矩阵运算性质其应用

第一讲 矩阵运算性质及其应用矩阵是数学中的一个重要内容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不相同的.一 矩阵的概念及其运算方法首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法.定义1 由m n ⨯个数字ij a （1,2,,i m =L ，1,2,,j n =L ）排成的m 行n 列的数表，称为一个m 行n 列矩阵，简称为m n ⨯型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并用大写字母表示，即111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭L L M M O M L位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ，称为A 的(,)i j 元素，简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ⨯型矩阵A 也记作m n A ⨯或m nA ⨯.m n =时，n n ⨯型矩阵A 也称为n 阶矩阵，记作n A .两个矩阵的行数相等，列数也相同时，称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A 与B 相等，记作A B =.有一些矩阵的元素分布比较特殊，我们用专门规定的记号来表示，如 零矩阵O ，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E （也记作I ），它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵.对角矩阵()1212diag ,,,=n n λλλλλλ⎛⎫⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭L O （与行列式中一样，不写出的元素就是0）.下面，我们来复习矩阵的10个运算方法.定义2 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相加、减的条件是：A 与B 同型，即m s =且n t =. ②A 与B 相加的和记作A B +，A 与B 相减的差记作A B -. 运算方法规定为111112121121212222221122+++⎛⎫ ⎪+++ ⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭L L M MOM L n n n n m m m m mn mn a b a b a b a ba b a b A B a b a b a b111112121121212222221122---⎛⎫ ⎪--- ⎪-= ⎪⎪---⎝⎭L L M MOM Ln n n n m m m m mn mn a b a b a b a ba b a b A B a b a b a b根据定义，矩阵的加减就是对应位置上数字的加减.例如23342334575710517067++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1233132(3)2543244234212112211213-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义3 数k 与矩阵()ij m n A a ⨯=相乘的积记作()=kA Ak .运算方法规定为()⨯=ij m nkA ka例如23452535410152053105(3)51501550-⨯-⨯-⨯---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪--⨯--⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭定义4 设两个矩阵()ij m n A a ⨯=和()ij s t B b ⨯=，①A 与B 能相乘的条件是：n s =. ②A 与B 相乘的积记作AB . 运算方法规定为AB 的(,)i j 元1122=+++L i j i j in nj a b a b a b即A 的第i 行各元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和为AB 的(,)i j 元.例如312322314772⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭233(2)(2)72133(2)(2)134(2)7711437(2)⨯+⨯-+-⨯⨯+⨯+-⨯-⎛⎫= ⎪⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯-⎝⎭1415441-⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义5 设矩阵A 为m n ⨯型，①A 能乘方的条件是：m n =即A 为方阵. ②k 为非负整数，A 的k 次幂记作kA . 运算方法规定为1,0,1,2-=⎧⎪==⎨⎪≥⎩k k E k A A k A A k ，例如32232323313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭232323()313131⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1332331031⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3536361⎛⎫= ⎪-⎝⎭定义6 将矩阵A 的行与列互换，得到的矩阵，称为A 的转置.记作'A 或TA，即111212122212⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M O M Ln n m m mn a a a a a a A a a a 时，112111222212⎛⎫⎪ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭L L M M O M Lm m n nmn a a a a a a A a a a例如345123⎛⎫= ⎪⎝⎭A 时，314253⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭A定义7 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可取行列式的条件是：m n =即A 为方阵. ②A 的行列式即=ijA a .例如341200111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 时，21341412002(1)611111+==⨯-=--A注：矩阵A 与行列式A 是完全不同的对象.矩阵A 是一张数表，不是数，而行列式A 就是数.记号上，矩阵只能用圆括号或方括号，而行列式一定要用一对平行线.定义8 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 能取伴随的条件是：A 为方阵且2m n =≥. ②A 的伴随记作*A ，并称为A 的伴随矩阵. 运算方法规定为1121112222*12⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M O M Ln n n nnn A A A A A A A A A A 即在A 中将每个元素换成它的代数余子式后，再转置.例如*-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭a b d b c d c a *123005111264200241-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭222312131213323332332223*111213212311131113212223313331332123313233212211121112313231322122⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎪⎝⎭a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 定义9 设矩阵()ij m n A a ⨯=，①A 可逆的条件是：A 为方阵且0A ≠. ②A 的逆记作1-A ，并称1-A为A 的逆矩阵运算方法规定为2=≥m n 时，1*1-=A A A；1==m n 时，即一阶方阵的逆111111()-=a a .当方阵A 可逆的条件不满足，即0A =时，常说A 不可逆或A 是奇异矩阵。

例如11(3)3-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 12112421313431222--⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1123005005111112642641010200241241--⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭有时，规定一阶矩阵的伴随*11()(1)=a ，这样，求逆公式就统一为1*1-=A A A.定义10 矩阵A 的共轭记作A ，规定为()⨯=ij m n A a .例如__________________334141-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+--+⎝⎭⎝⎭i i i i i i习题11.计算（1）1235189190654368321-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；答案 13114744.689⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭（2）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321；答案 10. （3）()22123⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；答案242436⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（4）01(1,2,3)2014⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；答案 (1,13). 2. 设2412A -⎛⎫=⎪-⎝⎭,1123,1133B C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,计算;AB AC .答案 1326AB AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭.3. 设 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111B ,计算 ;AB BA . 答案,0000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AB 2222BA ⎛⎫= ⎪--⎝⎭.4. 已知 3435T st u v A B C D C C ⨯⨯⨯⨯+=，求,,,s t u v . 答案4,5,3s t v u ====.5. 设 (0,8,6),T A ααα==，计算 101A .答案 1011000001000644804836A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.6. 设33123(,,),2A A ααα⨯==-，求31212,3,αααα-. 答案6.7.求矩阵的伴随矩阵以及逆矩阵（1） 2543A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭；（2）120213502A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 答案（1）35*42A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ，13514214A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭；（2）246*19235103A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，2461*1923365103A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.二 矩阵运算的性质这一部分讲两个问题：其一，矩阵运算性质的发现方法——类比；其二，矩阵运算性质的证明方法（定义方法及其简化形式，举反例方法，连续性方法，逆矩阵方法）其一，矩阵运算性质的发现方法——类比矩阵运算是与数值运算不同的一种新运算对象的运算.研究它们的性质，当然还是从类比数值运算的性质开始.注意到，运算的名称是规定的,因此，进行类比时，数值运算的某一运算性质就可能会类比到矩阵的每一个运算上面去.例如，类比交换性质，就是交换运算中两个运算对象的位置，就可类比出下列等式是否正确的问题： ①+=+A B B A ②-=-A B B A③=kA Ak (定义中相等) ④=AB BA⑤=kAA k （Ak 不会算）①②④这三个等式是否正确的判别就是下面要讲的证明方法。

其二，矩阵运算性质的证明方法于是要做的事情就很多了.类比数值运算，矩阵有哪些运算性质呢？在这一讲中，我们不可能将所有性质都列举出来，并逐一证明一遍，这也不必要.我们将针对某些类比性质，用举例的形式给出主要用到的证明方法，希望大家学会以后，能举一反三.①定义方法及其简化形式例1 证明矩阵乘法满足结合律：()()A BC AB C =.注意矩阵运算的等式是有前提条件的. 运算所要求的所有条件中，有些条件是必须作为前提条件的，有些条件是可由前提条件推出的. 而在等式中往往又写不出这些条件，那么怎么样区分哪些是前提条件呢？一般来说，等式两边的运算中，最基本运算的一边的条件是作为前提条件的，而另一边（往往可能是复合运算时，更是如此）的条件是应该要推出来的.证 等式两边都是复合运算，选取左边的运算条件为前提条件.设B 为n s ⨯型，则C 必须是s 行，可设C 为s t ⨯型，从而BC 是n t ⨯型，则A 必须是n 列，可设A 为m n ⨯型，于是左边()A BC 为m t ⨯型.而这时右边()AB C 的运算条件显然就都满足了，且也是m t ⨯型,等式两边型相同了.下面再来证明两边对应位置的元素相等.用()ij X 表示矩阵X 的(,)i j 元，这样，左边的(,)i j 元为(())ij A BC 1122()()()()()()i j i j in nj A BC A BC A BC =+++L11111221()[()()()()()()]i j j s sj A B C B C B C =+++L 22112222()[()()()()()()]i j j s sj A B C B C B C ++++LL1122()[()()()()()()]in n j n j ns sj A B C B C B C ++++L 11122111[()()()()()()]()i i in n j A B A B A B C =+++L 11222222[()()()()()()]()i i in n j A B A B A B C ++++LL1122[()()()()()()]()i s i s in ns sj A B A B A B C ++++L 1122()()()()()()i j i j is sj AB C AB C AB C =+++L (())ij AB C =为右边的(,)i j 元，1,2,,i m =L ，1,2,,j t =L .根据矩阵相等的定义，我们就证明了乘法结合律.从这个例子，我们看到，要证明一个矩阵运算的等式，就要做两方面的工作. 一方面找出所需要的前提条件（尽可能少）并推证出其他的运算条件是满足的. 另一方面再证明矩阵运算的等式是成立的，即等式两边型相同，且所有对应位置的元素也相等，这可以叫做矩阵相等的定义方法仿照例1的证明方法，显然可以证明下列矩阵运算的性质 ①A B B A +=+②()()A B C A B C ++=++ ③()A B A B -=+- ④()()A A λμλμ= ⑤()A A A λμλμ+=+⑥()A B A B λλλ+=+ ⑦()()()AB A B A B λλλ==⑧()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+ ⑨k l k l A A A +=，()k lk lA A = ⑩()T TA A = ⑪()TTTA B A B +=+ ⑫()TTA A λλ= ⑬()TTTAB B A = ⑭________A B A B +=+⑮_____A A λλ=⑯_____AB AB =其中，性质⑬是类比分配律考虑()=TTTAB A B 成立与否时发现的.例2 证明伴随矩阵满足**AA A A A E ==.证 根据行列式展开定理：同行展开等于行列式本身，异行展开等于零.11121112112122212222*1212n n n n n n nn n nnn a a a A A A a a a A A A AA a a a A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭L L L L M M O M M M O M LLA AA ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭OA E = 同理*A A A E =.这个证明中，省略了前提条件：A 为方阵且阶2≥，并推出其他运算条件的过程.且矩阵相等不是像例1那样分两步，而是直接计算的.仿照例2的证明方法，显然可以证明下列矩阵运算的性质 ①A O A +=②OA O =，AO O =，注意这些零矩阵可能不同型 ③EA A =，AE A =，注意这些单位矩阵可能不同阶④()()()12121122diag ,,,diag ,,,diag ,,,n n n n a a a b b b a b a b a b ±=±±±L L L ()()()12121122diag ,,,diag ,,,diag ,,,n n n n a a a b b b a b a b a b =L L L()()()1212diag ,,,diag ,,,kk k k n n a a a a a a =L L⑤11111232222n n n n a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫*** ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭O O O 111222kkkk n n a a a a a a ⎛⎫⎛⎫**⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OO对于方阵A 和多项式2012()mm f x a a x a x a x =++++L ，记2012()m m f A a E a A a A a A =++++L并称()f A 为矩阵A 代入多项式()f x 所得的多项式，注意()f A 仍是与矩阵A 同阶的方阵.⑥对于两个多项式()f x 和()g x 及方阵A ，交换律成立：()()()()f A g A g A f A =⑦如果()f x 为多项式，()12diag ,,,n λλλΛ=L ，则()12()diag (),(),,()n f f f f λλλΛ=L⑧如果()f x 为多项式，A 为上三角形矩阵，112n a a A a ⎛⎫*⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O 则112()()()()n f a f a f A f a ⎛⎫* ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O对于下三角形矩阵，上述类似结论也成立.⑨若1A P BP -=，()f x 为多项式，则1()()f A P f B P -=.⑩11AA A A E --==.最后，我们还指出一个很有用的性质.⑪对于1阶方阵()k ，总有()A k kA =，()k A kA =. ②举反例方法例3 举反例说明矩阵乘法交换律不成立：AB BA ≠.解 当A ，B 不是同阶方阵时，显然AB BA ≠.对于同阶方阵A ，B ，最简单的为2阶（显然1阶方阵时，没有反例）.这时，左边的(,)i j 元为1122()()()()()ij i j i j AB A B A B =+而右边的(,)i j 元为1122()()()()()ij i j i j BA B A B A =+.显然，1i =，1j =，12()1A =，21()1B =，21()0A =时，1111()()AB BA ≠.于是，无论A ，B 的其他元素怎么取，都有AB BA ≠.故可选A ，B 的其他元素都为0，即0100A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0010B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，这时10000001AB BA ⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.仿照例3举反例的方法，可对下列矩阵运算性质举反例进行说明.①矩阵乘法有零因子，即0AB =⇒0A =或0B =②矩阵乘法消去律一般不成立，即AB AC =且0A ≠⇒B C =另外，由于矩阵乘法交换律不成立，从而有关因式分解的代数公式一般就都不成立，即 ③222()2A B A AB B ±≠±+ ④33223()33A B A A B AB B ±≠±+± ⑤0()(1)nn n kk k n k n k A B C A B --=±≠±∑⑥22()()A B A B A B +-≠- ⑦2233()()A B A AB B A B ±+≠±m ⑧12321()()n n n n n n A B A A B A B B A B ----+-+-+≠+L ，n 为奇数 ⑨12321()()n n n n n n A B AA B A B B A B -----++++≠-L乘积乘方的公式也不成立，即⑩()k k kAB A B ≠但是，要注意，仿照例2的证明方法，显然可以证明：对于乘法可以交换的两个具体矩阵A 和B ：AB BA =，上述公式③~⑩中的不等号“≠”就都要换成等号“=”.③连续性方法另外，由于乘法没有交换律，因此，若想用乘法定义除法，对于可逆矩阵B ，A 除以B 就应该分清是右除，还是左除，所以在矩阵运算中没有除法，因此，矩阵是永远不能出现在分母中的.又由于矩阵取行列式后，就是上一章的行列式，是一个数了.前几例的方法就不能完全用来研究矩阵运算的行列式性质.①T A A =（行列式转置，值不变） ②n n n kA k A =（n 个行都提出公因子k ） ③AB A B =④kkA A =（由③归纳） ⑤2n ≥时，1*n n n A A -=，*11()11a ==⑥111AAA--==⑦____A A =（行列式定义和数值共轭运算性质） ⑧AB A B +≠+ （举2阶反例） ⑨A B A B -≠- （举2阶反例） 下面给出③、⑤、⑥的证明. 先证明③.首先111212122212111212122212111===----L L M M L M L LL M M LM OLn n n n nnn n n n nna a a a a a a a a A O D A Bb b b EB b b b b b b另一方面，我们对行列式D 进行下列倍加列：第i 列的i j b 倍加到第n j +列上去（1,2,,i n =L ，1,2,,j n =L ），有(1)(1)nn A AB E O D E AB AB EOAAB-==-=--=-这就证明了AB A B =.注意这里A 、B 为同阶方阵是前提.再证明⑥.利用例2后面列出的性质⑩，1AA E -=，再根据刚证明的性质③，就得到111A A A A E --===,故111A A A--==. 最后证明⑤.后一个等式是显然的.对前一个等式，我们采用一种连续性方法进行证明. 对2n ≥，当A 可逆时，1*11nn n n n A A A A A A---===.当A 不可逆时，记B A tE =+，显然B 是t 的n 次多项式，至多n 个不同根，其中一个根为0t =.因此在0t =的一个空心邻域内，0B ≠，B 可逆.由前面已证明的结论知1*n B B -=在0t =的一个空心邻域内总成立.令0t →，则**B A →，**B A →，B A →，1n B A -→，而等式两边仍是t 的多项式，由多项式的连续性知，这时也有1*n n A A-=.④逆矩阵方法对于矩阵的求逆运算，有如下特别重要的充要条件：例4 对于方阵A ，1A B -=的充要条件是AB E =（或BA E =）.证 若A 为1阶方阵，上述充要条件是显然的.若方阵A 的阶2≥，当A 可逆且1A B -=时，由例2后的性质⑩得1AB AA E -==（或1BA A A E -==）.而当AB E =时，易知A 、B 为同阶方阵，由矩阵运算的行列式性质③知1A B AB E ===就得0A ≠，从而A 可逆，再利用例2后的性质⑩和③就得到111B EB A AB A E A ---====同样可证BA E =的情形.利用这个充要条件，我们就得到一个证明逆矩阵问题的方法——逆矩阵方法：要证1A B -=，只须证明A 为方阵且AB E =（或BA E =）.下面逆矩阵的性质就可以用这个方法证明.①111()kA k A ---= ②111()AB B A ---=③11()()k k k A A A ---== ④11()()T T A A --= ⑤*11*()()A A --= ⑥11()A A --=⑦______11()()A A --=同样，举反例可说明 ⑧111()A B A B ---+≠+ ⑨111()A B A B ----≠-另外，对于可逆矩阵的乘法消去律是成立的 ⑩AX AY =或XA YA =且A 可逆⇒X Y =对于伴随矩阵，除前面已列举的性质外，还有一些性质，主要用前面的连续性方法进行证明，一并列出如下：①*1*()n n n kA k A -=（用伴随的定义和行列式性质即得）②***()AB B A =③**()()k kA A =（用②归纳）④**()()T TA A =（转置和伴随的定义即得） ⑤1**1()()A A --=（前面已有）⑥2**2()2(1)1n A A n A An n -⎧>⎪==⎨⎪=⎩⑦______**()()A A =（用伴随的定义和行列式性质即得） ⑧**AA A A A E ==（前面已有） 同样，举反例可证明 ⑨***()A B A B +≠+ ⑩***()A B A B -≠-习题21. 仿照例1的证明方法，证明下列矩阵运算性质 （1）()A B C AB AC +=+ （2）()TTTAB B A =2. 仿照例2的证明方法，证明下列矩阵运算性质（1）对于两个多项式()f x 和()g x 及方阵A ，交换律成立：()()()()f A g A g A f A =（2）如果()f x 为多项式，()12diag ,,,n λλλΛ=L ，则()12()diag (),(),,()n f f f f λλλΛ=L(3) 若1A P BP -=，()f x 为多项式，则1()()f A P f B P -=. (4)11AA A A E --==.(5)对于1阶方阵()k ，总有()A k kA =，()k A kA =.3. 仿照例3举反例的方法，对下列矩阵运算性质举反例进行说明. (1)矩阵乘法有零因子，即=⇒AB O =A O 或=B O(2)矩阵乘法消去律一般不成立，即AB AC =且≠A O ⇒B C = (3)222()2A B A AB B ±≠±+ (4)A B A B +≠+ （5） 111()A B A B ---+≠+4. 用逆矩阵方法证明下列逆矩阵的性质 （1）111()kA k A ---= （2）111()AB B A ---= （3）11()()k k k A A A ---== （4）11()()T T A A --= （5）*11*()()A A --=5. 证明：如果A A =2,E A ≠,则A 必为奇异矩阵. 6. 证明 11111()()()AB A A B B B A B A -----+=+=+.三 矩阵运算性质的应用在这一部分，我们将列举一些应用矩阵运算性质解决的问题. ①性质11,--*===*=AAA A E AA A A A E 的应用例5 设202220044A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，223011211B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，解矩阵方程3422A X B X +=+.解 移项并合并同类项得223X B A =-故 1(23)2X B A =-2232021201132202211044⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2401642241410-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭120321275-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 例6 设210031001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解矩阵方程45AX A X +=.解 移项54AX X A -=-提出公因子(5)4A E X A -=-消去系数矩阵求解1(5)(4)X A E A -=--化简1(5)[4(5)20]X A E A E E -=----1420(5)E A E -=---由210031001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭知，3105021004A E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭，524A E -=-， 1*81111(5)(5)0123524006A E A E A E ---⎛⎫⎪-=-= ⎪-- ⎪⎝⎭. 从而85536610081155401001230662001006001X ⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭例7 设200031001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解矩阵方程*44AXA AX E +=.解 化简1*1(4)(4)A AXA AX A A E A --+=即44A X XA E +=提出公因子(4)4X A E A E +=消去系数矩阵求解11(4)4(4)4(4)X A E A E A E A A E A --+=+=+由于200031001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故6A =-，于是20040640010A E A ⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭4120A E A +=-160001(4)020********A E A --⎛⎫ ⎪+=-- ⎪- ⎪⎝⎭因此60003000110208010430150012006X -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.②性质1*-=AA A 的应用例8 设43A =-，求*15A A -+.解4*111141055(5)(5)-----≠++=++A A A AA A AA AA A443(5)(35)1633A A A=-+-+==--例9 设202031005A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求*1[2(3)]A E -+.解*111[2(3)][23(3)]A E A E A E ---+=++111123[(3)]A E A E ----=++1(3)23A E A E =++5021061480008⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭例10 设201310401A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求*1*[32]A A -+.解*1*11*1*[32][32][(32)]A A A A A A A ----+=+=+111(32)[(32)]A A A A ---=++31111(32)(32)()A A A A ----=++2(32)A A A =+2012163102401⎛⎫= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A 2018310401⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭③性质:对于1阶方阵()k ，总有()=A k kA ，()=k A kA 的应用例11 设()1,2,3α=，T A αα=，求101A .解()11,2,32143T αα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()112321,2,32463369T A αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭101101100100100123()()()()1414246369T T T T T T T A αααααααααααααα⎛⎫⎪===== ⎪ ⎪⎝⎭L .例12 设(1,1,0)Tα=-，TA E x αα=+，求x ，使3A A =.解33()T A E x αα=+322333()()T T T E E x E x x αααααα=+++2(364)T E x x x A αα=+++=⇔0x =或2(364)0x x ++=⇔0x =或x =或x =④逆矩阵方法的应用：由()=f A O ,证明()g A 可逆并求出1[()]-g A (带余除法)例13 设A 满足323++=A A E O ，试证明A E -可逆，并求出1()A E --.解 先将等于零矩阵的等式323++=A A E O 左边A 的多项式还原成变量x 的多项式323++x x 作为被除式，讲要求逆的A 的多项式还原成变量x 的多项式1-x 作为除式，做多项式带余除法233123++-++x x x x x 32)--x x223x x ++2)--x x33x + )33--x 6即得23(1)(3)623x x x x x -+++=++于是23()(3)623-+++=++=A E A A E E A A E O从而21()[(3)]6A E A A E E --++= 所以A E -可逆，且21()(3)6A E A A E --=++. 例14 设A 满足326136+++=A A A E O ，试证明232++=A A E O 可逆，并求出21(32)A A E -++.解 由于232()(2)A A E A E A E ++=++，且由326136+++=A A A E O ,可仿照例13求得A E +可逆且121()(58)2A E A A E -+=++2A E +可逆且121(2)(45)4A E A A E -+=++从而232A A E ++可逆且2111(32)(2)()A A E A E A E ---++=++4321(9335740)8A A A A E =++++ 3221[(3)(6136)21222]8A E A A A E A A E =+++++++ 21(611)4A A E =++ 注：本题由于3226136(32)(3)2A A A E A A E A E A +++=++++，余式2A 不是非零常数，直接做不出来.习题31. 设12101402P AP P ⎛⎫⎛⎫=Λ==Λ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，求n A . 答案1122212221n n n n ++⎛⎫-- ⎪--⎝⎭. 2. 设1111102,2,1113P AP P -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=Λ==Λ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,求 32()23A A A A φ=+-. 答案 505()000505A φ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 3.设,A B 为3阶方阵，且3,2A B ==，12A B -+=，求1?A B -+= 答案：3.4. 已知171201,423,132201A B -⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭()T AB 求. 答案()0171413310T AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 解矩阵方程（1）15321414X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. 答案：172846--⎛⎫ ⎪--⎝⎭. （2）213201741123X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 答案：1135-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 6. 设B A ,满足*28A BA BA E =-且110020001A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求B .答案 220040002B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭7. 设方阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--275039001, 求（1）1*102-+A A ，（2）()1-*A答案：（1）43；（2）100631022571663⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.8.已知方阵A=107052001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,计算（1）()1*32A E -⎡⎤-⎣⎦，（2）()1*123A E -⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 答案：107032003--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；30710727001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 9. 设212,44T A E ααα⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭,计算 2A . 答案25484588817A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 10.（1）若n 阶矩阵A 满足224--=AA E O ，试证明A E +可逆，并求()1A E -+. （2）若n 阶矩阵A 满足323-+=A A E O ，试证明A E +可逆，并求()1A E -+.。