粗糙集理论与算法初步

粗糙集合论的成员关系
粗糙包含关系 知识库K=(U,S)，R IND(K)的一个等价关系， 对任意U中的集合X，Y定义： 1）X为R下粗包含于Y R X R YX Y R

2）X为R上粗包含于Y
R X R Y X Y R
3）X为R下粗包含于Y，且同时X为R上粗包含 Y 于Y，称X粗包含于Y，记作 XR
粗糙集理论与算法初步
2012.9.19
第零节
前言
粗糙集发展历程



1970s，Pawlak和波兰科学院、华沙大学 的一些逻辑学家，在研究信息系统逻辑特 性的基础上，提出了粗糙集理的思想。 在最初的几年里，由于大多数研究论文是 用波兰文发表的，所以未引起国际计算机 界的重视，研究地域仅限于东欧各国。 1982年，Pawlak发表经典论文《Rough sets》，标志着该理论正式诞生。

近似分类质量
RU
R U U
粗糙集的数值特征
系统参数的重要度 知识库K=(U,S)，RIND(K)表示描述系统特 性的一组或单个系统参数。U中任意的概念 X以及独立于系统参数R的划分，有 参数R的重要度 U b n RX

s ig RX
U
Ub n X

粗糙集的近似集R0.5的提出

这里定义相似度为：
s(A, B) A B A B


隶属度函数定义： 非空论域U，以及等价关系R，以及U中的 对象子集X，对于任意的xX，隶属度定义 为： X xR R R0.5的定义 X (x) xR
粗糙集的近似集R0.5的提出

由近似度定义可以得到粗糙集的上下近似 集的表达 R R xx U , x 1 X X
知识范畴并的约简 知识库K和其上的子集簇 Sub(2U)=F={X1,…,Xn}，对任意的GF，若 : 1）G在∪G中是独立的 2）∪G=∪F G R E D ( F ) 称G是∪F的一个约简，记作 。 知识范畴的核 注：知识范畴并的核是唯一的但不满足 C O R E (F ) R E D F
知识的相对约简与相对核


必要性 知识库K=(U,S)和知识库中的两个等价 关系族P,QS，对于任意P中的R，若 POSIND(P)(IND(Q) ≠ POSIND(P-{R}) (IND(Q) 成立，称R为P中Q必要的。 独立性 如果对每一个P中R，R都是P中Q必要的， 称P是Q独立的，否则称P是Q依赖的。
R X R X , R X , R X U
2）R-内不可定义，若 3）R-外不可定义，若
4）R-全不可定义，若
R X R X , R X , R X U
R X R X , R X , R X U
知识范畴的相对约简与相对核
知识范畴的相对约简 知识库K和其上的子集簇 Sub(2U)=F={X1,…,Xn}，和一个集合YU， 且∩FY，对于任意的GF，若: 1）G在∩F中相对于Y是独立的 2）∩GY R E D ( F ) 称G是∩F的一个Y约简，记 作 G 。 Y 知识范畴的核
的基础，有力地推动了国际粗糙集理论与 应用的深入研究。
粗糙集理论特点

所处理的内容是复杂系统中的数据和信息 无需提供所出数据之外的任何先验信息 对比模糊集方法，证据理论方法和概率 方法等
第一节
粗糙集理论
第一节
粗糙集理论
1、相关定义
知识表达系统


知识和概念（范畴或信息粒） 设U使我们感兴趣的对象组成的非空有限 集合，称作一个论域。论域U的任何一个子集 X称作论域U中的一个概念或范畴。论域U中任 何一个子集簇（概念簇）称作关于U的抽象知 识，简称知识。论域中的每一个概念（子集） 表示他的一个信息粒。 知识库 给定一个论域U和U上的一簇等价关系S， 称二元组K=(U,S)是关于论域U的一个知识库。
粗糙集发展历程


1991年，Pawlak的第一本关于粗糙集理论 的专著《Rough sets: theoretical aspects of reasoning about data》 1992年，Slowinski主编的《Intelligence
decision support: handbook of applications and advances of rough sets theory》的出版，奠定了粗糙集理论
R R U ,0 x 1 X xx X




另外，我们也可以定义X的λ 近似集: R R Xx U ( 0 , 1 ] 以及X的强λ 近似集: R R Xx U ( 0 , 1 )
粗糙集的近似集R0.5的近似度
粗糙集合论的成员关系
粗糙相等关系 知识库K=(U,S)，R IND(K)的一个等价关系， 对任意U中的集合X，Y定义： 1）X和Y为R下粗相等

R X R Y X Y R
2）X和Y为R上粗相等
R XR Y X Y R 3） X和Y为R下粗相等，且同时X和Y为R上粗 相等，称X和Y为R粗相等，记作 X RY


知识范畴的相对约简与相对核
知识范畴的相对必要性与相对独立性 知识库K=(U,S)和知识库中的一个子集簇 Sub(2U)=F={X1,…,Xn}，和一个集合YU， 且∩FY，对于任意Xi，若

( F { X } ) Y i
称范畴Xi 在∩F中相对于Y必要的，同时F在 ∩F中是相对于Y也是独立的。

C O R E ( F ) R E D F Y Y

知识约简
知识的约简 知识库K和其上的一族等价关系PS，对 任意的GP，若: 1）G是独立的 2）IND(G)=IND(P) 称G是P的一个约简，记作G∈RED(P)。 其中RED(P)表示P的所有约简组成的集合。 有此可知，约简不一定唯一。

Hale Waihona Puke 知识约简知识的核 知识库K=(U,S)和知识库中的一个等价 关系族PS，对于任意P中的R，若： IND(P-{R})≠IND(P)称R为P中必要的。 另外，P中所有必要的知识组成的集合 称为P的核，记做CORE(P)=∩RED(P)。

{ YY URY , X }
上近似： R ( X ) { x x Ux , [] } R X
{ Y Y U R , Y X }

粗糙集和精确集
若X的上近似等于X的下近似，称X为R-精确集； 若X的上近似不等于X的下近似，称X为R-粗糙集
粗糙集定义
第一节

必要性与独立性 知识库K=(U,S)和知识库中的一个子集 簇SPOS(U)=F={X1,…,Xn}，对于任意Xi，若 ∩F≠∩ (F-{Xi})， 称R为P中必要的，也是独立的。
知识范畴的约简与核
知识范畴的约简 知识库K和其上的子集簇 SPOS(U)=F={X1,…,Xn}，对任意的GF，若: 1）G是独立的 2） ∩ G= ∩F R E D (F )。 称G是P的一个约简，记作G 知识范畴的核
定理：设X是有限论域U上的集合，R是U上 的等价关系，对任意的0.5<λ ≤1，若： X R X X RX R X X RX
第一节
粗糙集理论
4、粗糙集的拓扑特征
粗糙集的拓扑特征
定义 1）R-粗糙可定义，若

R X R X , R X , R X U
R U RXi
i 1

n
下近似
R U RXi
i 1 n
粗糙集的数值特征
论域U和一个等价关系R，以及U的一个划分
Ux { , x ,, x } U
12 n
划分独立于知识R，于是定义： 近似分类精度 R U U R RU

知识的相对核 知识库K=(U,S)和知识库中的两个等价 关系族P,QS，对于任意P中的R，若： POSIND(P-{R})(IND(Q))≠POSIND(P)(IND(Q)) 称R为P中Q必要的。
另外，P中所有必要的知识组成的集合 称为P的核，记做COREQ(P)=∩REDQ(P)。
知识范畴的约简与核
3、R0.5理论
粗糙集的近似集R0.5的提出
集合的相似度 A,B是论域U上的两个子集定义从U×U→[0,1] 的映射(A,B)→s(A,B)，称s(A,B)为A，B的 相似度，如果满足如下条件： 1）任意U中的集合 A，B，s(A,B)有界； 2）对称性，即s(A,B)=s(B,A)； 3）s(A,A)=1，且s(A,B)=0的充要条件是A∩B 为空集。
R P
等价关系
两个知识库的关系 设K1 =(U,S1)，K2 =(U,S2)为两个知识库。 若IND(S1)=IND(S2)， 则K1 ，K2 等价，记作K1 ≌ K2 若IND(S1) IND(S2)， 则称K1 比K2 更精细。

粗糙集定义
集合的下近似和上近似 RX ( ) { x x U ,[ x ] X } 下近似： R
知识的相对约简与相对核
知识的相对约简 知识库K和其上的两族等价关系P,QS， 对任意的GP，若: 1）G是Q独立的 2）POSG(Q)=POSP(Q) 称G是P的一个Q约简，记作G∈REDQ(P)。 其中REDQ(P)表示P的所有约简组成的集合。 有此可知，约简不一定唯一。

知识的相对约简与相对核
当λ =0.5时，Rλ有以下性质： 定理：设X是有限论域U上的集合，R是U上 的等价关系，对任意的0.5≤λ 1<λ 2≤1，有： s X , R X s X , R X 1 2