变换，等价于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，等价于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵．②方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P 1，P 2，…P l ，使A ＝P 1P 2…P l ．③方阵A 可逆的充分必要条件是.4．初等变换的应用当||0A ≠时,由12l A PP P = ,有11111l l P P P A E ----= 及111111l l P P P E A -----= 所以()()()1111111111111111|||l l l l l l P P P A E P P P A P P P E E A -------------== 即对n ×2n 矩阵()|A E 施行初等行变换，当把A 变成E 时，原来的E 就变成A -1．二、矩阵的秩1．秩的定义（1）k阶子式在m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．注：m×n矩阵A的k阶子式共有个．（2）矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r＋1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）．注：零矩阵的秩等于0．（3）最高阶非零子式由行列式的性质可知，在A中当所有r＋1阶子式全等于0时，所有高于r＋1阶的子式也全等于0，因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，而A的秩R（A）就是A的非零子式的最高阶数．（4）满秩矩阵与降秩矩阵可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数．因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵．（5）等价矩阵的秩①若A～B，则R(A)=R(B).②若可逆矩阵P，Q使PAQ＝B，则R(A)＝R(B)．2．秩的性质（1）0≤R(A m×n)≤min{m，n}（2）R(A T)=R(A)；（3）若A～B,则R(A)=R(B)；（4）若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)；（5）max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)特别地，当B＝b为非零列向量时，有R(A)≤R(A，b)≤R(A)＋1；（6）R(A＋B)≤R(A)＋R(B)；（7）R(AB)≤min{R(A)，R(B)}；（8）若A m×n B n×l＝0，则R(A)＋R(B)≤n.3．满秩矩阵矩阵A的秩等于它的列数，称这样的矩阵为列满秩矩阵．当A为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵．4.结论（1）设A为n阶矩阵，则R(A＋E)＋R(A－E)≥n．（2）若A m×n B n×l＝C，且R(A)＝n，则R(B)＝R(C).。
向量组的秩
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1
铃
(一)、向量组等价 1。向量组等价的定义
（Ⅰ）A
结束
铃
∴ a4 = -3a1+0a2+ a3
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铃
例6．求向量组为 a1=(2, 4, 2) T，a 2=(1, 1, 0) T，a 3=(2, 3,1 ) T， a 4=(3, 5, 2) T的秩及它的一个极大线性无关组，并把其余向量 用此极大线性无关组线性表示 解： （1）∵A=（a1，a2，a3 ，a4） 2 1 2 3 2 1 2 3 初等行 = 4 1 3 5 0 1 1 1 =B 0 0 0 0 2 0 1 2 变换 ∴向量组a1，a 2，a 3 ， a 4的秩为2
一系列初 矩阵B， （1）可以证明：如矩阵A 等行变换 则A的列向量组与B的列向量组有相同的线性关系 结论： ①矩阵的初等行变换不改变其列向量间的线性关系 ②矩阵的初等列变换不改变其行向量间的线性关系 （2）阶梯形矩阵B的列向量组的一个极大线性无关组是 其非0行首元对应的列向量构成的向量组
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铃
最大无关组的意义
结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价 的．
用 A0 来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向 量组的全体． 特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向 量组来代表．
那么称为矩阵的最高阶非零子式
23
A的3阶子式只有一个 A 0,
因此 R(A)2.
B
在 B中，由于它是行阶梯形
A
2
0
0 0
2 4
1
3
0
0
0 1 0 0
3 7
5,
1
3 2 2 5
4 0
03
矩阵，容易看出它的4阶子式
全为零，而以三个非零行的
首非零元为对角元的3阶子式 不等于零， 2 1 3
1 1 1 2
1 1 1 2
A3
5
3
1
2 6
r2 3r1 r3 5r1
0 0
3
8
4
5
4 4
1 1 1 2
0 3 4 4 0 8 5 4
1 1 1 2
r3 r2
0
§4.3 矩阵的秩
一、子式
定义 在mn矩阵A中，任取k行与k列(km,k，n)
位于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变它们在
A中所处的位置次序而得到的 k阶行列式，称为 矩阵 A的 k阶子式.
例如
2 4 5 3 A3 6 4 2
4 8 17 11
D是 A的一个2阶
1 2 2 1 1
rrr42332rr22
0 0 0
0 0 0
2 0 0
1 0 0
0
5 1
r3
r4
5
r3
0 0 0
0 0 0
2 0 0
1 0 0
0
1 0
由此可见， R(A)2, R(B)3.
2.5 矩阵的秩
可逆矩阵， O 为什么？ r r . 1 2 I r2 O O O
返回
2 0 0 0 2 0 0 0
2 4 2 6 2 2 0 0 1 1 0 0
1 2 1 3 1 0 1 0
1 0 5 1
r2 2 1 0 r3 r2 0 r4 3r2 0
R( A) 2,
R( B ) 3.
返回
A
m n
A
m n
A
m n
推论 对任意矩阵A, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)， 其中P, Q分别为可逆矩阵. 证 因为Q可逆，存在初等矩阵E1, …, Et使得 Q= E1• • • Et，
AQ =A E1• • • Et，
即 AQ 为A经列初等变换所得. 故 R(AQ)= R(A). 同理可证其他.
显然对任意矩阵A， A的秩唯一，但其最高阶非零 子式一般不唯一.
返回
例1 求矩阵的秩：
1 (1) A 2 1 2 ; ( 2) B 2 1 4 2 1 8 ; ( 3) C 2 1 3 2 4 6 4 8 2 1 2 0
解 (1)、（2） 易
O P1 I r2 O O P2 Q2 O O
I r1 O O O O P2 O
O Q2
A 所以，秩 O
I r1 O O O O 秩 B O
返回
三、矩阵的标准形（分解）
定理2
对任意矩阵A , 都存在可逆矩阵P , Q 使得
m n m m n n
I PAQ O
r
矩阵的秩课件
理解矩阵秩的定义
详细描述
矩阵的秩定义为线性无关的行向量或 列向量的最大数量。
总结词
掌握特殊矩阵的秩
详细描述
对于方阵，其秩等于其所有非零子 式的最高阶数；对于增广矩阵，其 秩等于其对应的系数矩阵的秩。
习题二：判断矩阵是否可逆
总结词
掌握判断矩阵可逆的方法
01
总结词
理解矩阵可逆的定义
03
总结词
掌握可逆矩阵的性质
秩也可以定义为矩阵中非零子 式的最高阶数。
秩的性质
秩具有传递性，即如果矩阵A的秩为r ，矩阵B的秩也为r，那么矩阵A+B的 秩也为r。
如果矩阵P和Q可逆，那么(P*Q)的秩 等于(Q*P)的秩，即 rank(P*Q)=rank(Q*P)。
秩的计算方法
利用初等行变换或初等列变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的数量即可得到 矩阵的秩。
THANKS
感谢观看
详细描述
构造法是一种直接证明方法，适用于能够具体构造出满足 条件的例子或反例的情况。在证明矩阵秩的性质时，构造 法可以通过构造一个具体的矩阵例子或反例，来证明命题 的正确性或错误性。
06
矩阵秩的习题与解答
习题一：求矩阵的秩
总结词
掌握求矩阵秩的方法
详细描述
通过初等行变换，将矩阵转化为行 阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩 阵的秩。
归纳法
总结词
通过数学归纳法，证明对于所有自然数n，命题都成立。
详细描述
归纳法是一种通过有限步骤证明无限命题的方法。在证明矩阵秩的性质时，归纳法可以 通过从n=1开始，逐步推导归纳步骤，最终证明对于所有自然数n，命题都成立。
构造法
要点一
线性代数矩阵的秩
几个简单结论 (1) 若 矩 阵 A 中 有 某 个 s 阶 子 式 不 为 0 则 R(A)s 若A中所有t 阶子式全为0 则R(A)t (2)若A为mn矩阵 则0R(A)min{m n} (3)R(AT)R(A) (4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当 |A|0时 R(A)n 可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇 异矩阵)又称为降秩矩阵
则
R( 1 , 2 , 3 , 4 ) 3
也就式说矩阵A的秩和它行向量组和列向量组 的秩是相等的。 那么这到底是巧合还是必然呢？下面我们就来 研究这个问题
二、矩阵与向量组秩的关系
定理1 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于
它的行向量组的秩.
定理1说明求向量组的秩可以转化为求矩阵的 秩
例1 求矩阵
1 0 A 0 0 1 1 2 1 4 0 0 5 0 0 0 3
的秩
解
显然A的四阶子式 A 0
1 1 1
而A的一个三阶子式 D 0 2 4 10 0 因此R(A)＝3
0 0 5
注意A是一个行阶梯矩阵，而它的秩恰好是非 零行的行数。
E 0
0 0
但是在第一章中我们不能确定E的阶数， 而学习完矩阵的秩的有关知识以后我们知道E 的阶就是矩阵A的秩 由此我们也知道对于一个可逆矩阵它的等价标 准形就是与它同阶的单位矩阵。
说明
（1）初等变换不改变矩阵的秩
（2）用初等行（列）变换把矩阵化成行（列） 阶梯时，非零行（列）的个数就是矩阵的秩 （3）把矩阵A化成行（列）阶梯矩阵B，则B的 列（行）向量组中任意最大无关组所对应的A的 列（行）向量组构成A的一个最大无关组。
三、矩阵秩的求法
1、用定义
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6 2 D 8 11
D是 A的一个2阶 子式，A 的2阶子 2 2
k m k n 个.
式共有 C 3 C 4 18 个.
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C C 一般地，
二、矩阵的秩
定义 设在矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子 式 D ，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等 于零，那么 D称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵的秩，记作 R( A) 或 r ( A) . 规定：零矩阵的秩等于0. 例1 求矩阵A 和 B 的秩.
矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也 可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩 不能清楚表明矩阵的特征. 对于 n阶矩阵 A ，当 R( A) n 时， A 称为满秩 矩阵；否则称为降秩矩阵.
| 由于 n 阶矩阵 A 的 n阶子式只有一个| A ，当 R( A) n. 所以可逆矩阵的秩等于矩阵 | A | 0时， 的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又 称降秩矩阵.
解 析：此题中矩阵 B 的前4列与 A 的列相同，如 ~ ~ ~ 果用初等行变换将 B化为行阶梯形 B ( A, b )， ~ ~ 则 A 就是 A 的行阶梯形，故从 B 中可同时看出 R( A) 及 R( B ).
1 2 B ( A, b ) 2 3 1 2 r2 2r1 0 0 r3 2r1 0 0 r4 3r1 0 0 1 2 r2 2 r3 r2 0 0 0 0 r4 3r2 0 0
1 2 3 A 2 3 5 , 4 7 1
0 3 2 1 2 5 0 4 3 0 0 0
矩阵，容易看出它的4阶子式 全为零，而以三个非零行的 首非零元为对角元的3阶子式 不等于零， 2 1 3
0 0 3 0 2 24 0 4
由此可见， R( A) 2, R( B ) 3.
2 2 1 1 4 8 0 2 4 2 3 3 6 0 6 4 2 1 1 4 2 0 2 1 5 6 3 1 2 1 1 1 2 2 1 0 r 5 0 0 3 0 0 5 r4 r3 0 0 0 0 0 0 1
因此 R( A0 ) 3, 在 A0中,找一个3阶非零子式是比较 容易的，另外注意到， A0 的子式都是 A 的子式，所 以易求得的一个最高阶非零子式
5 3 2 3 2 6 A0 2 0 5 1 6 1
r
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
0 5 0 r r 3 2 4 1 6 1 r2 r4 3 2 3 A 2 0 1 5 3 r3 2r1 1 6 4 1 4 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
再求 A 的一个最高阶非零子式.
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
r
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
1 1 1 2 r2 3r1 A 3 1 2 r3 5r1 5 3 6 1 2 1 1 0 3 4 4 0 8 5 4
1 2 1 1 0 3 4 4 0 8 5 4 1 2 1 1 r3 r2 0 3 4 4 0 8 1 0
§4.3 矩阵的秩
一、子式
n) 定义 在m n 矩阵A 中，任取k 行与k 列(k m, k ， 位于这些行列交叉处的 k 2个元素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为 矩阵 A 的 k阶子式.
例如
2 4 5 3 A 3 6 4 2 4 8 17 11
大多情况下只 用初等行变换， 不用初等列变 换
所以 R( A) 3.
例2
设
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A , 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
求矩阵 A 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式. 的秩，只需将 A 化为 解 析：根据定理，为求 A 行阶梯形矩阵.
2 1 2 1 0 0 0 0
1 0 1 0
1 2 r 0 0 B 0 0 0 0
2 1 2 1 0 0 0 0
1 0 1 0
注：
把此题中的 A 看作方程组的系数矩阵， b 看作 常数项列，则B 就是增广矩阵，由 B 的行阶梯 形矩阵知，这个方程组 Ax b 无解，因为行 阶梯形的第3行对应的方程为矛盾方程 0 1.
四、矩阵的秩的性质
m, n}; 若A 为 m n矩阵，则 0 R( A) min{
R( AT ) R( A),
R(kA) R( A)(k 0);
若 A ~ B ，则 R( A) R( B ).
若 P、Q 可逆，则 R( PAQ) R( A);
max{ R( A), R( B)} R( A, B) R( A) R( B), 特别地，当b为列矩阵时，有 R( A) R( A, b) R( A) 1; 即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不 证明 超过所有子块的秩之和.
由性质，有
R( A E ) R( E A) R(( A E ) ( E A)) R(2 E ) n,
而 R( E A) R( A E ), 所以
R( A E ) R( A E ) n.
例6 证
m n, 设A 为m n矩阵，B 为n m矩阵， 证明 AB 0.
3 0 0 3 3 1 0. 2 1 3
例3
1 1 1 2 A 3 1 2 , 5 3 6 已知 R( A) 2 ，求 与 的值.
设
解 析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数 的值的题目.一般有两个途径，一是利用行列 A 的 3阶 式，二是用初等变换.当 R( A) 2 时， 子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面 用初等变换解答此题.
R( A B) R( A) R( B );
R( A), R( B)}; R( AB) min{
若 Amn Bnl O, 则
R( A) R( B) n.
例5
设 A 为 n 阶矩阵，证明
R( A E ) R( A E ) n.
证 因为 ( A E ) ( E A) 2 E ,
3
2
5
3 2
5
1 2
3 2 6 6 0 11 ( 1) 2 0 5 2 0 5
6 11 2 0. 2 5
说明 最高阶非零子式一般是不唯一的. 上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
这里的两个行列 式分别是 A 和 B 的 最高阶非零子式
因此 R( B ) 3.
说明 根据行列式的展开法则知，在 A中当所有 r 1阶 子式全为零时，所有高于 r 1阶的子式也全为0， 因此把 r 阶非零子式称为最高阶非零子式；
矩阵 A 的秩就是 A 中不等于零的子式的最高阶 数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征； 当矩阵 A中有某个 s 阶子式不为0，则 R( A) s; 当矩阵 A 中所有 t 阶子式都为0，则 R( A) t;
根据性质，有
R( AB) n m,
而 AB 为 m 阶矩阵，所以
AB 0.
作业：
P78-79 2.(2)(4) (5)
三、矩阵的秩的计算
定理 说明 根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用 初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩. 若 A ~ B ，则 R( A) R( B ). 即两个等价矩阵的秩相等. 证明
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12 1 6 4 1 4 r3 3r2 0 4 3 1 1 r4 4r2 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8 1 6 4 1 4 3 1 1 r4 r3 0 4 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
1 2 3 A 2 3 5 , 4 7 1
2 1 0 3 B 0 0 0 0 0 3 2 1 2 5 0 4 3 0 0 0
在 A中，容易看出一个2阶 子式 1 2
D 2 3 1 0,
2 1 A 的3阶子式只有一个 A 0, 0 3 B 因此 R( A) 2. 0 0 0 0 由于它是行阶梯形 B 在 中，
因为 R( A) 2 ，故 5 0, 5, 即 1 0, 1. 说明 此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简 单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.
例4
设
求矩阵 A 及矩阵 B ( A, b)的秩.
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 A , b 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ