论文《高考三角函数试题分析》

高考三角函数试题分析摘要：本文主要研究近三年高考中出现的三角函数题，其目的是加深自身对高中三角函数这部分内容的认识和理解，并通过对试题的分类、整理、分析、总结出一些关于高考中对三角函数试题的解题方法、技巧和应对策略，希望这些解题方法、技巧和应对策略能够对执教老师和应试学生起到一定的帮助和启发.同时，选择研究高考三角函数这部分内容也是想为将来的教学工作做一个充分的知识储备.关键词：高考;三角函数;解题技巧;应对策略 .三角函数在高中数学中有着较高的地位，尤其是在函数这一块，它属于基本初等函数，同时，它还是描述周期现象的重要数学模型.通过整理、统计可以看出，每年高考中三角函数试题分值所占比例基本都在10％～15％之间.从近三年的课标卷、全国卷和自主命题卷以及实行课改省份的高考三角函数题的分类、整理、分析知，高考三角函数这一知识点，主要还是考查学生的基础知识和基本技能，难度一般不大.但是，三角函数这部分内容考查的题型比较灵活，并且考查面较广.在选择题、填空题、解答题中均有考查，在前两类题型中多考查三角函数的基础知识，属于基础题；对于解答题则具有一定的综合性.从总体上看，高考三角函数对文、理科学生能力的考查要求差异不大，但在考查题型上，文科方向的解三角形题量有所减少.从课改前后看，对三角函数考查的内容和范围没有明显变动，仍然是对三角函数的基础知识、三角函数与向量、与三角恒等变换等综合考查，但难度均不大.一、考点分析1.命题形式纵观近几年高考试题，三角函数仍占有举足轻重的位置，其命题形式呈现多样化趋势.并且考查面较广，在选择题、填空题、解答题中均有考查，在前两题中多考查三角函数的基础知识，考生只要能够灵活运用三角函数的概念，灵活变通三角函数的基本关系及掌握特殊角的三角函数值便能轻松得分；另外，三角函数的图象与性质也是一个考查的重点，但此类题目的难度不大，只要熟悉并做到灵活运用各种函数的图象、性质及定理，也能够顺利解决这类问题。

并且，高考中，三角函数的知识还常与向量、解析几何、三角恒等变换等知识进行综合型考查，具有一定的灵活性与技巧性，在解决这类问题时，要求学生要做到循序渐进，充分把握好每一个知识点.2.考查内容从上面表格中可以看出，三角函数的概念、各种函数关系、重点公式和定理及函数图象与性质等知识点仍是每年高考的重点，其大致可分为以下四个方面：⑴概念方面，主要考查各种三角函数的概念，其中对余切函数的考查力度相对较小，而对于正、余割则基本上没有考查.而对概念的考查中常涉及到象限角、终边相同的角及求角的取值范围等知识，多在选择、填空题中进行考查.⑵函数基本关系和公式方面，重点考查考生对各种函数关系（平方关系()1cos sin 22=+x ，倒数关系⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααc o t1t a n ，和商的关系⎪⎭⎫ ⎝⎛==ααααααc o t s i n c o s t a n c o s s i n ，）的变通及运用，和对诱导公式及两角关系公式的应用，主要用于化简求值及三角恒等变换的证明，多以选择题和填空题出现，有时也会设为解答题或解答题的一个小问，此类题目难度系数并不大，但其灵活性较强，考生应厚积薄发，灵活解决问题.⑶函数图象与性质方面，热点是考查考生对各个三角函数图象的变换及其单调性、周期性和函数最值问题的掌握情况，此处最常考查的是()ϕ+=wx A y sin 这一类函数，以及对公式()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a 的应用也较为频繁，其命题形式很多，主、客观题都有，其难度不大，属于中档题.⑷正、余弦定理，考查形式多以三角形为载体，综合其它知识进行考查，但其解题的关键还是要能正确运用正、余弦定理，并且此处出题较为灵活，题型颇多，其主观题重在考查基础知识，客观题则常与向量、三角恒等变换及实际问题综合考查，重点考查学生运用正、余弦定理解决问题的能力，具有一定难度，这就要求考生要能合理转化并能灵活选择正、余弦定理来解决相关问题.3.考查方法⑴数形结合的方法，在求解有关函数解析式的题目时，常根据函数的性质、图象特征作出相应函数的大致图象来帮助理解、分析问题，解决问题.⑵转化与化归方法，在进行三角式的化简、求值及恒等证明时，常采用“化异为同”的思想方法来达到解决问题的目的.⑶分类讨论的方法，在求角、求值的题目中，通常需要讨论角的取值范围来确定相应三角函数值的符号，也常通过值的符号来判断角的范围.4.考查能力⑴识图能力，即要求学生能够根据题目所给出的三角函数的图象，求出相应的三角函数的解析式.⑵作图能力，即要求学生能够根据题目给出的条件，作出相应函数的图象来帮助分析问题，解决问题.⑶运算能力，即要求学生结合所学知识，灵活运用相关函数公式及相关的函数关系对所给问题准确地进行化简、求值，快速得出正确答案.⑷综合能力，这是这几个能力中要求较高的一个，它不但要求学生要能准确选择公式，还要能够灵活地对公式进行转化和化归，对部分题目还要进行合理的分类讨论.学生在解决这类问题时，要充分动用储备知识，合理选择方法，否则便会徒劳无功.5.考查频率从考查频率上看，对三角函数间的基本关系、公式的应用和对正、余弦定理的运用仍是每年考查的重点和热点内容，应引起教师和学生的高度重视.二、考题示例1.图象变换1201065y sin 2x = 例（年四川卷选择题（）分）将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的解析式是（） （A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102sin πx y （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=52sin πx y （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021sin πx y （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2021sin πx y 解析：将函数x y sin =的图象向右平移10π个单位长度，得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10sin πx y 的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，所得到的函数解析式为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021sin πx y ,故答案选C. 评析：本题主要考查的内容是三角函数的图象的基本变换（平移变、伸缩变换）.在解决此类问题时应十分重视图象平移和伸缩的顺序，若平移和伸缩的顺序不同，则最终平移的单位长度就不同，这是在做这类题目的易错点，应引起学生的高度重视.2.公式应用220111513).4)2cos ,.42x x x πππ∂∈=∂∂例（年天津卷解答题（）分）已知函数f()=tan(2+（Ⅰ）求f()的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设(0,)，若f(求的大小解析：（Ⅰ）因为()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan πx x f ,所以()Z k k x ∈+≠+，242πππ,得()Z k k x ∈+≠，82ππ,所以()x f 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+≠R x Z k k x x ，，82ππ；最小正周期为2π. （Ⅱ）由αα2cos 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，知()()αααααπαsin cos sin cos 22cos 24tan -+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+，又因为ααααπαπαπαsin cos sin cos 4cos 4sin 4tan -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，即有 ()()ααααααααsin cos sin cos 2sin cos sin cos -+=-+ ①，因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈40πα，，所以0c o s s i n ≠+αα，于是①式等价于()21sin cos 2=-αα，即有44sin 2ππα=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈40πα，，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-044，ππα，214-sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛πα，得：64ππα-=-，12πα=. 评析：（1）考查正切函数的定义域及周期，灵活变换正切函数x y tan =的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+≠R x Z k k x x ，，2ππ即可. （2）考查同名三角函数之间的基本关系，同时，还考查了两角关系的正、余弦公式及对公式()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a 的应用.3.正、余弦定理320101712ABC a,b,c A,B,C .A .例（年辽宁卷解答题（）分）在△中，分别为内角的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC (1)求的大小；(2)求sinB+sinC 的最大值解析：（1）根据正弦定理有()()c b c b c b +++=222a 2,即bc c b a ++=222,由余弦定理知bcc c b 2cosA 222-+=，所以 21cosA =，因为A 为三角形的一个内角，故π<<A 0，因此知32π=∠A . （2）由π=∠+∠+∠C B A ，32π=∠A 得C B ∠-=∠3π ,所以,+=-C)+=+=+C),所以当23ππ=+C ，即6π=C 时，C B sin sin +取最大值1. 评析：（1）本题是典型的利用正、余弦定理求解三角形中的边、角问题的实例，求解过程中，应充分利用三角形的三个内角和等于0180这一隐含条件.（2）本题还考查了简单的三角恒等变换及公式()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a 以及三角函数中“知值求角”等基础知识.4.图象和性质（实际应用）4200918138km OP OSM ,(0,0)S MNP..A,M,P MN MNP=120x A w w ω∠︒>> 例（年福建卷解答题（）分）如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为线段，该曲线段为函数y=A sin 的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段为保证参赛运动员的安全，限定 (Ⅰ)求的值和两点间的距离；(Ⅱ)应如何设计，才能使折线段赛道P 最长？解析：（Ⅰ）由图知1234232=⨯===w T A π，，所以x y w 6sin 326ππ==，,当4=x 时，346si n 32=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=πy ,所以M （4,3），又因为P （8,0），所以MP=()22348+-=5.（Ⅱ）连结MP ，则在△MNP 中，∠MNP=120°,设θ=∠PMN ，则()00600，∈θ，根据正弦定理有 ()θθ-60sin sin sin12000NM PN MP ==, 又MP=5，所以θsin 3310=PN ,()θ-60sin 33100=NM ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+=+0060sin 3310sin 21cos 23331060sin 3310sin 3310θθθθθMN PN ,由()00600，∈θ知()0001206060，∈+θ，所以当009060=+θ，即030=θ， PN+NM 最大.于是当将∠PMN 设计为30°时，折线段MNP 赛道最长.评析：本题主要考查三角函数的图象和性质，解决此类问题的关键是抓住题目中或图象上给出的关键点（如本题的()()0,8323，，及M 点），从而达到解决问题的目的.此外，本题还考查了学生运用数形结合、转化与化归思想方法的能力.三、技巧、策略总结通过对近三年高考三角函数试题的分析，总结出以下几点应试技巧：1.熟记常用公式，基本函数的图象与性质，掌握三角函数之间的基本互化关系，这是首要任务.2.解决与三角函数的图象对称性有关的问题时，常规方法有两种：一是基本函数法，即抓住基本函数x y x y x y tan cos sin ===，，的对称性，可求出()()()ϕϕϕ+=+=+=wx A y wx A y wx A y tan cos sin ，，的对称性，即用“ϕ+wx ”代替前者对称性中的“”即可；二是利用对称性的特征解题，如已知函数()x f y =的图象关于直线a x =对称，则必有()()a f f 20=，利用它就可以求出相关的参数.3.解决与三角形相关的问题时，应重视三角形的内角和等于180°这一隐含条件，并创设条件使之能运用两角和（差）的三角公式.4.在对三角函数式进行化简时，应充分运用转化与化归的思想方法，灵活运用公式及三角函数间的相互转化对三角式进行恒等变形，从而运算得到有关比较便于观察和研究的结果.5.在三角函数的实际应用中，应抓住函数的图象特征与性质，先将实际问题转化为数学问题，再利用所学知识进行逐步化简求解.参考文献[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书《数学4（必修）》.人民教育出版社，2011[2]中华人民共和国教育部制订.普通高中《数学课程标准（实验）》.人民教育出版社，2009[3]北京师范大学数学科学院.新世纪高等学校教材《数学思想方法与中学数学》.北京师范大学出版社，2008[4]薛金星.中学数学教材全解（文、理）.陕西人民教育出版社，2011[5]田祥高.考点同步解读高中《数学4（必修）》.华中师范大学出版社，2011[6]钟山.高考备考工具书.辽宁教育出版社，2011[7]青于蓝考试教研室.2012高考数学核按钮（大纲版）.武汉出版社，2011[8]荣德基.高考点拨.内蒙古少年儿童出版社，2011[9]杜志建.2007—2011新高考5年真题汇编（理）.新疆青少年出版社，2011[10]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略.南方出版社，2011。