工程力学第六章杆件与结构的内力计算
专升本工程力学第6章 杆件的内力分析.
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2018/12/8
6.3.2 剪力和弯矩
【例6.3】求简支梁横截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩。
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6.3.2 剪力和弯矩
解 （1）求支座反力。由梁的平衡方程，求得支座反力为
FA=FB=10kN
（2）求横截面1-1上的剪力和弯矩。假想地沿横截面1-1把梁
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6.3 杆件弯曲时的内力分析
6.3.1 平面弯曲的概念 6.3.2 剪力和弯矩
6.3.3 剪力图和弯矩图
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6.3.2 剪力和弯矩
以悬臂梁为例，其上作用有载荷F，由平衡方程可求出固定端
B处的支座反力为FB=F，MB=Fl。
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（3）求横截面2-2上的剪力和弯矩。假想地沿横截面2-2把梁截
成两段，取左段为研究对象，列出平衡方程
F
y
0, FA F1 FS2 0
FS2 FA F1 0
D
M
0, M2 FA (4m) F1 (2m) 0
M 2 FA (4m) F1 (2m) 20kN m
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6.2.2 扭矩与扭矩图
解 （1）计算外力偶矩。作用于各轮上的外力偶矩分别为
PA M eA 9549 4.46kN m n PB M eB 9549 1.91kN m n PC M eC M eD 9549 1.27kN m n
T2 M eA M eB 2.55kN m T3 M eD 1.27kN m
建筑力学课程教学大纲
《建筑力学》课程教学大纲一、本课程的地位、作用和任务《建筑力学》是水利水电建筑工程专业的一门重要的专业基础课，在本专业中起着承上启下的作用，为后续课程打基础。
《建筑力学》的任务是：教授学生掌握物体受力分析与静力平衡问题的求解方法；杆件及结构内力与变形的分析方法；关于构件的强度、刚度与稳定性的计算及构件应力、应变的方法。
通过本课程的学习，要求学生具备对常见结构、构件进行受力分析、内力与变形计算的能力，并初步具备对结构的实验分析能力。
二、教学内容和教学要求第一章绪论1、教学内容建筑力学的研究对象、研究方法、主要内容。
2、教学要求了解建筑力学课程的性质、地位和作用，了解建筑力学各部分的内容、了解建筑力学的学习方法。
第一篇、静力学第二章刚体静力分析基础1、教学内容2—1 力与力偶1）力的概念和性质2）力对点之矩3）力偶的概念和性质2—2 约束与约束反力1）约束与约束反力的概念2）工程中常见的约束与约束反力2—3 受力分析与受力图2、教学要求（1）理解力、力对点的矩、平面力偶的概念及静力学的四个公理，合力矩定理、刚体的概念；掌握平面力偶系合成的计算。
（2）了解约束的概念及荷载的分类；了解作用在构件上荷载的计算方法；掌握常见工程中的约束类型及其约束反力的确定；第三章平面力系1、教学内容3—1 平面力系向一点的简化1）力的平移定理2）平面力系向一点的简化3）力在坐标轴上的投影主矢与主矩的计算4）平面力系向一点简化结果的进一步分析3—2 平衡方程及其应用1）平面一般力系的平衡条件和平衡方程2）平面力系的几种特殊情形3）静定与超静定问题4）物体系的平衡问题2、教学要求（1）了解力的平移定理的内容；掌握力在坐标轴上的投影的概念及计算，掌握合力的投影定理；（2）理解平面一般力系的概念；了解平面一般力系向一点简化和简化结果分析。
（3）掌握平面一般力系、平面汇交力系、平面平行力系及平面力偶系的平衡方程及其应用，重点掌握常见物体支座反力的求法。
截面法求杆件的内力
截面法求杆件的内力教学目标：1、理解和掌握求杆件内力的方法——截面法；2、熟练运用截面法求不同杆件受到拉伸时的内力。
教学重点：截面法求杆件内力的步骤。
教学难点：如何运用截面法求内力的方法解决工程力学中求内力的实际问题。
教学方法：提出问题——实例演示——练习点拨——归纳总结教学过程：一、复习旧知1、杆件有哪几种基本变形？2、拉伸和压缩的受力特点是什么？3、拉伸和压缩的变形特点是什么？二、新课讲解思考：当杆件受到拉伸、压缩时，就会在杆件内部产生力的作用，怎样才能确定杆件的内部会产生多大的力？（引出课题）出示本节课的学习目标。
（一）、教学什么是杆件的内力？内力：杆件在外力作用下产生变形，其内部相互间的作用力称为内力。
一般情况下，内力将随外力增加而增大。
当内力增大到一定限度时，杆件就会发生破坏。
内力是与构件的强度密切相关的，拉压杆上的内力又称为轴力。
（二）、教学截面法求杆件的内力。
1、什么是截面法？截面法：将受外力作用的杆件假想地切开，用以显示内力的大小，并以平衡条件确定其合力的方法，称为截面法。
它是分析杆件内力的唯一方法。
2、实例演示：如图AB 杆受两个力，一个向左，一个向右，大小均为F 。
作用点分别为A 和B 。
①、确定要截开的次数和位置（要根据杆件的受力情况而定） ②、选取一半截面为研究对象（一般选取受力较少的一段作为研究对象）③、假设出截面上的内力（取左段内力向右设，取右段内力向左设，方向跟坐标轴方向一致，左负右正、下负上正）④、用平衡方程求出截面上的内力（求出的内力为正值为拉力，负值为压力）取左段 ∑Fx=O －F ＋FN ＝0 取右段 ∑Fx=O F －FN ＝0FN ＝F FN ＝F 3、总结截面法求杆件内力的步骤：（1）截：在需求内力的截面处，沿该截面假想地把构件切开。
（2）取：选取其中一部分为研究对象。
（3）代：将截去部分对研究对象的作用，以截面上的未知内力F F N来代替。
（4）平：根据研究对象的平衡条件，建立平衡方程，以确定未知内力的大小和方向。
《工程力学》课程中杆件内力的教学实践
《工程力学》课程中杆件内力的教学实践搞要：以培养学生对知识总结和系统化的良好习惯为目的，在教学实践过程中，针对杆件内力需要掌握的知识点，总结出快速计算内力和绘制内力图的方法，同时精炼出助记口诀,并取得了很好的教学效果。
关键词：工程力学杆件内力教学实践工程力学课时少，相对的课程内容多，涉及到学习新概念和新知识，这对初学者而言确实有一定难度。
而其中杆件内力是工程力学最基础的知识之一，能否准确迅速计算杆件内力或绘制内力图，对进一步分析杆件强度、刚度、稳定性有很大的影响。
但目前学生在学习中，往往感觉有难度、不容易做到准确无误地完成轴力图、剪力图和弯矩图。
针对在学习中同学们遇到一些的问题，这里介绍杆件内力需要掌握的知识点，以及总结出快速计算内力和绘制内力图的方法。
同时精炼出口诀，便于学习和记忆。
1 内力正负号轴力的正负号规定：使杆拉伸时的轴力为正，反之为负（如图1）。
即：轴力方向在截面外法线方向一致时为正。
扭矩T的正负号规定：扭矩矢量方向与截面外法线方向一致时为正；反之为负（如图2）。
简称：以外法线方向为正。
剪力Q：使截开部分杆件产生顺时针方向转动的为正，反之为负。
即：在被截开部分左面向上为正、向下为负；在被截开部分右面向下为正、向上为负。
弯矩M：使梁弯曲成上凹下凸的形状时，则弯矩为正；反之使梁弯成下凹上凸形状时，弯矩为负。
即：在被截开部分左面顺时针转动为正、逆时针方向转动为负；在被截开部分右面逆时针方向转动为正、顺时针转动为负（如图3）。
上述规律可归纳为：“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”。
这里的方位“左”和“右”含义是指截面相对所取研究对象的方位。
进一步精简为：外法线方向，左上右下，左顺右逆，为正。
2 基本方法截面法是力学中研究受力构件内力的一个基本方法。
它可以概括为以下四个步骤：(1)截：在欲求内力的截面处，沿该截面假想地将杆件截分为两部分。
(2)取：取其中任何一部分为研究对象。
(3)代：用内力代替弃去部分对研究对象的作用。
工程力学 第六章：平面杆件体系的几何组成分析
瞬变体系
工 程 力 学
无多余约束的几何 不变体系变体系
几种常用的分析途径 1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。 2、如上部体系与基础用满足要求的三个约束相联可去 掉 基础，只分析上部。 3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，用链杆组 成的虚铰相连，而不用单铰相连。 4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范 围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。 5、由基础开始逐件组装 6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的 前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个等效 与外部连结等效）刚片代替它。
β
A P
A
β
Δ是微量
P N N
只有几何不变体系才 能作为建筑结构使用！！
§6.2刚片、自由度和约 束的概念
• 一、刚片 • 是指平面体系中几何形状不变的平面体。 • 在几何组成分析中，由于不考虑材料的应 变，所以，每根梁、每一杆件或已知的几 何不变部分均可视为刚片。 • 支承结构的地基也可以看做是一个刚片。
a
1、单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形 状和铰的位置如何。
一根链杆可以减少 体系一个自由度，相 工 当于一个约束。！ 程 力 β 学
α
Ⅰ
1 5 3 6 4
1、2、3、4是链杆， 5、6不是链杆。
加链杆前3个自由度
加链杆后2个自由度
2、单铰： 联结 两个 刚片的铰 加单铰前体系有六个自由度 加单铰后体系有四个自由度
三刚片以三个无穷远处虚铰相连 组成瞬变体系
工 程 力 学
4、由一基本 刚片开始，逐 步增加二元体， 扩大刚片的范 围，将体系归 结为两个刚片 或三个刚片相 连，再用规 则判定。
工程力学 第6章 习题
习题6-1图习题6-2图习题6-3图习题6-4图第6章 杆件的内力分析6－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox 坐标取向如图所示。
试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。
（A d Q F d M （B （C （D 6－2 对于图示承受均布载荷q 的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中。
6－3 已知梁的剪力图以及a 、e 截面上的弯矩M a 和M e ，如图所示。
为确定b M 、M ，现有下列四种答案，试分析哪一种 （A （B （C （D 之间剪力图的面积，以此类推。
6－4 应用平衡微分方程，试画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定 m axQ ||F 。
解：（ （b ）0=∑AM，22+⋅+⋅--F l ql l ql ql qlF B 41R =（↑）0=∑y F ，qlF A41R =（↓），2R 4141qll ql l F MB C=⋅=⋅=（＋）2qlMA=51 —qlF 45||max Q =2max ||qlM =（c ）0=∑y F ，qlF A =R （↑）0=∑AM ，2qlM A=0=∑DM，022=-⋅-⋅+DMl ql l ql ql223qlMD= ql F =max Q ||2max 23||qlM =（d ）0=∑BM2132R =⋅-⋅⋅-⋅l ql l q l F AqlF A 45R =（↑）=∑y F ，qlF B 43R =（↑）0=∑BM，22lq M B==∑DM，23225qlMD=qlF 45||max Q =2max 3225||qlM =（e ）0=∑y F ，F R C = 0 0=∑CM ，0223=+⋅+⋅-CMl ql l ql 2qlMC= 0=∑BM，221qlMB==∑y F ，qlF B=Qql F =max Q ||2max ||qlM =（f ）0=∑AM，qlF B 21R =（↑） 0=∑y F ，qlF A 21R =（↓）0=∑y F ，021Q =-+-B F ql qlqlF B 21Q =0=∑DM，42221+⋅-⋅DMl l ql ql 281qlMD-=281qlME=∴qlF 21||max Q =522max 81||qlM =6－5 试作图示刚架的弯矩图，并确定max||M 。
工程力学终于知识点
按右手螺旋法则， 扭矩矢量沿截面外法线方
向为正；反之为负。
3、扭矩图
扭矩图——表示扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。
要求：
①扭矩图和受力图对齐； ②扭矩图上标明扭矩的大小、正负和单位。
快速作扭矩图
上上下下
四、薄壁圆筒的扭转
r0/d≥10 时，称为薄壁圆筒。
作用于杆上的合外力的作用线与杆的轴线重合。
2、变形特点
杆件产生轴向的伸长或缩短。
二、 内力·截面法·轴力和轴力图 1、内力
指截面上分布内力系的合力。
2、截面法
截面法四部曲 —截开 —取出 —代替 —平衡
3、轴力FN
沿杆轴线方向作用的内力，称为轴力。
轴力正负规定：
以使脱离体受拉为正，使脱离体受压为负。
F N3
一定为零力杆。
F N2
3
3、两杆相结，不共线，且节点 处的载荷沿其中某一杆件， 则另一杆为零力杆。
2 A 1 FN1 F N2
2
F A 1 F N1
三、重心坐标的一般公式
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
zc
Pi zi P
四、组合形体的重心
1、分割法
如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而
此法适合于求桁架部分杆件的内力。
注:
（1）所有杆件均假设受拉。 （2）每次对象只能列出三个方程。 （3）合理确定坐标方位、矩心位置及方程次序。
两种方法并不 相互独立，可 配合使用。
二、桁架零力杆的判断方法
F N2
1、两杆相结，不共线，且节点
2
处没载荷，则此两杆均为零力杆。
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡
杆件受力分析杆件的内力计算和受力平衡杆件受力分析是工程力学中一个重要的内容，能够帮助我们了解和计算杆件内力以及保证杆件的受力平衡。
本文将介绍杆件受力分析的基本概念和计算方法，并根据实际例子进行说明和分析。
一、杆件受力分析概述杆件，指的是工程结构中的长条形构件，常用于支撑和传递力量。
在实际应用中，杆件往往会受到多方向的力的作用，因此需要进行受力分析，计算出杆件内部的力，以保证其受力平衡。
在进行杆件受力分析时，我们需要明确以下几个概念：1. 受力点：指的是外力作用到杆件上的点，也是进行受力分析的起点。
2. 内力：指的是杆件内部存在的力，可以是拉力或压力。
3. 受力平衡：指的是杆件上所有受力的合力和合力矩为零的状态，保证了杆件受力的平衡。
二、杆件内力计算方法1. 自由体图法：自由体图法是杆件受力分析的基本方法，通过将杆件与外界切割开来，分析切割面上的受力情况，进而计算出杆件内力。
过程：选择合适的切割面，画出自由体图，分析受力平衡条件，解方程计算内力。
2. 杆件法：杆件法是将整个杆件视为一个整体，通过利用杆件的几何关系和受力条件进行计算。
过程：根据杆件的几何形状和受力情况，建立方程组求解。
三、杆件受力分析实例为了更好地理解和应用杆件受力分析的方法，下面以一个实际例子进行说明：假设有一根长度为L的杆件，一端固定在墙上，另一端悬挂一个质量为m的物体。
我们需要计算杆件的内力以及保证受力平衡。
首先，我们选择杆件的中点作为切割面，并画出自由体图。
根据受力平衡条件，我们可以得出以下方程：∑Fx = 0: T - F = 0 （水平方向受力平衡）∑Fy = 0: N - mg = 0 （竖直方向受力平衡）其中，T代表杆件的张力，F代表杆件所受悬挂物体的重力，N代表杆件与墙壁接触点的支撑力，g代表重力加速度。
通过解以上方程组，我们可以计算出T和N的数值，进而得到杆件内部的力。
根据实际情况，可以通过杆件截面积和材料的力学性质，计算出杆件的应力和变形情况。
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M
M
弯矩为正
M
M
弯矩为负
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
FA
A
MA
FA
A
MA
2Fl
lC
l
FCs
l
C MC
2Fl
FCs
MC
C
l
F
B D
FCs F FCs F
M C Fl MC Fl
M C 2Fl Fl 0
F
B
D
FDs
MD
F
DB
FDs F MD 0
1.剪力、弯矩方程：
FS FS (x) M M (x)
F
拉杆
FF
F
压杆
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
物体在受到外力作用而变形时，其内部各 质点间的相对位置将有变化。与此同时，各质 点间相互作用的力也发生了改变。相互作用力 由于物体受到外力作用而引起的改变量，就是 附加内力，简称内力。
内力分析是解决构件强度，刚度与稳定
性问题的基础。
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
图和弯矩图。
q
解： 1、求支反力
A
x
B
l
FA
FB
由对称性知： ql
FA FB 2
ql / 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
FS
FS (x)
FA
qx
ql 2
qx
ql / 2
M (x)
FA x
qx2 2
qLx 2
qx2 2
M
ql2 / 8
FS ,max
ql 2
M max
ql 2 8
例题 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该
YB
P 2
()
例: 求图示刚架的支座反力
q
ql2 解:
ql
Fx 0, X A ql 0, X A ql()
l
A
Fy 0,YA ql 0,YA ql()
XA
l 2
MA YA
l 2
M A 0, M A ql l ql2 0,
M A 2ql2 (逆时针转)
C
B
XB
例3: 求图示刚架的支座反力
梁的剪力图和弯矩图。
x
F
A
B
Cab解：来自1、求支反力FAFb； l
FB
Fa l
FA
FS
l
FB
Fb/ l
Fa/ l
2、建立剪力方程和弯矩方程
AC段
:
FS (x) M (x)
FA FA
Fb 0
l x Fbx
l
x a 0 x a
M
Fab/ l
CB段
:
FS
(
x)
M (x)
FB
FA l
M
MM
l
l
M
M
M
l
l
MM
lM
M
l
1 ql2 2
l 2M
P 1 ql2
4
l/2 l/2
M
MM
M
M
M MM
MM
1 ql2 2l
M
l
q
l
M M
l
P
1 Pl 4
P 1 Pl
4
1 Pl 4
l/2 l/2 l/2
l/2 l/2
q
1 ql 2 4
ql 1 ql 2 4
l/2 l/2 l/2
l/2 l/2
§6–5静定平面刚架的内力
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
轴力图表示轴力与截面位置关系的图形。 习惯上将正值的轴力画在上侧，负值画在下侧。 轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴
力大小。
9KN 3KN
F
1 3F
2 2F
4KN
2KN
A 1B
2C
F
4KN
2F
2KN
5KN
例题2 作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max
注意： （1）在采用截面法之前不允许使用力的
可传性原理；
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
（2） 在采用截面法之前不允许预先将 杆上荷载用一个静力等效的相当力系代替。
一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴力。
1
2
20KN
40KN
20KN
20KN
20KN
1
1 40KN
FN1
2
FN 2
FN1 0 1
弯矩规定以刚架的内侧纤维受拉为正，反之 为负（弯矩一律画在杆件的纤维受拉侧，图 中无须标明正负号）。
例: 求图示刚架的支座反力
C
B
C
B
l
2
YB
P
lP
A
l
2
A X A YA
解:
Fx 0, X A P 0, X A P()
MA
0, P
l 2
YB
l
0,YB
P 2
()
Fy
0,YA
YB
0,YA
M1 Pl / 4(上侧受拉) M1 M 2 (外侧受拉)
例题1: 作图示结构弯矩图
Pl / 2
Pl / 2
练习: 作弯矩图
Fa l
x
a x l
Fa l x a x l
l
例五 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M
，作该梁x的剪力M图和弯矩图。解： 1、求支反力
A
B
a
C
b
FA
M； l
FB
M l
FA
l
FB
2、建立剪力方程和弯矩方程
M /l
FS
Mb/ l
AC段
:
FS ( x) M (x)
FA FA
2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴 沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。
例题 作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。
Fx
A l
剪力、弯矩方程：
B
FS (x) F M (x) Fx
FS
F
| FS |max F
Fl
| M |max Fl
M
例题 图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪力
弯曲内力
以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。梁是 一类常用的构件几乎在工程中都占有重要地位。
静定梁：支座反力可以由静力平衡方程来求解 的梁。
超静定梁：支座反力仅由静力平衡方程不能求 解的梁。
梁按支承方法的分类
悬臂梁
简支梁
外伸梁
固定梁
连续梁
半固定梁
弯曲内力 F a
A
B
FA
l
FB
FA x
M Fs
复合刚架 (主从结构)
§6–5静定平面刚架的内力
平面刚架的杆件截面上一般有弯矩﹑剪力和轴 力三种内力。然而，在线性弹性范围内，它们 比较而言，弯矩影响起主要作用。由于刚结点 能承受负弯矩作用，从而削减了结构中最大正 弯矩值，因此刚架的受力情况较简支梁合理。
§6–5静定平面刚架的内力
1 8
ql2
FN 2 40kN
§6–1轴向拉压杆的内力 轴力图
当杆受到多个轴向外力作用时，在杆的不同 横截面上的轴力将各不相同。为了表明横截 面上的轴力随横截面位置而变化的情况，可 用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置， 用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力 的数值，从而绘出表示轴力与截面位置关系 的图线，称为轴力图。
M 0
l
x Mx 0
l
x
x
a a
M
Ma/ l
CB段
:
FS
(
x)
M (x)
FB
FB l
M l
x
a x l
M l x a x l
l
弯曲内力
由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯 矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值 等于集中力的大小，从左向右作图，突变方 向沿集中力作用的方向。
FS FA M FAx
①剪力—平行于横截面的内力，符号：FS，正负号规定： 使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的
剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)；
FS
FS
剪力为正
FS
FS
剪力为负
②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使 梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩 为正)。
由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用 点，弯矩图发生突变，其突变值为集中 力偶的大小。
外力情况 q<0(向下)
无荷载段
剪力图上的特 ↘(向下斜直线) 征
弯矩图上的特 (下凸抛物线) 征
水平线 斜直线
最大弯矩可 能 剪力为零的截面 的截面位置
集中力F作用处： 集中力偶M作用 处：
突变，突变值 为F
有尖角
连接两个杆端的刚结点,若 刚架指定截面内力结计点算上无外力偶作用,则两
个杆端的弯矩值相等,方向
与梁的指定截面相内反力. 计算方法相同.
例: 求图示刚架1,2截面的弯矩
M1
M
C1 2 l
2
M2
P
A
XA
l
2
YA
l
2
B
l
XB
2
YB
M
P/4
P/4
解:
M 2 Pl / 4(右侧受拉)
YB P / 2() YA P / 2() X B P / 4() X A P / 4()
4l
2l l l
1 ql 2
ql
1 ql 2