数学分析第四学期试题
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第12章 数项级数12.1 复习笔记12.2 课后习题详解12.3 名校考研真题详解第13章 函数列与函数项级数13.1 复习笔记13.2 课后习题详解13.3 名校考研真题详解第14章 幂级数14.1 复习笔记14.2 课后习题详解14.3 名校考研真题详解第15章 傅里叶级数15.1 复习笔记15.2 课后习题详解15.3 名校考研真题详解第16章 多元函数的极限与连续16.1 复习笔记16.2 课后习题详解16.3 名校考研真题详解第17章 多元函数微分学17.1 复习笔记17.2 课后习题详解17.3 名校考研真题详解第18章 隐函数定理及其应用18.1 复习笔记18.2 课后习题详解18.3 名校考研真题详解第19章 含参量积分19.1 复习笔记19.2 课后习题详解19.3 名校考研真题详解第20章 曲线积分20.1 复习笔记20.2 课后习题详解20.3 名校考研真题详解第21章 重积分21.1 复习笔记21.2 课后习题详解21.3 名校考研真题详解第22章 曲面积分22.1 复习笔记22.2 课后习题详解22.3 名校考研真题详解第23章 向量函数微分学23.1 复习笔记23.2 课后习题详解23.3 名校考研真题详解第12章 数项级数12.1 复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。
数学分析4测试题答案
dxdy = ∫∫ e − ( x
Sa a
2
2
+ y2 )
dxdy ≤ ∫∫ e − ( x
D2
2
+ y2 )
dxdy
而 H (a ) = ∫∫ e
D1
− ( x2 + y2 )
dxdy = ∫ dθ ∫ e− r rdr =
0
π 2 0
2 2 π π (1 − e − a ) , G (a ) = (1 − e −2 a ) , 且 4 4
0 3 3 3 3 y 9 3
4. 8; 7. 8
1 3 1 x + x 2 y − xy 2 − y 3 + C 3 3 二、计算题(每小题 9 分,共 54 分) 6.
f x ( x, y ) = cos x + cos( x + y ) = 0 1. 由 ,求得稳定点 (2mπ + π , 2nπ + π ) , f y ( x, y ) = cos y + cos( x + y ) = 0 (2mπ + π π π π , 2nπ + ) , (2mπ − , 2nπ − ) . 3 3 3 3 在 点 (2mπ + π , 2nπ + π ) 处 ,
Ò ∫∫ Ò ∫∫
同理得:
S
xyzdxdy = ∫∫ xydxdy = ∫ 2 dθ ∫ r 3 sin θ cos θ dr =
D1 0 0 1 1
π
1
1 8 1 6
S
xyzdydz = ∫∫ xy 1 − y 2 dydz = ∫ dy ∫ yz 1 − y 2 =
D2 0 0
数学分析4测试题1
数学分析4测试题1一、填空题(每小题4分,共28分)1. 用含参量积分定义的贝塔函数B(p,q)= ; 余元公式B(p,1-p)=2. 曲面222236x y z ++=在点(3,2,1)处的切平面方程为 ,法线方程为 .3. 将如下积分改变累次积分顺序:330(,)xxdx f x y dy =∫∫.4. 设L 是沿抛物线23y x =从O(0,0)到A(2,12)的一段, 则Lxdy ydx −=∫ . 5. 设(,,),,,(,,)yz xz xy u v w u v w x y z x y z ∂====∂则 . 6. 全微分2222(2)(2)x xy y dx x xy y dy +−+−−的原函数为 . 7. 设S 是以原点为中心,每边长为2的正方体的表面, 指向外侧, 则()Sy z dzdx +=∫∫ .二、计算题（每小题9分，共54分）1. 讨论函数(,)sin sin sin()f x y x y x y =+++的极值.2. 设f(x,y)在区域D 上连续,试将积分(,)Df x y dxdy ∫∫化为(直角坐标下)不同顺序的累次积分:(1) D 由不等式22,0,1y x y x y ≤≥+≤所确定的区域; (2) D 是由抛物线2y x =与直线x+2y-3=0及x 轴所围成的区域. 3.计算积分V∫∫∫, 其中V 由曲面221,1y x z y =+==所围成. 4. 应用高斯公式计算积分2(2)Sx dydz z y dxdy ++∫∫Ò, 其中S 为由平面2y+2z-3=0z=0及圆柱面221x y +=所围成空间区域整个边界的内侧.5. 计算sin Dy xdxdy ∫∫, 其中D 是由28,2y x y x ==所围成的区域.6. 计算22Cxdy ydxx y −+∫Ñ,其中C 是取正向的光滑曲线, 且闭曲线内部含有原点.三、证明题(每小题9分,共18分)1. 设z=f(x,y)在有界闭域D 上具有二阶连续偏导数, 且22220,z z x y ∂∂+=∂∂20zx y ∂≠∂∂,试证f 的最大值和最小值只能在D 的边界上取得. 2. 设{(,)|0,0}D x y x y =≤<+∞≤<+∞, 证明22()x y Dedxdy −+∫∫收敛.数学分析4测试题2一、填空题(每小题4分,共28分)1. 用含参量积分定义的贝塔函数()s Γ= ; 当1n s n <≤+时，有(1)S Γ+= ()S n Γ−.2. 锥面22201698x y z +−=在点(4,3,2)处的切平面方程为 ,法线方程为 .3. 将如下积分改变累次积分顺序:420(,)xxdx f x y dy =∫∫.4. 设L 是直线12y x =从O(0,0)到A(2,1)的一段, 则L xdy ydx +=∫ .5. 设(,,)sin cos ,sin sin ,cos ,(,,)x y z x r y r z r r φθφθφφθ∂====∂则.6. 全微分(2cos )sin x y dx x ydy −+的原函数为 .7. 设S 是以原点为中心,每边长为2的正方体的表面, 指向外侧, 则()Sz x dzdx +=∫∫ .二、计算题（每小题9分，共54分）1. 求内接于半径为R 的半球的最大长方体的长、宽、高.2. 设f(x,y)在区域D 上连续,试将积分(,)Df x y dxdy ∫∫化为(直角坐标下)不同顺序的累次积分:(1) D 由2,(0),0,(0)y x x x y y a a =>+==>围成的区域; (2) {(,)|||||2}D x y x y =+≤. 3. 计算积分y x yDedxdy +∫∫, 其中{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥.4. 应用高斯公式计算积分()Vxy yz zx dxdydz ++∫∫∫, 其中V 是由0,0,x y ≥≥01z ≤≤与221x y +≤所确定的空间区域.5. 计算cos Dy xdxdy ∫∫, 其中D 是由23,y x y x ==所围成的区域.6. 计算22(2)Cxydx x x dy ++∫Ñ,其中12C C C =+, 1C 是按顺时针方向的圆周221x y +=, 2C 是按逆时针方向的椭圆周22194x y +=.三、证明题(每小题9分,共18分)1. 设z=f(x,y)在有界闭域Ω连续,且在Ω内任一子域D ⊂Ω都有0Df =∫,则在Ω上(,)0f x y ≡.2. 应用(含参量)积分号下微分法证明:120ln(1)ln 218x dx x π+=+∫.数学分析4测试题3一、填空题（每题4分，共28分）1.空间曲线方程为(,,)0(,,)0.F x y z G x y z ==与若它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数组定理的条件.则此曲线在0P 点的切线方程是 .2. Γ函数定义为()s Γ= .3. 设2,OAI xdy ydx =−∫OA 是由O(0,0)到A(2,2)的有向线段, 则I 的值为 .4. 设22()CJ x y ds =+∫,其中C 为曲线22 2.x y +=则J 的值为 .5.圆锥z =在圆柱体22x y x +≤内的那部分面积为: . 6. 若函数P(x,y),Q(x,y)及其一阶偏导数在可求面积的区域D 上连续.逐段光滑曲线L 是D 的边界, 则格林公式可得D P Q dxdy y x∂∂+= ∂∂ ∫∫ , 其中L 的方向为 .7. 球2222x y z a ++≤的体积用三重积分表示为 ,用二重积分表示为 ,用定积分表示为 .设以V 表示此求, Ω表示V 在xoy 平面上的投影. 二、计算题(每题7分,共56分)1在曲线23,,x t y t z t ===上求一点, 使曲线在此点的切线平行于平面2 4.x y z ++=2. 求原点到平面Ax By Cz D ++=的最短距离.3. 在积分2201(,)xxdx f x y dy −−∫∫引进新变量: u=x+y, v=x-y 后, 化为关于u,v 的累次积分.(只要写出一种积分顺序的累次积分)4. 在积分(,)Df x y dxdy ∫∫, 22{(,)|,0}D x y x y y x =+≤≥引进极坐标变换后,把此积分写成先对ρ后对θ的累次积分.5. 计算Sxyzds ∫∫,其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限的部分.6. 计算22L xdx ydyx y−++∫Ñ,其中L 为圆222x y a +=,取逆时针方向. 7. 计算Szdxdy ∫∫,其中S 是椭球面2222222x y z a a b c ++=取外侧.8. 把积分2211(,,)x y dx dy f x y z dz +∫∫∫改变成先对x 再对y 后对z 的累次积分.三、证明题(每题8分,共16分)1.设函数f(x,y)在可求面积的区域D 上连续. 若D 上成立(,)0f x y ≥,f(x,y)在D 上不恒为0, 则(,)0.Df x y dxdy >∫∫2. 确定常数λ的值, 使2(,)2(,)c d a b x x K r dx r dy y yλλ=−∫的值与路径无关.并在此λ值时求K 的值.其中: 222,0,0.r x y b d =+>>数学分析4测试题4一、填空题(每题4分,共28分)1.空间曲线F(x,y,z)=0与G(x,y,z)=0在0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数组定理的条件, 则此曲线在0000(,,)P x y z 处的法平面方程为: .2. 设D 为可求面积的平面图形,函数f(x,y)在D 上有连续的一阶偏导数, 则z=f(x,y),(x,y)∈D 所确定的曲面的面积,用二重积分表示的计算公式为: .3. 若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域2D R ⊂上连续,且有连续的二阶偏导数, 则由格林公式可得: LDPdx Qdy −+=∫∫∫Ñ , 其中L 是D 的边界取正向.4. 贝塔函数定义为: (,)B p q = .5. 积分OAxdy ydx −∫的值为 .其中OA 为抛物线22y x =上从O(0,0)到A(1,2)的有向线段.6. 积分()ABx y ds +∫的值为 , 其中A(0,1),B(1,0), AB 为过A 和B 的直线段.7. 设曲线L 由曲线(),(),()(),[,]y f x y g x f x g x x a b ==≥∈构成, 且f(a)=g(a),f(b)=g(b).L 围成的平面区域为D. 当(),()f x g x ′′均连续时, 则区域的面积用定积分表示为: , 用第二型曲线积分表示为: .二、算题(每小题7分,共56分)1.在曲面2222321x y z ++=上求某点, 使该点处曲面的切平面平行于平面460x y z ++=(要找出曲面上切平面与x+4y+6z=0平行的所有点)2. 用拉格朗日乘数法求函数f(x,y,z,t)=x+y+z+t 在条件4xyzt C =(其中x,y,z,t 均为正, C>0)条件下的极值.3. 在坐标变换,u x y v x y =+=−后，计算积分x yx yDedxdy −+∫∫，其中D 由x=0,y=0,及x+y=1所围成.4. ||LI y dx =∫, 其中L 为221x y +=, 试计算I 的值.5.计算S其中S 为立1z ≤≤的边界曲面.6. 计算Sxydydz yzdxdz xzdxdy ++∫∫, 其中S 由平面0,0,0x y z ===与x+y+z=1所围成的四面体的表面, 取外侧为正向.7. 用极坐标变换计算积分()Dx y dxdy +∫∫,其中22{(,)|}.D x y x y x y =+≤+8. 把110(,,)xx ydx dy f x y z dz −+∫∫∫改为累次积分:(1) 先对x 再对z 后对y; (2) 先对y 再对x 后对z. 三、证明题(共16分)1. 若在可求面积的区域D 上f(x,y)连续, 且对于D 内任一子区域D D ′⊂,均成立0,D f ′=∫ 则在D 上f(x,y)≡0.2. 函数u(x,y),w(x,y)及其一阶偏导数在可求面各的平面区域D 上连续,逐段光滑的封闭曲线L 是D 的边界取正向.求证:L DDu w wdxdy wudy u dxdy x x ∂∂=−∂∂∫∫∫∫∫Ñ数学分析4测试题5一、填空题（每小题4分，共28分）1．设由方程3230xyz x y z ++−=确定的隐函数(,),z f x y =则zx∂=∂ . 2．椭球面222236x y z ++=在（1，1，1）处的切平面方程为 . 3．格马函数()s Γ= ，当1().n s n s n <≤+ΓΓ−时(s+1)= 4．设D 是由不等式2211x y x y +≤+≥与所确定的区域，则将二重积分化为不同顺序的累次积分，得：(,)Df x y dxdy =∫∫ .5．设平面曲线L 为半圆周22()Ly x y ds =+=∫则 .6．设(,),sin ,(,)x y x rocs y r r φφφ∂===∂则. 7．设L 是直线2y x =从O(0,0)到A(1,2)的一段，则Lxdy ydx +=∫ . 二、计算题（每题10分，共50分）1．应用拉格朗日乘数法，求抛物线220y x x y =−−=与直线之间的最短距离。
08数学分析4期末考试答案 (A卷)(1)
第1页（共6页）第2页（共6页）玉林师范学院课程期未考试参考答案及评分标准（2009——2010学年度第二学期）命题教师：龚国勇 命题教师所在系：数计系 试卷类型：（A ） 课程名称：数学分析4 考试专业：数应（本）科 年级： 2008班别： 学号： 姓名： 座位号：1、32223y x x y yx+-+； 2、8π； 3、3 ； 4、242222(,)(,)y y y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰； 5、22Rπ； 6、232Rπ； 7、24; 8、2H Rπ； 9、22()(,,)Vx y z dV yx ρ+⎰⎰⎰；10、0.二、计算题（1-4每小题7分，5-7每小题8分，共52分）1、应用斯托克斯公式计算()()()Lz y dx x z dy y x dz -+-+-⎰ ，其中L 为以(,0,0),(0,,0),(0,0,)A aB aC a 为顶点的三角形沿ABCA 的方向。
解：应用斯托克斯公式，有()()()Lz y d x x z d y y x d z -+-+-⎰=2Sdydz dzdx dxdy++⎰⎰ 3分=2（yzzxxydydz dzdx dxdyD D D ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰） 5分=2（222111222aaa++）=32a 7分2、应用格林公式计算(sin )(2cos )xxLy y dx y dyee -+-⎰，其中L 为直线,y x =1x =与x 轴所围成区域D 的边界线，依逆时针方向。
解：记P （x,y ）=(sin ),xy y e -Q(x,y)=(2cos ),xy e - 1分 易见，P 、Q 满足格林公式的条件，故有装订 线 装 订 线第3页（共6页）第4页（共6页）(sin )(2cos )xxLy y dx y dyee -+-⎰＝[(2cos )(1cos )]xxDy y d e σ---⎰⎰e =xDd e σ⎰⎰ 4分＝10xxdx dy e⎰⎰6分＝1 7分3、计算二重积分D⎰⎰，其中D 是圆周222xyx +=所围成的区域。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-重积分(圣才出品)
证明：假设 f 在 D 上可积，但在 D 上无界，那么，对 D 的任一分割
，
必在某个小区域 上无界．
当 i≠k 时，任取
令
由于 f 在 上无界，从而存在 从而
使得
另一方面，由 f 在 D 上可积知：存在
对任一 D 的分割
当
时，T 的任一积分和
都满足
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时）．即 f（x，y）在 D 上不可积．
因此
的极
7．证明：若 f（x，y）在有界闭区域 D 上连续，g（x，y）在 D 上可积且不变号，则
存在一点
使得
证明：不妨设
令 M，m 分别是 f 在 D 上的最大、最小值，从而
若
＝0，则由上式
若
则必大于 0，于是
于是任取
即可．
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为D内
证明：设 D 在 x 轴和 y 轴上的投影区间分别为[a，b]和[c，d]．
考虑
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由于
因此
所以
，同理可证
得
到
7．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 表示有理数 x 化成既约分数后的分母．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分存在而两个
同理可证先 y 后 x 的累次积分不存在．
8．设 D＝[0，1]×[0，1]，
其中 意义同第 7 题．证明 f（x，y）在 D 上的二重积分不存在而两个累次积分存在．
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证明：因为在正方形的任何部分内，函数 f 的振幅等于 1．所以二重积分不存在．对固
数学分析(下册)答案-张岩 李克俊-第十章数项级数
习题10-11、讨论下列级数的敛散性，如果收敛，求其和：+⨯+⨯+⨯571351131)1(； （2）22111111232323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；∑∞=++1)2)(1(1)3(n n n n ； 1(4)n ∞=-+∑；∑∞=12)5(n n n； ∑∞=++-+11211243)6(n n n n 0(7)sin 6n n π∞=∑； ∑∞=11)8(n nn；解 （1）()()1111212122121n u n n n n ⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭，所以1111111111123352121221nn k k s u n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑，故()()11111lim lim 121212212n n n n s n n n ∞→∞→∞=⎛⎫==-= ⎪+-+⎝⎭∑。
故级数收敛，且其和为12。
（2）22221111111111112323232223331111111112311,11232231123n n n n n nnn n s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦--所以，原式11113lim 11122322n nn →∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-+-=+=⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭。
故级数收敛，且其和为32。
（3）()()()()()1111122112n u n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦，所以()()()()()11111111212232334112111,2212n n k k s u n n n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-++-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅+++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∑()()111111lim (1)(2)22124n n n n n n n ∞→∞=⎡⎤=-=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦∑。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-幂级数(圣才出品)
第14章幂级数§1幂级数1．求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：解：（1）因故收敛半径R＝1，收敛区间为（－1，1）．又时，级数与级数均发散，故收敛域为（－1，1）．（2）因为故收敛半径收敛区间为（－2，2）．当时，级数收敛，故收敛域为[－2，2]．（3）记所以，则收敛半径R＝4．当时，级数为，通项为u故，即时级数发散，故收敛域为（－4，4）．（4）因故收敛半径为收敛域为（5）设则故对任取定的x，有＜1，故级数的收敛半径为收敛域为（6）设，则故级数收敛半径故，从而收敛区间为当时，原级数可化为对于级数，因为故级数收敛，又收敛，故时，原级数收敛．当时，原级数可化为因级数收敛，而级数发散，故时原级数发散，从而收敛域为（7）设故收敛半径，故时，原级数是发散的，从而收敛域为（－1，1）．（8）设，则因此级数在时收敛，时发散，从而可得收敛半径R＝1，收敛区域为[－1，1]．2．应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的定义域）：解：（1）设时，级数收敛，故原级数的收敛半径R ＝1．又当时，原级数可化为发散，从而得收敛域为（－1，1）．设内逐项求导，得故和函数（2）记因为所以，收敛区域为（－1，1）．因为所以（3）记则收敛区域为（－1，1）．因为所以所以，因此3．证明：设在内收敛，若也收敛，则（注意：这里不管在x＝R是否收敛），应用这个结果证明：证明：因在内收敛，所以有又x＝R时，级数收敛，从而由定理14．6知的和函数在x＝R 处左连续，从而又因为内收敛，且级数收敛，所以4．证明：（1）满足方程（2）满足方程证明：（1）设故，从而幂级数的收敛区间为，且y可在内任意阶可导，所以（2）设，故所以幂级数的收敛区间为且和函数y在具有任意阶导数，由，可得所以又由5．证明：设f为幂级数（2）在（－R，R）上的和函数，若f为奇函数，则级数（2）仅出现奇次幂的项，若f为偶函数，则（2）仅出现偶次幂的项．证明：由可得当f（x）为奇函数时，故此时有当f（x）为偶函数时，，故此时有6．求下列幂级数的收敛域：解：（1）设故收敛半径，又当故原幂级数在|x|＝R时发散，收敛域为（－R，R）．（2）设，则，故收敛半径为时，所以原级数在时发散，故收敛域为7．证明定理14．3并求下列幂级数的收敛半径：证明：对任意的x，据定理12．8推论2可得：。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)章节题库-曲面积分(圣才出品)
第22章曲面积分1．设S是椭圆面的上半部分，点，Ⅱ为S在点P的切平面， （x，y，z）为点O（0，0，0）到平面Ⅱ的距离，求．解：设（X，Y，Z）为Ⅱ上任意一点，则Ⅱ的方程为由此易知由S的方程有，于是其中是S在xOy平面上的投影．作极坐标变换容易求出：2．计算积分其中S：x＋y＋z＝t，解：将z＝t－x－y代入整理可得：由此可知，当时，平面S在球内；当时，平面S在球之外，所以显然当时．F（t）＝0，所以只需计算时的积分：其中D是式（1）所表示的区域．作变换则D变为，其中．于是对式（3）右边进一步计算得所以3．设曲面S由方程所确定，求曲面S的面积．解：在球坐标变换：x＝rsinφcosθ，y＝rsinφsinθ，z＝rcosφ之下，曲面S的方程是，其参数方程为通过计算易知，由此得由曲面的对称性，只需求第一卦限部分的面积即可．而此时，并且由曲面方程知cos2θ≥0，所以0≤θ≤π/4．故S的面积为4．计算曲面积分，其中S是曲面x2＋y2＝R2及两个平面z＝R，z＝－R（R>0）所围的立体的表面的外侧（数学Ⅰ，Ⅱ）．解：设S1，S2，S3分别为S的上、下底面和圆柱侧面，则记S1＋S2在xOy平面上的投影区域为D xy，则在S3上，而S3在yOz平面上的投影区域D yz：－R≤y≤R，－R≤z≤R，故从而曲面积分5．求，其中S是球面x2＋y2＋z2＝a2（x>0，y≥0，z≥0）的第一卦限部分，取外侧．解：球面在点（x，y，z）处的法向量为，由两类曲面积分的关系，有（利用轮换对称性）其中，x≥0，y≥0．作极坐标变换，有6．计算曲面积分S是闭曲面|x－y＋z|＋|y－z＋x|＋|z－x＋y|＝1，方向取外侧．解：由高斯公式，可得其中Ω是由闭曲面S所围的空间区域．作变换：u＝x－y＋z，v＝y－z＋x，w＝z－x＋y，则区域力变成Ω1：|u|＋|v|＋|w|≤1．由对称性，有7．计算第二型曲面积分其中f（x，y，z）为连续函数，∑是平面x－y＋z＝1在第四卦限部分，方向取上侧．解：设曲面∑的单位法向量为（cosα，cosβ，cosγ），则dydz＝cosαdS，dzdx＝cosβdS，dxdy＝cosγdS．由此可得具体到本例，，因而dydz＝dxdy，dzdx＝－dxdy．于是其中D xy＝{（x，y）1≤x≤1＋y，－1≤y≤0}是曲面∑在xOy平面的投影。
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试题（1卷）一．填空（每小题3分，共15分）1．若平面曲线L 由方程0),(=y x F 给出,且),(y x F 在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件,则曲线L 在点0P 的切线方程为 ； 2.含参量积分⎰=)()(),()(x d x c dyy x f x F 的求导公式为=')(x F ；3. Γ函数的表达式为 =Γ)(s , 0>s ；4.二重积分的中值定理为:若),(y x f 在有界闭区域D 上连续,则存在D ∈),(ηξ,使⎰⎰=Dd y x f σ),( ；5.当0),,(≥z y x f 时，曲面积分⎰⎰S dSz y x f ),,(的物理意义是：. 二.完成下列各题(每小题5分,共15分)1.设5422222=-+-++z y x z y x ,求y z x z ∂∂∂∂,; 2. 设 ⎩⎨⎧-=+=,cos ,sin v u e y v u e x u u 求 x v x u ∂∂∂∂, ;3. 求积分)0(ln 1>>-⎰a b dx x x x ab .三.计算下列积分(每小题10分,共50分)1. ⎰L xyzds,其中L 为曲线)10(21,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段;2.⎰+-Ly x xdxydy 22,其中L 为圆t a y t a x sin ,cos ==在第一象限的部分，并取逆时针方向;3．作适当变换计算⎰⎰-+D dxdyy x y x )sin()(,其中D }{ππ≤-≤≤+≤=y x y x y x 0,0),(; 4. ⎰⎰⎰+V y x dxdydz 22,其中V 是由x y z x x ====,0,2,1与y z =围成的区域; 5.dS y x S )(22⎰⎰+,其中S 为圆锥面222z y x =+被平面1,0==z z 截取的部分. 四.应用高斯公式计算dxdy z dzdx y dydz x S333++⎰⎰,其中S 为球面2222a z y x =++的外侧.(10分)五.求全微分dz xy z dy xz y dx yz x )2()2()2(222-+-+-的原函数. (10分)试题（2卷）一．填空（每小题3分，共15分）1．若曲面S 由方程0),,(=z y x F 给出,且),,(z y x F 在点),,(0000z y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件,则曲面S 在点0P 处的切平面方程为 ；2.若),(y x f 在),[],[+∞⨯c b a 上 ,且含参量反常积分⎰+∞=cdyy x f x I ),()(在],[b a 上 ,则)(x I 在],[b a 上连续；3.B 函数的表达式为=B ),(q p ,0,0>>q p ；4.二重积分的中值定理为:若),(y x f 在有界闭区域D 上连续,则存在D ∈),(ηξ,使得⎰⎰=Dd y x f σ),( ；5.曲线积分⎰+L dyy x Q dx y x P ),(),(的物理意义是： . 二.完成下列各题(每小题5分,共15分)1.设02=+--zxy e z e,求y z x z ∂∂∂∂,; 2. 设 ⎩⎨⎧=--=--,0,022xu v y yv u x 求x v x u ∂∂∂∂,; 3. 设 dyex F x x xy ⎰-=22)( , 求 )(x F ' .三.计算下列积分(每小题10分,共50分)1.dsz y x L )(222++⎰,其中L 为螺旋线)0(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段;2.⎰+-Ldy dx y a )2(,其中L 为摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=从0=t 到π2=t 的一段;3.作适当变换计算dxdyeDyx y x ⎰⎰+-,其中D 是由1,0,0=+==y x y x 所围区域; 4.⎰⎰⎰+Vdxdydzz x y )cos(,其中V 是由0,0,===z y x y 及2π=+z x 所围区域;5.⎰⎰++SdSz y x )(,其中S 为上半球面0,2222≥=++z a z y x . 四. 应用高斯公式计算 dxdyz dzdx y dydz xS222++⎰⎰,其中S 为立体h z y x ≤≤+22的边界曲面的外侧. (10分)五.应用斯托克斯公式计算 dzx y dy z x dx y z L )()()(-+-+-⎰,其中L 为平 面)0(>=++a a z y x 与三坐标面的交线,并取逆时针方向. (10分)分析试题（三） 一、 填空题（每题3分，共30分） 1．已知22()x xy xF x edy-=⎰，则()F x '= ① 。
2． 2lim1(1)n ndx x n→+∞=++⎰② 。
3．含参量积分(,)Cf x y dy+∞⎰在[,]a b 上不一致收敛的一个充要条件是③ 。
4．若[0,1][0,1]D=⨯，则22max{,}x y Dedxdy⎰⎰= ④ 。
5． 若D 为圆域：221x y +≤，则D = ⑤ 。
6． 写出斯托克斯(Stokes)公式 ⑥ 。
7．已知1()2Γ=3(,2)2B =⑦ 。
8．若L 为平面上封闭曲线，l 为任意方向向量，n 为曲线L 的外法线方向，则cos(,)Ll n ds =⎰ ⑧ 。
9．空间有界区域V 可求体积的一个充要条件是 ⑨ 。
10． V 是椭球体2222221x y z a b c ++≤，则 222222()V x y z dxdydz a b c ++=⎰⎰⎰ ⑩ 。
二、 计算题（每题8分，共40分）1. 计算第一型曲线积分222()Cx y z ds ++⎰，其中C 为螺旋线：cos x a t =，sin y a t =，z bt =(02)t π≤≤的一段。
2. 计算第二型曲线积分22L ydx xdy I x y -=+⎰ ，其中L 为2221x y +=，方向取逆时针。
3.计算二重积分42DI dxdyx +=⎰⎰，其中D 为x 轴，yx =1+=和3+=围成的有界闭区域。
4. 计算第一型曲面积分222S dS x y z ++⎰⎰，其中S ={222(,,)|x y z x y R +=，0z H ≤≤}。
5. 计算222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为圆锥曲面z =0z =，2z =所截部分的外侧。
三、 证明题（每题10分，共30分）1．利用二重积分证明22x edx +∞-=⎰，并由此导出1()2Γ=2. 设函数()y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分24()22Ly dx xydyx y ϕ++⎰的值恒为常数。
（1）证明：对上半平面0y >内任意分段光滑简单闭曲线C ，有24()202Cy dx xydyx yϕ+=+⎰。
（2）求()y ϕ的表达式。
3.证明含参量非正常积分2xy dy-⎰，对任意0δ>在[,)δ+∞上一致收敛，而在[0,)+∞上不是一致收敛的。
试题3参考答案和评分标准四、 填空题（每题3分，共30分）1． 253222x x x xy xxeey edy-----⎰2． 222ln1e e +3． 00ε∃>，N C ∀>，M N ∃>，0[,]x a b ∃∈，有00(,)Mf x y dy ε+∞≥⎰。
(注：此题解答不唯一)4． 1e - 5．2π6.()()()L SR QPdx Qdy Rdz dydz y z P R Q Pdzdx dxdy z x x y ∂∂++=-+∂∂∂∂∂∂-+-∂∂∂∂⎰⎰⎰7．4158．09．V 的边界V ∂的体积为0。
(注：此题答案不唯一)10．45abc π五、 计算题（每题8分，共40分）22222222220222203221.()(cos sin (8)3C x y z ds a t a t b t a b t b a ππππ++=++=+=+⎰⎰⎰解： (第一个等号4分，后面两个等号各2分。
)2. 解：2222(,),(,)y xP x y Q x y x y x y ==-++，于是有Q P x y ∂∂=∂∂。
（2分）作圆222(0x y r r +=<<，方向取逆时针。
有格林公式知22220L C ydx xdy ydx xdyx y x y ---+=++⎰⎰ （4分）从而 222221L C C ydx xdy ydx xdy ydx xdy x y x y r --==-++⎰⎰⎰22211222D dxdy r r r ππ=-=-=-⎰⎰。
（8分）3. 解：令,0u y vx +=-=，则22),x y ==。
由题意知(,)[1,3][0,u v ∈⨯。
（2分）3(,)(,)x y u v ∂==∂（4分）故443424133301(12240DD D u I dxdy x u u dudv dv u du ''+==+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
（8分）4. 解：考虑到被积函数在曲面上积分，被积函数关于x,y 都为偶函数，又曲面关于xoz,yoz 平面对称，则2222224S S dS dSx y z R z =+++⎰⎰⎰⎰其中2S 为S中0,0x y ≥≥的部分。
曲面2S 的方程为x =（0z H ≤≤）。
将2S 向yoz 平面投影得矩形区域：D={(y,z)|0 y R,0 z H}≤≤≤≤（4分）故由计算公式有：224442arctan 8D D RHI dydzdz HR z Rπ====+⎰⎰⎰⎰⎰（分）5. 解：设S 为圆锥的底面，由高斯公式知222(222)8SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ∑⋃++=++⎰⎰⎰⎰⎰（分）令cos ,sin ,x r y r z z θθ===，则02,02,0z r z θπ≤≤≤≤≤≤。
2203332200230(222)2(cos sin )cos sin 2()332284zVx y z dxdydz dz d r r r z drz z z dz d z dz ππθθθθθθππ++=++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（分）而22244166S SDx dydz y dzdx z dxdy dxdy dxdy π++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰（分）故2228168x dydz y dzdx z dxdy πππ∑++=-=-⎰⎰。
（8分）六、证明题（每题10分，共30分）1． 证：2Rxedx -==⎰令222{(,)|,0,0}RD x y x y R x y =+≤≥≥， 222{(,)|2,0,0}x y x y R x y =+≤≥≥显然R D D ⊂⊂。