2014年复旦附中自主招生测试数学试卷和答案
答案版上海市复旦大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(2)
D. f x
x2 9 ， g x x 3 x3
【解析】A 选项对应关系不同， f x x ， g x x2 x ；C、D 选项定义域不相同.
x 3 x y 6 14、 是 成立的（ y 3 x y 9
2 x x 1
的定义域为_______.
【答案】 2,1
1, 2 ； 1,2 ，本题需注意定义域只能写成区间
2 x 0 2 x 2 【解析】由 ，即 x 2,1 x 1 x 1 0
或是集合的形式，避免写不等式的形式. 4、已知集合 A 1, 2,3, 4 ， B 1, 2 则满足 A C B C 的集合 C 有_______个. 【答案】4; 【解析】由条件 A C B C 可知， B B
复旦大学附属中学 2014-2015 学年第一学期 高一年级数学期中考试试卷
（时间 90 分钟，满分 120 分） 一、填空题（每小题 4 分，共 44 分）
6 1、用列举法表示集合 A a N* , a Z _______. 5 a
【答案】 1, 2,3, 4 ；
充要条件是“ a b 0 ”. 其中，正确结论的个数 是_______. ．． 【答案】3 个； 【解析】①正确，由于 2015 能够被 5 整除；②错误， 3 1 5 2 ，故 3 2 ；③正确， 将整数按照被 5 除分类，刚好分为 5 类；④正确. 10、某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费 p （万元）与仓库 到停车库的距离 x （公里）成反比，而每月库存货物的运费 k （万元）与仓库到停车库的距 离 x （公里）成正比. 如果在距离停车库 18 公里处建仓库，这两项费用 p 和 k 分别为 4 万元 和 144 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离 x _______公里. 【答案】 2 ； 【解析】 设 p 所以 p
2014上中自主招生数学试题
F ED C A 2014上中自主招生数学试题一、填空题1．已知b a b a +=+111，则=+ba ab ______． 2．有______个实数x ，可以使得x -120为整数？．3．在△ABC 中，AB=AC ，CD=BF ，BD=CE ，用含∠A 的式子表示∠EDF ，∠EDF 应为=______．4．在直角坐标系中，抛物线)0(4322>-+=m m mx x y 与x 轴交于A 、B 两点，若A 、B 两点到原点的距离分别为OA 、OB ，且满足3211=-OA OB ，则m=__________．5．定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，r<72且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆且沿圆A 的圆周滚动一圈，若动圆B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r 共有__________个可能的值．6．学生若干人租游艇若干只，如果每船坐4人，就余下20人；如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有______人？7．对于各数互不相等的正整数组(a 1，a 2，…，a n )(n 是不小于2的正整数)，如果在i<j 时有a i >a j ，则称a i 与a j 是该数组的一个“逆序”．例如数组(2，4，3，1)中有逆序“2，1”“4，3”“4，1”“3，1”，其逆序数为4，现若有各数互不相同的正数组(a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6)的逆序数为2，则(a 6，a 5，a 4，a 3，a 2，a 1)的逆序数是___________________．8．若n 为自然数，则使得关于x 的不等式19102111<+<n x n 有唯一的整数解的n 的最大值为________．二、选择题9．已知x 2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a 的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．810．如图，D 、E 分别为△ABC 的底边所在直线上的两点，DB=EC ，过A 点作直线l ，作DM ∥AB 交l 于M ，作EN ∥AC 交l 于N ，设△ABM 面积为S 1，△ACN 面积为S 2，则( )A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 211．设p 1，p 2，q 1，q 2为实数，则p 1p 2=2(q 1+q 2)，若方程甲：x 2+p 1x+q 1=0，乙：x 2+p 2x+q 2=0，则( )A ．甲必有实根，乙也必有实根B ．甲没有实根，乙也没有实根C ．甲、乙至少有一个有实根D ． 甲、乙是否总有一个有实根不能确定12．设201310075332112222++++= a ，201510077352312222++++= b ，则以下四个选项中最接近a-b 的整数为( )A ．252．B ．504C ．1007D ．2013三、解答题13．直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC(B 、D 位于AC 的两侧)，M 、N 分别是AC 、BD 中点，且M 、N 不重合．(1)线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论；(2)若∠BAC=30°，∠CAD=45°，AC=4，求MN 的长．14．是否存在m 个不相等的正数a ，a 2，…，a m (m≥7)，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值；若不存在，说明理由．。
2014复旦附中自招测试题
12014年复旦大学附属中学自主招生测试数学试卷一．填空题1．已知998a =，997b =，996c =，则2a ab ac bc --+= ▲ ．2．已知：23a =，32b =，则1111a b +=++ ▲ ． 3．在△ABC 中，10AB =，16AC =，BAC ∠的角平分线为AN ，BN 和AN 垂直，垂直为N ，M 为BC 的中点，则MN = ▲ ．4．方程2354235x x x x +=----的根为 ▲ ． 5．已知一次函数y kx b =+经过点(1,1)，且2k >，则该函数不经过第 ▲ 象限．6．已知,,,,,a b c d e f 为实数，满足0ace ≠，已知ax b cx d ex f +++=+对于任意x 都成立，则ad bc -= ▲ ．7．已知：222212310011352001A =++++L ，222212310013572003B =++++L ，则与A B -最接近的整数是 ▲ ．二．解答题28．已知,x y 是正整数，且2014x y >>，1112014x y xy++=，试求x y -的最大值． 9．在△ABC 中，BF 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，O 是内心（角平分线的交点），满足OE OF =，求证：△ABC 是等腰三角形或60A ∠=︒．10．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n 个数，放入集合A 中，从A 中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n 的最大值．2014年复旦大学附属中学自主招生测试数学试卷参考答案和评分标准一．填空题1．2 2．1 3．3 4．0；4；43 5．二 6．0 7．501二．解答题8．解：由1112014x y xy++= 得1120152014x y x y ⎛⎫++⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3即2014201420140xy x y ---=；即(2014)(2014)20142013x y --=⨯；得：min ()402840271x y -=-=．9．证明：在AC 上截取'AE AE =①如果E'和F 重合，那么△AOE ≌△AOF ，△BOE ≌△COF ；因此AB AE BE AF CF AC =+=+=；故△ABC 是等腰三角形；②如果E'和F 不重合，易知△AOE'≌△AOF ；ABC EF (E')O第9题图①ABCEE' OF 第9题图②4于是'OE OF =；即''OFE OE F BEC ∠=∠=∠；由12BEC A C ∠=∠+∠，12AFO B C ∠=∠+∠推出11()(180)22B C A A ∠+∠=︒-∠=∠； 即60A ∠=︒．10．解：首先构造两个数列：{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024； {}3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512．共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数．因此：21n ≤．5如果21n >，则构造如下集合：{}1，{}2,3，{}4,5,6,7，{}8,9,10,,15L ，…，{}1024,1025,,2014L ；共11个集合，如果21n >，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能存在一个数是另一个数的倍数．矛盾．故n 的最大值为21．。
上海市复旦大学附属中学2014-2015学年高一下学期期末数学试题(原卷版)
上海市复旦附中2014-2015高一年级期末考试数学试卷分析第二部分优秀试题精讲1.已知数列{}n a 满足:*434121,0,,N n n n n a a a a n --===∈,则2014a =___________.2.等差数列{n a }前n 项和为n S .已知1m a -+1m a +-2m a=0，21m S -=38,则m=_______.3.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________.4.设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ． 5.若数列{a n }前8项的值各异，且a n+8=a n 对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为 （ ） A. {a 2k+1}B. {a 3k+1}C. {a 4k+1}D. {a 6k+1}6.已知点11,3⎛⎫⎪⎝⎭是函数()(0,1)xf x a a a =>≠图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}()0n n b b >的首项为c ,且前n 项和n S 满足:当2n ≥时,都有1n n S S --=(1)求c 的值;(2)求证:为等差数列,并求出n b . (3)若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,是否存在实数m ,使得对于任意的*N n ∈都有n T m ≥,若存在,求出m 的取值范围,若不存在,说明理由.第三部分 试卷展示大学附属中学2014学年第二学期高一年级数学期来考试试卷一､填空题(每题4分,共48分7.求值：2sin arccos 3⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦_____．8.等比数列{}n a 中,若245,20a a ==,则6a =__________.9.设{}n a 是公差不为0的等差数列,12a =且136,,a a a 成等比数列,则{}n a 的前10项和10S =________. 10.函数arccos 2y x =-的反函数为__________.11.已知数列{}n a 满足:*434121,0,,N n n n n a a a a n --===∈,则2014a =___________.12.等差数列{n a }前n 项和为n S .已知1m a -+1m a +-2m a =0，21m S -=38,则m=_______.13.已知函数13()2sin 122f x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,1()f x -为()f x 的反函数,则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭_______(用反三角形式表示).14.方程sin 2cos ,[0,2]x x x π=∈的解集是____________. 15.函数y =的定义域为____________.16.已知{}n a 为等差数列,135246105,99a a a a a a ++=++=,{}n a 前n 项和n S 取得最大值时n 的值为___________.17.当01x ≤≤时，不等式sin 2xkx π≥成立，则实数k 的取值范围是______________.18.设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ． 二､选择题(每题4分,共16分)19.不等式tan 2x <<的解集是（ ） A. |arctan 2,3x k x k k Z πππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭B. 2|arctan 2,3x k x k k Z πππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭C. |22arctan 2,3x k x k k Z πππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ D. 2|2arctan 22,3x k x k k Z πππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭20.对数列{}n a ,“0n a >对于任意*N n ∈成立”是“其前n 项和数列{}n S 为递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 非充分非必要条件21.设{(,)|cos(arccos )},{(,)|arccos(cos )}A x y y x B x y y x ====,则A B =I ( ) A. {(,)|,11}x y y x x =-≤≤ B. 11(,)|,22x y y x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭C. {(,)|,01}x y y x x =≤≤D. {(,)|,0}x y y x x π=≤≤22.若数列{a n }前8项的值各异，且a n+8=a n 对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为 （ ） A. {a 2k+1}B. {a 3k+1}C. {a 4k+1}D. {a 6k+1}三､解答题(共5题,共56分)23.解方程:cos2cos sin x x x =+.24.已知方程240x ++=有两个实根12,x x ,记12arctan ,arctan x x αβ==,求αβ+的值.25.已知点11,3⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()(0,1)xf x a a a =>≠的图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}()0n n b b >的首项为c ,且前n 项和n S 满足:当2n ≥时,都有1n n S S --=(1)求c 的值;(2)求证:为等差数列,并求出n b . (3)若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,是否存在实数m ,使得对于任意的*N n ∈都有n T m ≥,若存在,求出m 的取值范围,若不存在,说明理由.26.某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造,预测从2015年开始,此后每年比上一年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元,在未扣除技术改造资金的情况下,预计2016年的利润为750万元,此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元.(1)设从2016年起的第n 年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的年纯利润为n a 万元;进行技术改造后,在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为n b 万元,求n a 和n b ;(2)设从2016年起的第n 年(以2016年为第一年),该企业不进行技术改造的累计纯利润为n A 万元,进行技术改造后的累计纯利润为n B 万元,求n A 和n B ;(3)依上述预测,从2016年起该企业至少经过多少年,进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润?27.如果有穷数列123,,,m a a a a L (m 为正整数)满足1211,,m m m a a a a a a -===L ,即1(1,2,,)i m i a a i m -+==L ,那么我们称其为对称数列.(1)设数列{}n b 是项数为7的对称数列,其中,1234,,,b b b b 为等差数列,且142,11b b ==,依次写出数列{}n b 的各项;(2)设数列{}n c 是项数为21k -(正整数1k >)的对称数列,其中121,,,k k k c c c +-⋯是首项为50,公差为-4的等差数列.记数列{}n c 的各项和为数列21k S -,当k 为何值时,21k S -取得最大值?并求出此最大值;(3)对于确定的正整数1m >,写出所有项数不超过2m 的对称数列,使得211,2,2,,2m -⋯依次为该数列中连续的项.当1500m >时,求其中一个数列的前2015项和2015S .。
复旦附中自招真题解析
海
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ， 若 BC 边上的高为 AD， 则 BD DC ______________． 【答】4． A 【解析】设 AB 、 BC 、 CA 分别为 n 1 、 n 、 n 1 ，则
昂
立
智
立 方
B
C
上
2
2
B
D C
有 c 2 a 2 b2 2b2 c 2b ab 2 b b 2b 2 而 ab 2 a b c 2 0 b b a 5 ，
2 2 b 7b a 7 ，
若 a 5 ，25 c b c b c b 25 ，c b 1 c 13 ，b 12 代入两式验证成立； 若 a 6 ， 36 c b c b c b 18 ， c b 2 c 10 ， b 8 代入两式验证成立；
2
若它们为不同解，则 19m n 19 矛盾 19m n
原式
m 19m 4m 1 19m2 99m 1 95m 5 ． 19m 19m
9. 若关于 x 的方程 x 2 x 2 4 x m 0 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形 的三边长，则 m 的取值范围是______________． 【答】 3 m 4 ． 【解析】显然 x 2 是原方程的根，设另两个根分别为 a 、 b ， a b 4 2 ，
15 sin120 a a 2 3 2 4 则 a 2 2a 1 16 sin 60 2 S 2a 2 ABCD 2
2014复旦附中自招测试题
2014年复旦大学附属中学自主招生测试数学试卷一．填空题1．已知998a =，997b =，996c =，则2a ab ac bc --+= ▲ ． 2．已知：23a =，32b =，则1111a b +=++ ▲ ． 3．在△ABC 中，10AB =，16AC =，BAC ∠的角平分线为AN ，BN 和AN 垂直，垂直为N ，M 为BC 的中点，则MN = ▲ ． 4．方程2354235x x x x +=----的根为 ▲ ． 5．已知一次函数y kx b =+经过点(1,1)，且2k >，则该函数不经过第 ▲ 象限．6．已知,,,,,a b c d e f 为实数，满足0ace ≠，已知ax b cx d ex f +++=+对于任意x 都成立，则ad bc -= ▲ ．7．已知：222212310011352001A =++++L ，222212310013572003B =++++L ，则与A B -最接近的整数是 ▲ ．二．解答题8．已知,x y 是正整数，且2014x y >>，1112014x y xy++=，试求x y -的最大值．9．在△ABC 中，BF 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，O 是内心（角平分线的交点），满足OE OF =，求证：△ABC 是等腰三角形或60A ∠=︒．10．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n 个数，放入集合A 中，从A 中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n 的最大值．2014年复旦大学附属中学自主招生测试数学试卷参考答案和评分标准一．填空题1．2 2．1 3．3 4．0；4；4 5．二 6．0 7．501 二．解答题 8．解：由1112014x y xy++= 得1120152014x y x y ⎛⎫++⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 即2014201420140xy x y ---=；即(2014)(2014)20142013x y --=⨯；得：min ()402840271x y -=-=．9．证明：在AC 上截取'AE AE = ①如果E'和F 重合，那么△AOE ≌△AOF ，△BOE ≌△COF ；因此AB AE BE AF CF AC =+=+=；故△ABC 是等腰三角形；②如果E'和F 不重合，易知△AOE'≌△AOF ；于是'OE OF =；即''OFE OE F BEC ∠=∠=∠；ABCEF (E')O第9题图① ABCEE' OF第9题图②由12BEC A C ∠=∠+∠，12AFO B C ∠=∠+∠推出11()(180)22B C A A ∠+∠=︒-∠=∠； 即60A ∠=︒．10．解：首先构造两个数列：{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024； {}3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512．共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数． 因此：21n ≤．如果21n >，则构造如下集合：{}1，{}2,3，{}4,5,6,7，{}8,9,10,,15L，…，{}1024,1025,,2014L ；共11个集合，如果21n >，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能存在一个数是另一个数的倍数．矛盾． 故n 的最大值为21．上海中考微信号：shzhongkao1专注于上海中考升学政策、名校招生信息解读，为家长、学生送上第一手中考资讯。
上海市复旦大学附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，共44分）1．（4分）用列举法表示集合=．2．（4分）命题“若x2=1，则x=1”的否命题是．3．（4分）函数y=的定义域为．4．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2}，则满足A∩C=B∪C的集合C有个．5．（4分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．6．（4分）已知集合P=x，Q={x|（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0}，则P∩Q=．7．（4分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．8．（4分）若关于x不等式ax2+bx+c＜0的解集为，则关于x不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．（4分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n 9．∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的是．10．（4分）某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费p（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成反比，而每月库存货物的运费k（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成正比．如果在距离停车库18公里处建仓库，这两项费用p和k分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x=公里．11．（4分）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．二、选择题（每题4分，共16分）12．（4分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc13．（4分）设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0D．f（x）=，g（x）=x﹣314．（4分）是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（4分）在关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围为（）A．﹣4≤a≤4 B．a≥9或a≤﹣7 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2＜a＜4三、解答题（共6大题，满分60分）16．（8分）解关于x的方程：x2+|2x﹣3|=2．17．（8分）设关于x的不等式：．（1）解此不等式；（2）若2∈，求实数k的取值范围．18．（10分）已知P=，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}，其中m＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19．（10分）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D 的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？20．（10分）定义实数a，b间的计算法则如下：a△b=．（1）计算2△（3△1）；（2）对x＜z＜y的任意实数x，y，z，判断等式x△（y△z）=（x△y）△z是否恒成立，并说明理由；（3）写出函数y=（1△x）△x﹣（2△x）的解析式，其中﹣2≤x≤2，并求函数的值域．21．（14分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c．（1）求证：＞0；（2）现推广如下：把的分子改为一个大于1的正整数p，使得＞0对任意a＞b＞c都成立，试写出一个p并证明之；（3）现换个角度推广如下：正整数m，n，p满足什么条件时，＞0对任意a＞b＞c都成立，请写出条件并证明之．2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共44分）1．（4分）用列举法表示集合={﹣1，2，3，4}．考点：集合的表示法．专题：集合．分析：由，则必有，解出即可．解答：解：由，则必有，∴a=﹣1，3，2，4．∴A={﹣1，2，3，4}．故答案为：{﹣1，2，3，4}．点评：本题考查了集合的列举法、整数的整除性质，属于基础题．2．（4分）命题“若x2=1，则x=1”的否命题是若x2≠1，则x≠1．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：直接利用命题的否命题的定义，写出结果即可．解答：解：命题的否命题是同时对条件与结论进行否定．命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：若x2≠1，则x≠1；故答案为：若x2≠1，则x≠1；点评：本题考查命题的否命题的定义，基本知识的考查．3．（4分）函数y=的定义域为[﹣2，1）∪（1，2]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由式子有意义需使分母和根号有意义，可得x的范围，写成集合的形式可得函数的定义域．解答：解：要使函数的表达式有意义，x须满足：，即x∈[﹣2，1）∪（1，2]，故定义域为：[﹣2，1）∪（1，2]，故答案为：[﹣2，1）∪（1，2]，点评：本题考查了函数的定义域问题，注意分母和根号的特点，本题属于基础题．4．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2}，则满足A∩C=B∪C的集合C有4个．考点：交集及其运算；子集与真子集．专题：集合．分析：根据A∩C=B∪C，得到符合条件的集合C的个数即为集合{3，4}的子集的个数，求出即可．解答：解：由条件A∩C=B∪C可知：B⊆（B∪C）=（A∩C）⊆C⊆（B∪C）⊆（A∩C）⊆A，则符合条件的集合C的个数即为集合{3，4}的子集的个数，共4个．故答案为：4点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题关键．5．（4分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：变形为x与4y的乘积，利用基本不等式求最大值解答：解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．点评：考查利用基本不等式求最值，此为和定积最大型．6．（4分）已知集合P=x，Q={x|（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0}，则P∩Q=．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：先求出不等式的解集即为集合P，根据数轴标根法求出（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0的解集，即求出集合Q，由交集的运算求出P∩Q．解答：解：由得，，解之1≤x≤2，即P=[1，2]，根据数轴标根法，解（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0得：，即Q=，所以P∩Q=．故答案为：．点评：本题考查了交集及其运算，以及无理不等式、高次不等式的解法，数轴标根法是解高次不等式的重要方法．7．（4分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（﹣2，2]．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：计算题．分析：当a﹣2=0，a=2时不等式即为﹣4＜0，对一切x∈R恒成立，当a≠2时利用二次函数的性质列出a满足的条件并计算，最后两部分的合并即为所求范围．解答：解：当a﹣2=0，a=2时不等式即为﹣4＜0，对一切x∈R恒成立①当a≠2时，则须即∴﹣2＜a＜2 ②由①②得实数a的取值范围是（﹣2，2]故答案为：（﹣2，2]点评：本题考查不等式恒成立的参数取值范围，考查二次函数的性质．注意对二次项系数是否为0进行讨论．8．（4分）若关于x不等式ax2+bx+c＜0的解集为，则关于x不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知得到ax2+bx+c=0的两个根为﹣2和，利用根与系数关系得到系数的比，变形后得到的值，由此求出方程cx2﹣bx+a=0的两根，则不等式cx2﹣bx+a＞0的解集可求．解答：解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞），∴a＜0，且，﹣2为方程ax2+bx+c=0的两根．∴=﹣，（﹣2）=∴，c=a，∴cx2﹣bx+a＞0可转化为，∴x2﹣x+1＜0，即（x﹣）（x﹣2）＜0，解得x＜2，即不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．故答案为：点评：本题考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的根与系数关系，容易出错的地方是忽略c的符号．（4分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n 9．∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的是①③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；新定义．分析：对各个选项进行分析：①∵2011÷5=402…1；②∵﹣3÷5=﹣1…2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可得答案．解答：解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①正确；②∵﹣3=5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误；③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④正确．故答案为：①③④点评：本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．10．（4分）某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费p（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成反比，而每月库存货物的运费k（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成正比．如果在距离停车库18公里处建仓库，这两项费用p和k分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x=3公里．考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题；不等式的解法及应用．分析：由题意，设Px=m，（m，n为常数），代入x=18，p=4，k=144求出m，n；从而得到P+k=+8x，利用基本不等式求最值．解答：解：设Px=m，（m，n为常数），由x=18时，p=4，k=144，可得，m=18×4=72，n==8，所以P+k=+8x=8（）≥48，（当且仅当，即x=3时，等号成立）故答案为：3．点评：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式求最值，属于中档题．11．（4分）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a=．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：分类讨论，（1）a=1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．解答：解：（1）a=1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1=（a﹣1）x﹣1，y2=x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1=（a﹣1）x﹣1：令y=0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2=x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2=x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a=，或a=0（舍去）．故答案为：．点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．二、选择题（每题4分，共16分）12．（4分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），可得外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，可得对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，即可得出．解答：解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），则外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．故选：C．点评：本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式，考查了推理能力，属于基础题．13．（4分）设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0D．f（x）=，g（x）=x﹣3考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：常规题型．分析：根据确定函数的三要素判断每组函数是否为同一个函数，即需要确定每组函数的定义域、对应关系、值域是否相同，也可只判断前两项是否相同即可确定这两个函数是否为同一个函数．解答：解：A组中两函数的定义域相同，对应关系不同，g（x）=|x|≠x，故A中的两函数不为同一个函数；B组中两函数的定义域均为所有正数构成的集合，对应关系化简为f（x）=g（x）=1，故B中的两函数是同一个函数；C组中两函数的定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠1}，故C中的两函数不为同一个函数；D组中两函数的定义域不同，g（x）的定义域为R，f（x）的定义域由不等于﹣3的实数构成，故D中的两函数不为同一个函数．故选B．点评：本题考查函数定义域的求解，函数解析式的化简，考查学生对函数三要素的认识和把握程度，考查学生的转化与化归思想，属于基本的函数题型．14．（4分）是成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：当时，成立，即充分性成立，当x=10，，满足成立但不成立，即必要性不成立．故是成立充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．15．（4分）在关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围为（）A．﹣4≤a≤4 B．a≥9或a≤﹣7 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2＜a＜4考点：函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可．解答：解：若关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0没有实根，则，解得﹣2＜a＜4，则关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根时，a≤﹣2或a≥4，故选C．点评：本题考查了命题与命题的否定，属于基础题．三、解答题（共6大题，满分60分）16．（8分）解关于x的方程：x2+|2x﹣3|=2．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：直接去掉绝对值符号，然后求解即可．解答：解：或，解之x=2或．方程的解为：x=2或；点评：本题考查函数的零点与方程的根的知识，基本知识的考查．17．（8分）设关于x的不等式：．（1）解此不等式；（2）若2∈，求实数k的取值范围．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（1）化简不等式，得到（k﹣2）x≥k2﹣k﹣4，讨论k=2，k＞2，k＜2，解不等式，即可得到解集；（2）由条件讨论k=2，k＞2，k＜2，得到不等式组，解出它们，再求并集即可．解答：解：（1），即有（k﹣2）x≥k2﹣k﹣4，所以①当k=2时，不等式的解为R；②当k＞2时，不等式的解为，即解集为：[）；③当k＜2且k≠0时，不等式的解为，即解集为：（﹣∞，]；（2）由于，所以k=2符合；结合（1）可以得到：，解之2＜k＜3；或，解之0＜k＜2．综上k∈（0，3）．点评：本题考查含参不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．18．（10分）已知P=，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}，其中m＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义和关系，结合不等式的关系，即可得到结论．解答：解：由“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，可得∁U P⊋∁U Q，即P⊊Q，P=={x|﹣2≤x≤10}，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}={x|1﹣m≤x≤1+m}，则，即，解得m≥9，故实数m的取值范围[9，+∞）．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的解法求出集合是解决本题的关键．19．（10分）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D 的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？考点：不等式比较大小．专题：不等式的解法及应用．分析：当x＞y时，利用不等式的性质可得：x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；当x＜y时，同理可得：y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）＞0．即可得出．解答：解：当x＞y时，则x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；当x＜y时，则y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）=（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）=（x﹣y）2（x+y）＞0．∴在不知道x，y的大小的情况下，取A，D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故只有1种，就是取A，D．点评：本题考查了不等式的基本性质、“作差法”，考查了推理能力，属于基础题．20．（10分）定义实数a，b间的计算法则如下：a△b=．（1）计算2△（3△1）；（2）对x＜z＜y的任意实数x，y，z，判断等式x△（y△z）=（x△y）△z是否恒成立，并说明理由；（3）写出函数y=（1△x）△x﹣（2△x）的解析式，其中﹣2≤x≤2，并求函数的值域．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值域．专题：计算题．分析：（1）先求出（3△1），再求出2△（3△1）的值即可；（2）分别求出x△（y△z）和（x△y）△z的值，判断即可；（3）分别求出（1△x）△x和（2△x）代入求出即可．解答：解：（1）∵（3△1）=3，∴2△（3△1）=2△3=9；（2）由于y＞z，∴（y△z）=y，x△（y△z）=x△y=y2；由于x＜y，∴（x△y）=y2，即有（x△y）△z=y2△z，此时若y2≥z，则（x△y）△z=y2；若y2＜z，则（x△y）△z=z2．∴等式x△（y△z）=（x△y）△z并不能保证对任意实数x，y，z都成立．（3）由于，2△x=2，所以，函数的值域为[﹣1，2]．点评：本题考查了新定义问题，考查了函数解析式的求法，是一道中档题．21．（14分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c．（1）求证：＞0；（2）现推广如下：把的分子改为一个大于1的正整数p，使得＞0对任意a＞b＞c都成立，试写出一个p并证明之；（3）现换个角度推广如下：正整数m，n，p满足什么条件时，＞0对任意a＞b＞c都成立，请写出条件并证明之．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：利用分析法，结合综合法，即可证明结论．解答：证明：（1）由于a＞b＞c，所以a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，要证，只需证明．左边=，证毕．（2）欲使，只需，左边=，所以只需4﹣p＞0即可，即p＜4，所以可以取p=2，3代入上面过程即可．（3）欲使，只需，左边=，只需，即（m，n，p∈Z+）．点评：本题考查不等式的证明，考查分析法与综合法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2021年上海复附自招试卷
a - 2009一、填空题冲刺 17 年自主招生之 2014 复附自主招生试卷1. 若 M = 3x 2 -8xy + 9 y 2 - 4x + 6 y + 13 ( x , y 是实数)，则 M 的值一定是( ) A. 零B. 负数C. 正数D. 整数2. 已知sin α < cos α ，那么锐角α 的取值范围是( ) A. 30︒ < α < 45︒ B. 0︒ < α < 45︒ C. 45︒ < α < 60︒D. 0︒ < α < 90︒3. 已知实数 a 满足| 2008 - a | = a ，那么a - 20082 值是( )A. 2009B. 2008C. 2007D. 20064. 如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式 a- b 的值等于( ).cA. - 3 4B. -6C. 3 4D. 65. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像如图所示， Q (n ,2) 是图像上的一点，且 AQ ⊥ BQ ，则a的值为( )A. - 13 B. - 12C. -1D. -2ABC 6. 矩形纸片 ABCD中， AB = 3cm , BC = 4cm ，现将纸片折叠压平，使 A 与C 重合，设折叠为 EF ，则重叠部分 AEF 的面积等于( )。
A.73 8 B. 758C.73 16D.75 167. 若 a = b = c= t ，则一次函数y = tx + t 2 的图像必定经过的象限是( ) b + c c + a a + b A. 第一、二象限 B. 第一、二、三象限 C. 第二、三、四象限 D. 第三、四象限8. 如图，以 Rt ABC 的斜边 BC 为一边在 的同侧作正方形 BCEF ，设正方形的中心为O ，连结 AO ，如果 AB = 4, AO = 6 2 ，那么 AC 的长等于( )A. 12B. 16C.D.二、填空题9. 已知 x 2 - -1 = 0 ，那么代数式 x 3 - 2 +1的值是。
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复旦附中数学自主招生测试（2014）第1页（共1页）
2014年复旦大学附属中学自主招生测试
数学试卷
一．填空题
1．已知998a =，997b =，996c =，则2a ab ac bc --+= ▲ ． 2．已知：23a =，32b =，则
1111
a b +=++ ▲ ． 3．在△ABC 中，10AB =，16AC =，BAC ∠的角平分线为AN ，BN 和AN 垂直，垂直为N ，M 为BC 的中点，则MN = ▲ ． 4．方程
2354235
x x x x +=----的根为 ▲ ． 5．已知一次函数y kx b =+经过点(1,1)，且2k >，则该函数不经过第 ▲ 象限．
6．已知,,,,,a b c d e f 为实数，满足0ace ≠，已知ax b cx d ex f +++=+对于任意x 都成立，则ad bc -= ▲ ．
7．已知：222
21231001135
2001A =+++
+
，222
2
12310013572003
B =++++
，则与A B -最接近的整数是 ▲ ．
二．解答题
8．已知,x y 是正整数，且2014x y >>，1112014x y xy
++=，试求x y -的最大值．
9．在△ABC 中，BF 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，O 是内心（角平分线的交点），满足OE OF =，求证：△ABC 是等腰三角形或60A ∠=︒．
10．从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n 个数，放入集合A 中，从A 中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n 的最大值．
复旦附中数学自主招生测试（2014）第2页（共1页）
2014年复旦大学附属中学自主招生测试
数学试卷参考答案和评分标准
一．填空题
1．2 2．1 3．3 4．0；4
；4 5．二 6．0 7．501 二．解答题 8．解：由1112014x y xy
++= 得
112015
2014
x y x y ⎛⎫++⎛⎫⋅=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 即
2014201420140xy x y ---=；
即
(2014)(2014)20142013x y --=⨯；
得：
min ()402840271x y -=-=．
9．证明：在AC 上截取'AE AE = ①如果E'和F 重合，那么
△AOE ≌△AOF ，△BOE ≌△COF ；
因此
AB AE BE AF CF AC =+=+=；
故
△ABC 是等腰三角形；
②如果E'和F 不重合，易知
△AOE'≌△AOF ；
于是
'OE OF =；
即
''OFE OE F BEC ∠=∠=∠；
A
B
C
E
F (E')
O
第9题图①
A
B
C
E
E' O
F
第9题图②
复旦附中数学自主招生测试（2014）第3页（共1页）
由12BEC A C ∠=∠+∠，1
2AFO B C ∠=∠+∠
推出
11
()(180)22
B C A A ∠+∠=︒-∠=∠； 即
60A ∠=︒．
10．解：首先构造两个数列：
{}1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024； {}3,6,12,24,48,96,192,384,768,1512．
共21个数，这21个数中任取三个，总有一个数为另一个数的倍数． 因此：
21n ≤．
如果21n >，则构造如下集合：
{}1，{}2,3，{}4,5,6,7，{}8,9,10,
,15，…，{}1024,1025,,2014；
共11个集合，如果21n >，至少有某个集合中被选了大于等于3个数，而这个集合中不可能
存在一个数是另一个数的倍数．矛盾． 故
n 的最大值为21．。