用matlab编程实现法计算多自由度体系的动力响应样本

用matlab编程实现法计算多自由度体系的动力响应
Newmark-β法计算多自由度体系的动用matlab编程实现
力响应
姓名：
学号：
班级：
专业：
用matlab编程实现Newmark-β法
计算多自由度体系的动力响应
一、Newmark -β法的基本原理 Newmark-法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用，能很好的适应非线性的反应分析。

Newmark-法假定：
t u u u u t t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+=&&&&&& (1-1)
2]}{}){21[(}{}{}{t u u t u u u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++=&&&&& (1-2) 式中，
和是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。

当=0.5，=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +t 时
刻的速度不变，取为常数)}{}({21
t t t u u ∆++&&&&。

研究表明，当≥0.5，
≥0.25(0.5+)2时，Newmark-法是一种无条件稳定的格式。

由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u
}{&，t u }{&&表示的t t u ∆+}{&，t t u ∆+}{&&表示式，即有
t t t t t t t u u t u u t u }){121(}{1)}{}({1}{2
&&&&&----=++γ∆γ∆γ∆∆ (1-3) t t t t t t t u t u u u t u }{)21(}){1()}{}({}{&&&&∆γ
βγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (1-4) 考虑t +t 时刻的振动微分方程为：
t t t t t t t t R u K u C u M ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[&&& (1-5)
将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +t 的方程
t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (1-6)
式中
][][1][][2C t M t K K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1](
[}{}{2t t t t t t t t u t u u t C u u t u t M R R &&&&&&∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+
求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u
∆+}{&和t t u
∆+}{&&。

由此，Newmark-法的计算步骤如下：
1.初始计算：
（1）形成刚度矩阵[K ]、质量矩阵[M ]和阻尼矩阵[C ]；
（2）给定初始值0}{u ， 0}{u
&和0}{u &&； （3）选择积分步长
t 、参数、，并计算积分常数 201
t ∆γα=，t ∆γβα=
1，t ∆γα12=，1213-=γα， 14-=γβα，)2(25-=γ
β∆αt ，)1(6β∆α-=t ，t ∆βα=7； （4）形成有效刚度矩阵][][][][10C M K K αα++=；
2.对每个时间步的计算：
（1）计算t +t 时刻的有效荷载：
)
}{}{}{]([)}{}{}{]([}{}{541320t t t t t t t t t t u u u C u u u M F F &&&&&&αααααα∆∆++++++=++ （2）求解t +t 时刻的位移：
[]t t t t F u K ∆+∆+=}{}{
（3）计算t +t 时刻的速度和加速度：
t t t t t t t u u u u u }{}{)}{}({}{320&&&&&ααα∆∆---=++
t t t t t t u u u u ∆∆αα++++=}{}{}{}{76&&&&&& Newmark-方法是一种无条件稳定的隐式积分格式，时间步长
t 的大小不影响解的稳定性，
t 的选择主要根据解的精度确定。

二、 本文用Newmark -β法计算的基本问题 四层框架结构在顶部受一个简谐荷载014
=sin()t F F t π的作用，力的作用时间1t =5s ，计算响应的时间为100s ，分 步完成。

阻尼矩阵由Rayleigh 阻尼构造。

具体数据如下图：
图一：结构基本计算简图
三、 计算Newmark -β法的源程序。