中考数学一轮复习-二次函数性质及应用课件
考点二 函数
二次函数的图象和性质 二次函数 y＝ ax ＋ bx＋ c (a， b， c 为常数， a≠ 0) a>0 a<0
2
图象
注：因图象形状,所以我们时常称二次函数为抛物线
抛物线开口向 开口 延伸
抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限 延伸 b 对称 轴是 x＝－ ， 顶点坐标是 2a
般式．
提示：1.一般式、顶点式、交点式之间可以互相转化. （注：把一般式配方就可转化为顶点式。）
x1 ＋ x2 2. 二次函数 y＝ ax－ x1x－ x2的对称轴为 x＝ . 2
方法总结 1．一般式： y＝ ax ＋ bx＋ c(a≠ 0) 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式 y＝ ax ＋ bx＋ c(a≠ 0)，将已知条件代入， 求出 a， b， c 的值．
1 2 1 2 解析：∵y＝ x －2x＝ (x－2) －2，即抛物线 y＝ 2 2 1 2 x 向右平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位得到抛物 2 1 2 线 y＝ x －2x. 由抛物线是轴对称图形和平移的性质可 2 得阴影部分的面积与边长为 2 的正方形的面积相等， 等 于 4. 故选 B. 答案： B
在对称轴的左侧，即
抛物线有最 低点，当
抛物线有最 高点，当
最值
b b x＝－ 时， x＝－ 时， 2a 2a y 有最小值， y 有最大值， y 最小值＝ 4ac－b2 4a y 最大值＝ 4ac－b2 4a
考点四： 二次函数 y＝ ax ＋ bx＋ c 的图象特征与系 数 a， b，c 的关系 项目 字母 a 字母的符号 a＞ 0 a＜ 0 图象的特征 开口向上 开口向下
考点一
求抛物线的顶点、对称轴、最值
2 2
例 1 抛物线 y＝ x － 2x＋ 3 的顶点坐标为 ________． 【点拨】方法一：配方，得 y＝ x － 2x＋ 3＝ (x－ 1) ＋ 2，则顶点坐标为(1, 2)．
2
方法总结： b －2 4ac－ b2 2 方法二：代入公式－ ＝－ y＝ ＝ 1， ＝ 解决此类题目可以先把二次函数 ax 2a 2× 1 4a 2＋k的形式， ＋bx＋c配方为顶点式 y ＝ a ( x － h ) 2 4 × 1 × 3 － 2 得到：对称轴是 x＝h，最值为 y,＝ k，顶点坐 ＝ 2，则顶点坐标为 (1 2)． 4( × 1 k)； 标为 h， 【答案】 (1, 2) 也可以直接利用顶点坐标 （ ， ）求解.
bx＋c=0（a≠0)。此时一元二次方程的解就是该二次函数与x
轴的交点的横坐标。也就因为这样，二次函数与x轴的交点个 数的情况也由判别式△= b2－4ac来决定。 2.一元二次方程转化函数（不要求深入）
注：当二次函数图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1 ，
0)与（ x2，0）时，此时 x1，x2 可以看成一元二次方程ax2＋ bx＋c=0（a≠0)的两根，即 x1 ＋ x 2 = ，x1 × x2 = 。
考点四
抛物线与几何变换
2
例 4 将抛物线 y＝ x － 6x＋5 向上平移 2 个单位 长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解 析式是 ( ) B． y＝(x－ 4)2－ 2 D． y＝ (x－ 1) － 3
2 2 A ． y ＝ ( x － 4) －6 方法总结： 2 抛物线关系式若为一般式， C． y＝ (x－ 2) － 2
系数 a， b， c 的关系 例 3 已知二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c 的图象如图所 示，下列结论：① abc＞ 0；② 2a－ b＜ 0；③ 4a－ 2b＋ c ＜ 0；④ (a＋ c) ＜ b . 其中正确的个数是 (
特别讲解：由图象上横坐标为x＝1的点 在第四象限得出a＋b＋c＜0， 由图象上横坐标为x＝－1的点在第二象 限得出 a－b＋c＞0， 则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2， 故④正确
2 2
)
方法总结：
1.可根据优化26页考点三的表格来判断，如：对称轴 的位置确定b的符号：b＝0⇔对称轴是y轴；a、b同 号⇔对称轴在y轴左侧；a、b异号⇔对称轴在y轴右 侧.又如：抛物线与x轴交点个数情况与b2－4ac的符 号的关系等知识。 2.可用特殊值代入法与图象数形结合，如：当x＝1时， 函数y＝a＋b＋c.此时，图象上横坐标x＝1的点在x 轴上方，则a＋b＋c＞0；若点在x轴上，则a＋b＋c ＝0；如果点在x轴下方，a＋b＋c＜0.（可举一反三） 3.有时也会用到因式分解，代数式代入法等
2 2 2
2
与 x 轴有唯一交 点 (顶点 ) 与 x 轴有两个交 点 与 x 轴没有交点
考点五：
二次函数图象的平移
任意抛物线 y＝ a(x－h)2＋ k 可以由抛物线 y＝ ax2 经过平移 得到，具体平移方法如下：
h>0 K>0
y=
ax2
向右平移
h个单位
y = a(x - h
向上平移 2 ) k个单位
考点七：二次函数的应用 1.关键在于建立二次函数的数学模型来解决实际问题，较
多是运用函数最值来确定实际问题中的最大化等问题。
2.能建立平面直角坐标系，把代数与几何问题相互转化，
结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识来
解决问题。求二次函数 的解析式是关键。
例 题 讲 解 ·方 法 总 结
2
特别： ︱ a︱大小决定了开口大小
b＝ 0 b ab＞ 0(a 与 b 同号) ab＜ 0(a 与 b 异号)
对称轴为 y 轴 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧
c＝0 c c＞0 c＜0
经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
b － 4ac＝ 0 b － 4ac b － 4ac＞ 0 b － 4ac＜ 0
方法总结：比较二次函数值的大小：
(1)当自变量在对称轴同侧时，根据函数的增减来判 断函数值大小；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看这两个自变量到对
称轴的距离且结合函数的增减性；
(3)若常量a、b、c均为常数.则也可以将自变量直接
代入解析式求值比较
考点三
二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)的图象与
与（ x2，0），则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a
的值（其实a即为二次项系数），最后将解析式化为一
般式．
x1 ＋ x2 4．二次函数 y＝ a x－ x1x－ x2的对称轴为 x＝ . 2
方法总结2：
1.利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象求不等式y＞0(或y＜0)的解集， 实质就是求当x在什么范围内时，函 数的图象在x轴的上(或下)方.
考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小 比较 例 2 二次函数 y＝－ x ＋ bx＋ c 的图象 如图所示，若点 A(x1， y1)， B(x2， y2 ) 在此函数图象上，且 x1 <x2 <1，则 y1 与 y2 的大小关系是 ( )
2
变式：抛物线 y＝ ax2＋ bx＋ c(a>0)的对称轴为直 线 x=1，若点 (-1， y1 )， B(2， y2)在此函数图象上， 则 y1 与 y2 的大小关系是 ( )
方法1：先用配方法化为顶点式再平移，平移口诀：
左加右减自变量，上加下减常数项.
方法2：可用顶点坐标公式( 点坐标代入顶点式 。 )算出顶
1 2 灵活运用：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ x 经过 2 1 2 平移得到抛物线 y＝ x － 2x， 其对称轴与两段抛物线弧所围 2 成的阴影部分的面积为( A． 2 C． 8 B． 4 D． 16 )
y = a( x - h )2 + k
y=
ax2
向下平移 k个单位
y = ax2 - k
向左平移 h个单位
y = a ( x +h ) 2 - k
考点六：二次函数与
1.二次函数转化方程
方程的关系
当求二次函数与x轴交点时（即求在x轴上的点坐标，y=0）， 所以二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)转化成一元二次方程 ax2＋
对称轴、顶点
－ b ，4ac－ b 2a 4a
2
在对称轴的左侧，
增减性
b 即当 x＜－ 时， b 2a 当 x＜－ 时， y随x 2a y 随 x 的增大而减 的增大而增大；在对 小； 在对称轴的右 称轴的右侧，即当 x b 侧，即当 x＞－ b 2a ＞－ 时， y 随 x 的 2a 时，y 随 x 的增大 增大而减小， 而增大，
代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式．
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
若已知二次函数图象与x轴的两个0），则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a
的值（其实a即为二次项系数），最后将解析式化为一
考点五 用待定系数法求二次函数的解析式 例5,如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过 A(2,0)，D(-1，0)和C(4,5)三点． (1)求二次函数的解析式；（两种解法） (2) 求二次函数顶点B的坐标； (3)当y<0时，x的取值范围。 (4)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什 么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值
第12课时
二次函数
知 识 梳 理
考点一 二次函数的定义及关系式的三种形式
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常
数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数． 特别地， 当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊 形式．
要点：1.二次项系数a ≠0，而b、c可以为0； 2. ax2＋bx＋c为整式 3.自变量x取值范围为全体实数
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专题二次函数-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
(1)该抛物线是由抛物线y=x2_向__左__1_个__单__位__,_再__向__下__4_个__单__位___ 考 点 平移得到的；
真 (2)写出该抛物线关于x轴,y轴和原点对称的抛物线解析式:
题
一般式
顶点式
精
关于x轴对称：__y_=_-_x_2_-_2_x_+_3__；__y_=_-_(_x_+_1_)_2_+_4__。
练
关于y轴对称：__y_=__x_2_-_2_x_-_3__；__y_=__(_x_-_1_)_2_-_4__。
提
升
关于原点对称：_y_=_-_x_2_+_2_x_+_3__；__y_=_-_(_x_-_1_)_2_+_4__。
考点4 二次函数的图象的变换
检 1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=0.5x2经过平移得到抛
考 交于点A(-1,5),点A与y1的顶点B的距离是4.
点 (1)求y1的解析式；
真 (2)若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,
题
求y2的解析式.
精
练
提 升
考点2 求二次函数的解析式
检 1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是A(-1,0),B(3,0),与y 测
轴的交点是C,顶点是D.若四边形ABDC的面积是18,求抛物线的 考 点 解析式. y=-2x2+4x+6 或 y=2x2-4x-6
精 练
成立的x的取值范围是( A
)
提 A.x＜-4或x＞2 B.-4＜x＜2 C.x＜0或x＞2 D.0＜x＜2
升
考点3 二次函数与一元二次方程
检 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x1,0)与(x2,0)(x1 测 ＜x2),方程ax2+bx+c-a=0的两根为m、n(m＜n),则下列判断正
真 (2)写出该抛物线关于x轴,y轴和原点对称的抛物线解析式:
题
一般式
顶点式
精
关于x轴对称：__y_=_-_x_2_-_2_x_+_3__；__y_=_-_(_x_+_1_)_2_+_4__。
练
关于y轴对称：__y_=__x_2_-_2_x_-_3__；__y_=__(_x_-_1_)_2_-_4__。
提
升
关于原点对称：_y_=_-_x_2_+_2_x_+_3__；__y_=_-_(_x_-_1_)_2_+_4__。
考点4 二次函数的图象的变换
检 1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=0.5x2经过平移得到抛
考 交于点A(-1,5),点A与y1的顶点B的距离是4.
点 (1)求y1的解析式；
真 (2)若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,
题
求y2的解析式.
精
练
提 升
考点2 求二次函数的解析式
检 1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是A(-1,0),B(3,0),与y 测
轴的交点是C,顶点是D.若四边形ABDC的面积是18,求抛物线的 考 点 解析式. y=-2x2+4x+6 或 y=2x2-4x-6
精 练
成立的x的取值范围是( A
)
提 A.x＜-4或x＞2 B.-4＜x＜2 C.x＜0或x＞2 D.0＜x＜2
升
考点3 二次函数与一元二次方程
检 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x1,0)与(x2,0)(x1 测 ＜x2),方程ax2+bx+c-a=0的两根为m、n(m＜n),则下列判断正
二次函数-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
A.x1=1,x2=-1
B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0
D.x1=1,x2=3
(2)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象则不等式的ax2+bx+c＜0解集是( C )
A.x＜-1 B.x＞3 C.-1＜x＜3 D.x＜-1或x＞3 y
-1 O 3 x
课堂小结
二次函数
知识梳理
强化 训练
二次函数图象与性质
查漏补缺
5.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线_x_=_-_1___. 6.若抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c=_-_1____.
7.若抛物线y=x2-4x+k的顶点在x轴下方,则k的取值范围是_k_＜__4__.
8.若抛物线yy==xk2x-22-x6+xm+-34与x轴有交点,则m的取值范围是_k_m≤_≤_3_5且__k_≠__0__. 9.若抛物线y=x2+2x+c与坐标轴只有两个交点,则c的值为__0_或__1_.
1.下列关于抛物线的y=ax2-2ax-3a(a≠0)性质中不一定成立的是( C )
A.该图象的顶点为(1,-4a)； B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)；
C.当x＞1时,y随x的增大而增大；D.若该图象经过(-2,5),一定经过(4,5).
2.抛物线y=(x-t)(x-t-2)(t为常数)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),
当堂训练
二次函数的基本性质
查漏补缺
1.抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( B )
A.m＞1
B.m＞0
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（3）抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） c决定抛物线与y轴的交点位置
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
人教版初中数学中考复习 一轮复习 二次函数及其应用2(课件)
解方程，得 m1=-2，m2=3（不符合题意，舍去） ∴m=-2
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
9. （2021•泸州）直线 l 过点（0，4）且与 y 轴垂直，若二次函数 y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+
（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中 x 是自变量）的图象与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴
解方程，得 m1= 41-1 ，m2= - 41+1 （不符合题意，舍去）
4
4
∴m= 41-1 ， 4
1 - m＞3，即 m＜-3，当 x=3 时，y=6.∴9来自6m+2m2-m=6,
解方程，得 m1=-1，m2= - 3 （均不符合题意，舍去）. 2
综上所述，m=-2 或 m=
41-1
.
4
2 1＜- m≤3，即-3≤m＜-1，当 x=-m 时，y=6. ∴m2-m=6
bx＋c＝0有 两个不相等的 实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴 只有一个 交点，则一元二次方
程ax2＋bx＋c＝0有两个 相等 的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0 没有 实数根．
知识点梳理——知识点4：二次函数与一元二次方程及不等式的关系
A(1，0)，B(m，0)(－2＜m＜－1)，下列结论①2b＋c＞0；②2a＋c＜0；
③a(m＋1)－b＋c＞0；④若方程a(x－m)(x－1)－1＝0有两个不等实数根，
A 则4ac－b2＜4a；其中正确结论的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
数学中考一轮复习专题15二次函数的图象及其性质课件
知识点1：二次函数的概念
典型例题
【例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. y=3x-1
B. y=ax2+bx+c
C. s=2t2-2t+1
D. y x2 1 x
【考点】二次函数的定义.
【解析】解：根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)判定即可．
A. y=3x-1是一次函数；B. y=ax2+bx+c不一定是几次函数；
C. s=2t2-2t+1符合二次函数定义；D. y x2 1 不符合二次函数定义． x
故答案为：C．
典型例题
知识点1：二次函数的概念
【例2】（4分）（202X·甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化 成y＝a(x－h)2＋k的情势为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1． 【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的情势即可． 【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
典型例题
知识点2：二次函数的图象和性质
【例5】（3分）（202X•包头10/26）已知二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经
过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质 【分析】根据二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b）， 可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．
知识点梳理
知识点1：二次函数的概念
2024年中考第一轮复习 二次函数的图象与性质 课件
∵顶点坐标为(m,-m+1),且顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
人教版数学中考复习《二次函数的图象及性质》精品教学课件ppt优秀课件
A(x,y)
B(-x,y)
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
1 1.5
2
...
y=x2
...
4 2.25
1 0.25 0
0.25
1
2.25
4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
-0.25
-1
-2.25 -4
...
函数图象画法
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
y x2
当当当当xx==xx--==2112时 时时 时，，，，yyyy====--41--14
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而
增大。
当当当当xx==xx--==2112时时时时，，，，yyyy====4114
当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
3
3
( 3,6)
( 3,6)
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这对对这对条称对这对称条称抛，称条称轴抛，物y轴抛，。轴物y线。轴物y就线轴关就线是关就于是关它于是y它于的轴y它的轴y的轴 对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
1、观察右图， 并完成填空。
2、练习2 3、想一想
4、练习4
二次函数y=ax2的性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
4. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点: ④.对称于坐标轴的两点: ⑤.对称于原点的两点:
y
Q(b,-b)
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—二次函数的图象与性质
前提条件
当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用
一般式求其表达式.
顶点式
y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数， 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用
a≠0），顶点坐标是（h，k）
交点式
y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0)
顶点式求其表达式.
其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题
【详解】解：∵二次方程 2 + + = 0的两根为−1和 5，
∴
1−+ =0
= −4
，解得
，
25 + 5 + = 0
= −5
∴二次函数 = 2 + + = 2 − 4 − 5 = ( − 2)2 − 9，
∵ 1 > 0，
∴当 = 2时，有最小值，最小值为−9，
2）自变量的最高次数是2；
3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零.
根据实际问题列二次函数关系式的方法：
1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；
2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式.
考点一 二次函数的相关概念
二次函数的常见表达式：
名称
解析式
一般式
y=ax²+bx+c (a≠0)
状相同，
∴可设该二次函数的解析式为 = ±3 − ℎ
2
+ ，
∵该二次函数的顶点为 1，4 ，
∴该二次函数的解析式为 = ±3 − 1
2
+ 4，
∴该二次函数的解析式为 = 3 2 − 6 + 7或 = −3 2 +
第16课时 二次函数的实际应用 课件 2025年中考数学一轮总复习
考点四 抛物线的实际应用例4 （1）（2024·天津）从地面竖直向
上抛出一小球，小球的高度h（m）与
小球的运动时间t（s）之间的关系式是
h＝30t－5t2（0≤t≤6）.有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s；②小球运动中的高度可以是30m；③小球运动2s时的高度小于运动5 s时的
高度.
其中，正确结论的个数是（ C ）
（2）y＝－2x2－16x＋3（－1≤x≤2）.
[答案] 解：（2）y＝－2x2－16x＋3＝
－2（x＋4）2＋35.当－1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x＝－1时，y取最大值17；当x＝2时，y取最小值－37.
考点二 利用二次函数模型解决几何面
积问题
例2 （1）如图，在等腰直角三角形
ABC中，∠A＝90°，BC＝8，点D，
（2）若小球离地面的最大高度为20m，
求小球被发射时的速度；
解：（2）根据题意，得当t＝ 时，h＝20，∴－5× ＋v0× ＝20，∴v0＝20m/s（负值舍去）.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球
离地面的高度有两次与实验楼的高度相
同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已
知实验楼高15 m，请判断他的说法是否
4. （2024·河南）从地面竖直向上发射的
物体离地面的高度h（m）满足关系式h
＝－5t2＋v0t，其中t（s）是物体运动的
时间，v0（m/s）是物体被发射时的速
度.社团活动时，科学小组在实验楼前从
地面竖直向上发射小球.
（1）小球被发射后 s时离地面的
高度最大（用含v0的式子表示）；
∴FO＝40m或FO＝60m，∵FO＜OD，∴FO的长为40m.
1. 用长12m的铝合金条制成矩形窗框
上抛出一小球，小球的高度h（m）与
小球的运动时间t（s）之间的关系式是
h＝30t－5t2（0≤t≤6）.有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s；②小球运动中的高度可以是30m；③小球运动2s时的高度小于运动5 s时的
高度.
其中，正确结论的个数是（ C ）
（2）y＝－2x2－16x＋3（－1≤x≤2）.
[答案] 解：（2）y＝－2x2－16x＋3＝
－2（x＋4）2＋35.当－1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x＝－1时，y取最大值17；当x＝2时，y取最小值－37.
考点二 利用二次函数模型解决几何面
积问题
例2 （1）如图，在等腰直角三角形
ABC中，∠A＝90°，BC＝8，点D，
（2）若小球离地面的最大高度为20m，
求小球被发射时的速度；
解：（2）根据题意，得当t＝ 时，h＝20，∴－5× ＋v0× ＝20，∴v0＝20m/s（负值舍去）.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球
离地面的高度有两次与实验楼的高度相
同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已
知实验楼高15 m，请判断他的说法是否
4. （2024·河南）从地面竖直向上发射的
物体离地面的高度h（m）满足关系式h
＝－5t2＋v0t，其中t（s）是物体运动的
时间，v0（m/s）是物体被发射时的速
度.社团活动时，科学小组在实验楼前从
地面竖直向上发射小球.
（1）小球被发射后 s时离地面的
高度最大（用含v0的式子表示）；
∴FO＝40m或FO＝60m，∵FO＜OD，∴FO的长为40m.
1. 用长12m的铝合金条制成矩形窗框
2025年广西中考数学一轮复习考点过关：二次函数的实际应用课件
45
3
16
＝ ＝3.2(m).
5
①
∵3.2＞2.6，∴这次守门员不能防守成功.
②
6．(2024·柳州三模)每年的12月2日为“全国交通安全日”，因此将数字“122”
作为我国道路交通事故报警电话，不仅群众对此认知度高，而且方便记忆和宣
传.遇车减速是行车安全常识，公路上正在行驶的甲车发现前方10 m处沿同一方
轨迹可以看作是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的
水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为
1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离
为7 m，求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
解：由题意可知，抛物线过(0，10)和(3，7)两点，抛物线的对称轴为直线x＝1.
2
答：当甲车减速至10 m/s时，它行驶的路程是78 m.
(3)假如乙车以12 m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近？最近距离是多少？
解：∵当t＝0时，甲车的速度为16 m/s，
人诉说着历史，更有新兴的现代手工制品吸引着世人的目光.现老街某文
创专卖店在旅游文化节期间准备购进甲、乙两种坭兴陶水杯，其中每个乙
种坭兴陶水杯的进价比每个甲种坭兴陶水杯的进价少10元，已知每个甲种
坭兴陶水杯的售价为120元，每个乙种坭兴陶水杯的售价为100元.若用
2 000元购进甲种坭兴陶水杯的数量与用1 800元购进乙种坭兴陶水杯的数
设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
= 10，
＝－1，
∴ 9 + 3＋ = 7， 解得 = 2，
－ = 1，
= 10，
2
3
16
＝ ＝3.2(m).
5
①
∵3.2＞2.6，∴这次守门员不能防守成功.
②
6．(2024·柳州三模)每年的12月2日为“全国交通安全日”，因此将数字“122”
作为我国道路交通事故报警电话，不仅群众对此认知度高，而且方便记忆和宣
传.遇车减速是行车安全常识，公路上正在行驶的甲车发现前方10 m处沿同一方
轨迹可以看作是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的
水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为
1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离
为7 m，求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
解：由题意可知，抛物线过(0，10)和(3，7)两点，抛物线的对称轴为直线x＝1.
2
答：当甲车减速至10 m/s时，它行驶的路程是78 m.
(3)假如乙车以12 m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近？最近距离是多少？
解：∵当t＝0时，甲车的速度为16 m/s，
人诉说着历史，更有新兴的现代手工制品吸引着世人的目光.现老街某文
创专卖店在旅游文化节期间准备购进甲、乙两种坭兴陶水杯，其中每个乙
种坭兴陶水杯的进价比每个甲种坭兴陶水杯的进价少10元，已知每个甲种
坭兴陶水杯的售价为120元，每个乙种坭兴陶水杯的售价为100元.若用
2 000元购进甲种坭兴陶水杯的数量与用1 800元购进乙种坭兴陶水杯的数
设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
= 10，
＝－1，
∴ 9 + 3＋ = 7， 解得 = 2，
－ = 1，
= 10，
2