离散数学期末考试题A
广东外语外贸大学信息学院
《离散数学》课程2004-2005学年第二学期期末考试试卷（A）考卷适应班级＿＿＿时间：120分钟学号班级姓名成绩
一、选择题：（从四个答案中选取唯一的正确答案填到右边空格内，每题2分，共20分）：1．下列语句中是真命题的为（）
A．我正在说谎； B.不准喧哗；
C．如果1+2=3，那么雪是黑的。
D. 如果1+2=4,那么雪是白的。
2．设A（x）：x是人，B（x）：x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号为（）A．﹁（∃x(A(x)∧⌝B(x))）;
B. ∀x(A(x)∧B(x));
C. ﹁（∃x(A(x)→⌝B(x))）;
D. ﹁（∃x(A(x)∧B(x))）.
3．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的为（）
A．1∈A；B. φ∈A，C。
{{4，5}}∈A；D。
{1，2，3}∈A.
4．集合A上的关系r是相容关系的充要条件是:r是（）
A．自反，反对称的；B。
自反，对称的；
C．反自反，对称的；D。
传递、自反的.
5．设A={a,b,c}, B={1,2} 令f：A→B，则不同的函数的个数为（）
A．2+3个；B。
2³个C。
2×3个，D。
3²个.
6．I是整数集合，函数f定义为I→I，f（x）=|x|-2x，则f是（）
A．单射；B。
满射；C。
双射；D。
非单射也非满射。
7．在自然数集N上，下列哪个运算是可结合的（）
A．a*b=a-b； B.a*b=max（a,b）； C.a*b=a+2b；D.a*b=|a-b|
8.下列运算中，哪个运算关于整数集不能构成半群
A．a ه b=max（a,b）； B. a ه b=b C. a ه b=2ab D. a ه b=׀ a-b ׀
9.在有n个结点的连通图中，其边数（）
A．最多有n-1条；B。
至少有n-1条；C。
最多有n条；D。
至少有n条。
10．设有33盏灯，拟公用一个电源，则至少需要具有五插头的接线板数为（）A．7；B。
8；C。
9；D。
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二、填空题（每空1分，共20分）
1．前提：（P∧Q）→R, ﹁R∨S, ﹁S的有效结论是 。
2.﹁（P→Q）的主析取范式为 ，主合取范式的编码表示为 。
3.实数集R 上的小于等于关系“≦”是 、 和 的关系。
4. 设R是集合X上的二元关系，则r(R)= 、s(R)= 、t(R)= 。
5.设Q是有理数集合，对任意的a, b∈Q, 定义二元运算﹡为a﹡b=a+b-a×b, 则<Q,﹡>的幺元是 ，零元是 ，2的逆元是 。
6.设G=<V, E>, |V|=n, |E|=m, v是G中度数为k的结点，e是中一条边，则G\v（删去结点v）中有 个结点， 条边；G\e(删去边e)中有 个结点， 条边。
7.设G是具有n个结点的简单图，如果G 中每一对结点度数 ，则在G 中存在一条汉密尔顿回路。
8.连通图是一棵树，当且仅当每条边 .
9.无向图G 由k(k≥2) 棵树组成的森林，至少要添加 条边，才能使G成为一棵树。
10.完全7叉树,其树叶数为55，则其分支点数为 。
三、判断题（在括号内填上“√”或“×”，每题1分，共10分）
1．（）A：小张和小李是广外大学生，则﹁A：小张和小李都不是广外大学生。
2．（）二元关系不是自反的，则必为反自反的。
3．（）每一个良序集合，一定是全序集合。
4．（）实数集R上的小于等于关系“≤”是偏序关系。
5．（）设<A,﹡> 是一个代数系统，a∈A ，如果a 有左逆元则必有右逆元。
6．（）欧拉图中每个结点的度数必为偶数。
7．（）两个非空集合A和B，如果B是A的真子集，必有B的基数小于A的基数。
8．（）连通图必有一棵生成树。
9．（）一个汉密尔顿图中必有一条欧拉回路。
10．（）任意一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。
四、画出具有下列条件的有5个结点的无向图.
(1)不是哈密顿图，也不是欧拉图；
(2) 有哈密顿回路，没有欧拉回路；
(3) 没有哈密顿回路，有欧拉回路；
(4) 是哈密顿图，也是欧拉图.（10分）
五、设集合A={2，3，4，5}，﹡是A上的二元运算，定义运算a﹡b=max{a,b}, 请写出﹡的运算表，判断<A, ﹡>是否为独异点，是否有零元，并指出有逆元的元素.（10分）
六、每个大学生不是文科学生就是理工科学生，有的大学生是优等生，小张不是理工科学生，但他是优等生，因而如果小张是大学生，他就是文科学生。
（10分）
七、设R是集合X上的一个自反关系。
求证：R是对称和传递的，当且仅当<a，b>和<a，
c>在Ｒ之中则有<b，c>在Ｒ之中。
(８分)
八、给定权3，4，5，6，7，8，9，试用算法构造一棵最优二叉树，画出这棵树并计算出它的权。
（８分）
九．设<G， >为群,G中元素a的阶为k,那么,a n = e当且仅当k整除n（６分）。
离散数学期末考试题及详细答案
离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。
B. 如果今天是周一，则明天不是周二。
答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。
答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。
这种性质称为函数的______。
答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。
如果一个图的直径为1，则该图被称为______。
答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。
布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。
答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。
答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。
例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。
2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。
答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。
例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。
离散数学期末试题
离散数学考试试题（A 卷及答案）一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R )⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。
则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q乙：⌝Q ∧P丙：⌝Q ∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R )⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R )⇔⌝P ∧Q ∧⌝R⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
离散期末考试题
离散期末考试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 在离散数学中，以下哪个概念用于描述两个集合之间的一一对应关系？A. 并集B. 交集C. 映射D. 子集2. 以下哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。
B. 如果下雨，那么地面会湿。
C. 如果x > 0，则x² > 0。
D. 所有的鸟都会飞。
3. 在图论中，一个连通图是指图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
以下哪个选项描述的不是连通图？A. 完全图B. 树C. 环D. 星形图4. 以下哪个逻辑运算符表示逻辑“或”？A. ∧B. ∨C. ¬D. →5. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的差集？A. ∪B. ∩C. -D. ×6. 以下哪个命题是永真命题？A. p ∧ ¬pB. p ∨ ¬pC. p → ¬pD. ¬(p → ¬p)7. 在关系R中，如果对于任意的a, b ∈ A，都有(a, b) ∈ R和(b,a) ∈ R，则称R是对称的。
以下哪个关系不是对称的？A. 等价关系B. 子集关系C. 整除关系D. 朋友关系8. 在命题逻辑中，以下哪个等价于“p且q”？A. ¬p ∨ ¬qB. p ∧ qC. ¬p → ¬qD. ¬(p → ¬q)9. 在图论中，以下哪个术语描述的是一个图中没有环的子图？A. 路径B. 连通图C. 树D. 环10. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的笛卡尔积？A. ×B. ∪C. ∩D. -二、填空题（每题2分，共20分）11. 如果集合A有n个元素，那么集合A的子集个数是________。
12. 在逻辑中，一个命题的________是当原命题为真时，它为假；当原命题为假时，它为真的命题。
13. 如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，则该图一定存在________。
离散数学期末考试试题及答案
离散数学期末考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 4, 6, 8}，则A∩B是（）A. {1, 2, 3, 4, 5}B. {2, 4}C. {1, 3, 5}D. {2, 4, 6, 8}2. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. 小于关系B. 大于等于关系C. 模2同余关系D. 整除关系3. 设P(x)是谓词逻辑公式，下列哪个命题与∀xP(x)等价？（）A. ∃x¬P(x)B. ¬∀xP(x)C. ¬∃xP(x)D. ∃x¬P(x)4. 一个图的欧拉回路是指（）A. 经过每一条边的路径B. 经过每一个顶点的路径C. 经过每一条边的环D. 经过每一个顶点的环5. 设G是一个无向图，下列哪个说法是正确的？（）A. G的每个顶点的度数都相等B. G的每个顶点的度数都不相等C. G的任意两个顶点之间都有一条边D. G的任意两个顶点之间都不一定有边6. 下列哪个图是哈密顿图？（）A. K3,3B. K5C. K4,4D. K67. 设G是一个具有n个顶点的连通图，则G的最小生成树至少包含（）A. n个顶点B. n-1条边C. n+1条边D. 2n条边8. 下列哪个算法可以用来求解最短路径问题？（）A. Dijkstra算法B. Kruskal算法C. Prim算法D. Floyd算法9. 设P和Q是两个命题，下列哪个命题与(P→Q)∧(Q→P)等价？（）A. P∧QB. P∨QC. P↔QD. ¬P∨¬Q10. 设A是一个有限集合，A的幂集是指（）A. A的所有子集B. A的所有真子集C. A的所有非空子集D. A的所有非空真子集二、填空题（每题3分，共30分）11. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={2, 4, 6, 8}，则A-B=______。
12. 设P(x)是谓词逻辑公式，∃xP(x)表示“存在一个x使得P(x)成立”，那么∀x¬P(x)表示“______”。
离散数学期末复习题(6套)
《离散数学》期末考试题(A)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设}}{},,{{c b a A =，}}{},,{},{{c c b a B =，则)(=⋃B A ，)(=⋂B A ，)()(=A P .2.集合},,{c b a A =，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2元运算，( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分，共15分)1.设A , B 是集合，若A B A =-，则(A)B = ∅ (B) A = ∅ (C)=⋂B A ∅ (D)A B A =⋂2.谓词公式)())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀中量词x ∀的辖域为(A))())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀ (B))()(y yQ x P ∃→(C))())()((x R y yQ x P ∧∃→ (D))()(y yQ x P ∃→和)(x R3.任意6阶群的子群的阶一定不为(A)4 (B)6 (C)2 (D)34.设n 是正整数，则有限布尔代数的元素个数为(A)2n (B)4n (C)n 2 (D)2n5.对于下列序列，可构成简单无向图的度数序列为(A)3, 3, 4, 4, 5 (B)0, 1, 3, 3, 3 (C)1, 1, 2, 2, 3 (D)1, 1, 2, 2, 2三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设N N N :⨯→f ，)1,()(+=x x x f ，则f 是满射. () 2. 5男5女圆桌交替就座的方式有2880种. () 3. 设),(≤L 是格，对于L z y x ∈,,，若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+，则z y =. () 4. 任何树都至少2片树叶. ()5. 无向图G 有生成树的充要条件是G 为连通图. ( )四、(10分)设C B A ,,和D 是集合，证明)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯⊆-⨯-，并举例说明上式中不能将⊆改为 = .五、(15分)设N 是自然数集合，定义N 上的关系R 如下：y x R y x +⇔∈),(是偶数，1.证明R 是N 上的等价关系.2.求出N 关于等价关系R 的所有等价类.3.试求出一个N 到N 的函数f ，使得)}()(,N ,|),{(y f x f y x y x R =∈=.六、(10分)在实数集合R 中证明下列推理的有效性:因为R 中存在自然数，而所有自然数是整数，所以R 中存在整数.七、(10分)设R 是实数集合，令}0,R ,|),{(≠∈=a b a b a G ，定义G 上的运算如下: 对于任意G d c b a ∈),(),,(，),(),(),(b ad ac d c b a +=⋅，证明),(⋅G 是非Abel 群.八、(10分)若简单平面图G 的节点数7=n 且边数15=m ，则G 是连通图，试证明之.《离散数学》期末考试题(B)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设,,},,{{b a b a A =∅}，则-A ∅ = ( )，-A {∅} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当n 为( )时，n K 是欧拉图.二、单选题(每小题3分，共15分)1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1-⋃R R 是A 上的(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有(A)2 (B)4 (C)8 (D)163.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为(A)n p + (B)pn (C)n p (D)pn4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是(A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r l a a =. ( )2.命题联结词→不满足结合律. ( )3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“⋅8”的逆元为4. ( )4.整环不一定是域. ( )5.任何),(m n 平面图的面数2+-=n m r . ( )四、(10分)设B A f →:且C B g →:，若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ，必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、(10分) 有六个数字，其中三个1，两个2，一个3，求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(C)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3,1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号).(1)q q p p →→∧)(；(2))(q p p ∨→；(3))(q p p ∧→；(4)q q p p →∨∧⌝)(；(5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 设A , B , C 是集合，则下述论断正确的是( ).(A)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ∈ C . (B)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ⊆ C .(C)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ∈ C . (D)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ⊆ C .2. 设R ⊆ A ⨯ A ，S ⊆ A ⨯ A ，则下述结论正确的是( ).(A)若R 和S 是自反的，则R ⋂ S 是自反的.(B)若R 和S 是对称的，则S R 是对称的.(C)若R 和S 是反对称的，则S R 是反对称的.(D)若R 和S 是传递的，则R ⋃ S 是传递的.3.在谓词逻辑中，下列各式中不正确的是( ).(A))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀=∨∀(B))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀=∧∀(C))()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃=∨∃(D)),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀4. 域与整环的关系为( ).(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环5.设G 是(n , m )图，且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1，则G 中度数为k 的节点个数为( ). (A)2n . (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.设f : Z → Z ，x x x f 2||)(-=，则f 是单射. ( )2.设ϕ是群G 1到群G 2的同态映射，若G 1是Abel 群，则G 2是Abel 群. ( )3.设),(≤L 是格，对于L z y x ∈,,，若z x y x ⋅=⋅且z x y x +=+，则z y =. ( )4.元素个数相同的有限布尔代数都是同构的. ( )5.设G 是n (n ≥ 11)阶简单图，则G 或G 是非平面图. ( )四、(15分)设A 和B 是集合，使下列各式(1)A B A =⋂； (2)A B B A -=-；(3)A A B B A =-⋃-)()(成立的充要条件是什么，并给出理由.五、(10分) 设S 是实数集合R 上的关系，其定义如下∈=y x y x S ,|),{(R 且是3y x -是整数}， 证明: S 是R 上的等价关系. 六、(10分) 求谓词公式)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃的前束范式.七、(10分) 若n 个人，每个人恰有3个朋友，则n 必为偶数，试证明之.八、(10分) 利用生成函数求解递归关系⎩⎨⎧=-+=-2)1(211a n a a n n .《离散数学》期末考试题(D)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设|A | = 5, |B | = 2, 则可定义A 到B 的函数( )个，其中有( )单射，( )个满射.2. 令G (x ): x 是金子，F (x ): x 是闪光的，则命题“金子都是闪光的，但闪光的未必是金子”符号化为( ).3. 设X 是非空集合，则X 的幂集P (X )关于集合的⋃运算的单位元是( )，零元是( )，P (X )关于集合的⋂运算的单位元是( ).4. 不同构的5阶无向树有( )棵.5. 对于n 阶完全无向图K n , 当n 为( )时是Euler 图，当n ≥ ( )时是Hamilton 图，当n ( )时是平面图.二、单选题(每小题3分，共15分)1. 幂集P (P (P (∅))) 为( )(A){{∅}, {∅, {∅}}}. (B){∅, {∅, {∅}}, {∅}}.(C){ ∅, {∅, {∅}}, {{∅}}, {∅}} (D){ ∅, {∅, {∅}}}.2. 设R 是集合A 上的偏序关系，则1-⋃R R 是( ).(A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上答案都不对3. 下列( )组命题公式是不等值的.(A))(B A →⌝与B A ⌝∧. (B) )(B A ↔⌝与)()(B A B A ∧⌝∨⌝∧.(C))(C B A ∨→与C B A →⌝∧)(. (D))(C B A ∨→与)(C B A ∨∧⌝.4.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.5.4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有(A)3 (B)4 (C)5 (D)2三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.函数的复合运算“ ”满足结合律. ( )2. {→⌝,}是最小功能完备联结词集合. ( )3. 实数集R 关于数的乘法运算“⋅”阿贝尔群. ( )4. 任意有限域的元素个数为2n . ( )5. 设G 是n (n 为奇数)简单图，则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(10分)设A 和B 是集合，使B B A =-成立的充要条件是什么，并给出理由.五、(10分) 设R 和S 是集合A 上的对称关系，证明S R 对称的充要条件是R S S R =.六、(15分)分别利用(1)等值演算法和(2)真值表求命题公式))(())((r q p p q r A ∨→→→∨⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 设G 是(n , m )无向图，若n m ≥，证明G 中必存在圈.八、(10分) 在初始条件f (1) = c 下，求解递归关系bn n f n f +⎪⎭⎫ ⎝⎛=22)(，其中b ，c 为常数且kn 2=，k 为正整数.《离散数学》期末考试题(E)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设A = {2, {3}, 4, a }, B = {1, 3, 4, {a }}, 则{3}( )A ，{a }( )B ，{{a }}( )B .2. 设A = {1, 2, 3, 4, 5}上的关系R = {(1, 2), (3, 4), (2, 2)}, S = {(4, 2), (2, 5), (3, 1), (1, 3)}, 则=S R { }, =R S { }, =R R { }.3. gcd(36, 48) = ( )，lcm(36, 48) = ( ).4.任意有限布尔代数)1,0,,,,(⋅+B 均与集合代数( )同构，其元素个数为( ).5. 不同构的5阶无向树有( )棵，不同构的5阶根树有( )棵.二、单选题(每小题3分，共15分)1. 在有理数集合Q 上定义运算“*”如下：对于任意x , y ∈ Q ，y x * = x + y – xy ，则Q 关于*的单位元是( ).(A)x . (B)y . (C)1. (D)0.2. 设A = {1, 2, 3}, 下图分别给出了A 上的两个关系R 和S ，则S R 是( )关系.(A)自反. (B)对称. (C)传递. (D)等价.3.令T (x ): x 是火车，B (x ): x 是汽车，F (x , y ): x 比y 快，则“某些汽车比所有的火车慢”符号化为( ).(A)()()),()()(y x H x T x y B y →∀∧∃.(B)()()),()()(y x H x T x y B y ∧∀→∃.(C)()()),()()(y x H x T y B y x ∧→∃∀.(D)()()),()()(y x H x T x y B y →∀→∃.4. 整数集合Z 关于数的加法“+”和数的乘法“⋅”构成的代数结构(Z, +, ⋅)是( ). 1 1 22 3 3G S G R(A)域(B)域和整环(C)整环(D) 有零因子环G≅，则称G为自补图. 5阶不同构的自补图5.设G是简单图，G是G的补图，若G个数为( ).(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. { ∅, {∅}} ∉P(P({∅})). ( )2. 非空1元及2元联结词集合的个数为29-1. ( )3. 群可分为Abel群和非Abel群. ( )4. 元素个数相同的有限域都是同构的. ( )5. 设G是简单图，则G或G是连通图. ( )四、(15分)设C,:, 若gf 是单射，证明f是单射，并举例说明g→:f→gBBA不一定是单射.五、(10分)设A = {a, b, c, d}上的关系R = {(a, b), (b, d), (c, c), (a, c)}, 画出R的关系图，并求出R的自反闭包r(R)、对称闭包s(R)和传递闭包t(R).六、(10分)用CP规则证明下列推理.⌝∨→∨(.⇒),(⌝),→pqssrqrqp→七、(10分)求谓词公式))xyByAxA∀→∨∀∧⌝∃的前束范式.zC((x()))(z(()八、(10分)任意6个人中，一定有3个人彼此认识或有3个人彼此不认识.《离散数学》期末考试题(F)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = {1, 2, 3, {1, 2}, {3}}, B = {2, {2,3}, {1}} , 则A–B = { }, B–A = { }, A⊕B = { }.2. 实数集合R关于加法运算“+”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的单位元为( ), 关于乘法运算“⋅”的零元为( ).3. 令Z(x): x是整数，O(x): x是奇数，则“不是所有整数都是奇数”符号化为( ).4. 有限域的元素个数为( ), 其中( )且( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定 ( )连通图，其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 函数的复合运算“ ”满足( )(A)交换律. (B)结合律. (C)幂等律. (D)消去律.2. 设集合A 中有4个元素，则A 上的等价关系共有( )个.(A)13 (B)14 (C)15 (D)163.下列代数结构(G , *)中，( )是群.(A)G = {0, 1, 3, 5}, “*”是模7加法. (B) G = Q , “*”是数的乘法.(C)G = Z , “*”是数的减法. (D) G = {1, 3, 4, 5, 9}, “*”是模11乘法.4. 下列偏序集，( )是格.5. 不同构的(5, 3)简单无向图有( )个.(A)4 (B)5 (C)3 (D)2三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A ，B ，C 是集合，若C A B A ⊕=⊕, 则B = C . ( )2. 逻辑联结词“→”满足结合律. ( )3. 设 (L , ≤)是偏序集，若L 的任意非空子集均存在上确界和下确界，则(L , ≤)是格.( )4. 在同构意义下，有限布尔代数只有,,,),((⋂⋃X P ∅, X ). ( )5. 设G 是简单图，则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( )四、(15分) 设C B g B A f →→:,:, 若g f 是满射，证明g 是满射，并举例说明f 不一定是满射.五、(10分) 在整数集合Z 上定义关系R 如下：对于任意∈y x , Z ，y y x x R y x +=+⇔∈22),(.判断R 是否具有自反性、反自反性、对称性、反对称性及传递性.六、(10分)利用真值表求命题公式)())(q p q p A ⌝→↔→⌝=的主析取范式和主合取范式.七、(10分)证明：在至少两个人的人群中，必有两个人有相同个数的朋友.八、(10分)将6阶完全无向图K 6的边随意地涂上红色或蓝色，证明：无论如何涂法，总存在红色的K 3或蓝色的K 3.(ps ：答案见离散数学期末复习题（6套）答案文档)。
离散数学期末考试试卷a答案及评分细则
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学英才学院2022 -2022学年第 1学期期 末 考试 A 卷离散数学 课程考试题 A 卷 〔 120分钟〕 考试形式：闭卷 考试日期 2022 年 月 日课程成绩构成：平时 分， 期中 分， 实验 分， 期末 100 分I.Multiple Choice (15%, 1.5 points each)〔A 〕 1. (p ∧q)→(p ∨q) is logically equivalent toa) T b) p ∨q c) F d) p ∧q〔A 〕 2. If P(A) is the power set of A, and A = ∅, what is |P(P(P(A)))|?a) 4 b) 24 c) 28 d) 216〔C 〕 3. Which of these statements is NOT a proposition?a) Today is Monday. ` b) 1+1=2.c) Am I right? d) Go and play with me.〔C 〕 4. Which of these propositions is not logically equivalent to the other three?a) (p → q) ∧ (r → q) b) (p ∨ r) → qc) (p ∧r) → q d) The contrapositive of ¬q → (¬p ^ ¬r)〔B 〕 5. Suppose | A | = 3 and | B | = 8. The number of 1-1 functions f : A → B isa) 24 b) P (8,3). c) 38 d) 83〔B 〕 6. Let R be a relation on the positive integers where xRy if x is a factor of y . Whichof the following lists of properties best describes the relation R ? a) symmetric, transitiveb) antisymmetric, transitive, reflexive c) antisymmetric, symmetric, reflexive d) symmetric, transitive, reflexive〔C 〕 7. Which of the following are partitions of },,,,,,,{h g f e d c b a U =?a)},,,,,{},,,{},{h g f e d c c b a a . b) },,,,,{},,{},{h g f e d c c b a c) }{},,{},,{},,,{h f e c b g d a . d) },,,,{},,{},,{h g f e d c b b a〔C 〕 8. The function f(x)=x 2log(x 3+78) is big-O of which of the following functions?a) x 2 b) x(logx)3 c) x 2logx d) xlogx〔A 〕 9.If 1010110111101101R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M , then R is: a) reflexive b) symmetric c) antisymmetric d) transitive.〔B 〕 10. Which of the followings is a function from Z to R ?………密………封………线………以………内………答………题………无………效……a) )1()(-±=n n f . ` b) 1)(2+=x x f . c) x x f =)( d) 21)(2-=n n fII. True or False (10%, 1 point each) 〔T 〕 1. If 1 < 0, then 5 = 6. 〔F 〕 2. (p ∧ q) ∨ r ≡ p ∧ (q ∨ r)〔F 〕 3. If A , B , and C are sets, then (A -C )-(B -C )=A -B . 〔T 〕 4. Suppose A = {a ,b ,c }, then {{a }} ⊆ P (A ).〔F 〕 5.()h x =is defined as a function with domain R and codomain R.〔T 〕 6. Suppose g : A → B and f : B → C , where f g is 1-1 and f is 1-1. g must be 1-1? 〔T 〕 7. If p and q are primes (> 2), then p + q is composite .〔F 〕 8.If the relation R is defined on the set Z where aRb means that ab > 0, then R is an equivalence relation on Z .〔T 〕 9. (A - B ) ⋃ (A - C ) = A - (B ⋂ C ).〔T 〕 10. The set{∅,{a },{∅},{a ,∅}} is the power set of some set III. Fill in the Blanks (20%, 2 points each)1. Let p and q be the propositions “I am a criminal 〞 and “I rob banks 〞. Express in simpleEnglish the proposition “if p then q 〞: If I am a criminal them I rob banks. 2. P (x ,y ) means “x + 2y = xy 〞, where x and y are integers. The truth value of ∃x ∀yP (x ,y )is False .3. T he negation of the statement “No tests are easy.〞 is some tests are easy.4. If 11{|}i A x x R x i i =∈∧-≤≤ then 1i i A +∞=is ∅.5. Suppose A = {x , y }. Then ()P A is {∅, {x}, {y},{x,y}}.6. Suppose g : A →A and f :A →A where A ={1,2,3,4},g = {(1, 4), (2,1), (3,1), (4,2)} andf ={(1,3),(2,2),(3,4),(4,2)}.Then fg ={(1,2),(2,3),(3,3),(4,2)}.7. The sum of 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + 210 is 211 - 2 .8. The expression of gcd(45, 12) as a linear combination of 12 and 45 is 12 ⋅ 4 + 45 ⋅ (1). 9.There are 5! permutations of the seven letters A,B ,C ,D ,E ,F have A immediately to the left of E .10. The two's complement of -13 is 1 0011 . IV. Answer the Questions (32%, 4points each)：1. Determine whether the following argument is valid:………密………封………线………以………内………答………题………无………效……p→rq→rq∨⌝r________∴⌝pAns: Not valid: p true, q true, r true2.Suppose you wish to prove a theor em of the form “if p then q〞.(a) If you give a direct proof, what do you assume and what do you prove?(b) If you give an indirect proof, what do you assume and what do you prove?(c) If you give a proof by contradiction, what do you assume and what do you prove? Ans: (a) Assume p, prove q.(b) Assume ⌝q, prove ⌝p.(c) Assume p∧⌝q, show that this leads to a contradiction.3.Prove that A B A B⋂=⋃by giving a proof using logical equivalence.Ans:()()()() A B x x A Bx x A Bx x A Bx x A x Bx x A x Bx x A x Bx x A x Bx x A B A B ⋂={|∈⋂}={|∉⋂}={|⌝∈⋂}={|⌝∈∧∈}={|⌝∈∨⌝∈}={|∉∨∉}={|∈∨∈}={|∈⋃}=⋃4.Suppose f:R→R where f(x) =⎣x/2⎦.(a) If S={x| 1 ≤x≤ 6}, find f(S).(b) If T={3,4,5}, find f-1(T). Ans: (a) {0,1,2,3}(b) [6,12).e the definition of big-oh to prove that5264473n nn+--is O(n3).………密………封………线………以………内………答………题………无………效……Ans: 5555322226446410573763n n n n n n n n n n +-+≤==--, if n ≥ 2. 6. Solve the linear congruence 5x ≡ 3 (mod 11).Ans: 5 + 11k .7. Use the Principle of Mathematical Induction to prove that 1311392732n n+-++++...+= for alln ≥ 0.Ans: P (0):13112-= , which is true since 1 = 1. P (k ) → P (k + 1):111211313123311333222k k k k k k ++++++--+⋅-++...+=+==.8．Encrypt the message NEED HELP by translating the letters into numbers, applying the encryption function f(p ) = (3p + 7) mod 26, and then translating the numbers back into letters.Ans: Encrypted form: UTTQ CTOA.V. (6%) Without using the truth table, show that the following are tautologiesa) [⌝p ∧(p ∨q)]→q b) [p ∧(p →q)]→qAns:a) ⌝p ∧(p ∨q)≡(⌝p ∧p)∨(⌝p ∧ q)≡flase[⌝p ∧(p ∨q)]→q ≡ false →q ≡⌝false ∨q ≡true ∨q ≡true (3points)b)[p ∧(p →q)]→q ≡(⌝[p ∧(⌝p ∨q)])∨q ≡(⌝p ∨(p ∧⌝q))∨q ≡((⌝p ∨p)∧(⌝p ∨⌝q))∨q ≡⌝p ∨⌝q ∨q ≡true (3points)VI. (6%) Devise an algorithm which will find the minimum of n integers. What is the worst case time………密………封………线………以………内………答………题………无………效……complexity of this algorithm?a) procedure min(a1, a2, …, an: integers)(4points)v := a1 {largest element so far}for i := 2 to n {go thru rest of elems}if ai < v then v := ai {found smaller?}{at this poi nt v’s value is the same as the smallest integer in the list}return vb) the worst case time complexity of this algorithm is O(n). (2points)VII.(5%) Give the definition of a transitive relation, and Prove or disprove that the union of two transitive relations is transitive.Ans: A relation R on a set A is called transitive if only if (a,b)∈R and (b,c)∈R ,then (a,c) ∈R ,for a,b,c ∈A. (2points)The union of two transitive relations may be not transitive. A counter-example:A={1,2,3}, R1= {<1,1>, <2,3>}, R2={<1,2><3,3> }R1∪R2={<1.1>, <2,3><1,2><3,3>}, which is not transitive. (3points)VIII.(6%) Give an argument using rules of inference to show that the conclusion follows from the hypotheses. List all the steps in your argument.Hypotheses: All computer scientists like Star Trek. Sarah does not like Star Trek. Therefore, Sarah is not a computer scientist.Solution:Hypotheses: ∀x(ComputerScientist(x) →Likes(x, StarTrek))¬Likes(Sarah, StarTrek)Conclusion: ¬ComputerScientist(Sarah)Step 1: ∀x(ComputerScientist(x) →Likes(x, StarTrek)) (Hypothesis)Step 2: ComputerScientist(Sarah) →Likes(Sarah, StarTrek) (Univ. Inst. Step 1)Step 3: ¬Likes(Sarah, StarTrek) (Hypothesis)Step 4: ¬ComputerScientist(Sarah) (Modus Toll. St. 2+3)The argument is sound.Grading rubric: -3 points for making wrong assumptions.-2 points for not being able to complete the proof.-1 to -3 points for illegal usage of inference rules.。
离散数学期末试题及答案A
学年第二学期期末考试《离散数学》试卷（ A ）使用班级：命题教师：主任签字：一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( )A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( )A.<{1},·>B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z，ο〉，Z是整数集，ο定义为xοxy=xy,∀x,y∈ZD.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下：R具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( )A.R∪I AB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩I A9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( )A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B.{〈c,b〉，〈b,a〉}C.{〈c,a〉，〈b,a〉}D.{〈a,c〉，〈c,b〉}10.下列式子正确的是( )A. ∅∈∅B.∅⊆∅C.{∅}⊆∅D.{∅}∈∅11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x<y.下列公式在R下为真的是( )A.( ∀x)( ∀y)( ∀z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.( ∀x)A(f(a,x),a)C.(∀x)(∀y)（A(f(x,y),x))D.(∀x)(∀y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(∀x)(A(x)→B)等价于( )A.(∃x)A(x)→BB.(∀x)A(x)→BC.A(x)→BD.(∀x)A(x)→(∀x)B13.谓词公式(∀x)(P(x,y))→(∃z)Q(x,z)∧(∀y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( )A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)二、填空题(每空1分，共20分)16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。
离散数学期末考试试题
离散数学试题(A卷及答案)一、证明题(10分)1) ( -P A ( —Q A R)) V (Q A R)V (P A R)= R证明：左端 =(-P A-QAR) V ((Q V P)A R£((—P A-Q)AR)) V((Q V P)A R)：=(^P V Q) A R)V(( Q V P ) A R匕(一(P V Q )V(Q V P)) A R：=(「P V Q )V( P V Q )) A fcT A R置换)：=R2) x(A(x) —.B(x)) ：= - x A(x) _._x B(x)证明：x ( A(x) > B(x)〉= x ( f(x) V B(x))= x—A(x) V x B(x)=—- x A(x)V x B(x)=- x A(x) -l xB(x)、求命题公式(P V (Q A R)) >(P A QA R)的主析取范式和主合取范式(10分)证明：(P V (Q A R))「(P A Q A R>=— (P V (Q A R)) V (P A QA R))二(—P A ( 一QV -R) )V (P A Q A R)二(一P A — Q)V ( -P A -R)) V (P A Q A R)二(_PA _Q R) V (_P A _QA 一R) V ( _P A QA _R)) V ( _PA _QA _R)) V (P A Q R)二m0V m1V m2V m7u M3V M4V M5V M6三、推理证明题(10分)1)C V D,(C V D)》-E, -E >(A A -B), (A A证明(1) xP(x)—B)r(R V S)「：R V S(2)P(a)(1) (C V D)—；「E(3) -x(P(x) >Q(y) A R(x))证明：(2) -E >(A A -B)(4)P(a) >Q(y) A R(a)(3) (C V D)—.(A A -B)(5)Q(y) A R(a)⑷(A A -B)_. (R V S)(6)Q(y)V D)_ (R V S)(7)R(a)(5) (C⑹C V D(8)P(a)⑺R V S(9)P(a) A R(a)2)-x(P(x) —；Q(y) A R(x)) , xP(x)二Q(y) A(10) x(P(x) A R(x))x(P(x) A R(x))(11)Q(y) A x(P(x) A R(x))四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取耐1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍证明设印,a2，…，a m1为任取的1个整数，用m去除它们所得余数只能是0, 1,…，m- 1，由抽屉原理可知，耳,a2，…，a m d这m+ 1个整数中至少存在两个数a s和a t，它们被m除所得余数相同，因此a s和a的差是m的整数倍。
离散数学期末考试题及答案
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个选项不是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 乘法答案：D2. 命题逻辑中，以下哪个命题不是基本的逻辑连接词？A. 与（∧）B. 或（∨）C. 非（¬）D. 等于（=）答案：D3. 在图论中，一个图的度数之和等于边数的几倍？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 以下哪个是布尔代数的基本定理？A. 德摩根定律B. 布尔代数的分配律C. 布尔代数的结合律D. 所有选项都是答案：D5. 以下哪个不是组合数学中的计数原理？A. 加法原理B. 乘法原理C. 排列D. 组合答案：C6. 在关系数据库中，以下哪个操作不是基本的数据库操作？A. 选择B. 投影C. 连接D. 排序答案：D7. 以下哪个是有限自动机的组成部分？A. 状态B. 转移C. 输入符号D. 所有选项都是答案：D8. 以下哪个命题逻辑表达式是真命题？A. (p ∧ ¬p) ∨ qB. (p ∨ ¬p) ∧ qC. (p → q) ∧ (q → p)D. (p → q) ∧ (¬p → ¬q)答案：D9. 以下哪个是归纳法证明的基本步骤？A. 基础步骤B. 归纳步骤C. 反证法D. 所有选项都是答案：B10. 以下哪个是图的遍历算法？A. 深度优先搜索（DFS）B. 广度优先搜索（BFS）C. Dijkstra算法D. 所有选项都是答案：A二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述命题逻辑中的德摩根定律。
答案：德摩根定律是命题逻辑中描述否定命题的两个重要定律。
它们分别是：- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q2. 解释什么是图的连通分量，并给出一个例子。
答案：图的连通分量是指图中最大的连通子图。
离散数学期末考试试题(有几套带答案)
离散数学试题(A 卷及答案）一、证明题（10分）1)(⌝P ∧(⌝Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔((⌝P ∧⌝Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)⇔(⌝(P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ⇔(⌝(P ∨Q)∨(P ∨Q))∧R ⇔T ∧R(置换)⇔R2)∃x(A(x)→B(x))⇔ ∀xA(x)→∃xB(x)证明 ：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x ⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x) 二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)⇔⌝(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))⇔（⌝P ∧(⌝Q ∨⌝R)）∨(P ∧Q ∧R) ⇔(⌝P ∧⌝Q)∨(⌝P ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R)⇔(⌝P ∧⌝Q ∧R)∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R)∨(⌝P ∧Q ∧⌝R))∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R))∨(P ∧Q ∧R) ⇔m0∨m1∨m2∨m7 ⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1） C ∨D, (C ∨D)→ ⌝E, ⌝E →(A ∧⌝B), (A ∧⌝B)→(R ∨S)⇒R ∨S证明：(1) (C ∨D)→⌝E(2) ⌝E →(A ∧⌝B)(3) (C ∨D)→(A ∧⌝B) (4) (A ∧⌝B)→(R ∨S) (5) (C ∨D)→(R ∨S)(6) C ∨D(7) R ∨S2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明（1）∃xP(x) (2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)∃x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))四、设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍证明 设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，…，1+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整数倍。